【文档说明】2023届山东省淄博市部分学校高三上学期12月教学质量摸底检测数学试题解析版.doc，共(17)页，1.556 MB，由小喜鸽上传

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第1页共17页2023届山东省淄博市部分学校高三上学期12月教学质量摸底检测数学试题一、单选题1．已知xR，i是虚数单位，且2iix−+是纯虚数，则ix+=（）A．52B．22C．5D．2【答案】A【分析】根据复数的除法运算得到222i21

2ii11xxxxx−−+=−+++，再由纯虚数的概念得到12x=，结合复数的模的定义即可求解.【详解】因为xR，i是虚数单位，所以()()()()()222222ii22ii2i212iiiii11xxxxxxx

xxxx−−−++−−+===−++−−++，又2iix−+是纯虚数，则222101201xxxx−=++−+，解得：12x=，所以22115ii1222x+=+=+=，故选：A.2．已知集合()3log1Axyx==−，22x

Byy==−，则()RAB=ð（）A．)0,+B．)1,+C．(2,1−D．()2,1−【答案】C【分析】先分清楚集合,AB，然后再进行集合的运算即可.【详解】对于集合A：()(R10,1,1,,1,xxAA−=+=−ð；对于集合B：()

()(R22,2,,2,2,1xABByy=−−=−+=−ð；故选：C3．已知数列na是等比数列，且22a=，3564aa=，则公比q=（）A．2B．2或2−C．2−D．2或2−【答案】B第2页共17页【分析】根据等比数列的通项公式11nnaaq−=，

代入解方程即可.【详解】因为等比数列na的通项公式11nnaaq−=所以21aaq=,231aaq=，231aaq=又因为22a=，3564aa=即()()12431111264aqaqaqaqqaqq===

所以2q=.故选：B4．已知角α的顶点与坐标原点O重合，角的始边与x轴非负半轴重合，点P是α的终边与单位圆的交点．若OPuuur在x轴上的投影向量的坐标为1,03，则cos2=（）A．79B．79−C．29D．29−【答案】B【分析】由投影

向量的坐标可得点P横坐标，根据三角函数的定义，求得cos，二倍角公式求出cos2.【详解】若OPuuur在x轴上的投影向量的坐标为1,03，则点P横坐标为13，点P是α的终边与单位圆的交点，有1cos3=，∴2217cos22cos12139=−=−=−.故选

：B5．若命题p：“0x，240xax−+”是真命题，则实数a的取值范围是（）A．4aB．2aC．4aD．2a【答案】C【分析】利用基本不等式求实数a的取值范围.【详解】由题可知，240xax−+，则

有24xax+，因为0x，所以4xax+，因为4424xxxx+=，当且仅当4xx=即2x=时等号成立，所以4a，故选:C.6．函数()()0fxkxk=与函数()cos233lg3xgxxx+=+−的图象交于不同的两点A，B.若点(),Dmn满足第3页共1

7页2DADB+=uuuruuur，则mn+的最大值是（）A．2B．22C．3D．23【答案】A【分析】先根据函数()yfx=和函数()ygx=的奇偶性得到A和B两点关于原点对称，再利用这个结论结合2DADB+=uuuruuur得到含有m和n这两个未知量的等式，再利用基本不等

式求最值即可.【详解】因为()()0fxkxk=是一次函数，且函数图象过原点，所以()()0fxkxk=的图象关于原点对称，为奇函数，函数()cos233lg3xgxxx+=+−的定义域为()()3,00,3−U，关于原点对

称，()()()()1cos23cos23cos23333lglglg333xxxgxgxxxxxxx−−+++−===−=−−+++−−，所以函数()ygx=为奇函数，函数()ygx=的图象关于原点对称.又因为函数()()0fxkxk=与函数()cos233lg3xgxxx

+=+−的图象交于不同的两点A和B，所以A和B关于原点对称，设()00,Axy，则()00,Bxy−−，因为(),Dmn，所以()00,DAxmyn=−−uuur，()00,DBxmyn=−−−−uuur，所以()2,2DADBmn+=−

−uuuruuur，因为2DADB+=uuuruuur，所以()()22222mn−+−=，即221+=mn，因为()2222221212mnmnmnmnmn+=++=+++=，所以2mn+，当且仅当22mn=

=时等号成立.故选：A.7．已知定义在R上的函数()fx和()gx，()gx导函数()gx的定义域也为R．若()gx为偶函数，()()50fxgx−+=，()()450fxgx−−−=，则下列不正确的是（）A．()45f=B．()00g=C

．()()131ff−+−=D．()()1310ff+=【答案】C第4页共17页【分析】容易分析知()gx在y轴两侧的一段区域内单调性相反，()'00g=；再经过赋值法可以依次判断ACD是否正确.【详解

】依题意：()gx为偶函数，()gx导函数()gx的定义为R，()'00g=，B对；令4x=代入()()()()450,4055,fxgxfg−−−==+=A对；又()()()()450,450,fxgxfxgx−−−=−−−=又()()50fxgx−

+=，()()()()410,1310,fxfxff+−=+=D对；又()gx为偶函数，()'gx为奇函数；由()()()()()()50,40,450fxgxgxgxfxgx+−=+−=−−−=又()()''gxgx=−−

，()()()()'4,4,5gxgxTfxgx=+==−也为周期为4的函数，()()()()133110,ffff−+−=+=C错；故选：C8．已知1sin101a=，ln1.01b=，0.01

1ce=−，则下列关系式正确的是（）A．abcB．bacC．cabD．cba【答案】D【分析】构造新的函数，()e1,xfxx=−−，()ln(1)gxxx=+−，()ln(1)sin1xhxxx=+−+，求导

判断函数的单调性，即可比较大小.【详解】设函数()e1,(0)xfxxx=−−，则()e1xfx=−，当0x时，'()0fx，所以()fx在(0,)+上单调递增，当0x时，()(0)0fxf=，即1xex−，所以0.01e10.

01−.设函数()ln(1)gxxx=+−，(0)x，则'1()101+1xgxxx−=−=+，所以()gx在(0,)+上单调递减，当0x时，()(0)0gxg=，所以当0x时，ln(1)xx+，即ln1.010.01b=，所以cb.设()

ln(1)sin1xhxxx=+−+，(0)x，则'21111()cos()(1cos)1+1(1)11+1xxhxxxxxxx=−−=+++++，当0x时，'()0hx，所以()hx在(0,)+

上单调递增，所以当0x时，()(0)0hxh=，即ln(1)sin1xxx++，(0)x，第5页共17页所以0.011ln1.01sinsin10.01101=+，所以ba，故cba.故选：D二、多选题9．已知函数()()sinfxAx=+

（0A，0，2）的部分图象如图，则（）A．函数解析式()2sin26fxx=+B．将函数2sin26yx=−的图象向左平移4个单位长度可得函数()fx的图象C．直线1112x=−是函数()fx图象

的一条对称轴D．函数()fx在区间,02−上的最大值为2【答案】BC【分析】根据图像得到解析式，利用函数的性质进项判断各选项即可.【详解】由题图知：2A=，函数()fx的最小正周期满足354612T=−，即T=

，则22==，所以函数()()2sin2fxx=+．将点,212代入解析式中可得22sin6=+，即πsinφ16骣琪+=琪桫，则()2Z62kk+=+，得()2Z3kk=+，因为2，所以

3=，因此()2sin23fxx=+，故A错误；将函数2sin26yx=−的图像向左平移4个单位长度可得函数()2sin22sin2463fxxx=+−=+的图像，故B正确；由()2s

in23fxx=+，当1112x=−时，()2fx=，故C正确；当,02x−时，22,333x+−，所以3sin21,32x+−，第6页共17页即()2,3fx−，即(

)fx最大值为3，故D错误．故选：BC．10．甲盒子中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙盒子中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲盒子中随机取出一球放入乙盒子，分别以1A，2A和3A表示由甲盒子取出的球是红球，白球和黑球的事件；

再从乙盒子中随机取出一球，以B表示由乙盒子取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（）A．1A，2A，3A是两两互斥的事件B．()25PB=C．事件B与事件1A相互独立D．()1511PBA=【答案】AD【分析】根据1|BA

的意义可求其概率，从而可判断D的正误，根据全概率公式可计算()PB，故可判断B的正误，根据独立事件的乘法公式和互斥事件的定义可判断AC的正误.【详解】()()()12351213,,10210510PAPAPA=====，又()()()123544|,|,|111111PBAPBAPBA

===，故D正确.故()()()()()()112232()|||PBPBAPAPBAPAPBAPA=++5141439112115111022=++=，故B错误.()()()()()11119195,|2224422PBPAPBAPBAPA====，故()()()11PBPAPBA

，所以事件B与事件1A不相互独立，故C错误，根据互斥事件的定义可得123,,AAA两两互斥，故A正确.故选：AD11．下列命题是真命题的有（）A．分层抽样调查后的样本中甲、乙、丙三种个体的比例为3：1：2，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30B．某一组

样本数据为125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，则样本数据落在区间[114.5，124.5]内的频率为0.4C．甲、乙两队队员体重的平均数分别为60，68，人数之比为

1：3，则甲、乙两队全部队员体重的平均数为67D．一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的85%分位数为5【答案】BD第7页共17页【分析】根据分层抽样的性质判断A选项；利用落在区间114.5,124.5内的个数除以总数计算概率，即可判断B选项；由甲、乙两

队的人数比，计算出两队在所有队员中的所占权重，然后利用平均数的计算公式，即可判断C选项；由百分位数的性质，即可判断D选项.【详解】对于选项A：根据样本的抽样比等于各层的抽样比，样本容量为3918312=++，故选项A错误；对于选项B：样本

数据落在区间114.5,124.5内的有120，122，116，120共4个，所以样本数据落在区间114.5,124.5内的频率为.40410=，故选项B正确；对于选项C：甲、乙两队的人数之比为1:3，则甲队队员在所有队员中所占权重为11134=+，乙队

队员在所有队员中所占权重为33134=+，则甲、乙两队全部队员体重的平均数为1360686644x=+=，故选项C错误；对于选项D：将该组数据从小到大排列为：1，2，2，2，3，3，3，4，5，6，由1085%8.5=，则该

组数据的85%分位数是第9个数，该数为5，故选项D正确.12．小明和小童两位同学玩构造数列小游戏,规则是:首先给出两个数字1,10,然后小明把两数之积插入这两数之间得到第一个新数列1,10,10,再然后小童把每相邻两项的积插入此两项之间,得到第二个新数列1,10,10,100,10,

如此下去,不断得到新数列．假设第n个新数列是:121,,,,,10kxxx记:12110nkaxxx=,则下列结论成立的是（）A．14310a=B．12nk+=C．3110nnaa+=D．6012

3410aaaa=【答案】ABC【分析】根据数列的新定义,写出前4项,即可判断选项AD的正误,再根据新定义找到项数,k,na与第几个数列之间的关系,利用数学归纳法即可判断选项B的正误,根据1na+和na之间的联系即可得到选项C的正误.【详解】解:由题可知:第一个新数列为:1,10,

10,项数为:3,211,10ka==,第二个新数列1,10,10,100,10,由于第二个新数列的得到是第一个数列的基础上,相邻两项积插入,故项数为:325+=,52523,10ka=−==,第8页共17页

第三个新数列1,10,10,100,10,1000,100,1000,10,故项数为:549+=,143927,10ka=−==,第四个新数列1,10,10,100,10,1000,100,1000,10,10000,1000,100000,100,100000,1000,10

000,10,故项数为:9817+=,41417215,10ka=−==,故选项A正确;不妨记第n个数列时，k为nk,当1n=时,即第一个数列时,满足11k=,不妨假设当nm=时,即第m个数列时满足12mmk+=,且数列有2mk+项,则当1nm=+

时,即第1m+个数列时,数列的项数有2123mmmkkk+++=+项,此时112322121mmmmkkk++=+−=+=−,满足12nk+=,故选项B正确;由于新数列是将两数之积插入这两数之间得到,且12110nkaxxx=,故在1na+中比na多出来的部分12,

,,kxxx需要乘2次,1,10需要乘一次,再加上乘以na,故有()3211211010nnknaaxxxa+==,即3110nnaa+=,故选项C正确;由选项A中可知:251441123410,10,10,10aaaa====,62123410aaaa

=,故选项D错误.故选:ABC三、填空题第9页共17页13．已知函数()fx是定义在R上的周期为2的奇函数．当01x时，()2fxx=，则()()944ff−+=______．【答案】8−【分析】根据()()2(),()(),00fxfxfxfxf+==−=−解决即可.【详解】由题知

，函数()fx是定义在R上的周期为2的奇函数，所以()()2(),()(),00fxfxfxfxf+==−=−因为当01x时，()2fxx=，所以()()()9118444fff−=−=−=−，()()()4200fff===，所以()()9484ff

−+=−.故答案为：8−14．已知π0,4,且()π3sin45−=,则tan=______.【答案】17【分析】根据已知条件和同角三角函数基本关系式求出()πcos4−,πtan4

−的值,因为ππ44=−−,利用两角差的正切公式即可求解.【详解】Qπ0,4,ππ0,44−,又()π3sin45−=,22ππ34cos1sin14455

−=−−=−=,则π3tan44−=,31ππ14tantan344714−=−−==+.故答案为:17.15．()()2511axx+−的展开式中，4x项的系数为35，则实数a的值为______．第

10页共17页【答案】1−或3【分析】根据二项式定理的通项公式，分别求出含有4x项的系数，利用系数为35，列出方程即可求解.【详解】解：由二项式定理的通项可得，()()222023222242554C1C11021axxaxxax−==，()()

()1311323425543C1C1220321axxaxxax−=−=−，()()0402414425C1C1155axxxx−==，因为4x项的系数为35，所以21020535aa−+=，整理得2230aa−−=，解

得1a=−或3a=，故答案为：1−或3.16．设0a，0b，若关于x的方程22xaxab−++=恰有三个不同的实数解1x，2x，3x，且123xxxb=，则ab−的值为______．【答案】4825−##1.92−【分析】

设()22fxxaxa=−++，xR，由()()fxfx−=得其为偶函数，则根据()fxb=解的情况得20x=，310xx=−，()022fab==，再对x分类讨论去绝对值，求解()322fxa=，即可解出a，b，得出ab−的值.【详解】设()22fxxaxa=

−++，xR，则()()2222fxxaxaxaxafx−=−−+−+=++−=，∴()fx为偶函数，则()fxb=恰有三个不同的实数解1x，2x，3x，结合偶函数对称性，显然20x=，310xx=−，则()022fab==，以下讨论,()0x+上()fx性质确定3x：当02xa

，()222242422fxaxaxaaxa=−++=+−；当2xa，()2222224fxxaxaxxa=−++=+−单调递增，第11页共17页由()322fxa=得：3522xaa=，则52ba=，联立22ab=，解得3216,25

5ab==，故4825ab−=−.故答案为：4825−四、解答题17．为了解患某种疾病A与某种生活习惯B是否有关．某社区所在地随机调查了500位居民，结果如下：有疾病A病历无疾病A病历有生活习惯B40160无生活习惯B30270(1)估计该地区居

民中，有疾病A病历的比例；(2)根据小概率值0.01=的独立性检验，分析有生活习惯B是否会增加患某种疾病A的风险．附：()()()()()22nadbcabcdacbd−=++++，α0.0500.010.0013.8416.63510.828【答案】(1

)750(2)答案见解析.第12页共17页【分析】对于（1），利用500人中有疾病A的比例，估计该地区居民中有疾病A病历的比例；对于（2），由表中数据计算出2，比较2与6.635大小即可得答案.【详解】（1）在500人中，有70人有疾病A病历，则估计该地区居民中有疾病A病历的比例为：

70750050=.（2）由表中数据，()2250040270301609.9676.63570430200300−=.故在犯错几率不超过1%的前提下，可以认为有生活习惯B会增加患某种疾

病A的风险．18．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若2BCBAACABCACB+=uuuruuuruuuruuuruuuruuur．(1)求sinsinAC的值；(2)若2cos2aCbc=−，求cos

B的值．【答案】(1)2(2)32108−【分析】（1）利用数量积定义式，整理等式，利用余弦定理以及正弦定理，可得答案；（2）根据余弦定理整理等式，求得cosA，利用同角平方式，结合诱导公式以及余弦和角公式，

可得答案.【详解】（1）由2BCBAACABCACB+=uuuruuuruuuruuuruuuruuur，则cos2coscosBCBABACABACACBC+=uuuruuuruuuruuuruuuruu

ur，设,,ABcACbBCa===，则cos2coscosacBbcAbaC+=，根据余弦定理，可得2222222222222acbbcaabcacbcabacbcab+−+−+−+=，化简可得22ca=，根据正弦定理可得：2sin2sinCA=，则sin2si

nAC=.（2）由2cos2aCbc=−，根据余弦定理，可得222222abcabcab+−=−，整理可得222bcabc+−=，则2221cos22bcaAbc+−==，23sin1cos2AA=−=，由sin2sinAC=，则6sin4C=，由3624

，则sinsinAC，根据正弦定理，可得ac，即AC，故210cos1sin4CC=−=，()coscoscoscossinsinBACACAC=−+=−+11036321024248−=−+=.19

．已知函数()()32111212322fxaxaxx=+−−−．(1)当3a=时，求曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程；(2)若a<0，讨论()yfx=的单调性．第13页共17页【答案】(1)650xy−−=(2)答案见解析【分析】（1）先将3a=代入得到()

yfx=，并求出()1f的值，再利用导数的几何意义求出切线方程的斜率，然后通过直线的点斜式方程即可写出切线方程.（2）先求出()yfx=的导函数并进行因式分解，可得到一个含参的二次式，然后对参数进行分类讨论即可得到函数()yfx=的单调性.【详解】（1）因为3a=，所以(

)3251222fxxxx=+−−，所以()32511112122f=+−−=，因为()2352fxxx=+−，所以切线方程的斜率为()21315126f=+−=，又因为切线方程过点()1,1，所以切线方程为()161yx−=−，即650xy

−−=，故当3a=时，曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程为650xy−−=.（2）因为()()32111212322fxaxaxx=+−−−的定义域为(),−+，()()()()221221fxaxaxxax=+−−=+

−，令()0fx=，解得2x=−或1xa=，当12a=−时，即12a=−，()()()211212022fxxxx=+−−=−+，所以函数()yfx=在区间(),−+上单调递减；当12a−，即102a−时，令()0fx，解得1xa或2x−，所以函数()yf

x=在区间1,a−和()2,−+上单调递减，令()0fx，解得12xa−，所以函数()yfx=在区间1,2a−上单调递增；当12a−，即12a−时，令()0fx，解得<2x−或1xa，所以函数()yfx=在区间(),2−−和1,a+上单

调递减，令()0fx，解得12xa−，所以函数()yfx=在区间12,a−上单调递增.综上所述，当12a=−时，函数()yfx=在区间(),−+上单调递减；当102a−时，函数()yfx=在区间1,a−

和()2,−+上单调递减，在区间1,2a−上单调递增；第14页共17页当12a−时，函数()yfx=在区间(),2−−和1,a+上单调递减，在区间12,a−上单调递增.20．已知数列

na,()()*112nnnanan+=−+N.(1)求证:数列na为等差数列;(2)若24a=,数列()()224,212,2nnnnankkNaabnkkN+=−==,记数列nb的前2n项和为

2nT,求2nT.【答案】(1)见解析过程(2)()441213nnn+−+【分析】(1)由已知结合等差中项的定义证明即可;(2)根据(1)得到2nan=,代入可得数列nb的通项公式,再根据裂项求和的方法和等比数列求和

公式即可得到结果.【详解】（1）由()()*112nnnanan+=−+N①,得12(1)2nnnana+++=+②,②−①得:()121(1)1nnnnnananana++++−=−−,即122nnnaaa++=+,数列na为等

差数列.（2）设数列na的公差为d,当1n=时,12a=,又24a=,且数列na为等差数列,212daa=−=,()()112122naandnn=+−=+−=,()()()()22441111,2122222222,2nnnnannk

kNaannnnnnbnkkN+===−=−+++===,则()()21321242nnnTaaaaaa−=+++++++LL()242111111122223352121nnn

=−+−++−++++−+LL()()221411414122114213nnnnn−=−+=+−+−+第15页共17页()441213nnn=+−+.21．世界杯期间，明星队和火车头队相遇，双方要打n（n为奇数）场比赛，某球队至少有一半的场次赢球即为战胜对方球队

，其中明星队每场赢球的概率为(01)pp，各场比赛间相互独立．(1)若11n=，0.6p=，估计明星队赢球多少场；(2)对任意的正整数k，找出p的范围使得21nk=+比21nk=−对明星队更合算．【答案】(1)6.6(2)112p【分析】（

1）利用二项分布可求估计明星队赢球6.6场；（2）令表示“明星队在21k−场比赛中赢球的场数”，21kP−表示21k−场比赛中明星队战胜对方球队，21kP+表示21k+场比赛中明星队战胜对方球队，则可由题设得到()()()222111(1)1kPPkPkp

Pkp+=++=−−+=−，再根据21210kkPP+−−可求p的范围.【详解】（1）设明星队赢球场数为X，由题设由()11,0.6XB:，故()110.66.6EX==，故估计明星队赢球6.6场.（2）令表示“明星队在21k−场比赛中赢球的场

数”，21kP−表示21k−场比赛中明星队战胜对方球队的概率，21kP+表示21k+场比赛中明星队战胜对方球队的概率，其中()()()211kPPkPkPk−===++，在21k+场比赛中比赛中，明星队战胜对方球队，由以下3个互斥事件

构成：（ⅰ）1k+；（ⅱ）k=，且余下两场比赛中，明星队至少胜一场；（ⅲ）1k=−，且余下两场比赛中，明星队全胜；故()()()()22211?111?kPPkPkpPkp+=++=

−−+=−，所以()()()2221211?·1kkPPPkpPkp+−−==−−=−211212121C(1)(1)C(1)kkkkkkkkpppppp−−−−−=−−−−21C(1)(1)kkkkpppp−=−−−第16页共17页21

C(1)(21)kkkkppp−=−−，若21210kkPP+−−，则112p.故当112p时，有对任意的正整数k，使得21nk=+比21nk=−对明星队更合算．22．已知函数()1lnfxaxxx=−+，Ra．(1)若(0,1x，函数()0fx恒成立，求

a的取值范围；(2)证明：对*Nn，()()1111ln12321nnnn++++−++．【答案】(1)2a；(2)证明见解析．【分析】（1）求出导函数()fx，分类讨论确定()fx的正负得函数单调性，由函数在(0,1]上的最

小值不小于0即可得；（2）在（1）的讨论中得出2a=，1x时，()(1)0fxf=，从而得11ln()2xxx−，此函数不等式中令11xk=+得1111ln(1)()21kkk+++，然后让k分别取1,2,,nL得n个不等式相加后可证题设不等式．【

详解】（1）22211()1axaxfxxxx−+=−−=−，0a时，()0fx恒成立，()fx在(0,1]上递减，又(1)0f=，因此(0,1x，()0fx恒成立，02a时，240a=−，()0fx恒成立，()f

x在(0,1]上递减，又(1)0f=，因此(0,1x，()0fx恒成立，2a时，240a=−，210xax−+=有两根12,xx，且120xxa+=，121=xx，因此不妨设1201xx，当11xx时，()

0fx，()fx递增，因此()(1)0fxf=，与题意不合，综上，2a．（2）由（1）知2a=时，()fx在(0,)+上是减函数，因此1x时，()(1)0fxf=，11ln()2xxx−，令11xk=+，N*k，则111111ln(1)()()2121kkkkkkk++−

=+++，令1,2,3,,kn=L，第17页共17页11ln(11)(1)22++，1111ln(1)()2223++，L，1111ln(1)()21nnn+++，然后相加得11111111ln2ln(1)ln(1)()2223

21nnn+++++++++++LL，∴111ln(1)1232(1)nnnn+++++−+L．【点睛】方法点睛：用导数研究函数不等式恒成立问题，一般有两种方法：（1）用分离参数法变形不等式转化为求新函数的最值，从而得出参数范围；（2）直接求函数的导数，由导

数确定函数的单调性，得函数最值，然后由函数最值满足的不等关系得参数范围．