【文档说明】2023届广东省汕头市高三上学期期末数学试题解析版.doc，共(24)页，2.304 MB，由小喜鸽上传

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第1页共24页2023届广东省汕头市高三上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合0Axx=，集合1Bxx=，则以下命题为真命题的是（）A．xA，xBB．xB，xAC．xA，xBD．xB，xA【答案】A【分析】利用集合的关系分析即可.【详解】由题知，

集合0Axx=，集合1Bxx=，所以B是A的真子集，所以xA，xB或xA，xB或xB，xA，只有A选项符合要求，故选：A.2．已知复数z满足()12i2iz+=+，则z=（）A．55B．1C．5D．5【答案】B【分析】根据复数的除法及模长公式运算

求解．【详解】由题意2i(2i)(12i)43i12i(12i)(12i)5z++−−===++−，所以z=43i25==155−，故选：B.3．已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图（图标中心点所对纵坐标代表该次数学测

试成绩），则下列说法不正确的是（）A．甲成绩的极差小于乙成绩的极差第2页共24页B．甲成绩的第25百分位数大于乙成绩的第75百分位数C．甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数D．甲成绩的方差小于乙成绩的方差【答案】B【分析】分析图中数据，结合方差，极差的求法和意义，结合百分位数的求解，得到

答案.【详解】从图表可以看出甲成绩的波动情况小于乙成绩的波动情况，则甲成绩的方差小于乙成绩的方差，且甲成绩的极差小于乙成绩的极差，AD正确；将甲成绩进行排序，又006251.5=，故从小到大，选择第二个成绩作

为甲成绩的第25百分位数，估计值为90分，将乙成绩进行排序，又006754.5=，故从小到大，选择第5个成绩成绩作为乙成绩的第75百分位数，估计值大于90分，从而甲成绩的第25百分位数小于乙成绩的第75百分位数，B错误；甲成绩均集中在90分左右，而乙成绩大多

数集中在60分左右，故C正确.故选：B4．已知等差数列na且()()35710133248aaaaa++++=，则数列na的前13项之和为（）A．24B．39C．104D．52【答案】D【分析】根据等差数列的性

质化简已知条件可得410aa+的值，再由等差数列前n项和等差数列的性质即可求解.【详解】由等差数列的性质可得：3542aaa+=，71013103aaaa++=，所以由()()15710133248aaaaa++++=可得：4103223

48aa+=，解得：4108aa+=，所以数列na的前13项之和为()()11341013131313852222aaaaS++====，故选：D.5．已知某运动员每次射击击中目标的概率是p，假设

每次射击击中目标与否互不影响，设为该运动员n次射击练习中击中目标的次数，且()8E=，()1.6=D，则p值为（）A．0.6B．0.8C．0.9D．0.92第3页共24页【答案】B【分析】由服从

(,)Bnp，根据二项分布的均值和方差公式列式求解．【详解】由题意(,)Bnp，所以()8()(1)1.6EnpDnpp===−=，解得0.810pn==．故选：B．6．如图1，水平放置的直三棱柱容器111A

BCABC-中，ACAB⊥，2ABAC==，现往内灌进一些水，水深为2．将容器底面的一边AB固定于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面形状恰好为三角形11ABC，如图2，则容器的高h为（）A．3B．4C．42D．6【

答案】A【分析】利用两个图形装水的体积相等即可求解.【详解】在图1中122242V==水，在图2中，1111111114=22222323ABCABCCABCVVVhhh−−−=−=水，44,33hh==.故选：A.

7．6(3)(2)xyxy+−的展开式中52xy的系数为（）A．60B．24C．12−D．48−【答案】B【分析】首先写出6(2)xy−展开式通项，再考虑通项与3xy+相乘得到含52xy的项，即可得系数.【详解】由6(2)xy−的展开式通项为66166(2)(2)rrrrrrrrTCxy

Cxy−−+=−=−，所以6(3)(2)xyxy+−的展开式52xy项为21526646CCxy−，故系数为21664624CC−=.故选：B第4页共24页8．如图为函数()()π2sin0,02fxx=+的部分图

象，则（）A．函数()fx的周期为4πB．对任意的xR，都有()2π3fxfC．函数()fx在区间0,5π上恰好有三个零点D．函数π4fx−是偶函数【答案】C【分析】A选项，利用

函数图象求出函数解析式，利用正弦函数的周期性得到A错误；B选项，计算2π11π2sin2318f=，B错误；C选项，整体法得到2ππ,2π,3π36x+=，计算出5π11π17π,,444x=，C正确；D选项，计

算出π22sin43fxx−=为奇函数，D错误.【详解】从图象可看出()fx的最小正周期为3π23π2T==，因为0，所以2π3π=，解得：23=，故A错误；()22sin3fxx=+

，代入()0,1，2sin1=，因为π02，所以π6=，故()2π2sin36fxx=+，2π22ππ11π2sin2sin2333618f=+=，故不满足对任意的xR，都有()2π3fxf，B错误；0

,5πx，则2ππ7π,3662x+，第5页共24页由()0fx=可得：2ππ,2π,3π36x+=，可得：5π11π17π,,444x=，故函数()fx在区间0,5π上恰好有三个零点，C正确；π2ππ22sin2sin43463fxxx−=−+

=，为奇函数，D错误.故选：C二、多选题9．已知同一平面内的两个向量()3,1a=−，()1,2b=−，则（）A．与b同向的单位向量是525,55−B．,abrr不能作为该平面的基底C．a和b的夹角是π4D．a在b上的投影向量等于b【答案】A

CD【分析】A选项，利用bb进行求解；B选项，求出()3,1a=−与()1,2b=−不平行，从而B错误；C选项，利用向量余弦夹角公式进行求解；D选项，利用abbbb求解.【详解】()1,2b=−，145b=+=，则与b同向的单位向量是()1,2525,555bb

−==−，A正确；()()32110−−−，故()3,1a=−与()1,2b=−不平行，且为非零向量，故,abrr可以作出该平面的基底，B错误；()()3,11,252cos,2911452ababab−−====++，因为,0,πab，所以π,4ab

=，故a和b的夹角是π4，C正确；第6页共24页a在b上的投影向量等于555abbbbbb==，D正确.故选：ACD10．为了提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素与学生对体育锻炼的喜好是否有影响，为此对学生是否喜欢体育锻炼的情况进行普查，得到下表：体育性别合计男性女性喜欢280

p280＋p不喜欢q120120＋q合计280＋q120＋p400＋p＋q附：()()()()()22nadbcabcdacbd−=++++，nabcd=+++．0.050.0250.0100.001x3.8415.0

246.63510.828已知男生喜欢体育锻炼的人数占男生人数的710，女生喜欢体育锻炼的人数占女生人数的35，则下列说法正确的是（）A．列联表中q的值为120，p的值为180B．随机对一名学生进行调查，

此学生有90%的可能性喜欢体育锻炼C．根据小概率值0.01=的独立性检验，男女生对体育锻炼的喜好有差异D．根据小概率值0.001=的独立性检验，男女生对体育锻炼的喜好没有差异【答案】ACD【分析】根据题意求出q、p，补全22列联表，分析数

据，利用卡方计算公式求出2K，结合独立性检验的思想依次判断选项即可.【详解】A：由题意知，男生喜欢该项运动的人数占男生人数的710，女生喜欢该项运动的人数占女生人数的35，则7280(280)10q=+，3(120)5pp=+，解得120,180qp==，故

A正确；第7页共24页B：补全22列联表如下：男性女性合计喜欢280180460不喜欢120120240合计400300700所以随机抽一名学生进行调查，喜欢该项运动的概率约为46065.7%700P=，故B错误；C：222()700(280120180120)7.60

9()()()()460240400300nadbcKabcdacbd−−==++++，而6.6357.60910.828，所以根据小概率值0.01=的独立性检验，男女生对体育锻炼的喜好有差异D：由选项C知，根据小概

率值0.001=的独立性检验，男女生对体育锻炼的喜好没有差异.故选：ACD11．在直四棱柱1111ABCDABCD−中，//ABCD，ABAD⊥，12224ABADDCDD====.（）A．在棱AB上存在点P，使得1//DP平面11ABCB．在棱BC上存在点P，使得1//DP平面11ABC

C．若P在棱AB上移动，则11ADDP⊥D．在棱11AB上存在点P，使得DP⊥平面11ABC【答案】ABC【分析】通过线面平行的判定定理来判断AB选项的正确性，根据线线垂直、线面垂直的知识来判断C选项的正确性，利用向量法判断D选项的正确性.【详解】

A选项，当P是AB的中点时，依题意可知1111////,CDDCPBCDDCPB==，所以四边形11DPBC是平行四边形，所以11//DPCB，由于1DP平面11ABC,1CB平面11ABC,所以1//DP平面11ABC,A选项正确.第8

页共24页B选项，设E是AB的中点，P是BC的中点，由上述分析可知1//DE平面11ABC.由于11////PEACAC，PE平面11ABC，11AC平面11ABC，所以//PE平面11ABC.由于1DEPEE=，所以平面1//DPE平面11ABC，所以1//

DP平面11ABC.B选项正确.C选项，根据已知条件可知四边形11ADDA是正方形，所以11ADDA⊥，由于ABAD⊥,1ABAA⊥，1ADAAA=，所以AB⊥平面11ADDA，所以1ABAD⊥.由于1DAABA=，所

以1AD⊥平面1ADP，所以11ADDP⊥.C选项正确.第9页共24页D选项，建立如图所示空间直角坐标系，()()()112,0,2,2,4,0,0,2,2ABC，()()1110,4,2,2,2,0ABAC=−=−.设()2,,2,0,4Ptt.11144042

0DPABtDPACt=−==−+=，此方程组无解，所以在棱11AB上不存在点P，使得DP⊥平面11ABC.D错误.故选：ABC12．已知函数()32247fxxxx=−−−，其导函数为()yfx=，下列说法正确的是（）A．函数()yfx=的单调减区间为2,23−B

．函数()yfx=的极小值是15−C．当2a时，对于任意的xa，都有()()()()fxfafaxa+−第10页共24页D．函数()yfx=的图像有条切线方程为31yx=−【答案】AB【分析】对函数()3

2247fxxxx=−−−进行求导，对A令()0fx即可解决问题；B选项把增减区间求出来后即可得极值；C选项做差法证明即可；D由切线斜率为3出发反向分析即可得答案.【详解】因为()32247fxx

xx=−−−所以()23440fxxx=−−，223x−，所以()fx的单调减区间为2,23−，故A正确．令()23440fxxx=−−，则23x−或2x所以()fx在2,3−−，()2

,+单调递增在2,23−单调递减所以函数的极小值为()215f=−，故选项B正确；由()2344faaa=−−，若()()()()fxfafaxa+−即()()332224xaxaxa−−−−−()()2344aaxa−−−()22224344xaaxxaaa++−+−

−−()()210xaxa−+−()210xa+−矛盾，故选项C错误．()23443fxxx=−−=，解的=1x−或73，当=1x−时切点()1,6−−不在31yx=−上第11页共24页当73x=时切点7392,327−不在31yx=−上，故选项D

错误，故选：AB．三、填空题13．若等比数列na的前n项和为nS，且37S=，663S=，则9S=_____．【答案】511【分析】利用等比数列的性质可得36396,,SSSSS−−成等比数列，代入数据即可求解.【详解】因

为等比数列中232,,nnnnnSSSSS−−成等比数列，所以36396,,SSSSS−−成等比数列，所以()()263396SSSSS−=−，即()()29637763S−=−，解得：9511S=.故答案为：511【点睛】本题考查等比

数列性质的应用，熟练掌握各个性质，可大大简化计算步骤，节约时间，提高正确率.考查计算化简的能力，属基础题.14．已知长方形ABCD中，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D的椭圆的离心率为______．【答案】12##0.5【分析】利用椭圆定义及简单几何性质，明确a与c，即可得到椭

圆的离心率.【详解】由题知，24cAB==，解得2c=，2222435ACABBC=+=+=，由椭圆的定义知：2538aACBC=+=+=，解得4a=，所以椭圆的离心率2142cea===．故答案为：12．15．写出符合如下两个条件的一个函数()fx=______．①()(

)20fxfx−−+=，②()fx在(),0−内单调递增．【答案】221xx−+−（答案不唯一）【分析】先求出对称轴，再结合单调性即可．第12页共24页【详解】()()20fxfx−−+=()()2=fxfx−函数的图象关于1x=对称，又函数在(),0−内单调递

增，符合条件的一个函数解析式可以是：()221fxxx=−+−（答案不唯一）．故答案为：221xx−+−（答案不唯一）．16．剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中华汉族最古老的民间艺术之一．如图，一圆形纸片直径20cmAB=，需要剪去四边形1CECD，可以经过对折，沿,DCEC裁剪，

展开就可以得到．已知点C在圆上且10cmAC=，30ECD=．则镂空四边形1CECD的面积的最小值为______2cm．【答案】150(23)−【分析】由对称性可得12CECDCEDSS=，所以求CE

D△面积的最小值即可，设,,CEaCDbEDc===，根据20,10,30ABACECD===可得60CAE=，根据CED△的面积公式可得,,abc的关系，再根据基本不等式即可求CED△面积的最小值.【

详解】由对称性可得12CECDCEDSS=，所以求CED△面积的最小值即可，如图所示，设O为圆心，连接AC，作CGAB⊥于G，由题意10ACAOOC===，所以60OAC=，所以sin6053CGCA==，设,,CEaCDbEDc===，由面积

公式11sin3022CEDSabcCG==得103abc=，第13页共24页由余弦定理222322abcab+−=可得22223300ababab=+−，又根据基本不等式可得22222232300300ababababab=+−−

，即300(23)ab−，当且仅当300(23)ab==−时取等号，所以175(23)4CEDSab=−，所以四边形1CECD的面积的最小值为2150(23)cm−，故答案为：150(23)−四、解答题17．已知数列na的前n项积为nT，且21nnaT+=，*nN．(1)求证：

数列1nT是等差数列；(2)求数列lnna的前n项和nS．【答案】(1)答案见解析(2)1ln21nSn=+【分析】（1）利用等差数列的定义即可求解；（2）利用裂项相消法即可求解．【详解

】（1）数列na的前n项积为nT11Ta=，12nnTaaa=，1121nnTaaa++=11nnnTaT++=21nnaT+=，1n=时，1121aT+=，即1121aa+=，解得1113Ta==1121nnaT+++=1121nnnTTT+++=，即1112nnTT+

−=，第14页共24页故数列1nT是以113T=为首项，以2为公差的等差数列．（2）由（1）知()131221nnnT=+−=+，所以121nTn=+，所以11212112121nnnTnnaTnn−−+===+−，因此，()()2

1lnlnln21ln2121nnannn−==−−++，所以123lnlnlnlnnnSaaaa=++++，即()()ln1ln3ln3ln5ln5ln7ln21ln21nSnn=−+−+−++−−+化简得：1ln2

1nSn=+．18．设锐角三角形ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知coscosabAaB=−．(1)求证：B＝2A；(2)求bca+的取值范围．【答案】(1)证明过程见解析.(2)()21,32++【分析】（1）利用正弦

定理及积化和差得到()sinsinABA=−，结合角的范围，得到2BA=；（2）利用正弦定理得到2154cos44bAca=+−+，根据三角形为锐角三角形，得到ππ,64A，

23cos,22A，从而求出取值范围.【详解】（1）coscosabAaB=−，由正弦定理得：sinsincossincosABAAB=−，由积化和差公式可得：()()()()()()111111sinsinsi

nsinsinsinsin222222ABABAABABBAAB=++−−+−−=−−−，因为()()11sinsin22ABBA−=−−，所以()sinsinABA=−，第15页共24页因为三角形ABC为锐角

三角形，故π,0,2AB，所以ππ,22BA−−，故ABA=−，即2BA=；（2）由（1）知：2BA=，由正弦定理得：()sin2sinsinsinsin2sin3sinsinsinABAbcBCAAaAAA+++++===，其中()2s

in3sin2sin2coscos2sin2sincoscos2sinAAAAAAAAAAA=+=+=+，因为sin0A，所以222sincosscos2csincossco2inos2co2ss2inAAAAAAb

cAAAaA+==++++222215cos2cos14cos2cos142cos4cos42AAAAAA=+−=+−=++−，由π20,2BA=得：4π0,A，由πππ30,2CABA=−−=−，解得：ππ,63A，结合π0

,2A可得：ππ,64A，23cos,22A，故2154cos44bAca=+−+在23cos,22A上单调递增，所以2134cos2cos1421,43124bcAAa+=+−+−+−，即(

)21,32bca+++.19．如图，在三棱柱111ABCABC-中，平面11AACC⊥平面11AABB，且1160AAB=，2AB=，114ACAAAC===．第16页共24页(1)求平面111ABC与

平面11ABBA夹角的余弦值；(2)求三棱柱111ABCABC-的高h．【答案】(1)55(2)4155【分析】（1）作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，从而证明出11,,DEAACD两两垂直，建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量

，求出夹角的余弦值；（2）在第一问的基础上，利用点到平面的向量求距离公式进行求解.【详解】（1）取1AA的中点D，连接11,DCDB，在1BB上取点E，使得11BE=，连接DE，因为114ACAAAC===

，所以11AAC为等边三角形，故1CD⊥1AA，因为平面11AACC⊥平面11AABB，交线为1AA，1CD平面11AACC，故1CD⊥平面11AABB，因为1160AAB=，2AB=，14AA=，所以1112ABAD==，则11DABV为等边三角形，1160ADB=，因为11//AA

BB，所以11160BBDADB==，第17页共24页在1BDE中，由余弦定理得：222111112cos601421232DEBEBDBEBD=+−=+−=，故3DE=，则22211DEBEBD+=，故1DEBE⊥，则1DEAA⊥，因为平面11AACC⊥平面1

1AABB，交线为1AA，DE平面11AABB，所以DE⊥平面11AACC，故11,,DEAACD两两垂直，以D为坐标原点，11,,DEDCDA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则()()()1110,0,2,3,0,1,0,23,0ABC，设平面111ABC的法向量为

(),,mxyz=，则()()()()1111,,3,0,130,,0,23,22320mABxyzxzmACxyzyz=−=−==−=−=，令1x=，则3,1zy==，故()1,1,3m=，平面11ABBA的法向量为()0

,1,0n=，设平面111ABC与平面11ABBA夹角为，则平面111ABC与平面11ABBA夹角的余弦值()()1,1,30,1,05coscos,5113mnmnmn====++；（2）A点到平面111AB

C的距离即为三棱柱111ABCABC-的高h，第18页共24页由（1）知：平面111ABC的法向量为()1,1,3m=，()0,0,2A−，故()()10,0,41,1,34341551135AAmhm====++.20．某足球队为评估球员的场上作用，对球

员进行数据分析．球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示．场上位置边锋前卫中场出场率0.50.30.2球队胜率0.60.80.7(1)当甲出场比赛时，求球队输球的概率；(2)当甲出场比赛

时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当前卫的概率；(3)如果你是教练员，将如何安排球员甲在场上的位置？请说明安排理由．【答案】(1)0.32(2)617(3)边锋，理由见解析.【分析】（1）根据条件概率公式分别计算

出甲球员在担任边锋、前卫、中场时赢球的概率，最后相加得到甲球员参加比赛时，球队赢球的概率，再用1去减即可．（2）根据条件概率的计算公式即可求解，（3）由三个位置上的赢球几率，即可做出判断.【详解】（1）设1A表示“甲球员担当边锋”；2A表示

“甲球员担当前卫”；3A表示“甲球员担当中场”；B表示“球队赢了某场比赛”，则()112233()(|)()(|)()(|)PBPAPBAPAPBAPAPBA=++0.50.60.30.80.20.70.300.2

40.140.68=++=++=，该球队某场比赛输球的概率为()110.680.32PB−=−=，（2）由（1）知：()0.68PB=,所以()()()220.30.860.6817PABPAB

PB===，第19页共24页所以球员甲担当前卫的概率为617（3）同（2）()()()110.50.6150.6834PABPABPB===()()()330.20.770.6834PABPABPB===由于123()()()

|||PAPPBBABA，所以应多安排甲球员担任边锋，来增大赢球的几率.21．已知函数()()21ln12fxxaxax=−+−，Ra．(1)讨论()fx的单调性；(2)曲线()yfx=上是否存在不同两点()11,Axy、

()22,Bxy，使得直线AB与曲线()yfx=在点1212,22xxxxf++处的切线平行？若存在，求出A、B坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)答案见解析；(2)不存在，理由见解析.【分析】（1）

求定义域，求导，分情况分类讨论，得到()fx的单调性；（2）利用直线AB的斜率与曲线()yfx=在点1212,22xxxxf++处的切线斜率相等，列出方程，化简整理得：121212lnln2xxxxxx−+=−，12xx

，再证明出121212lnln2xxxxxx−+−，12xx，恒成立，从而说明不存在这样的不同两点()11,Axy、()22,Bxy.【详解】（1）()()21ln12fxxaxax=−+−定义域为()0,+，则()()()()(

)2111111axaxxaxfxaxaxxx−+−+−++=−+−==，当11a−=，即1a=−时，()()210xfxx−+=，此时()fx在()0,+上单调递增，当1a−时，此时()10,1a−，令()0fx¢>

得：()10,1,xa−+，令()0fx时，1,1xa−第20页共24页故()fx在()10,,1,a−+上单调递增，在1,1xa−上单调递减，当10a−时，此时11a−，令()

0fx¢>得：()10,1,xa−+，令()0fx时，11,xa−，故()fx在()10,1,,a−+上单调递增，在11,xa−上单调递减，当0a=时，()1xfxx−+=，令()0fx¢>

，解得：01x，令()0fx，解得：1x，故()fx在()0,1上单调递增，在()1,x+上单调递减，当0a时，10a−，舍去，此时，令()0fx¢>，解得：()0,1x，令()0fx，解得：(

)1,x+，故()fx在()0,1上单调递增，在()1,x+上单调递减，综上：当0a时，()fx在()0,1上单调递增，在()1,x+上单调递减；当10a−时，()fx在()10,1,,a−+

上单调递增，在11,xa−上单调递减；当1a−时，()fx在()10,,1,a−+上单调递增，在1,1xa−上单调递减，当1a=−时，()fx在()0,+上单调递增.（2）()()()()()2111111axaxxaxfxaxax

xx−+−+−++=−+−==，()yfx=在点1212,22xxxxf++处的切线斜率为()12121212112222axxxxxxfxx++−+++=+，

因为()11,Axy、()22,Bxy为函数曲线上的不同两点，故12xx，直线AB的斜率为()()()()2211122212121211ln1ln122xaxaxxaxaxfxfxxxxx−+−−+−−−=−−，令()()()12122211122212121111ln1ln1

22222axxxxxaxaxxaxaxxxxx++−++−+−−+−−=+−，整理得：121212lnln2xxxxxx−+=−，12xx第21页共24页接下来证明121212lnln2xxxxxx−+−

，12xx，恒成立，不妨设120xx，121212lnln2xxxxxx−+−变形为()121121222lnlnlnxxxxxxxx−−=+，即1211212221lnlnln1xxxxxxxx−−=+，令12

xtx=，则1t构造()22ln1thttt−=−+，1t，则()()()()()()222212211011ttthttttt+−−−=−=++恒成立，故()22ln1thttt−=−+在1t上单调递增，则()()22ln101

thttht−=−=+，故121212lnln2xxxxxx−+−，12xx，恒成立，从而不存在不同两点()11,Axy、()22,Bxy，使得直线AB与曲线()yfx=在点1212,22xxxxf+

+处的切线平行.【点睛】对数平均不等式为12121212lnln2xxxxxxxx−+−，在处理函数极值点偏移问题上经常用到，可先证明，再利用对数平均不等式解决相关问题，证明的方法是结合1122lnlnlnxxxx−=，换元后将二元问题一元化，利用导函数进行

证明.22．已知椭圆221:14xCy+=的左、右顶点分别为1A、2A，上、下顶点分别为1B、2B，记四边形1122ABAB的内切圆为2C，过椭圆1C上一点T引圆2C的两条切线（切线斜率存在且不为0），分别交椭圆1C于点P、Q．(1

)试探究直线TP与TQ斜率之积是否为定值，并说明理由；(2)记点O为坐标原点，求证：P、O、Q三点共线．【答案】(1)直线TP与TQ斜率之积为定值14−，理由见解析(2)证明过程见解析【分析】（1）先求出2C：2245xy+=，不妨取

(),Tmn，则2214mn+=，利用点到直线距离等于半径，得到()2225410540mkmnkn−−+−=，得到21225454nkkm−=−，将2244mn=−代入可得直线TP与TQ斜第22页共24页率之积为14−；（2）设直线1:TPykxb=+，得到221445

kb+=，直线与椭圆221:14xCy+=联立，根据韦达定理得到()2121645514kxkm−=+，同理设出直线21:4TQyxbk=−+，联立后得到()2224165514kxkm−=+，从而120xx+=，同理可得120yy+=，证明出P、O、Q三点共线．【详解】（1

）由题意得：()()122,0,0,1BA，直线21AB方程为121xy+=，即220xy+−=，原点到直线21AB的距离为225514−=+，故内切圆2C的半径为255，由对称性可知圆心为()0,0，所以2C：2245xy+=，不妨取(),T

mn，则2214mn+=，此时切线方程为()ynkxm−=−，则22551kmnk−=+，整理得：()2225410540mkmnkn−−+−=，设过点(),Tmn引圆2C的两条切线斜率分别为12,kk，则21225454nkkm−=−，由2214mn+=得：2244mn=−，将其代入上式中

，()22212222545454154162045444nnnkkmnn−−−====−−−−−，故直线TP与TQ斜率之积为14−；（2）设直线1:TPykxb=+，则122551bk=+，解得：221445kb+=，与椭圆221:14xCy+=联立得：()

22211148440kxkbxb+++−=，第23页共24页设()11,Pxy，则21124414bxmk−=+，将221445kb+=代入，可得：()()2212244164445551414kkxkmkm+−−==++，设

直线21:4TQyxbk=−+，则222551116bk=+，整理得：22241520bk=+，与椭圆221:14xCy+=联立得：222222114404bxxbkk+++−=，设()22,Qxy，则222244114bxmk−=+

，将22241520bk=+代入可得：()2222241416445205511414kkxkmmk+−−==++，显然120xx+=，设直线1:TPxwyu=+，则122551uw=+，解得：221445wu+=，与椭圆221:14xCy+=联立得：()222

114240wywuyu+++−=，设()11,Pxy，则211244uynw−=+，将221445wu+=代入得：()()221224416445544wwywnwn+−+−==++，设直线24:TQxy

uw=−+，则22255161uw=+，解得：22246455uw=+，与椭圆221:14xCy+=联立得：22222168440yuyuww+−+−=，设()11,Qxy，则22224164uynw−=+，将22246455uw=+代入得：()2222246416445

551644wwywnnw−+−==++，故120yy+=，第24页共24页所以P、O、Q三点共线.【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.