【文档说明】2023届河南省许昌市建安区第三高级中学高三上学期诊断性测试二数学文试题解析版.doc，共(18)页，2.610 MB，由小喜鸽上传

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第1页共18页2023届河南省许昌市建安区第三高级中学高三上学期诊断性测试（二）数学（文）试题一、单选题1．若集合3{24},log1xMxNxx==，则MN=（）A．{23}xxB．{0}xxC．{02xx或2}xD

．R【答案】B【分析】利用指数函数以及对数函数的单调性求得集合,MN，根据集合的并集运算即可得答案.【详解】解24x得2x，解3log1x得03x，故得2,03MxxNxx==，故0MNxx=，故选：B．2．已知非零向量

,abrr的夹角正切值为26，且()()32abab+⊥−rrrr，则ab=rr（）A．2B．23C．32D．1【答案】D【分析】先求出非零向量,abrr的夹角余弦值，再利用向量数量积的运算律和定义处理()()32abab+⊥−rrrr，即可得到答案.【详解】解

析设ar，br的夹角为，由tan26=得1cos5=.因为()()32abab+⊥−rrrr，所以()()222232253230ababaabbaabb+−=+−=+−=rrrrrrrrrrrr，得2

2230aabb+−=rrrr，解得1ab=rr或32ab=−rr（舍去）.故选：D.3．已知cos21sincos3=+，则3sin4+=（）A．26−B．13C．26D．13−第2页共18页【答案】C【分析】结合题干条件以及余弦的二倍角公式得到1cossin3

−=，进而结合两角和的正弦公式即可求出结果.【详解】因为()()22cossincossincos2cossin1cossinsincossincossincos3−+−===−=+++

，所以()3332212sinsincoscossincossin4442236+=+=−==，故选：C.4．在如图所示的程序框图中，输入4N=，则输出的数等（）A．34B

．45C．1315D．56【答案】B【分析】根据流程图模拟计算后可求输出的值.【详解】第一次判断后，1,1,42Skk==，第二次判断后，112,2,4263Skk=+==，第三次判断后，213,3,43124Skk=+==，第四次判断后，314,4,44205Skk=+==不成立

，故终止循环，故选：B.5．“m=0是“直线()12110mxmly+−+=：与直线()22110lmxmy+−−=：之间的距离为2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

第3页共18页【答案】A【分析】根据平行线间的距离公式可得0m=或45m=，进而根据充分与不必要条件的定义判断即可.【详解】两条平行线间的距离()2212(21)1dmm==+−−−，即2540mm−=，解得0m=或45m=，即“0m=”是“两直线间距离为2”的充分不必要条件.故选：A.

6．2020年支付宝推出的“集福卡，发红包”活动中，用户只要集齐5张福卡，就可拼手气分支付宝5亿元超级大红包，若活动的开始阶段，支付宝决定先从富强福、和谐福、友善福、爱国福、敬业福5个福中随机选出3个福，投放到支付宝用户中，则富强福和友善福至少有1个被选中的概率为（）．A．25B．23

C．35D．910【答案】D【解析】先求出富强福和友善福两个都没有被选中的概率，然后再由1110P=−可得答案.【详解】从富强福、和谐福、友善福、爱国福、敬业福5个福中随机选出3个福有3510C=选法，富强福和友善福两个都没有被选中有331C=种选法，所以富强福和友善福两个都没有被选

中的概率为110，则富强福和友善福至少有1个被选中的概率为1911010P=−=，故选：D．7．若x，y满足不等式组1010330xyxyxy+−−−−+…„…，则下列目标函数中在点(3,2)处取得最小值为（）A．4zxy=−

B．4zxy=−C．4zxy=+D．4zxy=+【答案】A【分析】根据不等式组画出可行域，再分析各选项即可.【详解】作出满足题设约束条件的可行域，即如图ABCV内部（含边界）第4页共18页易得(3,2)B作直线1

:40lxy−=，把直线1l向上平移，z减小，当1l过点(3,2)B时，4zxy=−取得最小值，故A正确；作直线2:40lxy−=，把直线2l向上平移，z减小，当2l过点(3,2)B时，4zxy=−取得最大值，故B错误；作直线3:40lxy+=，把直

线3l向上平移，z增加，当3l过点(3,2)B时，4zxy=+取得最大值，故C错误；作直线4:40lxy+=，把直线4l向上平移，z增加，当4l过点(3,2)B时，4zxy=+取得最大值，故D错误．故选：A．8．函数()lncossinxxfxxx

=+在)(π,00,π−的图像大致为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】判断函数的奇偶性，可判断A；取特殊值，根据特殊值的函数值可判断B,C,D,可得答案.【详解】由题意函数()lncossinxxfxxx=+，)(π,00,πx−，第5页共18页则()lnc

os()()sin()xxfxfxxx−−−==−−+−，故()lncossinxxfxxx=+为奇函数，其图像关于原点对称，故A错误；又因为(1)(1)0ff=−=，ππ()()022ff=−=,可判断

B错误，1lnln23πππ3()0,(π)=0π323πff−+=，故C错误，只有D中图像符合题意，故D正确，故选：D9．已知ABCV中，π26BAC==，，则π6A=的充要条件是（）A．ABCV是等腰三角形B．23AB=C．4BC=D．3,ABCSBCBA=V【答案】D【分析

】根据正余弦定理即可结合选项逐一求解.【详解】由于π6B=，故当ABCV是等腰三角形时，π6A=或5π12A=或2π3A=；当π6A=时，ABCV是等腰三角形，所以ABCV是等腰三角形是π6A=

的必要不充分条件，所以选项A不正确；当23AB=时，sinsinABACCB=，即2323,sinπsin2sin6CC==，所以π3C=或2π3C=，则π2A=或π6A=；当π6A=时，2π3C=，根据正

弦定理可得23AB=，所以23AB=是π6A=的必要不充分条件，所以选项B不正确；当4BC=时，sinsinBCACAB=，即42πsinsin6A=，解得πsin1,2AA==，所以4BC=不是π6A=的充分条件，所以选项C不正确；当π6A=时，3ABCS=V；当3ABCS

=V时，即1sin3,432BCBABBCBA==，根据余弦定理222cos4BCBABCBAB+−=，解得2216,,2,23BCBABCBABCBA+===Q，则π6A=，所以3,ABCSBCBA=V是π6A

=的充要条件，故选：D．第6页共18页10．如图，点P在以12,FF为焦点的双曲线()222210,0xyabab−=上，过P作y轴的垂线，垂足为Q，若四边形12FFPQ为菱形，则该双曲线的离心率为A．3B．2C．312+D．

231−【答案】C【分析】连接2QF,可得三角形2QPF为等边三角形，过点P作PH⊥x轴于点H,则∠2PFH=60o，可得2PF|=2c,,|PH|=3c,|2HF|=c，连接1PF,利用双曲线的性质,2a=|1PF|-|2PF|=23c-2c=2(31)c-,可得离心率e.【详解】解：

由题意得：四边形12FFPQ的边长为2c,连接2QF,由对称性可知,|2QF|=|1QF|=2c,则三角形2QPF为等边三角形.过点P作PH⊥x轴于点H,则∠2PFH=60o，Q|2PF|=2c,在直角三角形2PFH中,|PH|=3c,|2HF|=c,则P(2c,3

c),连接1PF,则|1PF|=23c.由双曲线的定义知,2a=|1PF|-|2PF|=23c-2c=2(31)c-,所以双曲线的离心率为e=ca=131−=132+，故选C.【点睛】本题主要考查双曲线的相关性质及菱形的性质，灵活

运用双曲线的性质是解题的关键.第7页共18页11．若函数()2ln2fxxaxx=+−在()0,1上存在极大值点，则a的取值范围为（）A．10,2B．1,2+C．()0,+D．1,2−【答案】D【分析】求出函

数的导数()2221axxfxx−+=，令2()221gxaxx=−+，讨论a的取值范围，结合()2ln2fxxaxx=+−在()0,1上存在极大值点，结合二次函数性质列出相应不等式，即可求得答案.【详解】由题意()2ln2,0fxxaxxx=+−可得()2122122axxfxaxxx

−+=+−=，令2()221gxaxx=−+，则(0)1g=，当0a=时，1()210,2gxxx=−+==，当102x时，()0fx¢>，()fx递增，当12x时，()0fx，()fx递减，函数()fx在12x=时取极大值，符合题意；当0a时，

()gx图象对称轴为102xa=，此时要使函数()2ln2fxxaxx=+−在()0,1上存在极大值点，需满足(1)0g，即1210,2aa−，则102a，此时112xa=，()gx在()0,1上

递减，存在0x，使得0()0gx=，则当00xx时，()0fx¢>，()fx递增，当01xx时，()0fx，()fx递减，函数()fx在0xx=时取极大值，符合题意；当a<0时，()gx图象开口向下，对称轴为102xa=，此时要使函数()2ln2fxxaxx=+−在()0

,1上存在极大值点，需满足(1)0g，即1210,2aa−，则a<0，同上同理可说明此时符合题意，综合上述，可知a的取值范围为1,2−，故选：D二、多选题12．已知复数z满足2ii4zz−=+，则下列说法中正确的是（）A．复数z的模为10B．复数z在复平面内所对应的点在第四

象限第8页共18页C．复数z的共轭复数为13i−+D．20231i3z−=−【答案】AD【分析】根据复数的四则运算和几何意义求解即可.【详解】因为2ii4zz−=+，所以(1i)42iz−=+，()

()()()21i2i42i13i1i1i1iz+++===+−+−，有121310z=+=，故A正确；复数z在复平面内所对应的点为(1,3)，位于第一象限，故B错误；复数z的共轭复数为13iz=−，故C错误；因为202320231ii3z−==−，故D正确，故选:AD.三、填空

题13．曲线()()1lnxfxxex=++在()1,a处的切线与直线20bxy−+=平行，则ba−=___________.【答案】1e+【分析】求得()()12xfxxex=++，得到()()131,12xfefe=+=，根据题意得到()()1

,1bfaf==，即可求解.【详解】由题意，函数()()1lnxfxxex=++，可得()()12xfxxex=++，可得()131fe=+，()12fe=，因为曲线()yfx=在()1,a处的切线与直线20bxy−+=平行，可得()()131,12bfeafe+==

==，所以1bae−=+.故答案为：1e+14．把函数()22coscos23fxxx=++的图像向右平移个单位长度，得到的图像所对应的函数()gx为偶函数，则的最小正值为________

__．【答案】12第9页共18页【分析】先化简()fx的解析式，再由平移得出()gx的解析式，由()gx为偶函数，所以26k−+=，kZ，从而可得出答案.【详解】由函数()21cos22coscos22cos2cossin2sin3233xfxxxx

x+=++=+−33cos2sin213cos21226xxx=−+=++把函数()fx的图象向右平移个单位长度，得到函数()()3cos216gxx=−++即()3cos16g22xx=−++

的图象．因为()gx为偶函数，所以26k−+=，kZ，解得212k=−+，kZ，当0k=时，取得最小正值，最小正值为12．故答案为：1215．设数列{}na首项132a=，前n项和为nS

，且满足*123(N)nnaSn++=，则满足234163315nnSS的所有n的和为__________.【答案】9【分析】根据11,1,2nnnSnaSSn−==−求出数列{}na的通项，再根据等比数列的前n项和公式求出2nnSS，从而可得出答案.【详解】解

：由123nnaS++=，得123(2)nnaSn−+=，两式相减得()12202nnnaaan+−+=，则()1122nnaan+=，当1n=时，2123aa+=，所以213142aa==，所以数列{}na是以32为首项12为公比的等比数列，则31112231121

2nnnS−==−−，221312nnS=−，第10页共18页故2213112112312nnnnnSS−==+−，由234163315nnSS，得34116133215n+

，所以15233n，所以4n=或5，即所有n的和为459+=.故答案为：9.16．三棱锥−PABC的所有顶点都在半径为2的球O的球面上.若PAC是等边三角形，平面PAC⊥平面ABC，ABBC⊥，则三棱锥−PABC体积

的最大值为________.【答案】3【解析】作图，设PAx=，则112AOx=，1PO=32x，2113124222POxOOx==+=−+，求出x，根据图像得，底面三角形ABC的面积最大时，即底面为等腰直角三角形时，三棱锥−PABC的体积最大，进而求解可得答案【详解】根据AB

BC⊥可知，AC为三角形ABC所在截面圆1O的直径，又平面PAC⊥平面ABC，APC△为等边三角形，所以P在1OO上，如图所示，设PAx=，则112AOx=，1PO=32x，2113124222POxOOx==+=−+，

22312422xx−=−，2230xx−=，23x=，112332AO==，132332PO==，当底面三角形ABC的面积最大时，即底面为等腰直角三角形时，三棱锥−PABC的

体积最大，此时，113ABCVSPO=V112333332==第11页共18页故答案为：3【点睛】关键点睛：解题关键是根据三角形的形状判断球心O的位置，得出B到平面APC的最大距离，难度属于中档题四

、解答题17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知36ab+=，π3C=.(1)若3a=，求tanB的值；(2)求ABACBABC+uuuruuuruuuruuur的最小值.【答案

】(1)35(2)2713【分析】（1）根据正弦定理边化角即可；（2）利用余弦定理结合已知得ABACBABC+uuuruuuruuuruuur2134236bb=−+，利用二次函数求得最小值．【详解】（1）解：

3a=Q，且36ab+=，32aba+=，3ab=，由正弦定理可知sin3sinAB=，πABC++=Q，()sinsinπsin()ABCBC=−+=+，即πsin3sin3BB+=，ππsincoscossin3sin33BBB+=，整理得35coss

in22BB=，3tan5B=；（2）解：coscosABbcAacACBABCB+=+uuuruuuruuuruuurQ，由余弦定理可知222222222bcaACBABacABcCb+−+−=+=+

uuuruuuruuuruuur，222222coscababCabab=+−=+−Q，且36ab+=，222(63)(63)134236ABbbbbbACBABCb=−+−−=+−+uuuruuuru

uuruuur，第12页共18页当2113b=时，ABACBABC+uuuruuuruuuruuur的最小值为2212127134236131313−+=．18．随着人民生活水平的日益提高，汽车普

遍进入千家万户，尤其在近几年，新能源汽车涌入市场，越来越受到人们喜爱．某新能源汽车销售企业在2017年至2021年的销售量y（单位：万辆）数据如下表：年份2017年2018年2019年2020年2021年年

份代号x12345销售量y（万辆）75849398100(1)请用相关系数判断y关于x的线性相关程度（参考：若0.30.75r，则线性相关程度一般，若0.75r，则线性相关程度较高，计算r时精确到小数点后两位）；(2)求出y关于x的线性回归方程，并预计2022年该新能源汽车企

业的销售量为多少万辆？参考数据：()521434iiyy=−=，()()5164iiixxyy=−−=，434065.879附：相关系数()()()()12211niiinniiiixxyyrxxyy===−−=−−，回归直线方程的斜率()()()121niiin

iixxyybxx==−−=−$，截距aybx=−$$【答案】(1)y与x有很强的线性相关性；(2)$6.470.8yx=+，109.2万辆.【分析】（1）根据公式求出线性相关系数r，从而可得出结论；（2）利用最小二乘法求出线性回归方程，再代入x的值，即可得出预计值.【详解】（1）解

：由表中数据可得3x=，90y=，∴()52110iixx=−=，又()521434iiyy=−=，()()5164iiixxyy=−−=，∴()()()()51552211640.970.754340iiiiiiixxyyrxxyy===−−==−−，所以y与x

有很强的线性相关性；第13页共18页（2）解：由表中数据可得()()()5152164ˆ6.410iiiiixxyybxx==−−===−，则$906.4370.8aybx=−=−=$，∴$6.470.8yx=+，又202

2年对应的代号为6，故$6.4670.8109.2y=+=，由此预计2022年该新能源汽车企业的销售量为109.2万辆．19．如图，ABCV是边长为3的等边三角形，,EF分别在边,ABAC上，且2AEAF==，M为BC边的中点，AM交EF于点O，沿EF将AEF△折到DEFV的位置，使

152DM=.(1)证明：DO⊥平面EFCB；(2)若平面EFCB内的直线//EN平面DOC，且与边BC交于点N，R是线段DM的中点，求三棱锥RFNC−的体积.【答案】(1)证明见解析；(2)18.【分析】（1）首先确定//EFBC，在DOM△中，利用勾股定理可证得

DOOM⊥；再根据等腰三角形三线合一可得DOEF⊥；由线面垂直的判定定理可得结论；（2）连接OC，作//ENOC交BC于点N，由线面平行的判定可知//EN平面DOC，进而确定1CN=，由12RFNCDFNCVV−−=，利用三棱锥体积公式可得结果.【详解】（1）ABCQV为

等边三角形，M为BC中点，AMBC⊥，933942AM=−=；2AEAF==Q，即23AEAB=，23AFAC=，//EFBC，23AOAM=，则在DOM△中，233DOAOAM===，1332OMAM==，152DM=，第14页共18页222DMDOOM=+，即

DOOM⊥；//EFBCQ，O为EF中点，又DEDF=，DOEF⊥；OMEFO=QI，,OMEF平面EFCB，DO⊥平面EFCB.（2）连接OC，过E在平面EBCF上作//ENOC交BC于点N，OCQ平面DOC，

EN平面DOC，EN//平面DOC，此时四边形OCNE为平行四边形，11123CNOEEFBC====，1111113111322323228RFNCDFNCFNCVVSDO−−====V，

即三棱锥RFNC−的体积为18.20．已知函数()lnfxxmx=−，其中mR.(1)讨论()fx的单调性；(2)若12elnxaxaxx−−−对任意的,()0x+恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(

1)答案见解析(2)(,1]−【分析】（1）首先求出函数的定义域与导函数，分0m与0m两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；（2）依题意只需1e(ln)xaxxx−−，即需要ln1e(ln)xxaxx−−−恒成立，设l(n

)txxx−=，0x，由（1）中的结论求出()tx的最小值，则问题转化为1etat−，1t恒成立，参变分离可得eetat，1t恒成立，再构造函数e()ethtt=，1t，利用导数求出函数的最小值，即可求出参数的取值范围；【详解】（1）解：因为()l

nfxxmx=−定义域为()0,+，且()1mxmfxxx−=−=，当0m，()0fx恒成立，所以该函数在(0,)+上单调递增；第15页共18页当0m，令()0fx，解得x>m，令()0fx，解得0xm，所以该函数的单调增区间为(,)m+，单调减区间为(0,)m.综上

，当0m，()fx的单调递增区间为(0,)+；当0m，()fx的单调增区间为(,)m+，单调减区间为(0,)m.（2）解：若要12elnxaxaxx−−−，只需1e(ln)xaxxx−−，即需要ln1e(ln)xxaxx−−−恒成立.设l(n)txxx−=，0x，由（

1）知()tx在()0,1上单调递减，在(1,)+上单调递增，所以()(1)1txt=，于是需要1etat−，1t恒成立，即eetat，1t恒成立.设e()ethtt=，1t，则e(1)()0et

thtt−=恒成立，所以min()(1)1hth==，则1a，即(,1]a−.21．已知双曲线：2222=1(0,0)axyabb−的焦距为4，且过点32,3P(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线的左焦点F分别作

斜率为12,kk的两直线1l与2l，直线1l交双曲线于,AB两点，直线2l交双曲线于,CD两点，设,MN分别为AB与CD的中点，若121kk−=，试求OMNV与FMN△的面积之比.【答案】(1)2

213xy−=(2)3【分析】（1）由题意得24c=，再将32,3P代入双曲线方程，结合222cab=+可求出22,ab，从而可求出双曲线方程，（2）设直线1l方程为1(2)ykx=+，1122(,),(,)Ax

yBxy，将直线方入双曲线方程化简后利用根与系数的关系，结合中点坐标公式可表示点M的坐标，再利用121kk−=表示出点N的坐标，再表示出直线MN的方程，可求得直线MN过定点(3,0)E−，从而可求得答案.第1

6页共18页【详解】（1）由题意得24c=，得=2c，所以224ab+=，因为点32,3P在双曲线上，所以22413=1ab−，解得223,1ab==，所以双曲线方程为2213xy−=，（2）(2,0)

F−，设直线1l方程为1(2)ykx=+，1122(,),(,)AxyBxy，由122=(+2)=13ykxxy−，得2222111(13)121230kxkxk−−−−=则22111212221112123,

1313kkxxxxkk−−+==−−，所以2121216213xxkk+=−，所以AB的中点211221162,1313kkMkk−−，因为121kk−=，所以用11k−代换1k，得1221

126,33kNkk−−−，当212211661313kkk=−−，即11k=时，直线MN的方程为3x=−，过点(3,0)E−，当11k时，112211122112211221332663(1)133MNkkkkkkkkkk−−−−==−

−−−−，直线MN的方程为2111222111226133(1)13kkkyxkkk−=−−−−−，令=0y，得221122113(1)631313kkxkk−=+=−−−，所以直线MN也过定点(3,0)E−，第1

7页共18页所以12312NMOMNFMNMNyyOEOESSFEyyFE−===−VV22．在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为22cos2sinxy=+=（为参数，0π），2C的参数方程为212252

xtyt=−=+（t为参数）.(1)求1C的普通方程并指出它的轨迹；(2)以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线OM：π4=与曲线1C的交点为O，P，与2C的交点为Q，求线段PQ的长.【答案】(1

)答案见详解；(2)2.【分析】（1）消去，即可求得1C的普通方程为()2224xy−+=，轨迹为圆，又0π，方程为()2224xy−+=()02y＃，可知轨迹为上半圆及其与x轴的两个交点；（2）根据（1）可求得1C的极坐标

方程为14cos=，π0,2，代入π4=，可求得22OP=.将2C的参数方程化为普通方程后，可求得极坐标方程22cossin6+=，代入π4=，可求得32OQ=，进而求出线段PQ的长.【详解】（1）由已知22cos2sinxy=+=可得，2

2cos2sinxy−==，则()()()222222cos2sin4xy−+=+=，又0π，所以0sin1，则02y.所以1C的普通方程为()2224xy−+=()02y＃，轨迹为以()2,0为圆心，2为半径的圆的上半圆以及

其与x轴的两个交点()0,0，()4,0.（2）由曲线()221:24Cxy−+=()02y＃化为极坐标方程：14cos=，π0,2.把π4=代入可得1π4cos224==，所以22OP=.第18页共18页2C的参数方程为212252xtyt=−=+（t为参

数），消去参数t可得6xy+=，可得极坐标方程为22cossin6+=，把π4=代入方程可得222ππcossin2644+==，所以232=，所以32OQ=.又,,OPQ三点共线，且有32222PQOQOP=−=−=.23．已知关于x的不等式123xxt+

−+−有解．(1)求实数t的最大值M；(2)在（1）的条件下，已知,,abc为正数，且23abcM=，求()22abc++的最小值．【答案】(1)6M=(2)36【分析】（1）利用绝对值不等式得()()12123xxxx+−−+−−=，所

以123xxt+−−−有解只需33t−即可；（2）利用均值不等式求解即可.【详解】（1）因为()()12123xxxx+−−+−−=，当且仅当2x等号成立所以12xx+−−的最大值为3．因为不等式()3fxt−有解，所以33t−，解得06t，所以实数t的最大值6M=．

（2）由（1）知，123abc=，因为()2224abcabc+++≥（当且仅当ab=时，等号成立），()()()()22222333422322343412336abcababcababcabc+=++===，当且仅当22abc=，即6ab==，23

c=时，等号成立，所以()22abc++的最小值为36．