【文档说明】2023届辽宁省阜新市第二中学高三年级1月月考数学试卷人教2019A版.doc，共(23)页，2.283 MB，由小喜鸽上传

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2022-2023学年辽宁省阜新市第二中学高三年级一月月考数学试卷总分150分考试时间120分钟一、单选题（8题每题4分共32分）1．已知集合20,1MxxxNxx=−=，则MN=（）A．1xxB．1xxC．D．|1xx或0x2．若复数满足4(

2)zii−=（为虚数单位），则复数的共轭复数的模是A．85B．455C．45D．553．如图，在ABCV中，ABc=uuurr，ACb=uuurr，若点D满足2BDDC=uuuruuur，则AD=uuur（）A．2133bc+rrB．5233−rrcbC．2133bc−

rrD．2233bc+rr4．某圆台上底面圆的半径为1，下底面圆半径为2，侧面积为32，则该圆台的体积为（）A．3B．73C．53D．235．五名护士上班前将外衣放在护士站，下班后回护士站取外衣，

由于灯光暗淡，只有两人拿到了自己的外衣，另外三人拿到别人外衣的情况有（）A．60种B．40种C．20种D．10种6．函数()sin()(0)fxx=+的周期为，1()2f=，()fx在0,3上单调递减，则

的一个可能值为A．6B．3C．23D．567．已知函数()yfx=的定义域为(),−，且函数()2yfx=+的图象关于直线2x=−对称，当()0,x时，()ln'sin2fxxfx=−（其中()'fx是()fx的导函数），若()log3af

=,13log9bf=,13cf=，则,,abc的大小关系是A．bacB．abcC．cbaD．bca8．已知函数21()2(2)1(0)2fxlnxaxxaa=−+−++的值域与函数[

()]yffx=的值域相同，则a的取值范围为A．(0，1]B．[1，)+C．(0，4]3D．4[3，)+二、多选题（4题每题5分共20分，正确选项未全部选出得3分，多选不得分）9．如图，是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：以下四个命题中，正

确命题的选项是（）A．BM与ED平行B．CN与BM成60°角C．CN与BE是异面直线D．DM与BN是异面直线10．已知函数()()πsin0,0,02fxAxA=+的部分图像如图所示，将该函数图象向右平移π

12个单位后，再把所得曲线上点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()gx的图象，则下列选项中正确的有（）．A．()πsin23fxx=+B．()πsin3gxx=+C．4π3x=是曲线()ygx=的对称轴D．直线32yx=+是曲线()yfx=的一条切线11．已知

抛物线2:4Cxy=，其焦点为F，准线为l，PQ是过焦点F的一条弦，点)(2,2A，则下列说法正确的是（）A．焦点F到准线l的距离为2B．焦点)(1,0F，准线方程:1lx=−C．PAPF+的最小值是3D．以弦PQ为直径的圆与准线l相切12

．已知函数()fx及其导函数()fx的定义域均为R，对任意的x，Ry，恒有()()()()2fxyfxyfxfy++−=，则下列说法正确的有（）A．()01f=B．()fx必为奇函数C．()()00fxf+

D．若()112f=，则()2023112nfn==三、填空题（共20分）13．已知522axxxx+−的展开式中的各项系数和为3−，则该展开式中的常数项为______.14．已知点Q是圆221xy+=上任意一点，点(2,2)A

−，点(6,4)B−，点P满足2218PAPB+=，则PQ的最小值为___________.15．过点(1,1)−−与曲线xyex=+相切的直线方程为______________.16．设F1，F2是椭圆C：22xa＋22yb＝1(a>b>0)的两个焦点，

P为椭圆C上的一个点，且PF1⊥PF2，若12PFF△的面积为9，周长为18，则椭圆C的方程为________.四、解答题（共78分）17．在数列na中，11a=，1120nnnnaaaa++−+=，数列nb的前n项和为nS，且21nnabn=+．（1）证明：数列1na是

等差数列．（5分）（2）若23ntSt−对*nN恒成立，求的取值范围．（5分）18．已知ABCV的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足232coscabA=+.（1）求角B；（5分）（2）若1cos4A=，求sin(2)AB+的值；（5分）（3）若7c=，sin3bA=，求b的值.（5

分）19．在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，ABCV是正三角形，AC与BD的交点为M，又4PAAB==，ADCD=，120CDA=，点N是CD的中点.（1）求证：MN⊥平面PAB；（6分）（2）求点N到平面PBC的距离.（6分）20

．（本小题满分10分，第（1）问5分，第（2）问5分）近年来，微信越来越受欢迎，许多人通过微信表达自己、交流思想和传递信息，微信是现代生活中进行信息交流的重要工具.而微信支付为用户带来了全新的支付体验，支付环节由此变得简便而快捷.某商场随

机对商场购物的100名顾客进行统计，其中40岁以下占35，采用微信支付的占23，40岁以上采用微信支付的占14．（1）请完成下面22列联表：（6分）40岁以下40岁以上合计使用微信支付未使用微信支付合计（2）并由列联表中所得数据判断有多大的把握认为“使用微信支付与年龄有关”？（6

分）参考公式:22()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++，nabcd=+++.参考数据：()20PKk0k6.63521．已知双曲线的两条渐近线分别为.（1）求双曲线的离心率；（7分）（2）如图，为坐标原点

，动直线分别交直线于两点（分别在第一，四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由.（7分）22．已知函数()()2e0xfxxaa=−．(1)当=1a时，求(

)fx的单调减区间；（7分）(2)若方程()fxm=恰好有一个正根和一个负根，求实数m的最大值．（8分）答案及解析：1．B【分析】化简集合M，根据集合交集运算即可求解.【解析】因为2010Mxxxxxx=−=或，

1Nxx=所以MN=1xx，故选B【注意】本题主要考查了集合的交集运算，属于容易题.2．B【分析】根据复数的四则运算，化简复数为z4855i=+，再根据复数模的运算公式，即可求解.【解析】由题意，因为()42zi

i−=，所以()44212ziii==−+()()()41248,121255iiii−==−+−所以z4855i=+，所以z224845555=+=.故选B.【注意】本题主要考查了复数的运算，以及共轭复数的概念和模的运算，其中解答中熟记复数的四则运算，正确求解复数是解答的

关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.3．A【分析】根据平面向量加法的几何意义，结合共线向量的性质进行求解即可.【解析】因为2BDDC=uuuruuur，所以有23BDBC=uuuruuur，22

1221()333333ADABBDABBCABBAACABACbc=+=+=++=+=+uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurrr，故选：A4．B【分析】根据圆台的侧面积和体积公式，结合题意，准确运算，即可求解.【解析】设圆台的母线长为，高为

，因为圆台上底面圆的半径为1，下底面圆半径为2，侧面积为32，可得()(21)32Rrll+=+=，解得2l=，所以圆台的高为222()2(21)1hlRr=−−=−−=，所以圆台的体积为22117()(421)1333VR

Rrrh=++=++=.故选：B.5．C【分析】5人中只有2人拿到自己的外衣，共有25C种情形，另外3人拿到别人的外衣的情况，可看作编号为1，2，3的人坐到编号为1，2，3的座位，且人和编号不能相同，列举可得，再由分步计数原理求得结果.【解析】先从5人中选

取2人拿到自己的外衣，共2510C=种情况，另外3人拿到别人的外衣的情况，可看作编号为1，2，3的人坐到编号为1，2，3的座位，且人和编号不能相同，共有231，312，两种，由分步计数原理可得共25220C=

种情况.故选：C.【注意】本题考查排列组合及简单的计数问题，选择合适的选排方案是解决问题的关键，属基础题.6．D【分析】根据三角函数周期性确定ω值，再根据1()2f=求得的可能值，最后根据单调性确定值．【解析】根据周期的公式2||T=得ω=2，则()sin(2)f

xx=+又因为1()sin(2)sin2f=+==所以φ2kπ6=+或5φ2kπ6=+（KZ）故()sin(2)6fxx=+或5()sin(2)6fxx=+又因为当()sin(2)6fxx=+

时，在(0,)3x上，即52()66,6x+，()fx有增有减．当5()sin(2)6fxx=+时，，在(0,)3x上，即5532(,)662x+，()fx单调递减．所以56

=【注意】根据ω值，已知()fx在区间上的单调性求参数的值．7．D【分析】求出()'fx,可得'2f的值，能确定()'fx的解析式，分类讨论可确定()'fx的符号，可得()fx在()0,上递增，再利用指数函数、对数函数的单调性比较13log32、、的大小关系，结合函数(

)fx的奇偶性与单调性可得结果.【解析】()ln'sin2fxxfx=−Q，()''cos2fxfxx=−，'2'cos2222ff=−=，()'2cosfxxx=−，当2x

时，()2cos0,'0xfx；当02x时，()2,2cos2,'0xfxx，即()fx在()0,上递增，()2yfx=+Q的图象关于2x=−对称，()2yfx=+向右平移2个单位得到()

yfx=的图象关于y轴对称，即()yfx=为偶函数，()()13log922bfff==−=，0log1log3log1==，1103212=，即130log32，()()132log3fff，即b

ca.故选D.【注意】本题主要考查函数的奇偶性、对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.在比较()1fx，()2fx，L，()nfx的大小时，首先应该根据函数()fx的奇偶性与周期性将()1fx，()2fx，L，()nfx通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调

性比较大小．.8．D【分析】对函数()fx求导，利用导数求得()fx的单调性情况，进而得到其最值，结合题意及图象建立关于a的不等式，解不等式即可得到a的取值范围．【解析】解：因为21()2(2)1(0)2fxlnxaxxaa=−+−++

所以2()(2)(0)fxaxaxx=−+−，由于0a，故函数()fx在(0,)+上为减函数，又()10f=，故当(0,1)x时，()0fx，当(1,)x+时，()0fx，函数()fx在(0,1)上单

调递增，在(1,)+上单调递减，13()(1)21122maxfxfaaaa==−+−++=−，且x→+时，()fx→−，故函数()fx的值域为3(,1]2a−−，作出函数()fx的草图如下，由图可知

，要使函数()fx的值域与函数[()]yffx=的值域相同，则需3112a−…，解得43a…，故选：D．【注意】本题主要考查利用导数研究函数的最值，解题的关键是理解题干意思，进而建立关于a的不等式，考查转化思想，数形结合思想及运算求解能力，属于中档题．9．

BD【分析】画出直观图，根据异面直线和共面直线的判定，可知A和C错误，D正确，再根据ACN△是等边三角形，得出B正确.【解析】正方体的直观图如图所示：很显然，BM与ED不平行，A错误；连接AN，AC，易知ACN△是等边三

角形，CN与BM的夹角即为60ANC=，B正确；很显然，CN∥BE，C错误；DM与BN是异面直线，D正确.故选：BD.10．ACD【分析】根据函数图象可确定,A的值，利用特殊点代入函数解析式确定，即可得到函数解析式，判

断A;根据三角函数图象的平移变换可得到()gx表达式，判断B;将4π3x=代入验证，可判断C;利用导数的几何意义求得曲线的切线方程，可判断D.【解析】由图象知1A=，2π7ππ2()1212=−解得2=，将π12x=代入()fx中得πsin(2)112+=，则ππ22π(Z)12

2kk+=+，因为0,2ππ,()sin(2)33fxx==+，A正确；由于将函数()fx图象向右平移π12个单位后，得函数πππsin[2()]sin(2)1236yxx=−+=+的图象，再把所得曲线上点的横坐标变为原来的2倍（

纵坐标不变），得到函数1π6πsin(2)sin()26yxx=+=+的图象，故π()sin()6gxx=+，B错误；将4π3x=代入π()sin()6gxx=+中，4ππsin()136+=−，4π3x=是曲线()ygx=的对称轴，C正确；()π2cos23fxx=+，令()

1fx=，即ππ12cos21,cos2332xx+=+=，可得0x=时满足π1cos232x+=，此时()π30sin32f==，则()πsin23fxx=+在点3(0,)2处的切线方程为330,22yx

yx−=−=+，D正确，故选：ACD.11．ACD【分析】对A：由抛物线方程及焦点F到准线l的距离为p即可求解；对B：由抛物线方程即可求解；对C：利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，从而即可求解；对D：利用抛物线的定义，及圆心到直线

的距离等于圆的半径则直线与圆相切，从而即可求解.【解析】解：对B：由抛物线2:4Cxy=，可得()0,1F，准线:1ly=−，故选项B错误；对A：由抛物线2:4Cxy=，可得24p=，即2p=，所以焦点F到准

线l的距离为2p=，故选项A正确；对C：过点P作PPl⊥，垂足为P，由抛物线的定义可得PFPP=，所以PAPFPAPP+=+3d=（d为点)(2,2A到准线l的距离），当且仅当A、P、P三点共线时等号成立，所以PAPF+的最小值是3，故选项C正确；对D：过点P、Q

分别作PPl⊥，QQl⊥，垂足分别为P、Q，设弦PQ的中点为M，则弦PQ为直径的圆的圆心为M，过点M作MMl⊥，垂足为M，则MM为直角梯形PPQQ的中位线，()12MMPPQQ=+，又根据抛物线的定义有PPPF=，

QQQF=，所以()1122MMPFQFPQ=+=，所以以弦PQ为直径的圆与准线l相切，故选项D正确；故选：ACD.12．BCD【分析】赋值法求()0f的值，判断A；赋值法结合导数以及函数奇偶性的定义，判断B；赋值法结合换元法判断C;利用赋值法求得(),Nfnn的值有周期

性，即可求得()20231nfn=的值，判断D.【解析】对于A，令0xy==，则由()()()()2fxyfxyfxfy++−=可得()()22020ff=，故(0)0f=或()01f=，故A错误；对于B,当(0)0f=时，令0y=，则()

()()()200fxfxfxf+==，则()0fx=，故()0fx=，函数()fx¢既是奇函数又是偶函数；当()01f=时，令0x=，则()()()2fyfyfy+−=，所以()()−=fyfy，()fx为偶函数，则()fx¢为奇函数；综合以上可

知()fx¢必为奇函数，B正确；对于C，令xy=，则()()()2202fxffx+=，故()()200fxf+。由于xR,令2,Rtxt=,即()()00ftf+，即有()()00fxf+，故C正确；对于D，若

()112f=，令1,0xy==，则()()()()11210ffff+=，则(0)1f=，故令1xy==，则()()()22021fff+=，即()()1121,222ff+==−，令2,1xy==，则()()()()31221ffff+=，即()113,(3)122

ff+=−=−，令3,1xy==，则()()()()42231ffff+=，即()1141,(4)22ff−=−=−，令4,1xy==，则()()()()53241ffff+=，即()1151,(5)22ff

−=−=，令5,1xy==，则()()()()64251ffff+=，即()116,(6)122ff−==，令6,1xy==，则()()()()75261ffff+=，即()1171,(7)22ff

+==，L由此可得(),Nfnn的值有周期性，且6个为一周期，且(1)(2)(3)(4)(5)(6)0ffffff+++++=，故()202311337[(1)(2)(3)(4)(5)(6)](1)2nfnfffffff==++++++=，故D正确，故选：BCD【注意】

本题考查了抽象函数的奇偶性和特殊值以及求函数值的和的问题，涉及到导数问题，综合性强，对思维能力要求高，解答的关键是利用赋值法确定(),Nfnn的周期性.13．－120【分析】522axxxx

+−的展开式中各项系数的和为3−，令1x=，求出a，再求出522axxxx+−展开式中的常数项即可.【解析】522axxxx+−的展开式中，各项系数的和为3−，令1x=，()()213

a+−=−，1a=，∴5555121222222axxxxxxxxxxxxxx+−=+−−−=+其中52xx−的展开式中x的项为22352Cxx−，即40x

，52xx−的展开式中1x−的项为33252Cxx−，即80x−，5221xxxx+−展开式中的常数项为16040120−+=−.故答案为：120−.14．2【分析】根据题意易求出点P的轨迹

为圆，轨迹方程为()()22434xy++−=，再根据两圆的位置关系即可求出PQ的最小值．【解析】设(),Pxy，由2218PAPB+=可得，()()()()2222226418xyxy++−+++−=，化简得，()()22434xy++−=，所

以点P的轨迹为圆，圆心坐标为()4,3−，点Q在圆221xy+=上，两圆的圆心距为()2243521−+=+，所以两圆相离，故PQ的最小值为5212−−=．故答案为：2．15．21yx=+.【解析】设切点坐标，写出切线方程，根据切线过点()1,1−

−，再求出切点坐标，从而得切线方程.【解析】设切点坐标为()000,exxx+，由xyex=+得e1xy=+，切线方程为()()0000e1exxyxxx=+−++，Q切线过点()1,1−−，()()00001e11exxxx−=

+−−++，即00e0xx=，00x=，即所求切线方程为21yx=+.故答案为：21yx=+.【注意】本题考查导数的几何意义．求过某点的切线，应先设切点坐标，由导数的几何意义写出切线方程，代入所过点的坐标求出切点坐标，从而得出切线方程．16．221259xy+=【分析】由题意可知12P

FF△为直角三角形，由椭圆的定义结合已知条件即可求解【解析】∵PF1⊥PF2，∴12PFF△为直角三角形，又知12PFF△的面积为9，∴12|PF1|·|PF2|＝9，得|PF1|·|PF2|＝18.在Rt12PFF△中，由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|

2，由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝|F1F2|2，即4a2－36＝4c2，∴a2－c2＝9，即b2＝9，又知b>0，∴b＝3，∵12PFF△的周

长为18，∴2a＋2c＝18，即a＋c＝9，①又知a2－c2＝9，∴a－c＝1.②由①②得a＝5，c＝4，∴所求的椭圆方程为221259xy+=.故答案为：221259xy+=17．（1）见解析（2）15,23【分析】（1）根据已知可变形为111nnaa+−=常数；

（2）首先求数列nb的通项公式，然后利用裂项相消法求111221nSn=−+，若满足23ntSt−对*nN恒成立，需满足()min23ntS−，()maxntS，求的取值范围.【解析】（1

）证明：因为1120nnnnaaaa++−+=，所以112nnnnaaaa++−=−，，则1112nnaa+−=．又111a=，故数列1na是以1为首项，2为公差的等差数列．（2）由（1）可知121nna=−，则121nan=−．因为21nnabn=+，所以

()()1111212122121nbnnnn==−−+−+，所以1111111111112335572121221nSnnn=−+−+−+++=−

−++L．易知nS单调递增，则11132nSS=．所以1233t−，且12t，解得1523t．故的取值范围为15,23．【注意】本题考查了证明等差数列的方法，以及裂项相消法求和

，本题的一个亮点是与函数结合考查数列的最值问题，涉及最值时，需先判断函数的单调性，可以根据函数特征直接判断单调性或是根据1nnaa+−的正负判断单调性，然后求最值.18．（1）6.（2）35716−.（3）19【解析】（1）由正弦定理化边为角后，由诱导公式和两角和的正

弦公式化简后可求得B；（2）由二倍角公式求得sin2,cos2AA后再由两角和的正弦公式可求值；（3）由正弦定理求得a，再由余弦定理求得b．【解析】（1）∵232coscabA=+，由正弦定理得，2sin3sin2sincosCABA=+∴2(sin

coscossin)3sin2sincosAB+ABABA=+，即2sincos3sinABA=.∵sin0A，∴3cos2B=又0B，∴6B=（2）由已知得，215sin1cos4AA=−=∴15sin22sincos8AAA==，27cos22cos18AA=−=

−∴357sin(2)sin(2)sin2coscos2sin66616ABAAA−+++===.（3）由正弦定理sinsinabAB=，得sinsinbAaB=.由（1）知，6B=，∴23a=由余弦定理得，2222cos19bacacB=+

−=.∴19b=【注意】本题考查正弦定理、余弦定理、考查两角和的正弦公式、二倍角公式、诱导公式，同角间的三角函数关系，考查公式较多，解题关键是正确选择应用公式的顺序．在三角形中出现边角关系时，常常用正弦

定理进行边角转换．19．（1）证明见解析；（2）42121.【分析】（1）先证明M为AC的中点，从而//MNAD，由条件可得PAAD⊥，可证90BAD=，即BAAD⊥，得到AD⊥平面PAB，从而得证.(2)设N到平面PBC的距离为,由NPBCPBNCVV−−=根据等体积法可

得答案.【解析】（1）证明：在正ABCV中，ABBC=设O为AC的中点，由ADCD=，则DOAC⊥在正三角形ABCV中，有BOAC⊥在平面ABCD上，由BOAC⊥，DOAC⊥，则,,BOD三点共线即O与M重合，即M为AC的中点∵

点N是CD的中点，∴//MNAD∵PA⊥平面ABCD，AD平面ABCD∴PAAD⊥∵120CDA=，∴30DAC=∵60BAC=，∴90BAD=，即BAAD⊥∵PAABA=I，∴AD⊥平面PAB，∴MN⊥平面PAB（2）解：设N到

平面PBC的距离为在RtPABV中，4PAAB==，∴42PB=在RtPAC△中，4PAAC==，∴42PC=在PBCV中，42PB=，42PC=，4BC=设H为BC的中点,由PBPC=42=,则PHBC⊥则2232427PH

PBBH=−=−=∴112744722PBCSBCPH===△，又在ADC△中，4AC=，120CDA=，ADCD=，∴433CD=由（1）可知，60,30BCAACD==,则90BCD=,即

BCCD⊥11111434342222233BNCBDCSSBCCD====△△由NPBCPBNCVV−−=，且4PA=∴1143474333h=，解得42121h=∴点N到平面PBC的距离为4212120．（1）详见解析；（2）有99.9%的把握认为“

使用微信支付与年龄有关”.【解析】试题分析：（1）由40岁以下的有3100605=人，使用微信支付的有260403=人，40岁以上使用微信支付有140104=人，即可完成22列联表；（2）根据22列联表求得观测值2K与参考值对比即可求得答案.试题解析：（1）由已知可得，40岁以下的有2

0090%180=3100605=人，使用微信支付的有18060120−=260403=人，40岁以上使用微信支付的有18075%135=140104=人．所以2222列联表为：40岁以下40岁以上合计使用微信支付401050未使用微信支付203

050合计6040100（2）由列联表中的数据计算可得2K的观测值为()221808055540k13.3331206013545−=()21004030201050604050503k−==，由于5010.828313.33310.828，所以有99.

9%的把握认为“使用微信支付与年龄有关”．【方法注意】本题主要考查及独立性检验的应用，属于难题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成22列联表；（2）根据公式()()()()()22nadbcKabadacbd−=++++计算2K的值；(3)查表比较2K与临界值的大小关系，作统

计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）21．(1)5;(2)存在【解析】试题分析：(1)已知双曲线的两条渐近线分别为,所以根据2ba=即可求得结论.(2)首先分类讨论直线的位置.由直线垂直于x轴可得到一个结论.再讨论直线不垂直于x轴

,由的面积恒为8,则转化为1212OABSOCyy=−.由直线与双曲线方程联立以及韦达定理,即可得到直线有且只有一个公共点.试题解析：(1)因为双曲线E的渐近线分别为和2,2yxyx==−.所以222,2

,5bcacaaa−===,从而双曲线E的离心率5e=.(2)由(1)知,双曲线E的方程为222214xyaa−=.设直线与x轴相交于点C.当lx⊥轴时,若直线与双曲线E有且只有一个公共点,则,4OCaABa==,又因为OAB的面积为8,所以118,48,222OCABaaa===.

此时双曲线E的方程为221416xy−=.若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为221416xy−=.以下证明:当直线不与x轴垂直时，双曲线E：221416xy−=也满足条件.设直线的方程为ykxm=+,依题意,得k>2或k<-2.则(,0)

mCk−，记1122(,),(,)AxyBxy.由2{yxykxm==+,得122myk=−,同理得222myk=+.由1212OABSOCyy=−得,1228222mmmkkk−−=−+即222444(4)mkk=−=−.

由22{1416ykxmxy=+−=得,222(4)2160kxkmxm−−−−=.因为240k−,所以22222244(4)(16)16(416)kmkmkm=+−+=−−−,又因为.所以0=,即与双曲线E有且只有一个公共点.因此,存在总与有且只有一个公共点的双曲线E

,且E的方程为221416xy−=.考点：1.双曲线的性质.2.直线与双曲线的位置关系.3.三角形的面积的表示.22．(1)()12,1−−−和(12,1−+(2)24e【分析】（1）分别在()(),11,x−

−+和1,1x−的情况下，求得()fx，根据()fx的正负即可得到单调性，由此确定单调减区间；（2）当=0a时，可求导确定()fx单调性，并得到()fx的图象，采用数形结合的方式可确定24em=；当0a时，用（1）中单调性的讨论方

法可得()fx单调性，并由此确定()fx的极大值；根据()fxm=恰有一个正根可得()>+11mfa−，根据()fxm=恰有一个负根可得()11mfa=−+−，构造函数()()e1xgxx−=+，求导可知()gx在)1,+上单调递减，由此可得()2411efa−+−，结

合0a可确定24<em；综合两种情况可得m的最大值.【解析】（1）当=1a时，()()()()()22e1,,11,+=e1,1,1xxxxfxxx−−−−−，当()(),11,x−−+时，()()2e21xfxxx=+−，令()=0fx，解得：112x=−

−，212x=−+（舍），当()(),121,x−−−+U时，()0fx；当()12,1x−−−时，()0fx；()fx\的单调递增区间为(),12−−−，()1,+；单调递减区间为()12,1−−−；当

1,1x−时，()()2e21xfxxx=−−+，令()=0fx，解得：112x=−−（舍），212x=−+；当)1,12x−−+时，()0fx；当(1+2,1x−时，()0fx；()fx\的单调递增区间为)1,12

−−+，单调递减区间为(12,1−+；综上所述：()fx的单调递减区间为()12,1−−−和(12,1−+.（2）①当=0a时，()2exfxx=，则()()()22e2exxfxxxxx=+=+，当()(),20,x−−+时，()0fx；当()2,0x−时，()

0fx；()fx\在(),2−−，()0,+上单调递增，在()2,0−上单调递减，又()0fx恒成立，()242ef−=，()0=0f，由此可得()fx图象如下图所示，由图象可知：当且仅当()242emf=−=时，

()fxm=恰有一个正根和一个负根；②当0a时，()()()()()22e,,,=e,,xxxaxaafxaxxaa−−−+−−；同（1）中的讨论可得：()fx在(),11a−−+−

，(),11aa−+−，(),a+上单调递增；在()11,aa−+−−，()11,aa+−上单调递减，()fx\有两个极大值点11xa=−+−和11xa=+−，()()12e1111eaafa−+++−+−=，()()12e1111eaafa++−+−=

；又()()()()+1+12+12e+11+1=e++1>e+11eaaaafaaaa−−，作出()fx在()0,+的大致图象如下图所示，若()fxm=恰好有一个正根，则()>+11mfa−；

又()fxm=恰好有一个负根，且当()(),1111,xaaa−−+−−+−−U时，()()11fxfa−+−；当(),0xa−时，()()+11afxf−；()11mfa=−+−令()()e1xgxx−=+，1x，则()=e<0xgxx−−()gx

在)1,+上单调递减，即()()21egxg=（当且仅当=1x时取等号），()222411eefa−+−=（当且仅当=0a时取等号），且此时()()11112e110afaa+−+−=+−=，()()+11+11=2e+1+1>0afaa−−−−，

满足()()+11>+11fafa−−−，又0a，()24+11<efa−−，即24<em；综上所述：实数m的最大值为24e.【注意】关键点注意：本题考查利用导数求解函数的单调性、根据方程根的个数求解参数范围的问题；本题求解参数范围的关键是能够将问题转化为()fx与ym=交点的

问题，利用导数确定函数的大致图象，采用数形结合的方式，将问题转化为m与函数极值之间的大小关系的问题.