【文档说明】2023届江苏省南通市高三上学期期末模拟数学试题解析版.doc，共(25)页，2.478 MB，由小喜鸽上传

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第1页共25页2023届江苏省南通市高三上学期期末模拟数学试题一、单选题1．若集合3{24},log1xMxNxx==，则MN=（）A．{23}xxB．{0}xxC．{02xx或2}xD．R【答案】B【分析

】利用指数函数以及对数函数的单调性求得集合,MN，根据集合的并集运算即可得答案.【详解】解24x得2x，解3log1x得03x，故得2,03MxxNxx==，故0MNxx=，故选：B．2．已知复数z，，满足22z==，且复数z在复平面内位于第一

象限，则2221zz++=++（）A．32B．14C．12D．34【答案】C【分析】设iizabcd=+=+，，利用复数的乘方运算以及复数的几何意义即可求解.【详解】设iizabcd=+=+，，则()()222222ii2izababcdcdcd=

=−+=+=−−，则1322cd=−=，，所以13i22=−+，2212ab−=−，34ab=，所以34ba=，则有22310162aa−+=，解得1322ab==，，又复数z在复平面内位于第一

象限，所以13i22z=+，代入可得222112zz++=++．故选：C第2页共25页3．已知数列{}na是递增数列，且()638,6,6nntnnatn−−−=，则实数t的取值范围是（）A．()2,3B．)2,3C．10,37D．()

1,3【答案】C【分析】根据分段函数的单调性及数列为递增数列，列出不等式组求解即可.【详解】因为()638,6,6nntnnatn−−−=，{}na是递增数列，所以301(3)68tttt−−−，解得1037t，所以实

数t的取值范围为10,37，故选：C4．俄国著名飞机设计师埃格•西科斯基设计了世界上第一架四引擎飞机和第一种投入生产的直升机，当代著名的“黑鹰”直升机就是由西科斯基公司生产的.1992年，为了远程性和安全性上与美国波音7

47竞争，欧洲空中客车公司设计并制造了340A，是一种有四台发动机的远程双过道宽体客机，取代只有两台发动机的310A.假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为1p−，且各引擎是否有故障是独立的，已知340A飞机至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；310A飞机

需要2个引擎全部正常运行，飞机才能成功飞行.若要使340A飞机比310A飞机更安全，则飞机引擎的故障率应控制的范围是（）A．2,13B．1,13C．20,3D．10,3

【答案】C【解析】由独立重复实验概率公式可得两种飞机正常飞行的概率，解不等式即可得解.【详解】由题意，飞机引擎正常运行的概率为p，则310A飞机能成功飞行的概率为2222Cpp=，340A飞机能成功飞行的概率为()33444344134CppCppp−+=−+，令

43234ppp−+即2341pp−+，解得113p.所以飞机引擎的故障率应控制的范围是20,3.故选：C.5．如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC，BD，若直线AC与第3页共25页B

D的斜率之积为14−，则椭圆的离心率为（）A．12B．22C．32D．34【答案】C【分析】设出切线AC和BD的方程，与椭圆方程联立消去y，根据判别式Δ0=，求得12,kk的表达式，根据AC与BD的斜率之积求得a和b的关系，进而求得a和c的关系，椭圆的离心率可得.【详解】

设内层椭圆的方程为22221(0)xyabab+=，由离心率相同可知，外层椭圆的方程为22221()()xymamb+=，如图，设切线AC的方程为1()ykxma=−，则1222()()()()ykxmabxayab=−+=

，消去y得22223224222111()20bakxmakxmakab+−+−=由Δ0=，得2212211bkam=−，设切线BD的方程为2ykxmb=+，联立2222()()()ykxmbbxayab=++=，消去y得2

22222222222()20bbakxmakxmabab+++−=，第4页共25页由Δ0=得22222(1)bkma=−，422124,bkka=又直线AC与BD的斜率之积为14−，2214ba=2,3,abcb==32e=.故选：C6．已知函数()sin()(0),24f

xx+x==−，为()fx的零点，4x=为()yfx=图象的对称轴，且()fx在π5π()1836，单调，则的最大值为A．11B．9C．7D．5【答案】B【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x4=−为f（x）的零点，x4=为y＝f（x）图象的对称

轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（18，536）上单调，可得ω的最大值．【详解】∵x4=−为f（x）的零点，x4=为y＝f（x）图象的对称轴，∴2142nT+=，即21242n+=，（n∈N）即ω＝2

n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（18，536）上单调，则53618122T−=，即T26=，解得：ω≤12，当ω＝11时，114−+φ＝kπ，k∈Z，∵|φ|2，∴φ4=−，此时f（x）在（18

，536）不单调，不满足题意；当ω＝9时，94−+φ＝kπ，k∈Z，∵|φ|2，第5页共25页∴φ4=，此时f（x）在（18，536）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选B．【点睛】本题将三角函数的单调性与对称性结

合在一起进行考查,题目新颖,是一道考查能力的好题.注意本题求解中用到的两个结论：①()()()sin0,0fxAxA=+的单调区间长度是最小正周期的一半;②若()()()sin0,0fxAxA=

+的图像关于直线0xx=对称,则()0fxA=或()0fxA=−.7．已知实数a满足()()2lne11ln21ln2a+−+，则（）A．1eaaB．1eaaC．1e1eaa−−D．1e1eaa−−【答案】D【分析】根据()()2lne11

ln21ln2a+−+得111ee2ea+，对AB，构造()1exgxx=−，根据零点存在性定理判断即可；对CD，构造函数函数()()ln11xfxxx=−，求导分析函数单调性，结合所给不等式判断即可.【详解】由()()2lne1

1ln21ln2a+−+得111ee2ea+，对于选项A与B，函数()1exgxx=−在()0,+上单调递增，则存在012,23x，使得()00gx=，即00e1xx=，又2112eee1a+且0212e

,ee1x+，所以1eaa，1eaa均有可能，即1ea与a大小不确定．故A与B都不正确．对于选项C与D，令函数()()ln11xfxxx=−得()()211ln1xxfxx−−=−，令()()11ln1gxxxx=−−得()221110xgxxxx−=−=，所

以()gx在)1,+上单调递减所以当1x时，()()10gxg=，所以()()()201gxfxx=−，所以()fx在()1,+上单调递减，又111ee2ea+，所以()()efaf，所以lnlne1e1aa−−，即1e1eaa−−，故D正确．故选：D第6

页共25页8．已知四棱锥PABCD−外接球表面积为S，体积为,VPA⊥平面2,4,3ABCDPAABC==，且433V，则S的取值范围是（）A．10SB．20SC．103SD．203S

【答案】B【分析】将已知433V转化为3ABCDS，运用余弦定理与基本不等式得到AC的取值范围，由此运用正弦定理得四边形ABCD外接圆半径的范围，然后根据球的性质得球半径的范围，得解.【详解】以四边形ABCD的外接圆为底，PA为高

，将四棱锥补形为一个已知球的内接圆柱.设内接圆柱的底面半径为r、R外接球的半径，,则2222Rr=+，1443333ABCDABCDVSPAS==，故3ABCDS，()1213sinsin23234ABCDSABBCADDC

ABBCADDC=+=+，所以4ABBCADDC+在ABC中运用余弦定理与基本不等式得：2223ACABBCABBCABBC=++，在ADC△中运用余弦定理与基本不等式得：22233()3ACADDCADDCADDC=+−，上两式相加得

：243()12ACABBCADDC+，故有：23AC，在ABC中由正弦定理得：2312,,1233sin3ACrrACr==，因此22225Rr=+，2420SR=.故选：B第7页共25页二、多选题9．下列结论

正确的是（）A．若随机变量X服从两点分布，1(1)2PX==，则1()2DX=B．若随机变量Y的方差()2DY=，则(32)8DY+=C．若随机变量服从二项分布14,2B，则1(3)4P==D．若随机变量服从正态分布()25,N，(2)0.1P=，则(28)0.8

P=【答案】CD【分析】根据两点分布、二项分布、正态分布以及方差的性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A：若随机变量X服从两点分布，1(1)2PX==，则()DX=1111224−=，故A错误；对B：若随机变量Y的方差()2DY=

，则(32)DY+=()918DY=，故错误；对C：若随机变量服从二项分布14,2B，则(3)P==31341111224C−=，故正确；对D：若随机变量服从正态分布()25,N，(2)0.1P=，则(8)0.1P=，故(28

)1(2)(8)0.8PPP=−−=，故正确.故选：CD.10．已知正方体1111ABCDABCD−的边长为2，M为1CC的中点，P为侧面11BCCB上的动点，且满足//AM平面1ABP，则下列结论正确的是（）A．1AMBM⊥B．1//CD平面1A

BPC．动点P的轨迹长为2133D．AM与11AB所成角的余弦值为53【答案】BC【分析】建立空间直角坐标系，结合向量法判断各选项.【详解】如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则()0,0,2A，()10,2,2A，()0,0,0B，()2,1,0M，(),,0Pxy，所以

()10,2,2AB=−−，(),,0BPxy=，()2,1,2AM=−，第8页共25页由//AM平面1ABP，得1AMaABbBP=+，即022122bxabya+=−+=−=−，化简可得320xy−=，所以动点P在直线320xy−=上，A选项：()2,1,2AM=−，()

12,1,0BM=−，()()122112030AMBM=+−+−=，所以AM与1BM不垂直，所以A选项错误；B选项：11//CDAB，1AB平面1ABP，1CD平面1ABP，所以1//CD平面1AB

P，B选项正确；C选项：动点P在直线320xy−=上，且P为侧面11BCCB上的动点，则P在线段1PB上，14,2,03P，所以222142132033PB=++=，C选项正确；D选项：()110,0,2AB=−，()11222

42cos,32212AMAB==++−，D选项错误；故选：BC.11．设抛物线2:2(0)Cypxp=的焦点为F，O为坐标原点，直线:220lxyp−−=与C交于A，B两点，以AB为直径的圆与y轴

交于D，E两点，则（）A．||3ABp=B．||7DEp=C．DFE是钝角D．DEF的面积小于OAB的面积【答案】BCD【分析】联立方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，计算4ABp=，A错误；计算圆方程为：()222342xpypp骣琪-+-=琪

桫，计算得到B正确；计算0FDFE，得到C正确；274DEFSp=△，第9页共25页222OABSp=△，D正确；得到答案.【详解】直线:220lxyp−−=过抛物线焦点,02pF，设()11Axy，()22,Bxy，则

22?220ypxxyp=−−=，22304pxpx−+=，280p=，1221234xxppxx+==，124ABxxpp=++=，A错误；AB中点坐标为3,2Mpp，42ABpr==，2r

p=，圆方程为：()222342xpypp骣琪-+-=琪桫，取0x=得到72ypp=，7DEp=，B正确；不妨取70,2Dpp−，70,2Epp+，故2771,,022222ppFDFEppppp=−−

−+=−，,,DEF不共线，故DFE是钝角，C正确；211772224DEFpSDEOFpp===△，2221242222OABpSpp==+△，DEFOABSS△△，D正确；故选：BCD12．已知

函数()fx及其导函数()fx的定义域均为R，对任意的x，Ry，恒有()()()()2fxyfxyfxfy++−=，则下列说法正确的有（）A．()01f=B．()fx必为奇函数C．()()00fxf+D．若()112f=，则()2023

112nfn==【答案】BCD【分析】赋值法求()0f的值，判断A；赋值法结合导数以及函数奇偶性的定义，判断B；赋值法结合换元法判断C;利用赋值法求得(),Nfnn的值有周期性，即可求得()20231nfn=的值，判断D.【

详解】对于A，令0xy==，则由()()()()2fxyfxyfxfy++−=可得()()22020ff=，故(0)0f=或()01f=，故A错误；第10页共25页对于B,当(0)0f=时，令0y=

，则()()()()200fxfxfxf+==，则()0fx=，故()0fx=，函数()fx¢既是奇函数又是偶函数；当()01f=时，令0x=，则()()()2fyfyfy+−=，所以()()−=fyfy，()fx为偶函数，则()fx¢为奇函数；综合以上可知()fx¢必为奇函

数，B正确；对于C，令xy=，则()()()2202fxffx+=，故()()200fxf+。由于xR,令2,Rtxt=,即()()00ftf+，即有()()00fxf+，故C正确；对于D，若()112f=，令1,0xy==

，则()()()()11210ffff+=，则(0)1f=，故令1xy==，则()()()22021fff+=，即()()1121,222ff+==−，令2,1xy==，则()()()()31221ffff+=，即()113,(3)122ff+=−

=−，令3,1xy==，则()()()()42231ffff+=，即()1141,(4)22ff−=−=−，令4,1xy==，则()()()()53241ffff+=，即()1151,(5)22ff−=−=，令5,1xy==，则()()()

()64251ffff+=，即()116,(6)122ff−==，令6,1xy==，则()()()()75261ffff+=，即()1171,(7)22ff+==，L由此可得(),Nfnn的值有周期性，且6个为一周期，且(1)(2)(3)(4)(5)(6)0f

fffff+++++=，故()202311337[(1)(2)(3)(4)(5)(6)](1)2nfnfffffff==++++++=，故D正确，故选：BCD【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性和特殊

值以及求函数值的和的问题，涉及到导数问题，综合性强，对思维能力要求高，解答的关键是利用赋值法确定(),Nfnn的周期性.三、填空题13．今天是星期四，经过7天后还是星期四，那么经过60632天后是__________.【答案】星期五【分析】

利用周期含义以及指数运算即可.第11页共25页【详解】根据题意，周期为7，()2021202663102871==+，所以60632除以7的余数为1，即经过60632天后，为星期五.故答案为：星期五14．单位圆中，AB为一条直径，,CD为圆上两点且弦CD长

为3，则ACBD的取值范围是___________.【答案】333,322−−−+【分析】由题设()()()(1,0),(1,0),(cos,sin),cos120,sin120ABCD−++，再根据数量积坐标运算计算即可.【详解】解：如图，由弦CD长为3，可得

120COD=，不妨设()()()(1,0),(1,0),(cos,sin),cos120,sin120ABCD−++，则()()()(cos1,sin),cos1201,sin120AC

BD=+=+−+，所以()()(cos1)cos1201sinsin120ACBD=++−++1313(cos1)cossin1sinsincos2222=+−−−+−+333s

incos222=−−−()3333sin603,3222=−+−−−−+.故答案为：333,322−−−+.15．已知函数()3222fxxxx=−+，则曲线()yfx=经过点()1,1A的切线方程是______．【答案】0xy−=或3410xy−+=.【分析

】设切点，然后求导函数，进而得到该点处的切线方程，再代入点()1,1A即可.【详解】设切点为()32,2,2tttt−+对()yfx=求导得：()'22342,342fxxxktt=−+=−+，第12页共25页切线方程为：()()()3222

2342ytttttxt−+=−+−−，切线过()1,1A，()()()32222342,11tttttt−+=−+−−解之：12t=或1，所以斜率34k=或1，又过()1,1A，代入点斜式得切线方程为：3410xy−+

=或0xy−=，故答案为：0xy−=或3410xy−+=.16．设数列{}na首项132a=，前n项和为nS，且满足*123(N)nnaSn++=，则满足234163315nnSS的所有n的和为___

_______.【答案】9【分析】根据11,1,2nnnSnaSSn−==−求出数列{}na的通项，再根据等比数列的前n项和公式求出2nnSS，从而可得出答案.【详解】解：由123nnaS++=，得123(2)nnaSn−+=

，两式相减得()12202nnnaaan+−+=，则()1122nnaan+=，当1n=时，2123aa+=，所以213142aa==，所以数列{}na是以32为首项12为公比的等比数列，则311122311212nnnS−==−−，22

1312nnS=−，故2213112112312nnnnnSS−==+−，由234163315nnSS，得34116133215n+，所以15233n，所以4n=或5，即所有

n的和为459+=.故答案为：9.第13页共25页四、解答题17．在△ABC中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tanBsin2cosAA=−(1)若1tan2B=，求tanC的值：(2)已知中线AM交BC于M，角平

分线AN交BC于N，且31AMMN==，，求△ABC的面积．【答案】(1)tan2C=−或tan2C=；(2)365.【分析】（1）利用同角关系式可得3sin5A=或sin1A=，然后利用和角公式即得；（2）由题可得s

in2sinCB=，利用角平分线定理及条件可得32BMCN==，，进而可得2A=，2365b=，即得.【详解】（1）因为sin12cos2AA=−，所以222sincos2sincos1AAAA+=+=，解得3sin5A=或sin1A=,当3sin5A=时，3tan4A=，

1tan2B=，所以()31422tan3112tan4ABC+===−−+，tan2C=−；当sin1A=时，因为0A，所以2A=，又1tan2B=，所以tan2C=．（2）∵sintan2c

osABA=−，∴sinsincos2cosBABA=−，2sinsincossincosBBAAB−=，∴()2sinsincossincossinBBAABAB=+=+，即sin2sinCB=，∴2cb=，由角平分线定理可知，22ABBNcBNCNACC

Nb====，，又1MNBMCM==，，所以32BMCN==，，第14页共25页由132AMBC==，可得2A=，∴22236bca+==，2365b=，所以221136·2225Sbcbb====．18．已知数列{}na成等比数列，nS是其前n项的和，若()*132,,k

kkSSSk+++N成等差数列.(1)证明：132,,kkkaaa+++成等差数列；(2)比较2212kkSS+++与232kS+的大小；(3)若10a，n为大于1的奇数，证明：1231111131.2nnSSSSa−++++【答案】(1)证明见解析(2)2221232k

kkSSS++++(3)证明见解析【分析】（1）根据等差中项得3212kkaqa++==−，1232kkkaaa++++=即可；（2）作差法比较即可；（3）利用等比数列求和公式可得11113(1)122(1)nnnnSa++

−=−+−，然后进行求和即可得到答案【详解】（1）由题知，1232kkkSSS++++=，所以1121232()kkkkkkSSaSaa++++++++=++，所以322kkaa++=−，所以公比3212kkaqa++==−，所以21211311(1)2()222kkkkkaaaaa

++++++=−==−，所以1232kkkaaa++++=，第15页共25页所以132,,kkkaaa+++成等差数列.得证（2）由（1）得2222222121212312()22()22kkkkkkkkkSSSSSSSSS++++++++++−+−=+−=，因为

1220kkkSSa+++−=−，所以222212123()202kkkkkSSSSS+++++−+−=，所以2221232kkkSSS++++.（3）由（1）和题意得，11111()22(1)213212nnnnnaaS+−−

+−==+，所以11113(1)122(1)nnnnSa++−=−+−，所以123112311111311111......22121212121nnnnSSSSa−++++=−+−++−+−+−+11311111()()()23392121nnna−=−+−

++−−+*1131(0,21,N)2nankka−=+.得证19．2020年，新冠病毒席卷全球，给世界各国带来了巨大的灾难面对疫情，我们伟大的祖国以人民生命至上为最高政策出发点，统筹全国力量，上下一心，进行了一场艰苦的疫情狙击战，控制住了疫情的蔓延并迅速开展相关研

究工作．某医疗科学小组为了了解患有重大基础疾病（如，糖尿病、高血压…）是否与更容易感染新冠病毒有关，他们对疫情中心的人群进行了抽样调查，对其中50人的血液样本进行检验，数据如下表：感染新冠病毒未感染新冠病毒合计不患有重大基础疾病15患

有重大基础疾病25合计30（1）请填写22列联表，并判断是否有99%的把握认为患有重大基础疾病更容易感染新冠病毒；（2）在抽样调查过程中，发现某样本小组5人中有1人感染新冠病毒，需要通过化验血液来确定感第16页共25页染者，血液化验结果呈阳性即为感染者，呈阴性即

未感染．下面是两种化验方法：方法一：逐一检验，直到检出感染者为止；方法二：先取3人血液样本，混合在一起检验，如呈阳性则逐一检验，直到检出感染者为止；如呈阴性，则检验剩余2人中任意1人的血液样本．①求方法一的化验次数大于方法二的化验次数的概率；②用X表示方法二中化验的次数，

求X的数学期望．P()2Kk0.0500.0100.001k3.8416.63510.828附：()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++．【答案】（1）填表见解析；有；（2）①1325；②2

.4（次）．【分析】（1）根据题中数据，完成列联表，计算2256.6353k=，所以有99%的把握认为患重大基础疾病更容易感染新冠病毒．（2）①记()1,2,3,4iAi=表示依方法一需化验i次，()2,3jBj=表示依方法二需化验j次，分别计算()iPA和()jPB，分析计算，即可

得答案.②X的可能取值为2，3，分别计算()2PX=和()3PX=，代入公式，即可求得期望.【详解】解：（1）列联表完成如下图感染新冠病毒未感染新冠病毒合计不患有重大基础疾病101525患有重大基础疾病20525合计30205

0∴()22501052015256.635302025253k−==所以有99%的把握认为患重大基础疾病更容易感染新冠病毒．第17页共25页（2）记()1,2,3,4iAi=表示依方法一需化验i次，()2,3jBj=表示依方法二需化验j次，A表示

方法一的化验次数大于方法二的化验次数，依题意知3A与2B相互独立．①()115PA=，()2411545PA==，()343115435PA==，()443225435PA==()3244233155335CCPBCCC=+=，()214233153C

C2CC5PB==由于324AABA=+所以()()()()()()()3243243241321355525PAPABAPABPAPAPBPA=+=+=+=+=即()1325PA=②X的可能取值为2，3．()()

32442331553325CCPXPBCCC===+=，()()214233153CC23CC5PXPB====所以3212232.4555EX=+==（次）【点睛】独立性检验一般步骤：（1）根据数据完成22

列联表；（2）根据公式计算2K；（3）查表比较2K与临界值的大小关系，作出判断.20．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答．①()0BAPAPD+=；②7PC=；③点P在平面ABCD的射影在直线AD上．如图，平面五边

形PABCD中，PAD是边长为2的等边三角形，ADBC∥，22ABBC==，ABBC⊥，将PAD沿AD翻折成四棱锥PABCD−，E是棱PD上的动点（端点除外），F，M分别是AB，CE的中点，且______．(1)求证：FM∥平面PAD；(2)当EF与平面PAD所成角最大时，求平面ACE与平面

ABCD所成的锐二面角的余弦值．第18页共25页【答案】(1)证明见解析(2)25117【分析】（1）取CD中点为G，可得MGED∥，FGAD∥，再由线面平行、面面平行的判定定理可得答案；（2）取AD为O，连接PO，FG，EG．选择①：由()0BAPAPD+=得BAPO⊥，再由线面垂直的判

定定理可得BA⊥平面PAD．则AEF即为EF与平面PAD所成的角，由1tanAFAEFAEAE==，当AE最小时，AEF最大，E为PD的中点，AE最小．再求二面角余弦值：以点O为坐标原点，以OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，求出

平面CAE的法向量和平面ABCD的法向量，再由二面角的向量求法可得答案；选择②：连接OC，可得BAPO⊥，由线面垂直的判定定理可得BA⊥平面PAD，则AEF即为EF与平面PAD所成的角．由1tanA

FAEFAEAE==，得AE最小时，AEF最大，E为PD的中点，AE最小．再求二面角余弦值以点O为坐标原点，以OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面CAE的法向量和平面ABCD的法向量，再由二面角的向量求法

可得答案；选择③：P在平面ABCD的射影在直线AD上，得平面PAD⊥平面ABCD，由面面垂直的性质得BA⊥平面PAD，AEF即为EF与平面PAD所成的角，1tanAFAEFAEAE==，当AE最小时，AEF最大，即

E为PD中点，AE最小．再求二面角余弦值，以点O为坐标原点，以OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面CAE的法向量和平面ABCD的法向量，再由二面角的向量求法可得答案.【详解】

（1）取CD中点为G，连接MG，FG，则MG，FG分别为三角形CDE，梯形ABCD的中位线，∴MGED∥，FGAD∥，MG平面MNG，MG平面PAD，所以//MG平面PAD，同理，FG∥平面PAD，∵MG

FGG=，∴平面MNG∥平面PAD，第19页共25页∵FM平面MGF，∴FM∥平面PAD.（2）取AD为O，连接PO，FG，EG，选择①：因为()0BAPAPD+=，2PAPDPO+=，所以0BAPO=，即BAPO⊥，又BAAD⊥，ADPOO=，所以BA⊥平面PAD，连接AE，EF

，所以AEF即为EF与平面PAD所成的角，因为1tanAFAEFAEAE==，所以当AE最小时，AEF最大，所以当AEPD⊥，即E为PD的中点，AE最小，下面求二面角余弦值，∵BA平面ABCD，∴平

面ABCD⊥平面PAD，∵平面ABCD⊥平面PAD，平面ABCD平面PADAD=，∵POAD⊥，∴PO⊥平面ABCD，以点O为坐标原点，以OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,1,0A−，130,,22E，()2,0,

0C，所以330,,22AE=，()2,1,0AC=，设平面CAE的法向量为()111,,mxyz=，则1111330,2220yzxy+=+=，令13z=，得1,1,32m=

−，由题意可知：平面ABCD的法向量为()001n,,=，第20页共25页所以251cos,17mnmnmn==，所以平面ACE与平面PAD所成的锐二面角的余弦值为25117．选择②：连接OC，则2==O

CAB，3OP=，因为7PC=，222PCOPOC=+，所以BAPO⊥，又BAAD⊥，ADPOO=，所以BA⊥平面PAD，连接AE，EF，所以AEF即为EF与平面PAD所成的角，因为1tanAFAEFAEAE==，所以当AE最小时，AEF最大，所以当AEPD⊥

，即E为PD的中点，AE最小，下面求二面角余弦值，∵BA平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面PAD，∵平面ABCD⊥平面PAD，平面ABCD平面PADAD=，∵POAD⊥，∴PO⊥平面ABCD，以点O为坐标原点，以OC为x轴，OD为y轴，OP为z

轴，建立如图所示的空间直角坐标系，于是()0,1,0A−，130,,22E，()2,0,0C，所以330,,22AE=，()2,1,0AC=，设平面CAE的法向量为()111,,mxyz

=，则1111330,2220yzxy+=+=，令13z=，得1,1,32m=−，第21页共25页由题意可知：平面ABCD的法向量为()001n,,=，所以251cos,17mnmnm

n==，所以平面ACE与平面PAD所成的锐二面角的余弦值为25117．选择③：因为点P在平面ABCD的射影在直线AD上，所以平面PAD⊥平面ABCD，因为平面PAD平面ABCDCD=，OP平面PAD，ADPO⊥，所以

OP⊥平面ABCD，所以BAPO⊥．又BAAD⊥，ADPOO=，所以BA⊥平面PAD，连接AE，EF，所以AEF即为EF与平面PAD所成的角，因为1tanAFAEFAEAE==，所以当AE最小时，AEF最大，所以当AEPD⊥

，即E为PD中点，AE最小．下面求二面角余弦值，∵BA平面ABCD⊥，∴平面ABCD⊥平面PAD，∵平面ABCD平面PAD，平面ABCD平面PADAD=，∵POAD⊥，∴PO⊥平面ABCD，以点O为坐标原点

，以OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，于是()0,1,0A−，130,,22E，()2,0,0C．所以330,,22AE=，()2,1,0AC=

，第22页共25页设平面CAE的法向量为()111,,mxyz=，则1111330,2220yzxy+=+=，令13z=，得1,1,32m=−．由题意可知：平面ABCD的法向量为()0

01n,,=，所以251cos,17mnmnmn==，所以平面ACE与平面PAD所成的锐二面角的余弦值为25117．21．已知双曲线：2222=1(0,0)axyabb−的焦距为4，且过点32,3P(1)求双曲线的方程；(2)过双

曲线的左焦点F分别作斜率为12,kk的两直线1l与2l，直线1l交双曲线于,AB两点，直线2l交双曲线于,CD两点，设,MN分别为AB与CD的中点，若121kk−=，试求OMN与FMN△的面积之比.【答案】(1)2213xy−=(2)3【分析】（1）由题意得24c=，再

将32,3P代入双曲线方程，结合222cab=+可求出22,ab，从而可求出双曲线方程，（2）设直线1l方程为1(2)ykx=+，1122(,),(,)AxyBxy，将直线方入双曲线方程化简后利用根与系数第23页共25页的关系，

结合中点坐标公式可表示点M的坐标，再利用121kk−=表示出点N的坐标，再表示出直线MN的方程，可求得直线MN过定点(3,0)E−，从而可求得答案.【详解】（1）由题意得24c=，得=2c，所以224ab+=，因为点32,3P在双曲线上，所

以22413=1ab−，解得223,1ab==，所以双曲线方程为2213xy−=，（2）(2,0)F−，设直线1l方程为1(2)ykx=+，1122(,),(,)AxyBxy，由122=(+2)=13ykxxy−，得22221

11(13)121230kxkxk−−−−=则22111212221112123,1313kkxxxxkk−−+==−−，所以2121216213xxkk+=−，所以AB的中点211221162,1313kkMkk

−−，因为121kk−=，所以用11k−代换1k，得1221126,33kNkk−−−，当212211661313kkk=−−，即11k=时，直线MN的方程为3x=−，过点(3,0)E−，

当11k时，112211122112211221332663(1)133MNkkkkkkkkkk−−−−==−−−−−，直线MN的方程为2111222111226133(1)13kkkyxkkk

−=−−−−−，第24页共25页令=0y，得221122113(1)631313kkxkk−=+=−−−，所以直线MN也过定点(3,0)E−，所以12312NMOMNFMNMNyyOEOESSFEyyFE−===−22．已知函数()()ln1fxx=+，2()1(gxxb

xb=++为常数)，()()().hxfxgx=−(1)若函数()fx在原点的切线与函数()gx的图象也相切，求b；(2)当2b=−时，12,0,1xx，使12()()hxhxM−成立，求M的最大值；(3)若函数()hx

的图象与x轴有两个不同的交点12(,0),(,0)AxBx，且120xx，证明：1202xxh+＜【答案】(1)3b=或1−；(2)ln21+；(3)证明过程见解析.【分析】（1）计算()fx在原点的切线

方程，然后与()gx联立，利用Δ0=，计算即可.（2）求得()hx，判断函数()hx单调性，根据条件等价于()()maxminhxhxM−，简单计算即可.（3）利用()()1200hxhx==，求得()()211221ln1ln1xxxxbxx+−+++=−，然后计算

122xxh+，并利用等价条件可得()21221121ln021xxxxxx−+−+++，构建新函数并采取换元2111xtx+=+，求导计算即可.【详解】（1）由()11fxx=+，所以()()01,00ff==，所以

函数()fx在原点的切线方程为：yx=，将该切线方程代入()gx可得：()2110xbx+−+=，依据题意可得()21403bb=−−==或1−，所以3b=或1−；（2）当2b=−时，()2()ln121hxxxx=+−+−，()21322211xhxxx

x−=−+=++，当0,1x时，()0hx，所以()hx在0,1单调递增，则()()()()maxmin1ln2,01hxhhxh====−，第25页共25页由题可知：12,0,1xx使得()()12hxhxM−成立等价于()()maxminhxhx

M−，所以ln21M+，所以M的最大值为ln21+；（3）由题可知：()()()()2111122222ln110ln110hxxxbxhxxxbx=+−−−==+−−−=，所以两式相减可得：()()211221ln1ln1xxxxbxx+−+++=−，由1()21hxx

bx=−−+，所以()121212222xxhxxbxx+=−++++，所以()()21121221ln1ln1222xxxxhxxxx+−++=−++−，由120xx，要证1202+

xxh，即证()21221121ln021xxxxxx−+−+++，即()()()()2122112111ln0111xxxxxx+−++−++++，令()21111xttx+=+，所以即证明：22ln01ttt−−

+，令()()22ln11tmtttt−=−+，所以()()()2211tmttt−−=+，当1t时，()0mt，所以()mt在()1,+单调递减，所以()()10mtm=，所以1202+x

xh.【点睛】关键点睛：第（1）问关键在于求得切线方程；第（2）问在于使用等价转化()()maxminhxhxM−；第（3）问在于化简得到()()211221ln1ln1xxxxbxx+−+++=−，然后进行换元计算.