【文档说明】2023届四川省泸州市名校高三上学期12月第四次月考数学文科试题含解析.docx，共(10)页，1.499 MB，由小喜鸽上传

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泸州市名校2023届高三上学期12月第四次月考数学文科满分:150分一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设集合A={x∣x2−5x−6<0},B={x∣x−2<0},则A∩B=（）A.{x∣−3<𝑥<2}B.{x∣−2<𝑥

<2}C.{x∣−6<𝑥<2}D.{x∣−1<𝑥<2}2.设(1+i)∙z=1−i,则复数z的模等于（）A.√2B.2C.1D.√33.若点(√3,−1)是角θ的终边上一点,则cosθ=（）A.−√32B.√32C.−12D.124.若x,y满足{

x≤3,x+y≥1y≤1,则目标函数z=x−y的最大值为（）A.5B.4C.3D.25.将某家庭一年的支出情况统计如下图所示，主要分为房贷、饮食等六个方面；若该家庭一年的总支出为12万元，且花费在A方面的金额比B方面的金额多48

00元，则B为（）A.交通B.饮食C.育儿D.其他6.设函数f(x)=x2sinxx2+1,则y=f(x),x∈[−π,π]的大致图象大致是的（）A.B.C.D.7.阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆

柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的23，且球的表面积也是圆柱表面积的23”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为24π，则该圆柱的内切球体积为（）A.43πB.16π

C.163πD.323π8.已知等差数列{an},a1=1,d=1,则数列{1anan+1}的前100项和（）A.100101B.99101C.99100D.1011009.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是（）A.若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥nB

.若m⊥α,m//n,n//β,则α⊥βC.若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α⊥βD.若α//β,m⊂α,n⊂β,则m//n10.将函数y=sin(2x+5π6)的图象向右平移π6个单位长度得到函数y=f(x)的图象,下列说法正确的是（）A.f(x)

是奇函数B.f(x)的周期是π2C.f(x)的图象关于直线x=−π12对称D.f(x)的图象关于点(−π4,0)对称11.如图所示,三棱锥P−ABC的底面AC是等腰直角三角形,∠ACB=90∘,且PA=PB=AB=√2,PC=√3,则点C

到面PAB的距离等于（）A.13B.√63C.√33D.√2312.已知定义在R上的奇函数,满足f(2−x)+f(x)=0,当x∈(0,1]时,f(x)=−log2x,若函数F(x)=f(x)−sin(πx),在区间[−1,m]上有10个零点,则m的取值范围是（）A.[3.5,4)B.(3.

5,4]C.(5,5.5]D.[5,5.5)二.填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知某校高一、高二、高三的人数分别为400、450、500，为调查该校学生的学业压力情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为270的样本，则从高二年级抽取的

人数为_________.14.已知a⃗=(1,2),b⃗=(−1,1),则a⃗与a⃗+b⃗夹角的余弦值为__________.15.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2−2x,则不等式f(x)>𝑥的解集用区间表示为__________.16.已知不等式x+alnx+

1ex>xa对x∈(1,+∞)恒成立,则实数a的最小值为__________.三.解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.解答题（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=

2,an+1=Sn+2.（1）求数列{an}的通项公式;（2）若数列{bn}满足bn=an+log2a2n−1,求数列{bn}的前n项和Tn.18.解答题（12分）在斜三角形ABC中,tanA+tanB+tanAtanB=1.（1）求C

的值;（2）若A=15∘,AB=1,求△ABC的周长.19.解答题（12分）为配合创建文明城市，某市交警支队全面启动路口秩序综合治理，重点整治机动车不礼让行人的行为.经过一段时间的治理，从市交警队数据库

中调取了10个路口的车辆违章数据，根据这10个路口的违章车次的数量绘制如下的频率分布直方图，统计数据中凡违章车次超过30次的路口设为“重点关注路口”.（1）根据直方图估计这10个路口的违章车次的平均数；（2）现从“重点关注路口”中随机抽取两个路口安排交警去

执勤，求抽出来的路口中有且仅有一个违章车次在(40,50]的概率.20.解答题（12分）如图所示,在四棱锥A−BCD中,AB=BC=BD=2，AD=2√3,∠CBA=∠CBD=π2,点E为AD的中点.（1）求证:平面ACD⊥平面BCE;（2）若F为BD的中点

,求四面体CDEF的体积.21.解答题（12分）设函数f(x)=ex−ax2−x+1，a∈R.（1）a=0时,求f(x)的最小值;（2）若f(x)≥0在[0,+∞)恒成立,求a的取值范围.选做题（第22题，23题，选做一题，多做或做

错，均按照第一题计分）22.解答题（10分）在平面直角坐标系中,曲线C的参数方程为{x=2cosθy=2sinθ(θ为参数),直线l的参数方程为{x=−1+√22ty=√22t(t为参数).（1）写出曲线C与直线l的普通方程;（2）设当t=0时l上的点为M,点N在曲线C上.以坐标原点

O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求线段MN中点P的轨迹的极坐标方程.23.解答题（10分）已知f(x)=|x−1|+|x+a|(a∈R).（1）若a=1,求不等式f(x)>4的解集;（2）∀m∈(0,1),∃x0∈R,1m+41−m>𝑓(x0),求实数a的取值范围.参考答案及

解析1.【答案】D【解析】A={x∣x2−5x−6<0}={x∣−1<𝑥<6},𝐵={𝑥∣𝑥<2}.所以A∩B={x∣−1<𝑥<2}.2.【答案】C【解析】因为(1+i)∙z=1−i,所以z=1−i1+i=(1−i)2(1+i)∙(

1−i)=−i,由复数模的定义知,|z|=√(−1)2=1.故选:C.3.【答案】B【解析】由题意可知,将x=√3,y=−1代入cosθ=x√x2+y2得cosθ=√3√(√3)2+(−1)2=√32,即co

sθ=√32.4.【答案】A【解析】略5.【答案】C【解析】设A方面占比m,B方面占比n,则有12(m−n)=0.48⇒m−n=0.04,由图可知,只有其它方面比育儿方面多4%.6.【答案】B【解析】对于选项A：由题意知,函数f(x)的定义域为R,其关于原点对称,因为f(−x)=(−x)2

sin(−x)(−x)2+1=−x2sinxx2+1=−f(x),所以函数f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,故选A排除;对于选项D：因为f(π2)=(π2)2sin(π2)(π2)2+1=π2π2+4>0,故选

项D排除;对于选项C：因为f(π)=π2sin(π)π2+1=0,故选项C排除;7.【答案】D【解析】设圆柱的底面半径为r,则其母线长为l=2r,因为圆柱的表面积公式为S圆柱表=2πr2+2πrl,所以2πr2+2πr×2r=24π,解得r=2,因为圆柱的体积公式为V圆拄=Sh=πr2∙2r,

所以V圆柱=π×2×23=16π,由题知,圆柱内切球的体积是圆柱体积的23,所以所求圆柱内切球的体积为V=23V圆柱=23×16π=32π3.8.【答案】A【解析】【分析】先求出{an}的通项,再利用裂项相消法可求前100项和.【详解】因为{an}为等

差数列且a1=1,d=1,故an=n,故1anan+1=1n(n+1)=1n−1n+1,故数列{1anan+1}的前100项和为(11−12)+(12−13)+⋯+(1100−1101)=1−1101=100101.9.【答案】B【解析】

∵m⊥α,m//n,∴n⊥α,∵n//β,∴α⊥β,故选B.10.【答案】D【解析】由已知得:f(x)=sin[2(x−π6)+5π6]=sin(2x+π2)=cos2x,选项A:f(−x)=cos2(−x)=cos2x=f(x),f(x)是偶函数,A不正确;选项B:由2π

2=π得f(x)的周期是π,B不正确;选项C:由f(−π12)=cos(−π6)=√32知,f(x)的图象关于直线x=−π12不对称,C不正确;选项D:由f(−π4)=cos(−π2)=0知,f(x)的图象关

于点(−π4,0)对称,D正确.11.【答案】C【解析】取AB的中点G,连接PG,CG,作CH⊥PG,垂足为H,如图所示:因为PA=PB=AB=√2,所以△PAB为等边三角形,因为G为AB中点,所以PG⊥AB,又△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90∘,所以

CG⊥AB,又PG∩CG=G,所以AB⊥平面PCG,又CH⊂平面PCG,所以AB⊥CH,因为CH⊥PG,PG∩AB=G,所以CH⊥平面PAB,即CH即为点C到面PAB的距离,因为在等边△PAB中,PG=√32×

√2=√62,在△ABC为等腰直角三角形中,CG=1×1√2=√22,在△PCG中,由余弦定理可得,cos∠PGC=PG2+CG2−PC22PG∙CG=(√62)2+(√22)2−(√3)22×√62×√22=−√33,所以

sin∠PGC=√1−cos2∠PGC=√1−(−√33)2=√63,在Rt△CHG中,CH=CG∙sin∠CGP=√22×√63=√33,所以点C到面PAB的距离为√33.12.【答案】A【解析】由f(2−x)+f

(x)=0可知函数y=f(x)的图象关于点(1,0)成中心对称,且f(2−x)=−f(x)=f(−x),所以,f(x+2)=f(x),所以,函数y=f(x)的周期为2,由于函数y=f(x)为奇函数,则f(0)=0,则f(2)=f(4)=0,作出函数y=f(x)与函数y=sin(πx)的图象如下图所

示:∵f(12)=−log212=1,则f(−12)=−f(12)=−1,于是得出f(72)=f(32)=f(−12)=−1,f(52)=f(12)=1,由图象可知,函数y=f(x)与函数y=sin(πx)在区间[−1,m]上从左到右10个

交点的横坐标分别为−1、−12、0、12、1、32、2、52、3、72,第11个交点的横坐标为4,因此,实数m的取值范围是[3.5,4),故选A.13.【答案】90【解析】由题意知,全校共有学生人数为1350

人,其中高二年级有450人,设高二年级抽取的人数为x人,根据分层抽样按比例抽取可得,x=2701350×450=90.14.【答案】2√55【解析】由题意知,a⃗+b⃗=(0,3),因为a⃗=(1,2),所

以(a⃗+b⃗)∙a⃗=0×1+3×2=6,由向量模的定义知,|a⃗|=√12+22=√5,|a⃗+b⃗|=√02+32=3,由平面向量数量积的夹角公式可得,cosθ=(a⃗⃗+b⃗⃗⃗)∙a⃗⃗|a⃗⃗

|∙|a⃗⃗+b⃗⃗⃗|=63√5=2√55故答案为:2√5515【答案】(−3,0)∪(3,+∞)【解析】设x<0,则−x>0,由题意可得f(−x)=−f(x)=(−x)2−2(−x)=x2+2x,∴f(x)=−x2−2x,

故当x<0时,f(x)=−x2−2x.由不等式f(x)>𝑥,可得{x>0x2−2x>𝑥,或{x<0−x2−2x>𝑥,求得x>3,或−3<𝑥<0,故答案为(−3,0)∪(3,+∞).16【答案】−e【解析】先利用同构变形得到1ex−ln(1ex)>xa−lnxa,构造函数f(

x)=x−lnx,x>0,结合其单调性和求解的是a的最小值,考虑两种情况,进行求解,最终求得实数a的最小值.因为x+alnx+1ex>xa,所以x+1ex>xa−alnx=xa−lnxa,即1ex−ln(1ex)>xa−lnxa,构造函数f(x)=x−lnx,x>0所以f(1ex)>𝑓(xa)f

′(x)=1−1x=x−1x,令f′(x)>0,解得:x>1,令f′(x)<0,解得:0<𝑥<1,故f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,当x>1时,0<1ex<1,xa与1的大小不定,但当实数a最小时,只需考虑其为负数的情况,此时0<xa<1因为当0<𝑥<1时,f(x)单

调递减,故1ex<xa,两边取对数得:−x<𝑎𝑙𝑛𝑥(𝑥>1)∴a>−xlnx,令g(x)=−xlnx,则g′(x)=1−lnx(lnx)2,令g′(x)>0得:1<𝑥<𝑒,令g′(x)<0得:x>𝑒,所以g(x)在(1,e)单调递

增,在(e,+∞)单调递减,所以g(x)≤g(e)=−e故a的最小值是−e.17.【答案】（1）an=2n（2）Tn=2n+1+n2−2【解析】(1）∵an+1=Sn+2,（1）∴an=Sn−1+2(n≥2).（2）（1）－（2）得an+1−an=

an,即an+1=2an(n≥2)又a1=2,a2=S1+2=4,∴a2a1=2,∴an+1an=2(n∈N∗),∴{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,∴an=2∙2n−1=2n.（2）由（1）

得an=2n,bn=an+log2a2n−1=2n+log222n−1=2n+2n−1,∴Tn=b1+b2+b3+⋯+bn=(2+1)+(22+3)+⋯+(2n+2n−1)=(2+22+⋯+2n)+(1+3+⋯+2n−1)=2(1

−2n)1−2+n(1+2n−1)2=2n+1+n2−2.18.【答案】（1）C=135∘;（2）1+√2+√32.【解析】（1）∵tanA+tanB+tanAtanB=1,即tanA+tanB=1−t

anAtanB,又在斜三角形ABC中,1−tanAtanB≠0,所以tan(A+B)=tanA+tanB1−tanAtanB=1,即tan(180∘−C)=1，亦即tanC=−1，因为0∘<𝐶<180∘,所以C=135∘.（2）在△ABC中,A=15∘,C=135∘,则B=180∘−A−C=3

0∘,由正弦定理BCsinA=CAsinB=ABsinC,得BCsin15∘=CAsin30∘=1sin135∘=√2,故BC=√2sin15∘=√2sin(45∘−30∘)=√2(sin45∘cos30∘−cos45∘sin30∘)=√3−12,CA=√2sin30∘=√22.所以△ABC

的周长为AB+BC+CA=1+√22+√3−12=1+√2+√32.19.【解析】（1）根据频率分布直方图可估计平均数x̅为:x̅=(5×0.01+15×0.02+25×0.01+35×0.04+45×0.02)×10=29.（2）由频率分

布直方图可知:违章车次在(30,40]的路口有4个,记为A,B,C,D;违章车次在(40,50]的路口有2个,记为a,b;从“重点关注路口”中随机抽取两个路口,则有AB,AC,AD,Aa,Ab,BC,BD,Ba,Bb,CD,Ca,Cb,Da,Db,ab,共15种

情况;其中有且仅有一个违章车次在(40,50]的情况有Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,Da,Db,共8种情况;∴所求概率P=815.20.【解析】（1）证明:由（1）知AD⊥BC,又AB=BD,点E为AD的中点,所以BE⊥AD,因为BE∩BC=B,由线

面垂直的判定知,AD⊥平面BCE,又AD⊂平面ACD,由面面垂直的判定定理知,平面ACD⊥平面BCE.（2）解:由（1）知BC⊥平面ABD,因为AB=BD=2,AD=2√3,所以在△ABD中由余弦定理

可得,cos∠ABD=AB2+BD2−AD22AB∙BD=22+22−(2√3)22×2×2=−12,所以∠ABD=120∘,又EF为△ABD的中位线,所以∠EFD=120∘,所以VC−DEF=13S△DEF∙CB=13∙(12∙EF∙FDsin120∘)∙CB=13∙(

12×1×1×√32)×2=√36.21.【解析】（1）a=0时,f(x)=ex−x+1,则f′(x)=ex−1,令f′(x)=0,得x=0,当x∈(−∞,0)时,f′(x)<0,𝑓(𝑥)在(−∞,0)单调递减;当x∈(0,+∞),f′(x)>0,𝑓(𝑥)

在(0,+∞)单调递增;所以f(x)min=f(0)=2;（2）由题意知,f(0)=2>0对任意a∈R恒成立,当x>0时,f(x)≥0恒成立等价于ex−ax2−x+1≥0对任意x>0恒成立,即a≤ex−x+1x2对任意x

>0恒成立,令h(x)=ex−x+1x2,x>0,则h′(x)=(x−2)(ex+1)x3,所以当0<𝑥<2时,h′(x)<0,函数h(x)单调递减;当x>2时,h′(x)>0,函数h(x)单调递增,所以当x=2时函数h(x)有最

小值为h(2)=e2−14,所以此时a的取值范围为a≤e2−14,综上可知所求a的取值范围为a≤e2−14.22.【解析】（1）∵曲线C的参数方程为{x=2cosθy=2sinθ(θ为参数),∴曲线C的普通方程为x2+y2=4,∵直线l的参数方程为{x=−1+√22ty=√22t(t为参数)∴

直线l的普通方程为x−y+1=0;（2）由题可知M(−1,0),设N(x0,y0),P(x,y),则{x=x0−12y=y0+02,即{x0=2x+1y0=2y所以可得点P的轨迹方程为,(2x+1)2+(2y)2=4即(

x+12)2+y2=1,∴x2+y2+x−34=0,令x=ρcosθ,y=ρsinθ,∴点P的轨迹的极坐标方程为ρ2+ρcosθ−34=0.23.【解析】（1）当a=1时,f(x)=|x−1|+|x+1|={2x,x≥12,−1<𝑥<1−2x,x≤

−1,f(x)>4⇔{x≥12x>4,或{−1<𝑥<12>4,或{x≤−1−2x>4⇔x>2,或x<−2所以不等式f(x)>4的解集为(−∞,−2)∪(2,+∞);（2）因为f(x)=|x−1|+|x+a|≥|(x+a)−(x−1)|

=|a+1|∀m∈(0,1),又1m+41−m=(1m+41−m)[m+(1−m)]=5+4m1−m+1−mm≥5+2√4m1−m∙1−mm=9(当m=13时等号成立),依题意,∀m∈(0,1),∃x0∈R,有

1m+41−m>𝑓(x0),则|a+1|<9，解之得−10<𝑎<8,故实数a的取值范围是(−10,8).