【文档说明】2023届山西省运城市高三上学期期中数学试题解析版.doc，共(25)页，4.061 MB，由小喜鸽上传

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第1页共25页2023届山西省运城市高三上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合()3{5},log11AxxBxx==+∣∣，则()RAB=ð（）A．()2,5B．(2,5C．()2,+

D．(),5−【答案】B【分析】根据对数函数的性质，求出B，再利用补集的概念求出A，进而得到()ABRIð【详解】由3log(1)1x+，得33log(1)log3x+，得13x+，可解得2x，故整理得{2}Bxx=∣，且R{5}Axx=∣ð，则()R{25}ABxx=

I∣ð，故()(R2,5AB=Ið故选：B2．设na为等差数列，nS为其前n项和，若5976,21aaS+=−=，则公差d=（）A．2B．2−C．3−D．3【答案】B【分析】根据等差数列的性质，分别求出7a和4a，进而可求得d【详

解】na为等差数列，故59726aaa+==−，得73a=−，74721Sa==，得43a=，故7463aad−=−=，解得2d=−故选：B3．下列说法正确的是（）A．命题“xR，24410xx−++”为真命题B．命题“xR，24410xx−++”的否定是“xR，24410x

x−++”C．若a、bR，且0c，则“ab”是“acbc”的充要条件D．若ab，则11ab【答案】C【分析】利用特殊值法可判断AD选项；利用全称量词命题的否定可判断B选项；利用不等式的基本性质结合充分条件、必要条件的定义可判断C选项.【详解】对于A选项，取0x=，则2441

0xx−++，A错；第2页共25页对于B选项，由全称量词命题的否定可知，命题“xR，24410xx−++”的否定是“xR，24410xx−++”，B错；对于C选项，因为0c，若ab，由不等式的性质可知a

cbc，若acbc，由不等式的基本性质可知ab，所以，“ab”是“acbc”的充要条件，C对；对于D选项，取1a=−，1b=，则11ab，D错.故选：C.4．已知向量()()1,,3,1atb==−rr，且()2abb+⊥rrr，则ab−=rr（）A．5B．25C

．27D．26【答案】A【分析】转化()()220abbabb+⊥+=rrrrrr，求解t，再结合向量线性运算和模长的坐标公式求解即可.【详解】由题意，2(2,2)(3,1)(1,21)abtt+=+−=−+rr，()()2232124

0abbabbtt+⊥+=++=+=rrrrrr，解得2t=−，故43ab−=−rr（，），22||4(3)5ab−=+−=rr.故选：A5．函数1()cos1xxefxxe+=−的图象大致是A．B．C．D．【答案】C【详解】11()cos()cos()11xx

xxeefxxxfxee−−++−=−=−=−−−Q去掉A,B；π(0,)()02xfxQ时所以选C.第3页共25页6．在ABCV中，角,,ABC的对边分别为,,abc，已知()21,coscos3sincosABACBB==−，点D为AC边上一点，且,43DCBDC

DBS==V，则AC的值为（）A．5B．1C．1或5D．4【答案】A【分析】首先利用三角恒等变形得3C=，并结合余弦定理求BC，最后在ABCV中，利用余弦定理求AC的值.【详解】()()coscoscos3sincosA

BCCBB=−+=−,得sinsin3sincosBCBC=,sin0B,所以tan3C=，()0,C,3C=，因为DCDB=，所以DCB△是等边三角形，所以23434DCBSDC==V,得4DCDBBC===，又23ADB=

,设ACx=，ABCV中，利用余弦定理，211624212xx+−=，解得：5x=或=1x−（舍）所以5AC=.故选：A7．已知函数()fx满足：①定义域为R，②()1fx+为偶函数，③()2fx+为奇函数，④对任意

的12,0,1xx，且12xx，都有()()()()12120xxfxfx−−，则7211,,333fff−的大小关系是（）A．7211333fff−B．7112333fff−

C．1172333fff−D．1127333fff−【答案】C第4页共25页【分析】由②得()fx关于x=1对称，

由③得()fx关于(2,0)对称，由④得()fx在0,1上单增，根据得出的信息得()fx的周期并画出()fx的草图，将其都转化到同一个单调区间上看图即可得结果.【详解】∵(1)fx+在R上为偶函数，∴(1)(1)fxfx+=−+，∴()fx关于x=1对称.∵

(2)fx+在R上为奇函数，∴(2)(2)0++−+=fxfx，∴()fx关于(2,0)对称，且(2)=0f∵(1)(1)fxfx+=−+，∴()(2)fxfx=−+（将上式中的x换成x-1）①又∵(2)(2)0++−+=fxfx，∴(2)(2)

fxfx−+=−+②∴由①②得：()(2)fxfx=−+③∴由③得：(+2)(4)fxfx=−+④（将③中的x换成x+2）∴由③④得：()(4)fxfx=+∴()fx的一个周期为4T=，且(0)=0f，()fx关于(0,0)对称又∵对任意的12,0,1xx

，且12xx，都有()()()()12120xxfxfx−−，∴()fx在0,1上单调递增.∴()fx在一个周期内的草图为：∴77551()(4)()(2)()33333fffff−=−+==−=，11111()(4)()

333fff=−=−，∴如图所示：112()()()333fff−，即：1172()()()333fff−，故选：C.8．已知数列na满足113,1nnaaa+=−=，若13nnba=+，数列nb的前n项和为nS，且对于

任意的*Nn第5页共25页都有43342ntSnt−−−+，则实数t的取值范围是（）A．5,13−B．5,13−C．51,3−D．51,3−【答案】D【分析】根据等比数列求()1=3nna−−，进而得nb，由分组求和

得nS，根据奇偶即可求解最值.【详解】113,1nnaaa+=−=，可知na为等比数列，所以()1=3nna−−，故113313nnnba−−+=+=，进而11331333144313nnnnnS−−=+=−−++，所以93133443nnn

S−−=−−−，故3342nSnt−−+，即93131443146172163nntt+−−−−−−，当n为奇数时，则对任意的奇数n，满足311631716nt+

−，由于()13nfn=单调递减，当1n=时，()311617163ngn=−+有最大值1−，所以1t−,当n为偶数时，满足311631716nt−−，由于()13nfn

=单调递减，1716t−，综上可得1t−，同理731433443nntSnt−−−−−，故当2n=时，min7312443n−−=，故53t，综上：513t，故选：D二、多选题9．若复数z满足()12i1

iz−=+（i是虚数单位），则下列说法正确的是（）第6页共25页A．复数13i55z=−+B．复数z的虛部为3i5C．5i5z−=D．复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限【答案】AD【分析】利用复数的除法可判断A选项；利用复数的概念可判断B选项；利用复数的

模长公式可判断C选项；利用复数的几何意义可判断D选项.【详解】对于A选项，由已知可得()()()()1i12i1i13i12i12i12i55z+++===−+−−+，A对；对于B选项，复数z的虚部为35，B错；对于C选项，()225i12i125z−=−+=−+=，C错；对于D选项，13i5

5z=−−，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限，D对.故选：AD.10．已知函数()()3sin3sincos02222xxxfx=+−，则下列有关()yfx=说法正确的是（）A．若函数()yfx=在区间ππ,

63上单调递增，则的最小值为52B．若函数()yfx=在区间ππ,63上单调递增，则的最大值为52C．若函数()yfx=的图象向右平移π3个单位长度得到偶函数，则的最小值为12D．若函数()yf

x=在区间0,π上有且只有1个零点，则的取值范围是14,33【答案】BC【分析】利用三角恒等变换化简函数()fx的解析式，利用正弦型函数的单调性求出的取值范围，可判断AB选项；求出平移后的函数解析式，利用正弦型函数的奇偶性可判断C选项；根据函

数()fx在区间0,π上的零点个数求出的取值范围，可判断D选项.【详解】()2313πsincos12sinsincossin2222223xxxfxxxx=−−=−=−Q.第7页共25页对于AB选项，当ππ63x时

，πππππ63333x−−−，因为函数()fx在区间ππ,63上单调递增，则()ππππππ,2π,2πZ633322kkk−−−+，所以，πππ2π632πππ2

π332kk−−−+，解得()51216Z2kkk−+，因为512162kk−+，解得712k，0Q，则0k=，所以，502，A错B对；对于C选项，将函数()yfx=的图象向

右平移π3个单位长度得到函数ππππsinsin3333yxx=−−=−−，函数ππsin33yx=−−为偶函数，则()ππππZ332kk+=+，解得()13Z2kk=+，当0

k=时，取最小值12，C对；对于D选项，当0πx时，ππππ333x−−−，因为函数()yfx=在区间0,π上有且只有1个零点，则π0ππ3−，解得1433，D错.故选：BC.11．把一条线段分为两部分，使较长部分与全长之比等于较短部分与较长部分之比，该比值是无

理数512−，由于按此比例设计的造型十分美丽柔和，因此称为黄金分割，也称为中外比､黄金分割不仅仅体现在诸如绘画､雕塑､音乐､建筑等艺术领域，而且在管理､工程设计等方面也有着不可忽视的作用.在ABCV中，点D为线段BC的黄金分割点(),2,3,60BDDCABACBA

C===o，点E为AB的中点，点P为线段AC上的一点（包含端点），则下列说法正确的是（）A．513522ADABAC−−=+uuuruuuruuurB．355122ADABAC−−=+uuuruuuruuurC．CEuuur在ACuuur上的投影向量为56

AC−uuurD．APBPuuuruuur的取值范围是1,64−【答案】BCD【分析】对于A和B，利用512ADABBDABBC−=+=+uuuruuuruuuruuuruuur，利用向量的加法，即可判断B对，A第8页共25页错；对

于C，求出CEuuur和cos,ACCEuuuruuur，根据投影向量公式，cos,ACCEACCEACuuuruuuruuuruuuruuur，即判断C对；对于D，利用极化恒等式，即可计算判断，得到D正确.【详解】如图，512BDBC−=，则有512BDBC−=uuuruuu

r，512ADABBDABBC−=+=+uuuruuuruuuruuuruuur51()2ABACAB−=+−uuuruuuruuur355122ABAC+=−−uuuruuur，故A错，B对；由于E为中点，故2222cos607CEACAEACAE=+−=ouuuruuuruuuruuuruu

ur，222cos2ACCEAEACEACCE+−=9715714237+−==，故57cos,14ACCE=−uuuruuur，CEuuur在ACuuur上的投影向量为cos,ACCEACCEACuuuruuuruuuruuuruuur56AC=−uuur，故C对；APBP

PAPB=uuuruuuruuuruuur()()PEABPEAB=−+uuuruuuruuuruuur22PEAE=−=uuuuruuur21PE−uuur，明显可见，当PEAC⊥时，PE取最小值，当P与C重合时PE

有最大值372PEuuur，故21164PE−−uuur，可得D对；故选：BCD12．如图1，在菱形ABCD中，2,60,ABDABE==o是AB的中点，将ADEV沿直线DE翻折至1ADE△的位

置，得到如图2所示的四棱锥1ABCDE−.若F是1AC的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（）A．点F到平面1AEB的距离恒为32B．当1AEEB⊥时，过点,,FBE的截面周长为4第9页共25页C．异面直线1A

D与EB所成的角不断变小D．当13AB=时，直线1AC与平面EBCD所成的角的正切值为11137【答案】ABD【分析】对A：求得点D到平面1AEB的距离，再求点F到平面1AEB的距离即可；对B：作出截面图，求得各边的长度即可；对C：讨论

1ADC的变化，即可判断正误；对D：根据1AB的长度，求得1A到面EBCD的距离，再求线面角即可.【详解】对A：根据题意可得：1,DEAEDEEB⊥⊥，又1,AEEB面11,AEBAEEBE=，故DE⊥面1AEB，则点D到面1AEB的距离为DE，易

得22413DEADAE=−=−=；又DC//EB，EB面1,AEBDC面1AEB，故DC//面1AEB，则C到平面1AEB的距离也为3；又F为1AC的中点，故点F到平面1AEB的距离恒为32，A正确；对B：因为11,,,

,AEDEAEEBDEEBEDEEB⊥⊥=面EBCD，故此时1AE⊥面EBCD；取1AD的中点为M，连接,,MEMFFB，如下所示：因为,MF分别为△1ADC中两边11,ADAC的中点，故MF//DC，则四边形EMFB即为所求截面；又因为11,22MFD

CEBDC==，故四边形EMFB为平行四边形；又ED面EBCD，故1AE⊥面ED，即△1AED为直角三角形，则221111122EMADAEED==+=，故其周长为()()22114EBEM+=+=，故B正确；对C：因为EB//DC，故1,ADEB所成的异面直线夹角，即为,DCA

D所成直线的夹角，即当1ADC为钝角时，其补角即为所求；当1ADC为直角时，1,ADEB所成的异面直线夹角为2；当1ADC为锐角时，所求异面直线夹角即为1ADC；显然在折叠过程中，所求异面直线的夹角先增大，后减小，故C错误；第10页共25

页对D：过点1A作BE的垂线，交BE的延长线于点H，连接HC如下所示：由A所证可得DE⊥面1AEB，又DE面EBCD，故面1AEB⊥面DEBC，又面1AEB面DEBCEB=，1AH面1AEB，故1AH⊥面DEBC，故1A

CH即为所求直线1AC与面DEBC的夹角；在△1AEB中，111,3AEEBAB===，由余弦定理22211111cos22AEEBAEAEBAEEB+−==−，又()10,AEB，故可得123AEB=；在

△1AHE中，13AEH=，则113sin32AHAE==，11cos32HEAE==；在直角梯形DEBC中，容易得2BC=，227ECDEDC=+=，故由余弦定理222222cos22EBBCECHBBCHCEBCEBBCHBBC+−+−==，即294147446

HC+−+−=，解得372HC=，故1132tan372AHACHHC===11137，即直线1AC与平面EBCD所成的角的正切值为11137，D正确.故选：ABD.三、填空题13．已知()π30,π,sin35+=，则cos=_

__________.【答案】33410−【分析】先由()0,π得到π3+的取值范围，再利用正弦函数的图像性质与πsin3+的范围可缩小π3+的取值范围，由此求得π4cos35+=−，利用整体法即可求得cos的值.【详解】因为()0,

π,所以ππ4π333+，第11页共25页又因为1π32sin2352+=，所以3ππ5π436+，所以2ππ4cos1sin335+=−−+=−，故ππππππcoscoscoscossinsin

333333aaa=+−=+++4133334525210−=−+=.故答案为：33410−.14．已知实数1a，1b，且326ab+=，则2211aab+−−的最小值是___________.【答案】1246+【分析】分析可得()()

31211ab−+−=，可得出()()22112312121111aababab+=+−+−+−−−−，结合基本不等式可求得所求代数式的最小值.【详解】因为实数1a，1b，且326a

b+=，则()()31211ab−+−=，所以，()2122221122111111aaababab−++=+=++−−−−−−()()()()3121112312122521111abababba−−=+−+−+=+

++−−−−()()31212522124611abba−−++=+−−.当且仅当()()3121ab−=−时，等号成立，故2211aab+−−的最小值为1246+.故答案为：1246+.15．已知函数()121,0,ln,0

xxfxxxx+−=„，若()()()23Fxfxafx=−+的零点个数为3，则实数a的取值范围是___________.【答案】()1,43e,e−−++【分析】利用导数，先求出()fx的图像，再设()tfx=，2()3gxxax=−+，得到()[()

]Fxgfx=，可整理出复合函数2()3gttat=−+，令()0gt=，得到233tattt+==+，再通过，yt=与()yfx=的交点情况，求出t的范围，进而求出a的范围.【详解】根据题意，对于ln(),(0)xfxxx=，第12页共25页求导21ln()xf

xx−=，则ex时，()0fx，()fx单调递增；0ex时，()0fx，()fx单调递减；可得ex=时，()fx有最大值1e，且1x时，恒有0y，故可画出()yfx=的图像，令2()3gxxax=−+，则2()[()]()()3Fxg

fxfxafx==−+，令()fxt=故2()3gttat=−+，令()0gt=，此时0t，参变分离可得，233tattt+==+，作出3ytt=+的图像，明显为对勾函数，故只需求出满足题意时t的范围，即可根据等量代换，得到a的范围.对于()0gt=，当只有一个根1=tt满足时

，令1()tfx=，此时，如图，此时，满足()Fx有3个零点，此时110et，明显地，当110et时，第13页共25页此时满足唯一的1()tfx=，故对于对勾函数：113ytt=+，1(3e,)ey++；又()0gt=，当有两个根2=tt和3tt=满足时，要满足()F

x有3个零点，则如图或如图，此时，必有210t−，31et或31t−对应的对勾函数图为：，或第14页共25页如图，因为3t交点不存在，必有对应的12233()(),()fxfxtfxt===，或13223()()

,()fxfxtfxt===，23211()(),()fxfxtfxt===三种情况，故关键是2t要有对应的两个x与之对应，取210t−，故对于223ytt=+，有(,4)y−−，对于31et

或31t−，(,23)(23,)y−−+，可得，23a或23a−，故210t−且31et或31t−，其交集为(,4)a−−；综上所述，()1,e,43ea−−++.故答案为：()1,43e,e−−++四、双空题16．已知正四

棱锥PABCD−的底面是边长为2的正方形，其内切球的体积为π6，则该正四棱锥的高为___________，外接球的表面积为___________.【答案】4328936【分析】已知正四棱锥PABCD−内切球的体积为6，可求得内切球的半径，用等体积法可求得正四棱锥的高，由正四棱锥的性质可得，

在'RtODEV中，列方程可解得外接球半径R，即可求得球体的表面积.【详解】已知正四棱锥PABCD−内切球的体积为6，设球体的半径为r，34ππ36Vr==，解得12r=，设正四面体的高为h，如图所示，第15页共25页

因为球O与四棱锥相内切，所以由等体积法得：4PABCDOPADOABCDVVV−−−=+，在PADV中，22PAh=+，21212PADSh=+V，即211111224212233232hrh=++，化简得：2121hh+=−，解得，43h=，

设正四棱锥外接球的半径为R，外接球的球心为'O，在'ODEV中，224()23RR−+=，解得1712R=，所以正四棱锥外接球的表面积为2289289π4π4π14436SR===.故答案为：①43；②28936

五、解答题17．如图，四棱锥PABCD−的底面是矩形，PD⊥底面,ABCDM为BC的中点，且PBAM⊥.(1)证明：平面PAM⊥平面PBD；(2)若2PDDC==，求四棱锥PABCD−的体积.【答案】(1)证明见解析(2)82

3【分析】（1）首先根据线面垂直的判定定理证明AM⊥平面PBD，然后再根据面面垂直的判定定理即可说明平面PAM⊥平面PBD；第16页共25页（2）首先根据（1）AM⊥平面PBD的条件，可得AMBD⊥，方法

一，借助相似三角形求出BC的长度，然后再根据棱锥的体积公式进行求解即可.方法二，通过建立平面直角坐标系，利用平面向量垂直的判定条件求出BC的长度，然后再根据棱锥的体积公式进行求解即可.方法三，建立空间直角坐标系，利用空

间向量垂直的判定条件求出BC的长度，然后再根据棱锥的体积公式进行求解即可.方法四，通过向量线性运算及数量积运算求出BC的长度，然后再根据棱锥的体积公式进行求解即可.【详解】（1）因为PD⊥底面,ABCDAM平面A

BCD，所以PDAM⊥，又,PBAMPBPDP⊥=I，PB平面PBD，PD平面PBD，所以AM⊥平面PBD，而AM平面PAM，所以平面PAM⊥平面PBD.（2）方法一：相似三角形法由（1）可知AMBD⊥.于是VV∽ABDBMA，故=ADABABBM.因为1,,22BM

BCADBCAB===，所以2142BC=，即22BC=.故四棱锥PABCD−的体积18233ABCDVSPD==W.方法二：平面直角坐标系法由（1）知⊥AMDB，所以1=−AMBDkk.（或向量之积为0)建立如图所示的平面直角坐标系，设2(0)BCaa=.因为2DC=，所以()()()0

,0,2,0,0,2ABDa，()2,Ma.从而()220201200242AMBDaaaaakk−−−===−=−−−.所以2a=，即22DA=.下同方法一.方法三：空间直角坐标系法建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz−，第

17页共25页设DAt=，所以()()()()()0,0,0,0,2,0,0,0,2,,0,0,,2,0DCPAtBt.所以(),2,0,,2,2,,2,022ttMPBtAM=−=−uuuruuuur.所以240,222tAMPBt=−

+==uuuuruuur，即22DA=.下同方法.方法四：空间向量法由PBAM⊥，得0PBAM=uuuruuuur.所以()0PDDAABAM++=uuuruuuruuuruuuur.即0PDAMDA

AMABAM++=uuuruuuuruuuruuuuruuuruuuur.又PD⊥底面,ABCDAM在平面ABCD内，因此PDAM⊥，所以0PDAM=uuuruuuur.所以0DAAMABAM+=uuuru

uuuruuuruuuur，由于四边形ABCD是矩形，根据数量积的几何意义，得22102DAAB−+=uuuruuur，即21402BC−+=，所以22BC=，下同方法一.18．在ABCV中，角,,ABC的对边分别为,,

abc.已知角π,3CAB=边上的高为23.(1)若43ABCS=V，求ABCV的周长；(2)求ABCV面积的最小值.【答案】(1)12(2)43【分析】（1）由三角形面积公式可求得4c=与16ab=，又由余弦定理与整体法可求得8ab+=，由此可求得ABCV的周长；第18页共25页（2）法

一：由三角函数的定义可得12sinsinabAB=，再利用三角恒等变换求得11πsinsinsin2426ABA=+−，由此可得sinsinAB的最大值，从而得到16ab，进而求得ABCV面积的最小值；法二：利用基本不等式与余弦定

理求得16ab，从而求得ABCV面积的最小值.【详解】（1）依题意，得123432ABCSc==V，故4c=，又11sin2322ABCSabCc==V，π3C=，所以34232ab=，则16ab=，又由2222cosababCc+−=得222ab

abc+−=，因此22()364abcab+=+=，则8ab+=，故ABCV的周长为12.（2）法一：由题意可得2323,sinsinabBA==，则12sinsinabAB=，又因为22π31sinsinsinsinsincossin322ABAAAAA

=−=+()31sin21cos244AA=+−11πsin2426A=+−，因为2π03A，所以当ππ262A−=，即π3A=时，()max3sinsin4AB=，故16ab，所以ABCV的面积为13

sin4324ABCSabCab==△，所以ABCV面积的最小值为43.法二：在ABCV中由余弦定理可得，222222coscababCabab=+−=+−，又由（1）可知4abc=，即4abc=，所以22

2216abababab=+−，解得16ab，当且仅当4ab==时，等号成立.所以13sin4324ABCSabCab==△，所以面积最小值为43.19．已知正项等差数列na的前n项和为nS，且1141,1

nnnSaaa+=+=.(1)求数列na的通项公式；(2)若1232nnnnnbaa++=，求数列nb的前n项和为nT.【答案】(1)21nan=−第19页共25页(2)()11.221nnT

n=−+【分析】（1）法1：利用数列是等差数列，计算2a后，计算公差，即可求数列的通项；法2：利用2n时，1nnnaSS−=−，化简求数列的递推关系114nnaa+−−=，再根据奇数项和偶数项求数列的通项公式；（2）首先根据（1）的结果，化简数列nb的

通项公式()()2322121nnnbnn+=−+，再利用裂项相消法求和.【详解】（1）法1：Q数列na为等差数列，且前n项和为nS满足1141,1nnnSaaa+=+=.2213,2adaa==−=，数列na通项公式为21nan=−.法2：11112241,1,

413nnnSaaaSaaa+=+==+=Q.当2n时，1111141,44nnnnnnnnnSaaSSaaaa−−−+−=+−=−，()114nnnnaaaa+−=−，110,4nnnaaa+−−=

Q.数列na的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列，偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列.212,naaa−=Q为等差数列，通项公式为21nan=−.（2）()()()()11232311222121221221nnnnnnnnn

baannnn−+++===−−+−+Q，()()0112111111121232325221221nnnTnn−=−+−++−−+L.()11.221nn=−+20．如图，在直四棱柱1111ABCDABCD−中，四边形ABC

D是个个边长为2的菱形，160,3DABDD==o，设E是1DB的中点.第20页共25页(1)求二面角1EDCD−−的大小；(2)在线段1DC上是否存在一点P使得AEP平面PDB？若存在，请求出11DPDC的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)π6

(2)存在，1123DPDC=【分析】（1）设M是AB的中点，以DM为x轴，DC为y轴，1DD为z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可；（2）几何法：连接,ACBD相交于点O，连接EC，设N是EC的中点，再连接ON，由三角形的中位线证明线线平行，进而即可证明线面平面；空间向

量法：设11DPDC=，由直线的方向向量和平面的法向量垂直求即可.【详解】（1）由题意，ADBV是正三角形，设M是AB的中点，则DMAB⊥，所以DMDC⊥，又1DD⊥平面ABCD，,DMDC平面ABCD，所以1,,D

DDMDC两两垂直，如图，以DM为x轴，DC为y轴，1DD为z轴建立空间直角坐标系：则()()()3130,0,0,0,2,0,3,1,0,,,222DCBE，第21页共25页显然，平面1DCD的一个法向量是()1,0,0

m=ur，设平面EDC的一个法向量为()()313,,,,,,0,2,0222nxyzDEDC===ruuuruuur，则313022220nDExyznDCy=++===uuurruuurr，解得(3,0,1)n=−r，设二面角1ED

CD−−的平面角为，则()()222133cos2311mnmn===+−urrurr，由图可知二面角1EDCD−−的平面角为锐角，所以π6=.（2）在线段1DC上存在点P使得AEP平面PDB，此时1123DPDC=.论

证如下：方法1几何法如图2甲连接,ACBD相交于点O，连接EC，设N是EC的中点，再连接ON，又菱形ABCD中，点O是对角线AC的中点，由中位线知：AEON∥，连接BN并延长交1DC于点P，连接PD，因为AE平面,PDBON平面PDB，所以AEP平面PDB.如

图乙，在1DBC△中，作1EFDC∥交BP于点F，因为E是1DB的中点，所以由中位线关系得：112EFDP=，①.又由1EFDC∥可得：EFNV与CPN△相似，又N是EC的中点，第22页共25页所以EFPC=，结合①知：12DPPC=，从而可得1123DPDC=

.法2：空间向量法设11DPDC=，即有11DPDC=uuuuruuuur，因为()()10,0,3,0,2,0DC，所以()0,2,33P−+，又()()0,0,0,3,1,0DB，于是()()0,2,33,3,1,0DPDB=−+=uu

uruuur，.设平面PBD的一个法向量为(),,axyz=r，则2(33)030aDPyzaDBxy=+−+==+=uuurruuurr，令3x=，得23,3,1a=−−r，因为()13,1,0,ADB−的中点为313,,22

2E，所以333,,222AE=−uuur，因为AEP平面PDB，所以AEa⊥uuurr，即33323932,,3,3,022212221AEa=−−=−−+=

−−uuurr，解得23=，即线段1DC上存在点P使得AEP平面PDB，此时1123DPDC=.21．设函数()()ln1exfxxax=−−，其中10,ea，设0x为()fx的极值点，1x为()fx的零点，且10xx.(1)求()

0fx取值范围；(2)证明：0132xx−.（注：e2.71828=L是自然对数的底数）【答案】(1)()0,+；(2)证明见解析.【分析】（1）利用导数分析函数()fx的单调性，可得出0201exax=，

构造函数()21exhxx=，分析函数()hx在()0,+上的单调性，可得出01x，可得出()0020011lnfxxxx=−+，利用导数求出函数第23页共25页()211lnpxxxx=−+在()1,+上的值域，即为()0fx的取值范围；（2）由()()0100f

xfx==整理可得102011lne1xxxxx−=−，证明出当1x时，ln1xx−，可得出1020exxx−，在不等式的两边取对数可证得结论成立.【详解】（1）解：因为10,ea，因为()()ln1exfxxax=−−，该

函数的定义域为()0,+，()1exfxaxx−=，令()1exgxaxx=−，其中0x，则()()211e0xgxaxx=−−+，所以，函数()fx在()0,+单调递减，且10,ea，则1ea，因为()11e0fa=−，11

1e1e0aafaaaa=−=−，所以，存在唯一的011,xa，使得()00001e0xfxaxx=−=，即0201exax=，令()21exhxx=，其中0x，则()3

20exxhxx+=−，所以，函数()21exhxx=在()0,+上为减函数，且()11eh=，所以020110,eexax=，可得01x，所以，()()000000022000111ln1elnlnxxfxxaxxxxxx

−=−−=−=−+，令()211lnpxxxx=−+，1x，则()223311220xxpxxxxx+−=+−=，所以，函数()px在()1,+上单调递增，故()()010pxp=，所以，()

0fx的取值范围是()0,+.（2）解：由题意，()()()010001111e0ln1e0xxfxaxxfxxax=−==−−=，从而1011201lnexxxxx−−=，即102011lne1xx

xxx−=−.当1x时，令()ln1txxx=−−，则()1110xtxxx−=−=，所以，函数()tx在()1,+上为减函数，则()()ln110txxxt=−−=，所以当1x时，ln1xx−.第24页共25页又因为101xx，故()1020

12011e1xxxxxx−−=−.两边取对数，得1020lnelnxxx−，于是()10002ln21xxxx−−.整理得0132xx−.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造

函数法：证明不等式()()fxgx（或()()fxgx）转化为证明()()0fxgx−（或()()0fxgx−），进而构造辅助函数()()()hxfxgx=−；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利

用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.22．设()ln()1xaxfxx+=+，曲线()yfx=在点(1,(1))f处的切线与直线210xy++=垂直.（1）求a的值；（

2）若[1,)x+，()(1)fxmx−恒成立，求m的取值范围；（3）求证：*421ln21()41niinnNi=+−.【答案】(1)0；(2)12m；(3)证明见解析.【分析】（I）由题得1(1)2f=

解得0a=；（II）由[1,),()(1)xfxmx+−得1ln()xmxx−，构造函数1()ln()gxxmxx=−−，本题转化成[1,),()0xgx+，求导得22211()(1)mxxmgxmxxx−+−=−+=

，对m进行分类讨论，得12m；（III）令*21,21Nkxkk+=−，是21[ln(21)ln(21)]441kkkk+−−−，对m进行赋值对应相加得211ln(21)441niini=+−，即421ln21(N

*)41niinni=+−.【详解】（Ⅰ）因为2(ln)(1)()ln()(1)xaxxxaxxfxx+++−++=，由题设1(1)2f=，所以2(1)142a+=，所以0a=．（Ⅱ）ln()1xxfxx=+，[1,)

,()(1)xfxmx+−恒成立，即1ln()xmxx−，设1()ln()gxxmxx=−−，即[1,),()0xgx+，而22211()(1)mxxmgxmxxx−+−=−+=，①若0m，()0gx，()(1)0gxg=，这与题设矛盾；②若0

m，方程20mxxm−+−=根的判别式214m=−，第25页共25页当0，即12m时，()0gx所以()(1)0gxg=，即不等式成立．当102m时，方程其根2111402mxm−−=，2211412mxm+−=；当2(

1,)xx时，()0gx，()gx单调递增，则()(1)0gxg=，与题设矛盾．综上，12m（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当1x时，12m=时，11ln()2xxx−成立，不妨令*21,21Nkxkk+=−，所以

221121214ln()212212141kkkkkkkk++−−=−−+−，即21[ln(21)ln(21)]441kkkk+−−−∴22211[ln3ln1]441112[ln5ln3]{44211[ln(21)ln(21)]441nnnn

−−−−+−−−，累加得：211ln(21)441niini=+−，即421ln21(N*)41niinni=+−．【解析】导数的几何意义、导数与函数的单调性、构造法.