【文档说明】2023届宁夏银川市第一中学高三上学期第四次月考数学理试题解析版.doc，共(17)页，2.375 MB，由小喜鸽上传

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第1页共17页2023届宁夏银川市第一中学高三上学期第四次月考数学（理）试题一、单选题1．若全集U=R，集合{0,1,2,3,4,5,6}A=，{3}Bxx=∣，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{3,4,5,6}B．{0,1,2}C．{0,1,2,3}D．{4,5,6}【答案

】D【分析】由题意明确图中阴影部分表示的含义，即可根据集合的运算求得答案.【详解】由题意知：图中阴影部分表示()UBAð，而U3Bxx=ð，故()U4,5,6BA=ð，故选：D．2．设i是虚数

单位，则复数21ii−在复平面内所对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【详解】试题分析：由题意得()()()2121111iiiiiii+==−+−−+，所以在复平面内表示复数1i−+的点为(

)1,1−在第二象限．故选B．【解析】复数的运算；复数的代数表示以及几何意义.3．等比数列na中，24a=，416a=，则2a与4a的等比中项为（）A．8B．10C．8D．10【答案】C【分析】直接根据等比中项的性质得到答案.【详解

】2a与4a的等比中项满足：232441664aaa===，故38a=.第2页共17页故选：C4．设l是直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若//l，//l，则//B．若//l，l⊥，则⊥C

．若⊥，l⊥，则//lD．若⊥，//l，则l⊥【答案】B【分析】根据空间中线面、面面的位置关系一一判断即可.【详解】解：对于A：若//l，//l，则//或与相交，故A错误；对于B：若//l，l⊥，由面面垂直的

判断定理可得⊥，故B正确；对于C：若⊥，l⊥，则//l或l，故C错误；对于D：若⊥，//l，则//l或l或l与相交，故D错误．故选：B．5．“1n=”是“幂函数()()22333nnfxnnx−=−+

在()0,+上是减函数”的一个（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【答案】A【分析】由幂函数()()22333nnfxnnx−=−+在()0,+上是减函数，可得2233130nnnn−+=−，由充分、必要条件的定义分析即得解【详解】由题意，当1n=时

，()2fxx−=在()0,+上是减函数，故充分性成立；若幂函数()()22333nnfxnnx−=−+在()0,+上是减函数，则2233130nnnn−+=−，解得1n=或2n=故必要性不成立因此“1n=”是“幂函数()()22333nnfxnnx−=−

+在()0,+上是减函数”的一个充分不必要条件故选：A6．图中阴影部分的面积是（）第3页共17页A．23B．923−C．323D．353【答案】C【分析】利用定积分可计算得出阴影部分区域的面积.【详解】由图可知，阴影部分区域

的面积为()123213313232d333Sxxxxxx−−=−−=−−=.故选：C.7．已知函数()(ln1)()fxaxxa=−−R在区间(e,)+内有最值，则实数a的取值范围是（）A．(e,)+B．e,2+C．(,e]

−D．(,e)−−【答案】A【分析】求出函数的导数，就ea，ea分类讨论后可得参数的取值范围.【详解】()1aaxfxxx−=−=，其中ex当ea时，()0fx，故()fx在(e,)+上单调递减，此时()fx在(e,)+内无最值.当ea时，若()e,xa，则()0f

x，若(),xa+，则()0fx，故()fx在()e,a上为增函数，在(),a+上为减函数，故()fx在xa=处取最大值，故选：A.8．如图为一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）第4页共17页A．13B．23C．12D．43【答案】B【分析】由三视图画出三棱锥原图，利用13VS

h=锥可得结果.【详解】根据三视图可得几何体是有一条侧棱垂直底面的三棱锥，如图所示，DA⊥平面ABC，所以11121223323ABCVSDA===△故选：B.9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，3A

=，AD是∠A的平分线，3AD=，1AB，则2bc+的最小值是（）A．6B．322−C．322+D．10【答案】C【分析】首先根据等面积法建立bc、的等量关系，再利用不等式“乘1法”求最小值即可.【详解】如下图所示：由题意可得，AD是∠A的平分线，则6BADCAD==.

则133sin264BADScc==△，133sin264CADSbb==△，而13sin234ABCBADCADSbcbcSS===+△△△,代入化简得，bcbc+=，即111bc+=.则第5页共17页(

)1122221232322cbcbbcbcbcbcbc+=++=++++=+，当且仅当2cbbc=，即2cb=时，等号成立.故最小值为322+.故选：C10．圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇拜的图腾．如图，AB

是圆O的一条直径，且||4AB=．C，D是圆O上的任意两点，||2CD=，点P在线段CD上，则PAPBuuuruuur的取值范围是（）A．1,2−B．3,2C．3,4D．1,0−【答案】D【分析】设O为圆心，连接OP，根据数量积的运算律得到2||4PAPBPO=−uuuru

uuruuur，根据点P在线段CD上，即可求出POuuur的取值范围，即可得解．【详解】解：如图，O为圆心，连接OP，则2222()()()||4PAPBPOOAPOOBPOPOOBPOOAOAOBPOPOOBOAOAPO=++=+++=++−=−uuuruuuruuuruuu

ruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur，第6页共17页因为点P在线段CD上且||2CD=，则圆心到直线CD的距离22213d=−=，所以32POuuur剟，所以23||4POuuur剟，则21||40PO−−uu

ur剟，即PAPBuuuruuur的取值范围是[1−,0]．故选：D．11．已知ππ4，3ππ2，4sin25=，2cos()10+=−，则−=（）A．π4或3π4B．π4C．3π4D．5π4【答案】C【分析】根据角度范围得到3cos25=−，72sin()

10+=−，计算()2cos2−=−，得到答案.【详解】ππ4，π222π，4sin205=，故π2π2，故3cos25=−；ππ42，3ππ2，5π<2π4+，2cos()010+=−，故53ππ<42+

，72sin()10+=−；()()()()coscos2coscos2sinsin2−=+−=+++3247225105102=−−+−=−，π5π24−

，故3π4−=.故选：C12．设51,,10sin0.01209abc===，则（）A．bacB．cbaC．c<a<bD．b<c<a【答案】B【分析】用作差法可得ab，令()πsin,0,2fxxxx=−可得πsin,0,2xxx，进而可推出bc

，从而得解【详解】因为519520209180ab−−=−=，又()22952040540050−=−=，所以95200−，所以95200180ab−−=，所以ab；第7页共17页令()πsin,0,2fxxxx=−，则()cos10xxf=−恒成立，所以()sinx

xxf−=在π0,2递增，所以()()00fxf=，所以πsin,0,2xxx又1π0,1002，所以11sin100100，所以1110sin10100，又11910

，所以1110sin10sin0.019100=，即bc；所以cba，故选：B二、填空题13．函数()exfxax=+在0x=处的切线与直线250xy−−=平行，则实数=a________．【答案】1【分析】求导得到导函数，根据平行得到(0)12

fa=+=，解得答案.【详解】()exfxax=+，()exfxa¢=+，(0)12fa=+=，1a=.故答案为：114．已知向量ar,br满足2ab==rr，且()()22abab+−=−rrrr，则向量ar,br的夹角为

______.【答案】3【分析】由()()22abab+−=−rrrr得2ab?rr，再根据平面向量的夹角公式可得结果.【详解】由()()22abab+−=−rrrr，得2222aabb+−=−rrr

r，所以482ab+−=−rr，即2ab?rr，所以21cos,222||||ababab===rrrrrr，又因为,[0,]abrr，所以,3ab=rr.故答案为：3.第8页共17页【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算律，考查了平面向量的夹角公式，属于基础题.15

．已知函数()π1cos(0)32fxx=−−，将()fx的图像上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()gx的图像.已知()gx在0,上恰有5个零点，则的取值范围是__________.【答案】723【分析】求得()

π1cos232gxx=−−，换元转化为1cos2t=在ππ,2π33t−−上恰有5个不相等的实根，结合cosyt=的性质列出不等式求解.【详解】()π1cos232gxx=−−，令π23tx=

−，由题意()gx在0,π上恰有5个零点，即1cos2t=在ππ,2π33t−−上恰有5个不相等的实根，由cosyt=的性质可得11ππ13π2π333−，解得723．故答案为：723．16．已知三棱锥SABC−的所有顶点都

在球O的球面上，SA⊥平面ABC，2SA=，若球O的表面积为16，则三棱锥SABC−的体积的最大值为________．【答案】332【分析】计算2R=，ABCV的外接圆半径为3r=，确定底面积最大时体积最大，

()3cossincosABCS=+△，求导得到单调区间，计算最值得到答案.【详解】24π16πSR==，故2R=.设ABCV的外接圆半径为r，则2222SArR+=，解得3r=，三棱锥SABC−的高是2，故底面积最大时体积最大，对A，B，当C离AB最远时，面积最大，此

时C在AB的垂直平分线上，CACB=，第9页共17页如图所示：D为AB中点，连接CD，OA，设OAD=，0,2则()()()1cossin3cossincos2ABCSABCDADODrrrr==+

=+=+△，设()cossincosf=+，()()()22sinsin1sin12sin1f=−−+=−+−，当1sin2时，即ππ,62时，()0f，函数单调递减；当1sin2时，即π0

,6时，()0f，函数单调递增.当1sin2=，即π6=时，面积最大为π9364f=，此时132332ABCVS==△.故答案为：332三、解答题17．己知数列na的前n

项和为nS，且11nnnSSa+=++，________________．请在①4713aa+=；②1a，3a，7a成等比数列；③1065S=，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题．(1)求数列na的通项公式；(

2)若1nnba=−，求数列2nnb的前n项和nT．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)1nan=+(2)12(1)2nnTn+=+−【分析】（1）确定数列na是首项为1a，公

差为1的等差数列，利用等差数列和等比数列公式分别计算三种情况得到答案.（2）确定nbn=，再利用错位相减法计算得到答案.【详解】（1）11nnnSSa+=++，所以11nnnSSa+−=+，即11nnaa+=+，所以数列na是首项为1a，公差为1的

等差数列．若选①：由4713aa+=，得113613adad+++=，即12139ad=−，所以1213914a=−=，解得12a=．所以1(1)2(1)11naandnn=+−=+−=+，第10页共17页即数列na的通项公式为1nan=+．若选②：由1a，3a，7a

成等比数列，得()()211126adaad+=+，则2221111446aaddaad++=+，所以12a=，所以1(1)2(1)11naandnn=+−=+−=+．若选③：因为10111091010452Sadad=+=+，所以11

045165a+=，所以12a=，所以1(1)2(1)11naandnn=+−=+−=+．（2）1nnban=−=，则22nnnbn=，则1231222322nnTn=++++，2341212223

22nnTn+=++++，两式相减得：()12341222222122221nnnnnTnn++−=++++−=−−+−，故12(1)2nnTn+=+−．18．如图1是半圆D（以AB为直径）与RtABC△组合成的平面图，其中90BAC=，图2是将半圆D沿着直径折起

得到的，且半圆D所在平面与RtABC△所在平面垂直，点E是»AB的中点．(1)求证：BECE⊥；(2)若24BCAC==，求二面角EBCD−−的平面角的正切值．【答案】(1)证明见解析(2)2【分析】

（1）证明BE⊥平面ACE得到答案.（2）过点E做BC的垂线交BC于点H，连接DH，确定DHE为二面角EBCD−−的平面角，计算得到答案.【详解】（1）AB是半圆D的直径，故BEAE⊥，90BAC=，即ABAC⊥，平面ABE平面ABC

AB=，且平面ABE⊥平面ABC，AC平面ABC，故AC⊥平面ABE，又BE平面ABE，故BEAC⊥，第11页共17页ACAEA=，AC平面ACE，AE平面ACE，BE⊥平面ACE，CE平面ACE，故BECE⊥；（2）AB为直径且点E是»AB的中点，ABEV为等腰直角三角形，点

D为AB的中点，DEAB⊥，平面与ABE⊥平面ABC且平面ABE平面ABCAB=，故DE⊥平面ABC，AB平面ABC，故ABDE⊥，则过点E做BC的垂线交BC于点H，连接DH，DEEHE=，故BC⊥平面

DEH，DH平面DEH，故BCDH⊥，故DHE为二面角EBCD−−的平面角，因在RtEHD△中33sin302DH==，3DE=，tan2DEDHEDH==.即二面角EBCD−−的平面角的正切值为2．19．如图，在直径

为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中0yx．(1)将十字形的面积表示为的函数；(2)为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？【答案】(1)22sincoscos42

−.(2)512−【分析】（1）首先利用xy、表示出面积表达式，再利用三角函数替换，结合的范围即可.（2）对面积表达式利用二倍角公式以及降次公式化简，再结合辅助角公式即可化简，最后结合角的第12页共17页范围求出最值.【详解】（

1）设S为十字形的面积，则()220Sxyxxy=−，又圆O的直径为1，则cossinxy==，，因为0xy，所以0cossin，所以tan1.从而42，.故22sincoscos42S=−.（2）21cos22

sincoscossin22S+=−=−()1151sin2cos2sin2222242=−−=−−.其中1tan022=，，.所以当()sin21−=，即42=+时,S

最大,且最大值为512−.20．如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为菱形，π3BAD=，Q为AD的中点，2PAPDAD===.(1)点M在线段PC上，13PMPC=，求证：//PA平面MQB；(2)在（1）的条件下，若6PB=，求直线

PD和平面MQB所成角的大小.【答案】(1)证明见解析(2)60【分析】（1）由已知，连接AC交BQ于N﹐连接MN，由//AQBC可知ANQCNBVV∽，所以12AQANBCNC==，又因为13PMPC=，所以//PAMN，然后利用线面平行的判定

定理即可完成证明；（2）由已知，可通过计算得到并利用线面垂直的判定定理得到AD⊥平面PQB，PQ⊥平面ABCD，然后点Q为原点，以QAuuur，QBuuur，QPuuur分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，先求解出平面

MOB的一条法向量(),,mxyzr=，然后设直线PD和平面MQB所成角为，借助sincos,PDm=uuurr可直接进行求解.【详解】（1）证明：连接AC交BQ于N﹐连接MN，因为//AQBC，所以ANQCNBVV∽，第13页共17页所

以12AQANBCNC==，所以13ANAC=，又13PMPC=，所以//PAMN，因为PA平面MQB，MN平面MQB，所以//PA平面MQB；（2）连接BD，由题意,ABDPAD△△都是等边三角形，因为Q是AD中点，所以,PQADBQAD⊥⊥，又PQBQQ=I，,PQ

BQ平面PQB，所以AD⊥平面PQB，3,6PQBQPB===，在PQB△中，222PQBQPB+=，所以π2PQB=，所以PQ⊥平面ABCD，以点Q为原点，以QAuuur，QBuuur，QPuuur分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则()

()()()()()0,0,0,1,0,0,0,3,0,2,3,0,1,0,0,0,0,3QABCDP−−，由13PMPCuuuuruuur=，可得2323,,333M−，所以()2323,,,0,3,0333QMQB=−=u

uuuruuur.设平面MOB的法向量(),,mxyzr=，2323033330QMmxyzQBmy=−++===uuuurruuurr.可取3,0,1xyz===，则()3,0,1m=r，第14页共17页直线PD的方向向量()1,0,3PD=−−uuu

r，设直线PD和平面MQB所成角为，则333sincos,222PDmPDmPDm−−====uuurruuurruuurr即直线PD和平面MQB所成角的大小为60.21．已知函数()()elnxfxxaxx=−+（Ra）(1)当0a=时，()fxm=有两个实根，求m

取值范围；(2)若方程()0fx=有两个实根12,xx，且12xx，证明：12212eexxxx+【答案】(1)m取值范围是(2)证明见解析【分析】（1）利用导数求得()fx的单调区间，由此求得m的取值范围.（2）将方程()0fx=有两

个实根12,xx转化为()lnpttat=−有两个不相等的零点12,tt，由此列方程，将证明12212eexxxx+转化为证明4ln201+−+，解得或导数证得不等式成立.【详解】（1）()fx的定义域为()0,+，()()()0,e,1e0xxafxx

fxx===+，()fx在()0,+上单调递增，所以m的取值范围是.（2）()fx的定义域为()0,+，()()()elnelne0xxxfxxaxxxax=−+=−=有两个不相等的实数根，令e

xtx=，由（1）知exyx=在()0,+上递增，则0t，则()lnpttat=−有两个不相等的零点12,tt，121122e,exxtxtx==，1122ln0ln0tattat−=−=，()()21212121lnln,lnlnattttatttt−=−+=+.要证12212

eexxxx+，只需证()()12212eeexxxx，即证()()1212lnelne2xxxx+，即证12lnln2tt+，第15页共17页()221121122122111lnlnlnlnln1tttttttttttttt+++=

−=−−，故只需证2211211ln21tttttt+−，不妨设120tt，令211tt=，则只需证1ln21−+，只需证4ln201+−+，令()()4ln211s=+−+，()()()()22211401

1s−=−=++，所以()()10ss=，即当1时，4ln201+−+成立.所以12lnln2tt+，即()()12212eeexxxx，所以12212eexxxx+.【点睛】利用导数证明

不等式，主要的方法是通过已知条件，划归与转化所要证明的不等式，然后通过构造函数法，结合导数来求所构造函数的取值范围来证得不等式成立.22．已知直线l的参数方程为21,222xtyt=−+=（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2223

sin4+=．(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)已知直线l与曲线C相交于P，Q两点，点M的直角坐标为(1,0)−，求||||MPMQ+．【答案】(1)10xy−+=，2214xy+=；(2)825.【分析】（1）直线l的参数方程消去参数t，即得l的普通方程，利用极坐

标和直角坐标方程的互化公式，即得解；第16页共17页（2）将直线l的参数方程代入2214xy+=，利用直线的参数方程的几何意义，可得12MPMQtt+=−，结合韦达定理，即得解.【详解】（1）由21,222xtyt=−+=（t为参数），可

得l的普通方程为10xy−+=；由曲线C的极坐标方程2223sin4+=及222,,xysiny=+=可得22234xyy++=，整理得2214xy+=，所以曲线C的直角坐标方程为2214xy+=．（2）易知点M在直线l上，将l的参数方

程代入C的直角坐标方程，得222214422−++=tt，即252260−−=tt，设P，Q对应的参数分别为12,tt，则1212226,55+==−tttt，因为120tt，所以()221212122268244555MPMQtttttt

+=−=+−=−−=．23．已知a，b，c均为正数，且21abc++=，证明：(1)若=bc，则118ab+；(2)22294919abc++．【答案】(1)证明见解析；(

2)证明见解析.【分析】（1）应用基本不等式“1”的代换证明不等式，注意等号成立条件；（2）应用三元柯西不等式证明不等式即可.【详解】（1）由=bc知：2()1ab+=，第17页共17页则11112()()42()448

babaababababab+=++=+++=，当且仅当14ab==时等号成立.所以118ab+得证.（2）由22221(11)(49)(2)19ababcc++++++=，当且仅当11129abc==，即991,,381919abc===时等号成立，所以22294

919abc++得证.