【文档说明】2023届河南省TOP二十名校高三上学期调研模拟卷二数学理试题解析版.doc，共(22)页，3.125 MB，由小喜鸽上传

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第1页共22页2023届河南省TOP二十名校高三上学期调研模拟卷二数学（理）试题一、单选题1．设全集U=R，1Axx=−或2x，2,1,0,1,2B=−−，则()UBA=ð（）A．0,1B．1,0−C．0,1,2D．1,0

,1−【答案】D【分析】先计算得到UAð，进而求出交集.【详解】12UAxx=−ð，故()1,0,1UBA=−Ið故选：D2．已知复数z满足()1i2z+=−，则z等于（）A．1i−−B．1i−C．1i+D．1i−+【答案】A【分析】利用复

数的除法运算和共轭复数的定义求解.【详解】由题可得2(1i)1i1iz−==−−=−++，所以1iz=−−，故选:A.3．为了评估某种工艺制作零件的效果，随机选出n件产品，这n件产品的尺寸（单位：cm）分别为12,,,nxxxL，求得方差为2，如果再生产n件产品，尺

寸都相应扩大为原来的两倍，则这批新产品的方差为（）A．2B．24C．22D．22【答案】B【分析】结合方差的倍数关系可直接求解.【详解】因为原产品尺寸为：12,,,nxxxL，新产品尺寸为：122,2,,2nxxxL，原方差为2，故新方差

为()2224=.故选：B4．在ABCV中，2,BCO=是ABCV所在的平面内一点，如果OAOBOC==uuuruuuruuur，那么OBBCuuuruuur为（）A．4−B．4C．2−D．2【答案】C第2页共22页【分析】由条件可知，点O为ABCV的外心，取BC的中

点D，则有ODBC⊥，求解向量的模及向量夹角的余弦，运算向量数量积.【详解】如图所示：由OAOBOC==uuuruuuruuur，点O为ABCV的外心，取BC的中点D，连接OD，OB，则有ODBC⊥，cos2BCBDOBDOBOB==uuuruuur，()cos,cosπOBB

COBBCOBBCOBBCOBD==−uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur2c122o2sOBBCOBDOBBCBOBCCB=−=−=−=−uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur.故选：C5．如

图，偶函数()fx的图像形如字母M，奇函数()gx的图像形如字母N．若方程()()0ffx=，()()0fgx=，()()0ggx=，()()0gfx=的实根个数分别为a、b、c、d，则abcd+++=（）．A．27B．30C．33D．36【答案】B【分析】结合函

数图象依次分析4个方程的根，确定,,,abcd的值，即可求解.【详解】由(())0ffx=，结合()fx的图象知()0fx=有三个根，其中一个根为0，另两个根的绝对值大于1小于2，又()12fx无解，()0fx=有三个根，所以()()0ffx=有三个根，故3a=.由第3页共22页

(())0fgx=，同上()0fx=有三个根，从小到大依次设为12,0,xx，其中()()122,1,1,2xx−−，又()()()120,,gxgxxgxx===均有三个根，则()()0fgx=有九个根，故9b=.由(())0ggx=，()0gx=有3个根，从小到大依次记为34,0,x

x，其中()()341,0,0,1xx−，又()()()340,,gxgxxgxx===分别有三个根，共有9个根，故9c=.由(())0gfx=，由上得()0gx=的三个根为34,0,xx，又()()()34,

0,fxxfxfxx===分别有三个根，共有9个根，故9d=.所以30abcd+++=.故选：B.6．如图是一个简单几何体的三视图，若6mn+=，则该几何体体积的最大值为（）A．92B．32C．6D．3【答案】D【分析】首先由三视图，确定几何体，再利用基本不等式求

体积的最大值.【详解】根据三视图可知，几何体是如图所示的三棱锥ABCD−,四个顶点为长方体的顶点，则几何体的体积211112332332mnVmnmn+===，当且仅当3mn==时，等号成立，所以几何体体积的最大值是3.故选：D7．函数

()22ln1fxxax=−+在()3,aa−上不单调，则实数a的取值范围为（）A．9,44B．9,44C．)3,4D．3,4第4页共22页【答案】C【分析】函数()22ln1fxxax=−+定义域为()0+，，由函数()22l

n1fxxax=−+在()3,aa−上不单调，则()4afxxx=−在()3,aa−上有零点，即方程24xa=在()3,aa−上有根，所以()2243430aaaa−−，进而求解.【详解】函数()22ln1fxxax=−+定义域为()0+，，由题意，函数()2

2ln1fxxax=−+在()3,aa−上不单调，所以()4afxxx=−在()3,aa−上有零点，即方程()40afxxx=−=在()3,aa−上有根，即方程24xa=在()3,aa−上有根，所以()2243430aaaa−−，即34

a，所以实数a的取值范围为)3,4.故选：C.8．已知P是椭圆22:11612xyC+=上的动点，且与C的四个顶点不重合，12,FF分别是椭圆的左、右焦点，若点M在12FPF的平分线上，且10MFMP=uuuuruuur，则OM的取值范围是（）A．()0,2B．()0,

23C．()0,423−D．()0,1【答案】A【分析】延长2PF交1FM的延长线于点A，由已知条件可证OM为12FFA△的中位线，根据椭圆的定义转化成14OMPF=−，求出焦半径1PF的取值范围，即可得OM的取值范围.【详解】如图所示，延长2PF交1FM的延长线于点A，第5页共22页

点P在椭圆2211612xy+=上，由椭圆的性质可知2128PFPFa+==，因为12,FF分别是椭圆的左、右焦点，所以点1F的坐标为(2,0)−、点2F的坐标为(2,0)，因为点M是12FPF的角平分线上的一点

，所以12FPMFPM=，又10FMMP=uuuuruuur，则1PMFA⊥,所以1()PFMPAMASAVV，则1PFPA=，1FMAM=，又因为点O为线段12FF的中点，所以OM为12FFA△的中位线，即()2121111111182842222OMFAPFPFP

FPFPFPF==−=−=−−=−，当点P在椭圆右顶点时，1PF取最大值，最大值为6，当点P在椭圆左顶点时，1PF取最小值，最小值为2，当点P在椭圆上顶点或下顶点时，14124PF=+=，又因为点P是椭圆22:11612xy

C+=上的动点，且与C的四个顶点不重合，则1PF的取值范围为(2,4)(4,6)，结合函数4yx=−函数的性质可得，OM的取值范围是(0,2)，故选：A.9．甲､乙两袋中各有大小相同的10个球，甲袋有5个红球，5个白球；乙袋有7个红球，3个白球，随机选择一袋，然后从

中随机摸出两个球，()PA表示恰好摸到一个红球与一个白球的事件的概率，则()PA等于（）A．2390B．59C．2345D．12【答案】C【分析】事件1E为“取到甲袋”，事件2E为“取到乙袋”，根据条件概率及相互独立事件的概率公式计第6页共22页算

可得；【详解】设事件1E为“取到甲袋”，事件2E为“取到乙袋”，则()()1212PEPE==，()11551210CC5C9PAE==，()11732210CC7C15PAE==则()()()()()()()121122151723

2921545PAPAEPAEPEPAEPEPAE=+=+=+=.故选：C.10．已知0a，bR，若0x时，关于x的不等式()()2250axxbx−+−恒成立，则4ba+的最小值为（）A．2B．25C．43D．32【答案】B【分析】根据题意设2yax=−，25yxbx

=+−，由一次函数以及不等式()2(2)50axxbx−+−分析得2xa=时，250yxbx=+−=，变形后代入4ba+，然后利用基本不等式求解.【详解】设2yax=−（0x），25yxbx=+−（0x），因为0a，所以当20xa

时，20yax=−；当2xa=时，20yax=−=；当2xa时，20yax=−；由不等式()2(2)50axxbx−+−恒成立，得：22050axxbx−+−或22050axxbx−

+−，即当20xa时，250xbx+−恒成立，当2xa时，250xbx+−恒成立，所以当2xa=时，250yxbx=+−=，则20425baa+−=，即225aba=−，则当0a时，45245552222222aaabaaaaa+=−+=+=，当且仅当522

aa=，即255a=时等号成立，所以4ba+的最小值为25.故选：B.第7页共22页11．棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，点E是侧面11CCBB上的一个动点（包含边界），则下面结论正确的有（）①若点E满足1AEB

C⊥，则动点E的轨迹是线段；②若点E满足130EAC=o，则动点E的轨迹是椭圆的一部分；③在线段1BC上存在点E，使直线1AE与CD．所成的角为30o；④当E在棱1BB上移动时，1ECED+的最小值是352+．A．1个B．

2个C．3个D．4个【答案】B【分析】对于①，证明1BC⊥平面1ABC即可解决；对于②，若130EAC=o，则E在以1AC为轴，母线所在直线为1AE的圆锥曲线的侧面上，即可解决；对于③，当E为1BC中点时，11,BEBC⊥此时11tanEAB最小，计算得

1111123tan,23BEEABAB==即可解决；对于④，平面1BC旋转到与平面11DBBD重合，连接1DC交1BB于E，即可解决.【详解】连接11,.ACBC所以11BCBC⊥，又正方体1111ABC

DABCD−中，AB⊥平面1BC，因为AB⊥平面1BC，所以1ABBC⊥，又11,,ABBCBABBC=I平面1ABC，所以1BC⊥平面1ABC，所以只要E在线段1BC上，就有1ABBC⊥，所以动点E的轨迹是线段1BC；故①正确；第8页共22页若130EAC=o，则E在以1AC为轴，母线所

在直线为1AE的圆锥曲线的侧面上，平面1BC与圆锥的轴1AC斜交，截圆锥的侧面所得的截线是椭圆，故②正确；因为11//,ABCD所以1AE与CD所成的角等于1AE与11AB所成的角11EAB，当E为1BC中点时，11,BEBC⊥此时11tanEAB最小

，在11RtABE△中，1111123tan,23BEEABAB==所以11EAB不可能为30o.故③错误；如图，将平面1BC旋转到与平面11DBBD重合，连接1DC交1BB于E，此时1ECED+的最小值为2211(21)42

2,DC=++=+故④错误；第9页共22页故选：B.12．已知函数()24e1ln2xfxx=+，则不等式()2exfx的解集是（）A．()0,1B．11,2e4C．1,1eD．11,2e2【答案】D【

分析】构造函数()exgxx=，原不等式可整理为()()1ln22gxgx+，求导得到()gx的单调性，构造函数()1ln22hxxx=+−，求导，根据单调性得到1ln22xx+，然后分102x和12x两种情况解不等式即可.【详解】不等式224

1ln2xxx+ee可整理为221ln22xxxx+ee，令()exgxx=，定义域为()0,+，则原不等式可看成()()1ln22gxgx+，()()2e1xxgxx−=，令()0gx，解得1x，令()0gx，解得01x，所以()gx在()0,

1上单调递减，()1,+上单调递增，令()1ln22hxxx=+−，则()1122xhxxx−=−=，令()0hx，则102x，令()0hx，则12x，所以()hx在10,2

上单调递增，1,2+上单调递减，且102h=，所以()0hx，即1ln220xx+−，即1ln22xx+，当102x时，1ln21x+，21x，所以1ln2201ln21021xxxx++，

解得1122xe；当12x时，1ln21x+，21x，所以1ln22xx+，不成立；综上可得，不等式()2xfxe的解集为11,2e2.故选：D.【点睛】根据不等式形式构造新函数进而判断新函数的单调性是解题的关键.第10页共22页二

、填空题13．与函数()3e1xfx=−在点()0,0处具有相同切线的一个函数的解析式是__________．【答案】()3e3xgx=−（答案不唯一）【分析】先求出()3e1xfx=−在点()0,0处的切线为3yx=，再构造()3e3xgx=−，经检验满足

要求.【详解】()33exfx=，故()033e0f==，则函数()3e1xfx=−在点()0,0处的切线为3yx=，不妨令()3e3xgx=−，()003e30g=−=，故()0,0在()3e3xgx

=−上，()3exgx=，故()003e3g==，则函数()3e3xgx=−在点()0,0处的切线为3yx=，满足要求.故答案为：()3e3xgx=−14．直线12,ll过抛物线24yx=的焦点F，分别与抛物线交于A与,

BC与D，两直线的斜率分别为12,kk，且121kk=−，则ABCD+的最小值为__________．【答案】16【分析】联立直线和抛物线方程结合韦达定理得出2121448ABCDkk+++=，再由基

本不等式求解.【详解】设11223344(,),(,),(,),(,)AxyBxyCxyDxy，直线1l的方程为111(1)ykxkxk=−=−，联立2114yxykxk==−可得，2222111(24)0kxkxk−++=，即211222112442kxx

kk++==+，同理可得222121223224442224xxkkkkk++=++==，3221421122114448242168ABCDxxxxkkkpk++=++++++==（当且仅当211k=时，取等号），即ABCD+的最小值为16.故答案为：1615．在锐角ABCV中，内角,

,ABC对的边分别是,,abc，且12,cos2cbaCc==+，则ABCV的面积的取值范围是__________．【答案】3,232第11页共22页【分析】先根据1cos2baCc=+求出角π3A=，然后把面积13sin22ABCSbcAb==V中的b的范围求出即可

.【详解】因为1cos2baCc=+，由正弦定理得：1sinsincossin2BACC=+又因为()sinsinsincoscossinBACACAC=+=+，所以1sinsincossinsincoscossin2BACCACAC=+=+

，即1sincossin2CAC=所以1cos2A=，又因为锐角ABCV，所以π3A=，又根据三角形的面积公式有13sin22ABCSbcAb==V，由余弦定理得：22222cos42abcbcAbb=+−=+−在锐角三角形

中满足22222200acbabc+−+−把22422abbc=+−=代入解不等式组得14b所以33,2322ABCSb=V.故答案为：3,23216．设正四面体的棱长为26，以其中心

O为球心作球，球面与正四面体四个面相交所成曲线的总长度为4π．则球O的半径为__________．【答案】52或5【详解】设球O的半径为R．若正四面体一个面截球如图，则小圆周长为π，小圆半径为12又球心到四面体的面的距离

为1，故2215122R=+=．若正四面体一个面截球如图，记D为AC的中点．第12页共22页依题意，知弧»AB的长为π3．设小圆1Oe的半径为r．则1π3AOBr=．又12π3BOC=，12OD=，()1111ππ236AODBOCAOBr

=−=−，故ππ2cos36rr−=．①令()ππ2cos36frrr=−−．则()22πππ2sin0636frrrr=−−+．因此，函数()fx在区间()0,+上单调递增，且最多有一个零点．而()2

0f=，于是，方程①有唯一解2．从而，215Rr=+=．综上，球O的半径为52或5．三、解答题17．已知等差数列na的前n项和为()*nSnN，公差0d且512525,,,Saaa=成等比数列．(1)求数列na的通项公式；(2)若cosπnnbSn=，

求数列nb的前n项和nT．【答案】(1)21,N*nann=−(2)2222nnnnTnnn+=+−，为偶数，为奇数【分析】（1）根据条件利用等比数列的等比中项列出表达式，再利用等差数列

的通项公式进行转化，求出公差，即可求出数列na的通项公式（2）先将第一问的结论代入cosπnnbSn=中化简，对n分奇偶分别求出前n项和.【详解】（1）由题意可知，()15252155252aaSaaa+===，，联立得()()1211124104adaadad+=+=+，

又0d，所以解得112ad==第13页共22页所以()12121nann=+−=−.（2）由21nan=−，得()21212nnnSn+−==，则有()22cosπ1nnbnnn==−.当n为偶数时，()22222212341nTnn=−+−++

−−+()()()22222221314nn−+−++−−=()()()()()()2121434311nnnn=−++−++−−+−(1)1232nnn+=++++=22nn+=；当n为奇数时，()()222211122nnnnnnTTnn

−−+−+=−=−=−综上所述：2222nnnTnnnn+=+−，为偶数，为奇数18．根据疫情防控的需要，某地设立进口冷链食品集中监管专仓，集中开展核酸检测和预防性消毒工作，为了进一步确定某批进口冷链食

品是否感染病毒，在入关检疫时需要对其进行化验，若结果为阳性，则有该病毒；若结果呈阴性，则没有该病毒．对于()Nnn份样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需要检验n次；二是混合检验，将k份样本分别取样混合在一起

，若检验结果为阴性，那么这k份全为阴性，检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份究竟哪些为阳性，需要对它们再次取样逐份检验，则k份检验的次数共为1k+次，若每份样本没有病毒的概率为4(01)p

p，而且样本之间是否有该病毒是相互独立的．(1)若取得8份样本，采用逐个检测，发现恰有2个样本检测结果为阳性的概率为()fp，求()fp的最大值点0p；(2)若对取得的8份样本，考虑以下两种检验方案：方案一：采用混合检验；

方案二：平均分成两组，每组4份样本采用混合检验，若检验次数的期望值越小，则方案越“优”．若“方案二”比“方案一”更“优”，求p的取值范围（精确到0.01）．【答案】(1)081256p=第14页共22页

(2)()0.25,1【分析】（1）根据题意写出得8份样本恰有2个样本检测结果为阳性的概率为73242()282fpppp=−+，求导利用函数单调性即可得出最大值点0p；（2）易知方案一的检验次数的期望值

为8，根据随机变量的分布列可求得方案二的检验次数的期望值为108p−，即可得出p的取值范围.【详解】（1）根据题意可知，每份样本检测结果为阴性的概率为4(01)pp，则阳性概率为41(01)pp−；则8

份样本，采用逐个检测，发现恰有2个样本检测结果为阳性的概率()()311622224448()C12821fpppppp=−=−+即73242()282fpppp=−+，所以3111111142224244

73()282144731443122fpppppppppp=−+=−+=−−，因为01p，所以11241410pp−<当14430p−<，即4304p

时，()0fp，所以()fp在4304，上单调递增；当14430p−>，即4314p时，()0fp，所以()fp在4314，上单调递减；所以()fp在434p=时取得最大

值，即()fp的最大值点403814256p==.（2）若采用方案一，则需要检验的次数为8次，即检验次数的期望值1()8EX=；若采用方案二：平均分成两组，每组4份样本采用混合检验，第15页共22页则每组检

测结果为阴性的概率为()44pp=，则为阳性的概率为1p−；所以检验次数2X的所有可能取值为2610、、；当两组检测结果全为阴性时，检验次数为2次，则()222pXp==；当两组检测结果一组为阴性，另一组为阳性时，检测次数为6次，则()1226C(1)pXpp==−；当两组检

测结果全为阳性时，检验次数为10次，则()2210(1)pXp==−；此时，方案二的检验次数的期望值21222()26C(1)10(1)108EXppppp=+−+−=−；若“方案二”比“方案一”更“优”，则21()()EXE

X<，即1088p−<，得0.251p<<即p的取值范围为()0.25,119．已知四棱锥SABCD−中，底面ABCD是菱形，平面SAC⊥平面,2,22,ABCDSAABSBE===为SD中点．(1)若P在线段AB上，且直线AE与平面SPC相交，求APAB的取值

范围；(2)若EC与平面ABCD所成的角为π6，求二面角SACE−−的余弦值．【答案】(1)110,,122UAPAB(2)2217【分析】（1）取、SCAB的中点分别为FM、，连接、EFMF，可得四边形EFMA是平行四边形，由线面平行的判定定理可得//AE平面SM

C，若P与M点重合，显然不符合题意，分当P与A点重合、P在A与M之间、P在B与M之间或与B重合时讨论，根据四边形EFPA的形状可得答案；（2）由面面垂直的判定定理可得SA⊥平面ABCD，取AD的中点N，可得π2=BAQ，以A为原点，第16页共22页分别以、、ABADAQ所在的直线为

xyz、、轴的正方向建立空间直角坐标系求出平面SAC、平面ACE的一个法向量，由二面角的向量求法可得答案.【详解】（1）取、SCAB的中点分别为FM、，连接、EFMF，可得12==AMEFDC，因为//EFD

C，//ABDC，所以//AMEF，所以四边形EFMA是平行四边形，所以//AEMF，因为AE平面SMC，MF平面SMC，所以//AE平面SMC，此时12AMAB=，若P与M点重合，显然不符合题意；当P与A点重合时，直线AE与平面SPC相交，此时0AP=，所以0=APAB；当P在A与M之间

时，因为APEF，//APEF，所以四边形EFPA是梯形，所以AE与PF相交，PF平面SPC，所以直线AE与平面SPC相交，此时10,2APAB；当P在B与M之间或与B重合时，因为APEF，//APEF，所

以四边形EFPA是梯形，所以AE与PF相交，PF平面SPC，所以直线AE与平面SPC相交，此时1,12APAB；综上所述，110,,122UAPAB；（2）因为底面AB

CD是菱形，所以ACBD⊥，因为平面SAC⊥平面ABCD，平面SACI平面ABCDAC=，所以BD⊥平面SAC，SA平面SAC，所以BDSA⊥，因为2,22===SAABSB，所以222SAABSB+=，即ABSA⊥，又ABBDB=I，ABBD、平面ABCD，所以SA⊥平面ABCD，取A

D的中点N，连接、ENCN，所以//SAEN，EN⊥平面ABCD，第17页共22页所以π6=ECN，1EN=，3CN=，所以π3=CAN，取CD的中点Q，连接AQ，所以π2=BAQ，以A为原点，分别以、、ABADAQ所在的直线为xyz、、轴

的正方向建立如图空间直角坐标系，所以()000A，，，13122，，−E，()130，，C，()200B，，，()130，，−D，13122，，=−uuurAE，()130

，，=uuurAC，因为()330，，=−uuurBD为平面SAC的一个法向量，设(),,nxyz=r为平面ACE的一个法向量，所以00nAEnAC==uuurruuurr，1302230xyzxy−++=

+=，令3y=，所以()3,3,3=−−rn，所以93221cos,7712+===ruuurruuurruuurnBDnBDnBD，由图二面角SACE−−的平面角为锐角，所以二面角SACE−−的余弦值为2217.20．已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=

经过点()3,4A，离心率是3．(1)求双曲线C的方程；(2)在双曲线C上任取两点,PQ，满足APAQ⊥，过A做AMPQ⊥于M，求证：存在定点N，使MN是定值．【答案】(1)2212yx−=(2)(3,

8),||213NMN−=第18页共22页【分析】（1）根据双曲线几何性质求双曲线方程即可；（2）设直线:PQykxm=+，1122(,),(,)PxyQxy，联立方程得222(2)220,kxkmxm−−−−=212122222,.

22kmmxxxxkk−−+==−−由APAQ⊥得43mk=−或912mk=+，分类讨论即可.【详解】（1）由题知，2233cecaa===Q,222ba=，又因为229161ab−=，解得1,2ab==，2212

yx−=.（2）设直线:PQykxm=+，1122(,),(,)PxyQxy，联立方程22222,(2)220,1.2ykxmkxkmxmyx=+−−−−=−=所以12221222,22.2kmxxkmxxk+=−−−=

−12120,(3)(3)(4)(4)0,AQAPAQAPxxyy⊥=−−+−−=uuuruuurQ0,AQAP=uuuruuur1212(3)(3)(4)(4)0,xxyy−−+−−=121212123()94()160.xxxxyyyy−+++−++=221212

(1)(43)()8250kxxkmkxxmm++−−++−+=，22222(1)(2)(43)(2)8250.22kmkmkkmmmkk+−−−−++−+=−−2227616480.kkmmm+−+−=2276(4)

(12)03(4)9(12)0.kkmmmkmkm+−−−=+−−−=43mk=−或912mk=+，当43mk=−时，直线:(3)4,PQykx=−+恒过定点()3,4A，不符合题意，舍去；所以912

mk=+，直线:(9)12,PQykx=++恒过定点(9,12)B−，第19页共22页因为,AMPQ⊥在RTAMBV中，存在定点为线段AB的中点(3,8)N−，使得1||||2132MNAB==.21．

已知函数()()2ln3,Rfxxaxa=++．(1)讨论()fx的单调性；(2)对任意的()20,e1xxfxx−恒成立，求a的取值范围．【答案】(1)答案见解析.(2)(,2−−【分析】

（1）由题知()()23axfxx++=，进而分30a+和30a+两种情况讨论求解即可；（2）由题知12ln0,3exxxaxxx+−−恒成立，进而令()22lne2ln1e2ln1,0xxxxxxgxxx

x+−−==−−，再根据e1xx+，当且仅当0x=时等号成立得()1gx，进而得31a+即可得答案.【详解】（1）解：函数()fx的定义域为()0,+，()()2323axfxaxx++=++=，当30a+时，即

3a−时，()0fx¢>在()0,+上恒成立，()fx在()0,+上单调递增，当30a+时，即3a−时，令()0fx=得23xa=−+，所以，当20,3xa−+时，()0fx¢>，()fx单调递增；

当2,3xa−++时，()0fx，()fx单调递减；综上，当3a−时，()fx在()0,+上单调递增；当3a−时,()fx在20,3a−+上单调递增，在2,3a−++上单调递减.（2）解：因为对任意

的()20,e1xxfxx−恒成立，即()20,2ln3e1xxxaxx++−恒成立，所以12ln0,3exxxaxxx+−−恒成立，第20页共22页令()2e2ln1,0xxxgxxx−=−，因为()222lnl

ne2ln1ee2ln1e2ln1,0xxxxxxxxxgxxxxx+−−−==−−−=，设()e1xhxx=−−，则()e1xhx=−，所以，当(),0x−时，()0hx，()hx单调递减，当()0,x+

时，()0hx，()hx单调递增，所以，()()00hxh=，即e1xx+，当且仅当0x=时等号成立，所以，2ln2eln12ln1xxxxxx+++=++，当且仅当2ln0xx+=时等号成立，令()2lntxxx=+，则()2

10txx=+恒成立，所以，()2lntxxx=+在()0,+上单调递增，因为()11112ln20,110eeeett=+=−+=，所以，方程2ln0xx+=有解，2lne2ln1xxxx+++等号能够取到；所以，()2l

ne2ln12ln12ln11xxxxxxgxxx+−+−+−−==，所以，要使12ln0,3exxxaxxx+−−恒成立，则31a+，即2a−，所以，a的取值范围是(,2−−【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于借助e1xx+，当

且仅当0x=时等号成立放缩22lnee2ln1xxxxxx+=++，进而得()1gx.22．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l的极坐标方程为sin(0),aaQ=为l上一点，以OQ为边做等边OPQ△，且,,OPQ三点按顺时针方向排列．(1)

当点Q在l上运动时，求动点P运动轨迹1C的直角坐标方程；(2)当32a=时，若直线()6=πR与曲线:2sinC=交于点A（不同于原点），与曲线1C交于点B，求AB的值．【答案】(1)320xya−+=(2)31+【分析】（1）利用,PQ极坐

标中极径相等，极角相差π3的关系即可求解；（2）根据极径的几何意义第21页共22页直接求解即可.【详解】（1）设(,)P，则π(,)3Q−，因为Q为l上一点，所以πsin3a−=

，展开得13sincos22a−=，所以点P运动轨迹1C：3cossin20a−+=，化为直角坐标方程得320xya−+=.（2）曲线:2sinC=中令π6=，解得π2sin16A==，因为32a=，所以曲线1C：3cossin30−+=，令π6=，解得3B

=−，所以31ABAB=−=+.23．已知函数()12afxxx=−++．(1)当4a=−时，求()5fx的解集；(2)若区间0,1包含于不等式()3fxx−的解集，求a取值范围．【答案】(1)1,4−(2)(),64,−−+

U【分析】（1）代入a的值，通过讨论x的范围，求出()fx的分段函数的形式，求出不等式的解集即可；（2）问题等价于()3fxx−在0,1上恒成立，根据x的范围，去绝对值解不等式.【详解】（1）4a=−时，()32,1121,1223,2xx

fxxxxxx−=−+−=−，()5fx，等价于325,115,12235,2xxxxx−−，解得14x−，故不等式()5fx的解集为1,4−（2）若区间0,1包含于不等式()3fxx−的解集，等价于()3fxx−

在0,1上恒成立，第22页共22页即132axxx−++−在0,1上恒成立，得132axxx−++−在0,1上恒成立，即22ax+在0,1上恒成立，所以42ax−或42ax−−在0,1上恒成立，解得4a或6a−.所以a的取值范围为(),64,−−+U