【文档说明】2023届河南省顶级名校高三上学期12月摸底考试数学理试题解析版.doc，共(20)页，2.779 MB，由小喜鸽上传

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第1页共20页2023届河南省顶级名校高三上学期12月摸底考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合22150Axxx=−−∣，3,1,1,3,5B=−−，则AB=（）A．1,3B．3,1,1−−C．1,1−D．1,1,3

−【答案】D【分析】首先化简集合532Axx=−∣，然后根据交集运算即可求得结果.【详解】解22150xx−−可得532x−，所以532Axx=−∣.所以533,1,1,3,51,1,32ABxx=−−−=−∣.故选：D

.2．南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差

数列，其前7项分别为1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第20项为（）A．172B．183C．191D．211【答案】C【分析】构造数列1nnaa+−，并利用等差数列的性质即可求得原数列的第20项为191【详解】高阶等差数列na：1，2，4，7，11，16，22，L

，令1nnnbaa+=−，则数列nb：1，2，3，4，5，6，L，则数列nb为等差数列，首项11b=，公差1d=，nbn=，则1nnnaa+−=则()()()()2020191918181721

1aaaaaaaaaa=−+−+−++−+()19(191)1918171111912+=+++++=+=故选：C3．已知π2sin123−=，则5πcos26+=（）．A．79−B．59C．59−D．79【答案】C第2

页共20页【分析】由条件根据二倍角余弦公式可求πcos26−，再结合诱导公式求5πcos26+.【详解】因为π2sin123−=，所以2ππ45cos212sin1121299−=−−=−=，即π5

cos269−=，所以5πππ5cos2cos2πcos26669+=−+=−−=−．故选：C．4．已知平面向量a，b满足3a=，()13b=，，211ab−=，则a在b上的投影为（）

A．3B．1C．2D．6【答案】B【分析】根据模的运算性质求出2ab?，再由向量投影的公式求解即可.【详解】2222244|4|411ababababab−=+−=+−=，221(3)2b=+=，解得2a

b?，所以a在b上的投影为1abb=，故选：B5．若函数()()()log20,1afxaxaa=−在区间()1,3内单调递增，则a的取值范围是（）A．2,13B．20,3C．21,3D．2,3+

【答案】B【分析】根据内函数为减函数，根据其单调性知外函数也为减函数，则01a，再结合对数的真数大于0，则得到230a−，解出即可.【详解】2yax=−为减函数，又()()log2afxax=−在区间()1,3内为增函数，则01a，且当(

)1,3x时，20yax=−恒成立，所以230a−，解得23a，则203a，故选：B.6．如图，在直三棱柱111ABCABC-中，122AAABAC==，且,,ABACDE⊥分别是棱1,BCBB的中第3页共20页点，则异面直线1AD与1

CE所成角的余弦值是（）A．269B．66C．579D．306【答案】A【分析】根据线线平行可得1ADF或其补角是异面直线1AD与1CE所成的角，利用三角形三边关系，由余弦定理即可求解.【详解】如图，在棱1CC上取一点F，使得14CCCF=，取1CC的中点M，连接BM,1,DFA

F，由于,ME分别是棱11,CCBB的中点，所以11,//BECMBECM=，故四边形1BMCE为平行四边形，进而1//CEBM,又因为,DF是,BCCM的中点，所以//DFBM,所以1//DFCE，则1ADF或其补角是异面直线1AD与1CE所成的角.设2AB=，则11,3,2CFCFADCD=

===，从而2222221111113,32,13DFCFCDADAAADAFACCF=+==+==+=，故13181326cos92332ADF+−==,故异面直线1AD与1CE所成角的余弦值

是269.故选：A第4页共20页7．已知函数()e2elnexfxxx−=−+，若e2e2021e2022e2023202320232023ffff++++1011()ab=−+，其中0b，则1||2||aab+的最小

值为（）A．34B．32C．54D．22【答案】A【分析】根据()()2fxfx+−=−e得到2202120222022202320232023ffff++++=−eeee2023，即2ab+=，然后

分0a和a<0两种情况，利用基本不等式求最小值即可.【详解】因为()()()2ln2()ln2()xxfxfxxxxx−−−+−=−++−−+=−−eeeeeeeeee，由上面结论可得22021202220

22202320232023ffff++++=−eeee2023，所以2ab+=，其中0b，则2ab=−.当0a时，1||121212()1525111222222224ababbaababababab−++

=+=+−=+−=++−当且仅当，23a=，43b=时等号成立；当a<0时，1||112152()11222222abaabababab−−+==+++=−+++

−−1523212224baab−−++=−，当且仅当2a=−，4b=时等号成立；因为3544，所以12aab+的最小值为34.故选：A.8．在平面直角坐标系中，已知点()20M，，()10N−，，动点()Qxy，满足2QMQN=，过点()31−，的直线与动点Q的

轨迹交于A，B两点，记点Q的轨迹的对称中心为C，则当ABC面积取最大值时，第5页共20页直线AB的方程是（）A．4yx=+B．4yx=−+C．24yx=+D．24yx=−+【答案】A【分析】由2QMQN=，设(),Qxy，可得Q的轨迹方程为22(2)4xy++=，设点C到AB的距离为d，则12SA

Bd=，由几何关系求出AB，结合基本不等式求得d，由点到直线距离公式可求直线AB的方程.【详解】设()Qxy，，由2QMQN=得2222(2)2(1)xyxy−+=++，化简得Q的轨迹方程为22(2)4xy++=，所以点()2,0C−，设点C到AB的距离为d，则224ABd=−

，所以ABC的面积222144222ddSABddd−+==−=，等号成立时2d=，即ABC面积最大时，点()20C−，到直线AB的距离为2，故直线AB不垂直于x轴，设直线AB方程为()13ykx−=+，即310k

xyk−++=，则2121kk+=+，解得1k=，所以直线AB方程为4yx=+．故选：A9．已知抛物线22xpy=()0p的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，且AF的最小值为1，M是线段AB的中点，()2,3P是平面内一定点，则

下列选项不正确的是（）A．2p=B．若8AFBF+=，则M到x轴的距离为3C．若2AFFB=，则3AB=D．APAF+的最小值为4【答案】C【分析】根据抛物线的定义，结合平面向量共线性质、两点间线段最短逐一判断即可.【详解】设点()11,Axy，()22,Bxy．该抛物线的准线

为2py=−，第6页共20页因为12pAFy=+，所以AF的最小值为12p=，所以2p=，故A正确．若1228AFBFyy+=++=，则126yy+=，所以M到x轴的距离为1232yy+=，故B正确．由向量共线可得AB过F点，设AB的方程为1ykx=

+，与24xy=联立可得()224210yky−++=，则121yy=．由2AFFB=，112212(,1)2(,1)12(1)xyxyyy−−=−−=−，得1232yy=−，所以122,12yy==或121,1

yy==（舍去），所以1292AByyp=++=，故C错误．过点A作抛物线的准线l：1y=−的垂线，垂足为点E，由抛物线的定义可得AFAE=，所以APAFAPAE+=+，当且仅当P，A，E三点共线，即当PEl⊥时，APAF+取得最小值314+=，故D正确．故选：C【点睛】关键点睛：利

用抛物线的定义是解题的关键.10．已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=的左，右顶点分别是1A，2A，圆222xya+=与C的渐近线在第一象限的交点为M，直线1AM交C的右支于点P，若△2MPA是等腰三角形，且2PAM的内角平分线与y轴平行，则C

的离心率为（）A．2B．2C．3D．5第7页共20页【答案】B【分析】由题设可得2(,)aabMcc，1(,0)Aa−，2(,0)Aa，应用两点距离公式求21||MA，22||MA，再由已知条件知1222.5MAA=，应用二倍角正切公式求得tan22.521=−，结合2121||tan||M

AMAAMA=构造齐次方程，即可求离心率.【详解】联立222byxaxya=+=且M在第一象限，可得2(,)aabMcc，而1(,0)Aa−，2(,0)Aa，所以222221||()()2(1)aabaMAaaccc=++=+，222

222||()()2(1)aabaMAaaccc=−+=−，由题设，12290AMAPMA==，故△2MPA是等腰直角三角形，所以245MAP=，而2PAM的内角平分线与y轴平行，所以1222.5MAA=，又22tan22.5

tan4511tan22.5==−，可得tan22.521=−，则22221211||tan()(21)||1aMAcMAAaMAc−===−+，可得13221ee−=−+，所以2e=.故选：B11．已知0x是函数()22eexxfx−=−的图象与函数()1lngxxxx=

++的图象交点的横坐标，则020elnxx=（）A．2−B．ln2−C．ln2D．2【答案】A【分析】根据题意整理可得002200001ee2lnxxxxxx−−−=−+，构建新函数()1lnhxxxx=−+，则转化为()()020exhhx−=，求导，利用导数判断()hx的单调性

，结合单调性分析可得020exx−=，运算整理即可.【详解】由题意可知实数0x满足00220001eelnxxxxx−−=++，整理得002200001ee2lnxxxxxx−−−=−+，设()1lnhxxxx=

−+，则()222eee2xxxhx−−=−−，可得：()()020exhhx−=，∵()22111131024hxxxx=−−=−−−在()0,+上恒成立，则()hx在()0,+上单调递减，∴020exx−=，则0

022001e=,lnelnxxxx−=，即00ln2xx=−，第8页共20页故020002eln2xxxx−==−.故选：A.【点睛】方法点睛：与ex和lnx相关的常见同构模型：（1）elnaabbelnelnaabb，构造函

数()lnfxxx=（或elnaabblnelneabab，构造函数()exgxx=）；（2）eaaelnlnelnaabbbb，构造函数()lnxfxx=（或eaalneelnlnabbbab，构造函数()exgxx=）；（3）elnelnelnaaaa

bbbb，构造函数()lnfxxx=（或lnelneelnaababbab，构造函数()exgxx=）.12．已知函数()2221,0log,0xxfxxx+−=

，若关于x的方程2[()]()40fxmfx++=有6个不同的实数根，则m的取值范围是（）A．13(,5),43−−−−B．13,43−−C．134,(5,)3+D．134,3【答案】A【分析】画出()fx的图象，令()

tfx=，则先讨论240tmt++=的零点，根据二次函数判别式与韦达定理，结合()fx的图象可得240tmt++=的较小根的范围，进而根据m与较小根的关系式结合函数的单调性求解即可.【详解】画出()fx的图象如

图，令()tfx=，则先讨论240tmt++=的零点.当2440m=−，即44m−时，不合题意；当2440m=−=，即4m=时，易得2t=或2t=−，此时当()2fx=或()2fx=−时均不满足有

6个零点，不合题意；故2440m=−，4m或4m−，设240tmt++=的两根为12,tt，不妨设12tt，由韦达定理124tt=，且12,2tt.①当12,0tt时，()1fxt=与()2fxt

=均无零点，不合题意；②当12,0tt时：第9页共20页1.若101t，则24t，此时()1fxt=有4个零点，()2fxt=有2个零点，合题意；2.若112t，此时()1fxt=有3个零点，则()2

fxt=有且仅有3个零点，此时223t，故1423t；综上可得101t或1423t.又12ttm+=−，故()12114mtttt=−+=−+，结合4ytt=+在()0,2上为减函数可得114mtt=−+在

()0,1，4,23上为增函数.故13(,5),43m−−−−故选：A【点睛】本题主要考查了数形结合解决复合函数零点的问题，需要换元先分析二次函数的零点情况，数形结合判断零点所在的区间，进而得出()fx零点所在的区间，并结合二次函数的性质与韦达定理求

解.属于难题.二、填空题13．()22204xxdx+−=_____【答案】83+【分析】根据积分运算法则求2222004xdxxdx−和，前者利用公式求解，后者所表示的几何意义是以()0,0为圆心，2

为半径第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，求出圆的面积乘以四分之一，两者结果做和即可得解．【详解】解：()222222200044xxdxxdxxdx+−=+−，第10页共20页由2204xdx−表示以()0,0为圆心，2为半径的圆面积的14，∴2201444xdx−==，2223

001833xdxx==，∴222200843xdxxdx+−=+，故答案为83+．【点睛】本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利用几何意义进行求解，属于基础题．14．

在三棱锥P－ABC中，23PAABPBAC====，AC⊥平面PAB，则三棱锥P－ABC的外接球O的体积为______．【答案】2873##287π3．【分析】如图所示，设底面PAB的中心为D,连接,DOADCO，,取AC的中点E，连接OE.求出底面三角形外接圆的半径和球的半径即得解.

【详解】解：如图所示，设底面PAB的中心为D,连接,DOADCO，,取AC的中点E，连接OE.由正弦定理得232,2πsin3ADAD==.因为,,,AEECAOOCOEAC==⊥因为AC⊥平面PAB，AD平面PAB，所以,ACADODAD⊥⊥,所以四边形AEOD是矩形，所以

()22327OA=+=.所以球O的半径为7.所以外接球O的体积为34287π(7)π33=.故答案为：2873第11页共20页15．已知函数()()cos0,2fxx=+，当4x=−时函数()fx能取得最小值，当4x=时函数()yfx=能取得最大值，且

()fx在区间5,1826上单调，则当取最大值时的值为__________.【答案】2−【分析】由题意，函数取最大值与最小值对应自变量之间的距离，可得周期的取值，进而表示出，根据余弦函数在区间上的单调性，表示出的取值范

围，由大到小，逐个进行检验，可得答案.【详解】因为当4x=−时，函数()fx取得最小值，当4x=时，函数()fx取得最大值，所以可得1244nT+=−−，即(),N21Tnn=+，解得()42,Nnn=+，即为正偶数，()

fx在5,1836上单调，53618122T−=，即26T=，解得12，当12=时，()()cos12fxx=+，且当4x=−时，()122,Z4kk−+=−+，由2，可得0=，此时由5,1836x

，即2512,33x，则()cos12fxx=在5,1836不单调，不满足题意；当10=时，()()cos10fxx=+，且当4x=−时，102,Z4kk−+=−+，由2，解得2=−，此时由5,18

36x，即()810,0,2189x−，则()cos102fxx=−在5,1836单调，满足题意；故的最大值为10，此时的值

为2−.故答案为：2−.16．已知函数ln(),()exxfxgxxx−==，若存在12(0,),+Rxx，使得()()12==fxgxk成立，则下列命题正确的有___________．第12页共20页①当0k时，121xx+②当0k

时，212e2exx+③当0k时，121+xx④当0k时，21ekxx的最小值为1e−【答案】①③④【分析】根据()fx可求得()fx在(0,e)上单调递增，在(e,)+上单调递减，则可画出()fx的图像；利用同构可知12()(

)fxgxk==等价于2211lnlneexxxkx==，结合图像则可判断①②③；当0k时，可得21exx=，1(0,1)x，构造函数可判断④．【详解】解：①21ln()(0)xfxxx−=>，令()0fx得0ex，()fx在(0,e)上递增，且值域

1(,)e−；令()0fx得ex，()fx在(e,)+上递减，且值域1(0,)e；作图如下：当0k时，由(1)=0f知：若1(0,)x+，使得1()fxk=，则11x，当0k时，若1(0,)x

+，使得1()fxk=，则101x，由()exgxx−=得：1()exxgx−=，令()0gx得1x，()gx在(,1)−上递增，且值域1(,)e−；令()0gx得1x，()gx在(1,)+上递减，且值域

1(0,)e；作出()gx图象如下：当0k时，由(0)0g=知：若2xR使得2()gxk=，则20x，第13页共20页当0k时，若2xR使得2()gxk=，则20x<，∴当0k时，121xx+．故①正确．②当0k时，由()()1

2==fxgxk得：2121lnexxxx−=，即2211lnlneexxxx=，∴21,exx可看成lnxkx=的两零点，作出lnxyx=的图象如下：由图象易知：1x或2ex均可趋向于+，故②错误；③当0k时，由①的讨论知：20x<，101x，121xx

+<．故③正确；④当0k时，此时1(0,1)x，由②知：21exx=，21lnxx=，则2111lnxxkxx==，∴要求21ekxx的最小值即求ekk的最小值即可，令()e(0)khkkk=<，则()ee(1)ekkkhkkk=+=+，令ee0

kkk+=，解得：1k=−，易知1k=−为极小值点，故()hk的最小值为1(1)eh−=−．故④正确．故答案为：①③④．【点睛】关键点点睛：同构找到21exx=，通过()fx与()gx的图象及性质判断求解，在处理④时，要注意消元思想的运用．三、解答题17．已知数列na的前n项和为nS，且

23122nSnn=+，递增的等比数列nb满足：142318,32bbbb+==.(1)求数列nnab､的通项公式；(2)设nnab､的前n项和分别为,nnST，求,nnST.第14页共20页【答案】(1)31nan=−，2nnb=(2)232nnnS+=，122nnT+=−

【分析】（1）根据11,1,2nnnSnaSSn−==−，求出31nan=−，再利用等比数列的性质结合韦达定理求出14216bb==，得到公比，写出通项公式；（2）证明出na为等差数列，从而利用等差数列求和公式和等比数列求和公式进行求解.【详

解】（1）当1n=时，1131222aS==+=，当2n时，()2213131(1)1312222nnnaSSnnnnn−=−=+−−−−=−，又−=3112，满足上式故na的通项公式为31nan=−，设等比数列nb的公比为q，因为14231418,32

bbbbbb+===，所以41,bb可看作方程218320xx−+=的两根，解得：14216bb==或14162bb==，因为等比数列单调递增，所以14162bb==舍去，故31682q==，解得：2q=，故nb

的通项公式为1222nnnb−==；（2）因为31nan=−，所以13nnaa+−=，故na为等差数列，由等差数列求和公式得：()()212313222nnSnaannnn++−+===，由等比数列求和公式得：()12122212nnnT+−==−−.第15页共20页18．在AB

C中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2coscoscosaAbCcB=+．(1)求A；(2)若ABC的面积为63，27a=，求ABC的周长．【答案】(1)3A=(2)1027+【分析】（1）直接利用正弦定理和三角函数关系式的变换求出结果；（2）利用余弦定理和三角形的面

积公式应用求出结果．【详解】（1）因为2coscoscosaAbCcB=+，由正弦定理可得：2sincossincossincosAABCCB=+，所以2sincossinAAA=，因为sin0A，所以1cos2A=，由于0πA，

所以π3A=．（2）由于63ABCS=，所以1sin632bcA=，解得24bc=．在ABC中，由余弦定理可得：2222cosabcbcA=+−，整理得2252bc+=，所以2()252bcbc+−=，所以10bc+=．故三角形的周长为1027labc=++=+．19．春运是中国在农历春节前后发生

的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象.已知某火车站候车厅，候车人数与时间t相关，时间t（单位：小时）满足024t，tN.经测算，当1624t时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数5160人，当016t时，候车人数会减

少，减少人数与(16)tt−成正比，且时间为6点时，候车人数为3960人，记候车厅候车人数为()ft.(1)求()ft的表达式，并求当天中午12点时，候车厅候车人数；(2)若为了照顾群众的安全，每时需要提供的免费矿泉水瓶数为()3160320ftPt−=+，则一天中哪

个时间需要提供的矿泉水瓶数最少?【答案】(1)()()()()51602016,(01)5160,1624tttfttNt−−=，候车厅候车人数为4200人(2)10t=时，需要提供的矿泉水瓶数最少第16页共20页【分析】（1）根据题意，设出函数解析式，代入

()6,3960，可得解析式，代入12t=，可得答案；（2）根据题意，写出函数解析式，由基本不等式和反比例函数的单调性，比较大小，可得答案.【详解】（1）当016t时，设()5160(16)ftktt=−−，(6)3960f=，则20k=，()()()()516

02016,(01)5160,1624tttfttNt−−=.(12)5160201244200f=−=，故当天中午12点时，候车厅候车人数为4200人.（2）()()10020,(016)2000320,1624tttPtNtt+=

+，①当016t时，10010020202400Ptttt=+=，当且仅当10t=时等号成立；②当1624t时，200032040324P+；又403400，所以10t=时，需要提供的矿泉水瓶数最少.20．如图，已知四棱锥S-ABCD的底面A

BCD为正方形，二面角S-AB-D为直二面角，∠SAB=∠SBA，点M为线段AD的中点.(1)证明：SD⊥MC；(2)若SA=AB，点N是线段BD上靠近点B的三等分点，求直线SA与平面SMN所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)55【

分析】（1）取AB的中点O，先利用等腰三角形的性质及三角形全等等知识证明线线垂直，再利用线面垂直的判定定理证明MC⊥平面SOD，最后利用线面垂直的性质证明线线垂直；（2）先根据垂直关系建立空间直角坐标系，然后设AB=2，求出直线的方向向量和平面的法向

量，利用向量的夹角公式求解即可.【详解】（1）取AB的中点O，连接SO，DO，第17页共20页因为SABSBA=，所以SASB=，所以SOAB⊥.又二面角SABD−−为直二面角，所以SO⊥平面ABCD，且

MC平面ABCD,所以SOMC⊥.在正方形ABCD中，O，M分别为AB，AD的中点，所以DAOCDM≌，所以ODMMCD=，又90MCDDMC+=，所以ODMDMC+=90，所以MCDO⊥.因为ODOSO=，OD平面SOD，OS平面SOD，所

以MC⊥平面SOD，又SD平面SOD，所以MCSD⊥.（2）取CD的中点G，连接OG，由（1）可知OB，OS，OG两两垂直.以O为坐标原点，OB，OS，OG所在直线分别为x轴､y轴､z轴建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设AB=2，则(1,0,0)A−，(1,0,0)B，(0,0,3)S，(

)1,1,0M−，(1,2,0)D−()1,1,3SM=−−，()1,0,3,AS=，(2,2,0)BD=−，()2,1,0BM=−，则122,,0333BNBD==−，41,,033MNBNBM=−=−

.设平面SMN的法向量为(,,)nxyz=，由题意得3041033nSMxyznMNxy=−+−==−=，令1y=，得13,1,44n=.设直线SA与平面SMN所成的角为，第18页共20页则()222222

131013445sin513103144ASnnAS++===++++，故直线SA与平面SMN所成角的正弦值为55.21．已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为12，点()0,2G与椭

圆的左､右顶点可以构成等腰直角三角形.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线ykxm=+与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，直线OM，ON的斜率之积等于34−，试探求OMN的面积是否为定值，并说明理由.【答案】(1)22143xy+=(2)是定值，理由

见解析【分析】（1）根据椭圆的离心率以及点()0,2G左､右顶点可以构成等腰直角三角形，即可求得,,abc的值，从而得椭圆C的标准方程；（2）根据直线ykxm=+与椭圆相交，联立直线与椭圆得交点()11,Mxy，()22,Nxy的坐标关系，利用直线OM，ON的斜率之积等于

34−，可得22243mk=+，分别求MN与原点O到l的距离d，求OMN的面积，即可判断其是否为定值.【详解】（1）解：椭圆2222:1(0)xyCabab+=离心率为12，即12cea==，点()0,2G与椭圆的左､右顶点

可以构成等腰直角三角形，2a=，1c=，3b=，故椭圆C的方程为22143xy+=.（2）解：由直线与椭圆交于M，N两点，设()11,Mxy，()22,Nxy，则联立22,1,43ykxmxy=++=得()()222348430kxkmxm+++−=，(

)()()22222Δ(8)1634348430kmkmkm=−+−=+−，则2243km+122834kmxxk−+=+，()21224334mxxk−=+第19页共20页()()()22121212121212121212OMONkxmkxmkxxmkxxm

yyyykkxxxxxxxx+++++====()()()()()22222222224383434344343kmkmmkmkmm−−++−===−−−.22243mk=+，222221222434343

111342mkmMNkxxkkkm+−=+−=+=++.原点O到l的距离21mdk=+，222431132221OMNMNmmSdkmk==+=+为定值.22．已知函数()lnlnfxxax=−，其中0a且1a．(1)讨论函数(

)fx的单调性；(2)若()1elnfxaa在()0,+上恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2))e,+【分析】（1）先求定义域，再求导，分01a与1a两种情况，求解函

数的单调性；（2）先进行必要性探究，得到ea，再进行充分性证明，令()leelnnaxxgx=−，求导后得到其最小值为()lnln1elnelnaaa+，故只需证明()lnln1elnlnaaaa+在ea上恒成立，构造()()lnexmxxx=，求导后得到单调

性，求出ln1eaa，即1elnaa，再结合()0llnlnnaa，证明出结论.【详解】（1）()lnlnfxxax=−定义域为()0,+，()1lnfxax=−，当01a时，ln0a，故()1ln0fxax=−恒成立，此时()ln

lnfxxax=−在()0,+上单调递减，当1a时，令()1ln0fxax=−，解得：1lnxa，令()1ln0fxax=−，解得：10lnxa，第20页共20页故()fx在10,lna

上单调递减，在1,lna+上单调递增，综上：当01a时，()fx在()0,+上单调递减；当1a时，()fx在10,lna上单调递减，在1,lna+上单调递增.

（2）解：由题意得lnln1elnxaxaa−在()0,+上恒成立，即ln1eelnxxaa−，令1x=，故ea，接下来进行充分性证明：令()leelnnaxxgx=−，则()eeln11xagx=−，令()0gx=，解得：1lnxa=，故当10,lnxa时，()0

gx，当1,lnxa+时，()0gx，故函数()leelnnaxxgx=−在10,lnxa上单调递减，在1,lnxa+上单调递增，故()leelnnaxxgx=−在1lnxa=处取得极小值，也是最小值，()()minln

ln11lnlenelnagaxgaa==+，故只需证明()lnln1elnlnaaaa+恒成立，当ea时，令()()lnexmxxx=，故()21ln0xmxx−=，即函数()mx在)e,+上单调递减，故()()1eemam

=，即ln1eaa，故1elnaa，而由ea可知()0llnlnnaa，故()lnln1elnlnaaaa+恒成立，所以，实数a的取值范围是)e,+【点睛】数学问题的转化要注意等价性，也就是充分性与必要性兼备，有时在探求参数的取值范围时，为了寻找解题突

破口，从满足题意得自变量范围内选择一个数，代入求得参数的取值范围，从而得到使得问题成立的一个必要条件，这个范围可能恰好就是所求范围，也可能比所求的范围大，需要验证其充分性，这就是所谓的必要性探路和充分性证明，对于特殊值的选取策略一般是某个常数，实际

上时切线的横坐标，端点值或极值点等.