【文档说明】2023届山西省部分学校高三上学期12月质量检测数学试题解析版1.doc，共(16)页，1.794 MB，由小喜鸽上传

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第1页共16页2023届山西省部分学校高三上学期12月质量检测数学试题一、单选题1．已知集合1|0,}3xAxxx+=−Z，则集合A的真子集的个数为（）A．16B．15C．32D．31【答案】B【分析】先

求出不等式的解集确定集合中元素，然后求出真子集的个数即可.【详解】不等式103xx+−可化为(1)(3)030xxx+−−，解得：13x−，所以集合1|0,}{|13,}1,0,1,23xAxxxxxx+==−=−−ZZ则其真子集的个

数为42115−=.故选：B.2．已知向量ar，br满足2a=r，()1,3b=r，且4ab=rr，则向量ar，br夹角的余弦值为（）A．55B．255C．105D．1010【答案】C【分析】先由平面向量模的坐标表示求得br，再利用平面向量数量积

与模求得向量ar，br夹角的余弦值.【详解】依题意，设ar与br夹角为，因为1910b=+=r，2a=r，4ab=rr，所以410cos5210abab===rrrr.故选：C.3．在()432111xx++的展开

式中，常数项为（）A．12B．13C．15D．18【答案】B【分析】311x+展开式中有31x项，21x项，1x项与常数项.第2页共16页()421x+展开式中有8x项，6x项，4x项，2x项与常数项.则()432111xx++的展开式中常数项为3

11x+中21x项系数与()421x+展开式中2x项系数乘积与两式中常数项乘积之和.【详解】33233012311111CCC1xxxx+=+++，()()()()()4432120212223244441CCCC1xxxxx+=+

+++，故常数项为1323421CC113xx+=.故选：B.4．“m=0是“直线()12110mxmly+−+=：与直线()22110lmxmy+−−=：之间的距离为2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析

】根据平行线间的距离公式可得0m=或45m=，进而根据充分与不必要条件的定义判断即可.【详解】两条平行线间的距离()2212(21)1dmm==+−−−，即2540mm−=，解得0m=或45m=，即“0m=”是“两直线间距离为2”的充分不必要条件.故选：A.5．已知双曲线C1：2221(0)4xy

tt−=与双曲线C2：2221yxt−=的离心率分别为e1，e2，则e1e2的最小值为（）A．154B．94C．52D．32【答案】D【分析】由双曲线方程，把离心率表示出来，再利用基本不等式求最小.，【详解】易知22144te+=，22221tet+=，则(

)()()222212224115444ttteett++==++，由基本不等式，()2212215159244444teet=+++=，当且仅当2214tt=，即2t=时等号成立，故12ee的最小值为32.故选：D.第3页共16页6．已知函数()πsin6fxx=+（其中

0）在π06，上单调递增，在ππ32，上单调递减，则的取值范围为（）A．(01，B．(02，C．12，D．()12，【答案】C【分析】利用()fx在π06，上单调递增，在ππ32，上单调递减得到π6x+的范围可得答案.【详解】

当π0,6x时，ππππ,6666++x，所以πππ662+，解得2，当ππ,32x时，πππππ63626，+++x，因为2，所以ππ7π266+，所以πππ362+，解得1，综上所述，12.故选：

C.7．在正三棱锥P－ABC中，O为△ABC的中心，已知AB=6，∠APB=2∠PAO，则该正三棱锥的外接球的表面积为（）A．49πB．36πC．32πD．28π【答案】A【分析】设侧棱长为x，由x求得APB和PAO的余弦值，利用二倍角

公式可求得x，从而求得棱锥的高AO，设球心为M，球半径为R，表示出MO，然后由勾股定理可求得R，得球表面积．【详解】设侧棱长为x，且易知2362332OA==则23cosOAPAOPAx==，222223618cos2xxxAPB

xx+−−==因为2APBPAO=，则coscos2APBPAO=,所以222231821xxx−−=，解得21x=，所以223OPPAOA=−=，设球心为M，则MP=MA=R，3MOR=−，因为222MA

MOOA=+，所()()222323RR=−+，解得72R=，所以表面积2449SR==，第4页共16页故选：A.8．已知函数()2lnexaxfxx−=−，其中e是自然对数的底数，若直线12yxa=−+与曲线()yfx=相切于不同的两点A，B，且A

，B的横坐标分别为12,xx()122xx，则实数a的值为（）A．2eB．e1+C．2ln2D．1ln2+【答案】D【分析】由导数的几何意义与切点的性质得到12,xx同时满足方程()12fx=−和方程()12fxxa=−+，从而推得方程12ln2xxa

+−=与2lnln2xxa−+=−，两式相加即可求得1ln2a=+，由此得解.【详解】由题意可知，12,xx同时满足方程()12fx=−和方程()12fxxa=−+，因为()221exaxxfxx−−=−，则2211e2xaxxx−

−−=−，所以()()212e2xaxxxx−−=−，因为122xx，所以12,xx满足方21e2xax−=，又12,xx满足方程21lne2xaxxxa−−=−+，所以11ln22xxa−=−+，则12ln2xx

a−=−+，又由21e2xax−=得21lnlne2xax−=，则2lnlneln2xax−−=−，即2lnln2xxa−+=−，上述两式相加得12ln2ln2ln2xxxaxa−+−+=−+−，整理得1ln2a=+，所以实数a的值为1ln2+.故

选：D.二、多选题9．已知复数z满足2ii4zz−=+，则下列说法中正确的是（）A．复数z的模为10B．复数z在复平面内所对应的点在第四象限C．复数z的共轭复数为13i−+D．20231i3z−=−【答案】AD【分析】根据

复数的四则运算和几何意义求解即可.【详解】因为2ii4zz−=+，所以(1i)42iz−=+，()()()()21i2i42i13i1i1i1iz+++===+−+−，有121310z=+=，故A正确；第5页共16页复数z在复平面内所对应的点为(1,3)，位于第一象限，故B错误；

复数z的共轭复数为13iz=−，故C错误；因为202320231ii3z−==−，故D正确，故选:AD.10．已知,满足π0π2，且253sin,cos55==−，则（）A．+B．2−C．20−

=D．tan2tan20+【答案】BCD【分析】根据平方关系求出cos,sin，再根据两角和的正弦公式即可判断A；根据两角差的余弦公式即可判断B；根据()2−=−−结合两角差的正弦公式即可判断C；根据二倍角的正切公式即可判断D.【详解】解：因为π0

π2，且253sin,cos55==−，所以54cos,sin55==，322+，则()2535425sin555525+=−+=−，所以32+，故A错误；由π0π2，得0−，()3542

55cos55555−=−+=，所以02−，则2−，故B正确；由02−，02，得222−−，()25sin5−=，()()0s5i2555252sin555

n−=−−=−=，所以20−=，故C正确；因为sinsin4tan2,tancoscos3====−，第6页共16页所以2282tan442tan243tan2,tan2161tan1431tan719−===−===−−−−，

故42444tan2tan203721+=−+=，故D正确.故选：BCD.11．已知事件,AB相互独立，则（）A．事件A与事件B不相互独立B．()(|)PAPAB=C．事件AB与事件AB互斥D．在事件B发生的条件下，事件AB与事件AB

互为对立事件【答案】BCD【分析】根据独立性和互斥性的概念以及条件概率的公式逐项分析即可求出结果.【详解】因为()()()()()()()PABPAABPAPABPAPAPB=−=−=−()()()()1PAPBPAPB=−=，因此事件A与事件B相互独

立，故A错误；因为()()()()()()(|)PABPAPBPABPAPBPB===，故B正确；因为事件,AB相互独立，由A选项证得的结论知事件A与事件B相互独立，因此AB与AB不可能同时发生，所以AB与AB互斥，故C正确；()()()()()()()()

()()|PABBPABPAPBPABBPAPBPBPB====，()()()()(())(|)()()(PAPBPABPABBPABBPAPBPBPB====，又因为()()1PAPA+=，所以在事件B发生的条件下，事件AB与事件AB互为对立事件，故D正确，故

选：BCD.12．已知抛物线()21120ypxp=）与抛物线()22220xpyp=在第一象限内的交点为()00,Pxy，若点P在圆C：()()2210108xy−+−=上，则（）A．00xy+的取值范围为2104,2104−+B．当直线OP与圆C相切时，12pp的

值为35C．12pp的最大值为7102+第7页共16页D．12pp的最小值为7102−【答案】AC【分析】由题意结合基本不等建立00xy+的不等式，解不等式可判断A；由直线与圆相切可得001210xy+=，进而可得00124xypp=的值，从而判断B；利用换元法结合

二次函数的性质可判断CD【详解】因为()()220010108xy−+−=，所以()220000210120xyxy+−++=，又000,0xy，所以()()()02200000002101222xyxyxyxy++−++=，解得002

104,2104xy+−+，即A正确；因为220100202,2ypxxpy==，所以00124xypp=，当OP与圆相切时，002222||812OPxyOC=+=−=，所以001210xy+=，所以()(

)2220000001225xyxyxy=+−+=，所以00123410xypp==，即B错误；因为()()0000020210122xyxyxy+−++=，令00txy=+，2104,2104t−+，则()020221012xyft

tt==−+，()()min102ftf==，()()()2max210421021041281028ft=+−++=+得001,41014xy+，所以010217,10442xypp=

+，即C正确，D错误，故选：AC.三、填空题13．已知菱形ABCD的边长为2，π3BAC=.将该菱形绕AB旋转一周，所形成几何体的体积为______.【答案】6π【分析】将该菱形绕AB旋转一周，所形

成几何体的等同于底面半径为3，高为2的圆柱体的体积，由圆柱的体积公式求解即可【详解】过点C作CEAB⊥交AB于点E，过点A作AFCD⊥交CD于点F，过点B作BGDC⊥交DC的延长线于点G，第8页共16页因为菱形ABCD的边长为2，π3BAC=，所以3BGCEAF===，且BGCV与A

FD△全等，将该菱形绕AB旋转一周，所形成几何体的等同于底面半径为3，高为2的圆柱体的体积，所以()2π326πV==.故答案为：6π14．已知奇函数()fx在(0,1)上单调递减，且()()4fxfx+=，则函数()fx的解析式可以为()fx=______.（写出一个符合

题意的函数即可）【答案】sin()2x−（答案不唯一）【分析】根据正弦函数的周期和单调性的性质，直接写出符合题意的解析式即可.【详解】因为()4()fxfx+=，所以奇函数()fx的周期为4，所以可得()sin2fxx

=−，01x时，022x，可知此时()fx在(0,1)上单调递减.故答案为：sin()2x−15．若函数()()2ln2fxxaxax=−+−（其中()1,x+）存在最小值，则实数a的取值范围为______.【

答案】()10−，【分析】求导后因式分解，并分类讨论极值点与区间端点的大小关系可以进一步求解.【详解】()()()121122axxfxaxaxx+−+=−+−=，()1,x+①若0a，根()0fx，()fx单调递减，无最小值，不符合

题意；②若10a−，令()0fx=，解得()1xfxa=−，在11a−，上递减，1a−+，上递增，()min1fxfa=−−，所以10a−符合题意；③若1a−，则()0fx¢>，()fx单调递增，无最小值，不

符合题意；第9页共16页综上所述：10a−.故答案为：()10−，.四、双空题16．已知数列na，若一个新数列的前n项和为nna，则称该数列为数列na的“一阶衍生数列”，记作数列()1na；同样的，若再有一个新数列的前n项和为()1nna，则称该数

列为数列na的“二阶衍生数列”，记作数列()2na；以此类推…….记()kma为数列na的“k阶衍生数列”中的第m项，已知21nan=−，则()23a=______；设数列()3na的前n项和为nS，则nS=______.【答案】17328nn++−【分析】①根据新定义求(

)32a即可；②根据新定义得到()()221121nnaa+−=−，再结合21()14a−=得到()1221nna+=+，然后再利用新定义得到()()13314213421nnnnaa++−−=−−

，结合()134210a−−=，得到()3421nna=+，最后分组求和即可.【详解】因为11a=，23a=，35a=，所以()221125aaa=−=，()3312329aaa=−=，所以()()()3213213172aaa

=−=；由题意可知，()111naa==，且()()()22112nnnaaa+=−，所以()()22121nnaa+=−，所以()()221121nnaa+−=−，又()215a=，所

以21()14a−=，所以()1212nna+−=，即()1221nna+=+，因为()()()233123nnnaaa+−=，所以()()2331322nnnaa++=−−，所以()()13314213421nnnnaa++−−=−

−，又()134210a−−=，所以()34210nna−−=，即()3421nna=+，所以()321242812nnnSnn+−=+=+−−.故答案为：①17；②328nn++−.第10页共16页五、解答题17．从①11nnnnnaabaa+

+=+；②()()11nnnnbaa+=−+；③2nnnba=三个选项中，任选一个填入下列空白处，并求解.已知数列na，nb满足0na，且11a=，11nnnnaaaa++−=，______，求数列nb的前n项和n

S.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】选①11nSn=+−，选②()111nnSn−=−+，选③()1122nnSn+=−+【分析】先根据递推公式可得1111nnaa+-=，进而得到1nan=.选①：化简可得1

nbnn=+−，直接可得nS；选②：化简可得()1111nnbnn=−++，再代入裂项求和即可；选③：2nnbn=，错位相减求和即可.【详解】因为11,1nnnnnaaaaa++−=，所以1

111nnaa+-=，又因为11a=，所以111a=，所以1nna=，1nan=.选①：()11111111nnnnnnnnnb+===+−++++，所以2132...111nSnnn=−+−+++−=+−，选②：()()()111111nnnnnbaann+

=−+=−++，所以()()11111111122311nnnSnnn−=−−++++−+=−++L，选③：22nnnnbna==，所以32222...223nnSn+++=+，41232222232...nnS

n+=++++，两式相减，可得()()()12112122222212212nnnnnnnnSn+++−=−+++=−=−+−L18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知36ab+=，π3C=.(1)若3a=，求tanB

的值；第11页共16页(2)求ABACBABC+uuuruuuruuuruuur的最小值.【答案】(1)35(2)2713【分析】（1）根据正弦定理边化角即可；（2）利用余弦定理结合已知得ABACBABC+

uuuruuuruuuruuur2134236bb=−+，利用二次函数求得最小值．【详解】（1）解：3a=Q，且36ab+=，32aba+=，3ab=，由正弦定理可知sin3sinAB=，πABC++=Q，()si

nsinπsin()ABCBC=−+=+，即πsin3sin3BB+=，ππsincoscossin3sin33BBB+=，整理得35cossin22BB=，3tan5B=；（2）解：coscosABbcAacACBABCB+=+uuuruuuruuuruuu

rQ，由余弦定理可知222222222bcaACBABacABcCb+−+−=+=+uuuruuuruuuruuur，222222coscababCabab=+−=+−Q，且36ab+=，222(63)(63)134236ABbbbbbACBABCb=−+−−=+−+uuuruu

uruuuruuur，当2113b=时，ABACBABC+uuuruuuruuuruuur的最小值为2212127134236131313−+=．19．“国际茶日”是中国首次成功推动设立的农业领城国际性节日，它的设立彰显了世界各国对中国茶文化的认可，肯定了茶叶的经济、社

会和文化价值以及在促进全球农业可持续发展中的贡献.今年，农业农村部将继续组织开展庆祝“国际茶日”有关活动，并同意于5月21日在广东省潮州市举办，组委会为大会招募志愿者，准备了3道测试题，答对两道就可以被录用，甲、乙两人报名参加测试，他们通过每道试题的概率均为(01)pp，且相互独

立，若甲选择了全部3道试题，乙随机选择了第12页共16页其中2道试题，试回答下列问题.（所选的题全部答完后再判断是否被录用）(1)求甲和乙各自被录用的概率；(2)设甲和乙中被录用的人数为，请判断是否存在唯一的p的值0p，使得()1.5E=？并说明理由.【答

案】(1)甲被录用的概率为2332pp−，乙被录用的概率为2p；(2)存在，理由见解析.【分析】（1）设用答对题目的个数为X，由题意X～B（3，p）求解；（2）易知的可能取值为0，1，2，分别求得其相应概率，求期望即可.【详

解】（1）解：设用答对题目的个数为X，由题意，得X～B（3，p）则甲被录用的概率为()3223231132PCppppp=−+=−，乙被录用的概率为22Pp=；（2）的可能取值为0，1，2，则()()12)01(1PPP==−−，()()

()1212111PPPPP==−+−；()122PPP==，∴12121212()0(1)(1)1(1)(1)2EPPPPPPPP=−−+−+−+，23223123242PPppppp=+=−+=−，设()232(01)fpppp=−，则()()2862430fppp

pp=−=−.∴当01p时，f（p）为增函数.又()00f=，()12f=，所以存在唯一的p的值p0，使得()01.5fp=，即()1.5E=.20．如图，在等腰直角三角形ABC中，4,ACBCD==是AC的中点，

E是AB上一点，且DEAB⊥.将ADEV沿着DE折起，形成四棱锥−PBCDE，其中A点对应的点为P.第13页共16页(1)在线段PB上是否存在一点F，使得CFP平面PDE？若存在，指出PFPB的值，并证明；若不存在，说明理由；(2)设平面PBE与平面P

CD的交线为l，若二面角DlE−−的大小为3，求四棱锥−PBCDE的体积.【答案】(1)存在，13PFPB=，证明见解析(2)289【分析】（1）过点C作CHED⊥，在PE上取一点M，使得13PMPE=，连接,HM

FM，可得四边形CFMH是平行四边形，即CFPHM，从而可证明；（2）延长,CDBE交于点A，连接PA，作PA的中点T，连接,TDTE，求出四棱锥−PBCDE的高，再用体积公式计算即可.【详解】（1）当13PFPB=时，CFP平面PDE，证明如下：过点C作CHED⊥，垂足为H，在PE

上取一点M，使得13PMPE=，连接,HMFM，因为11,33PMPEPFPB==，所以FMEB∥，因为D是AC的中点，且DEAB⊥，所以13CHEB∥所以CHFM∥，所以四边形CFMH是平行四边形，即CFPHM，又因为CF平面,PDEHM平面PDE，所以CFP平面PDE.（2）延长,

CDBE交于点A，连接PA，作PA的中点T，连接,TDTE，第14页共16页易知平面PBE与平面PCD的交线l即为PA，因为,,PEAEPDADT==为PA的中点，所以,PATEPATD⊥⊥，所以ETD即为二面角DlE−−的平面角，因为,,DEAEDEPEAEPEE⊥⊥=，且,AEP

E平面APE，所以DE⊥平面APE，因为DE平面ABC，所以平面ABC⊥平面PAB.因为TE平面APE，所以DETE⊥.因为3DTE=，且易知2EAEPED===，所以2633TE==，所以3cos3TE

TEAAE==，则6sin3TEA=，所以3622sinsin22333PEATEA===，所以四棱锥−PBCDE的高224sin233hPEPEA===，又四边形BCDE的面积22114(2)722S=−=，所以四棱锥−PBCD

E的体积14287339V==.21．已知椭圆C：2221(0)4xybb+=的左，右焦点分别为1F，2F，动直线l：ymxn=+与椭圆C相切，且当1m=时，7n=.(1)求椭圆C的标准方程；(2)作F1P⊥l，F2Q⊥l，垂足分别为P，Q，求四

边形F1F2QP的面积的最大值.【答案】(1)22143xy+=；(2)23.【分析】（1）根据椭圆切线的性质，结合一元二次方程根的判别式进行求解即可；（2）根据梯形的面积公式，结合对钩函数的单调性、点到直线距离公式进行求解即可.【详解】（1

）联立22214xybymxn+==+得()2222248440bmxmnxnb+++−=∴4222240bmbbn=+−=，且2224bnm=−∴把1,7mn==代人，得23b=，第15页共16页∴椭

圆C的标准方程为22143xy+=；（2）由（1）可知F1（－1，0），F2（1，0），∴|212211mnmnFPFmmQ−+++=+++，由（1）知2243nm=+，由()()222330nmnmnmm+−=−=+，可知n+m和n-m同号，可知()2122()

211mnmnnFPFmQm−++++==++设直线l的倾斜角为，则2122222cos22cos2cossin1tan1PQFFm====+++，∴()121222121FFQPnSFPFQPQm=+

=+梯形由（1）可知2234nm−=，代人得1228811FFQPnSnnn==++梯形令2343tnm==+，函数1ytt=+在[3,)+上单调递增，∴当3n=，0m=时，12FFQPS梯形取最大值23.【点睛】关键点睛：利用对钩函数的单调性是解题的关键

.22．已知函数()22exfxx=.(1)求函数f（x）的极值；(2)若关于x的不等式()22ln1fxaxx++恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)极大值为21e，极小值为0；(2)(,1

−【分析】（1）由导数研究函数的单调性，进而研究其极值；（2）将不等式转化为2222eln(e)1(22)xxxxax−−−，研究2222eln(e)1xxyxx=−−的最小值，分类讨论1a与1a是否成立，即可得结果.【详解】（1）∵2222()2e2e2(1)exxxfxx

xxx=+=+∴()0fx¢>，解得0x或1x−，()0fx¢>，解得10x−，第16页共16页故函数()fx的增区间为(,1)−−，(0,)+，减区间为（－1，0），∴函数()fx的极大值为()211ef−=

，极小值为()00f=.（2）不等式()22ln1fxaxx++，,()0x+可化为22e22ln1xxaxx++，,()0x+，可化为222eln12xxxax−−，,()0x+可化为22

2eln21(22)xxxxax−−−−，,()0x+可化为2222eln(e)1(22)xxxxax−−−，,()0x+令()ln1gxxx=−−，,()0x+，有()111xgxxx−=−=，()0gx，解得1x，()

0gx，解得01x，可得函数()gx的减区间为（0，1），增区间为（1，+∞），∴()(10)gxg=（当且仅当1x=时取等号），可得不等式ln10xx−−，,()0x+（当且仅当1x=时取等号）故

有2222eln(e)10xxxx−−，,()0x+（当目仅当22e1xx=时取等号）①当1a时，因为,()0x+，所以2222eln(e)10xxxx−−，(22)0ax−，可知不等式成立；②当1a时，令()22e(0)xhxxx=，2()2e(1)0xh

xxx=+，∴()hx在(0,)+单调递增，且()()200,1ehh==，可知存在(0,1)m满足21emmx=，此时有2222eln(e)10mmmm−−=，而()220am−，此时不满足()22l

n1fxaxx++恒成立，综述：1a.即：若不等式()22ln1fxaxx++恒成立，则实数a的取值范围为（－∞，1].【点睛】不等式恒成立（能成立）问题，一般有两种方法，方法1：分离参数法解决恒(能)成立问题，方法2：根据不等式恒

成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求解．分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容.分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分

析处理能力和解决能力.