【文档说明】2023届北京专家信息卷全国甲卷高三上学期12月月考四数学理试题解析版.doc，共(18)页，2.242 MB，由小喜鸽上传

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第1页共18页2023届北京专家信息卷（全国甲卷）高三上学期12月月考（四）数学（理）试题一、单选题1．已知集合2|20Axxx=+−，则RA=ð（）A．{|12}xx−B．{|12}xx−剟C．{|21}xx−D．{|21}xx−剟【答案】D【分析】先化简

集合A,再利用补集的定义求解即可.【详解】由220xx+−解得1x或<2x−，所以|1{Axx=或2}x−，R{|21}Axx=−ð，故选：D2．在复平面内，复数1i3−的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【分析】根据

共轭复数的定义，求出复数1i3−的共轭复数，即可判断对应点位于第几象限.【详解】复数1i3−的共轭复数为1i3+，其对应的点在第一象限，故选：A.3．在ABCV中，点D在边AB上，且2BDDA=.记CDm=uuurr，CBn=uuurr，则2CA=uuur（）A．3mn−rrB．3mn−+

rrC．3mn+rrD．3mn+rr【答案】A【分析】根据平面向量的加减运算，即可求得答案.【详解】由题意知1131()2222CACDDACDBDCDCDCBCDCB=+=+=+−=−uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuu

r，所以23CACDCB=−uuuruuuruuur，即23CAmn=−uuurrr，故选：A.4．函数()3cos2fxxx=+（π0,2x）的最大值是（）A．1B．3π12−C．3π162+D．3π132−【答案】B第2页

共18页【分析】求出函数的导数，判断导数正负，确定函数的单调性，并比较端点处函数值与极大值的大小，即可确定答案.【详解】因为()32sin2fxx=−，π0,2x,当π(0,)6x时，()0fx，当ππ,63x时，()0fx，当ππ,32x

时，()0fx，故()fx在π0,6上递增，ππ,63上递减，ππ,32上递增，又π2fπ3π3π13π310626232f−=−−+=−

，故函数()3cos2fxxx=+（π0,2x）的最大值是3π2π12f=−，故选：B.5．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数

据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足5lgLV=+.已知某同学视力的小数记录法的数据为0.8，则其视力的五分记录法的数据约为（lg20.3）（）A．4.5B．4.7C．4.8D．4.9【答案】D【分

析】根据五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足5lgLV=+，将0.8V=代入，结合对数的运算，可得答案.【详解】由题意可知45lg5lg0.85lg5lg4lg55LV=+=+=+=+−52lg2(1lg2)43

lg2430.34.9=+−−=++=,故选:D.6．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O，2O，过直线12OO的平面截该圆柱所得的截面是面积为12的正方形，则该圆柱的体积为（）A．123πB．12πC．63πD．23π【答案】C【分析】根据圆

柱的体积公式计算可得结果.【详解】由题意知该圆柱的高和底面直径是23，所以该圆柱的体积为2π(3)2363πVSh===.故选：C.第3页共18页7．已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴.l被抛物线2ypx=（0p）截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐

标为（）A．(0,1)B．(1,0)C．(0,2)D．(2,0)【答案】B【分析】根据题意令1x=，可得24p=，求得p的值，可得抛物线方程，即可得答案.【详解】由题意令1x=，则2,ypyp==，故24,4pp==，所以抛物线2ypx=（0p）为24yx=

，其焦点坐标为(1,0)，故选：B.8．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.如图，若在“杨辉三角”中从第2行右边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，1

0，5，…，则此数列的前20项的和为（）A．350B．295C．285D．230【答案】C【分析】利用分组求和法和组合数的性质进行求解即可【详解】记此数列的前20项的和为20S，则2012320Saaaa

=++++=L()()13192420aaaaaa+++++++LL()()222211112341123411CCCCCCCC=+++++++++LL()322233411CCCC(23411)=+++++++++LL

()()()3223224411551121110CCCCCC652+=++++=+++LL312C65285==+=L，故选：C.9．已知函数3()1fxxx=−+−，以下判断正确的是（）①()fx有两个极值点；②()fx有三个零点；第4页共18页③点(0,1)−

是()fx曲线的对称中心.A．①②B．②③C．①③D．①②③【答案】C【分析】求导，根据导函数的正负可判断极值点，即可判断①，根据单调性以及极值即可判断②，根据对称性满足的关系式即可判断③.【详解】由3()1fxxx=−+−得()231fxx=−+，令()0fx=得

33x=，且当33x−和33x时，()0fx，当3333x−时，()0fx¢>，所以33x=均是()fx的极值点，故()fx有两个极值点，故①正确，由①知，33x=是()fx的极大值点，且33310393f=−+−，()28210f−=−−，所以()fx只有一个

零点，故②错误，又33()()()11fxxxxx−=−−+−−−=−，所以()()2fxfx+−=−，故点(0,1)−是()fx曲线的对称中心，所以③正确，故选:C10．双曲线C：22221xyab−=（0a，0b）的左顶点为A，点

,PQ均在C上，且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为14−，则C的离心率为（）A．52B．3C．2D．5【答案】A【分析】设00(,)Pxy，则()00,Qxy−，化简2022014APAQykkax==−−可得224ab=，结合2222abe

a+=，即可求得答案.【详解】由题意知双曲线左顶点为(,0)Aa−，设00(,)Pxy，则()00,Qxy−，则有()()200022000APAQyyykkxaxaax==+−+−，又2200221xyab−=，将()2220202bxaya−=代入2022014APAQykkax=

=−−中，得2214ba=，即224ab=，所以22222254cabeaa+===，故52e=，故选：A.第5页共18页11．设函数π()cos6fxx=+()0在区间(0,π)上恰有两个极值点和三个零点，则的取值范围是（）A．710,33B．1117,63

C．717,36D．1110,63【答案】C【分析】令π6zx=+，由已知可得πππ66z+，根据已知可得，应使cosyz=在ππ,π66+上有两个极值点、三个零点，根据余弦函数的图象即可得到关于的不等式，求解即可得到的取值范围.【详

解】令π6zx=+，因为π()0,x，所以πππ66z+，要使函数π()cos6fxx=+在区间(0,π)有两个极值点、三个零点，只需函数cosyz=在ππ,π66+

上有两个极值点、三个零点即可.又因为cosyz=的极值点即为cosyz=的最值点，即在对称轴处取得极值.作出cosyz=的图象，5π,02A，()3π,0B.根据函数cosyz=图象可知，需满足5π3π2z，即5πππ3π26+，即7π17ππ36，解得7173

6，所以的取值范围是717,36.故选：C.12．已知0.1ea−=，910b=，1cos10c=，则（）A．abcB．cbaC．acbD．cab【答案】D【分析】由于

910.110b==−，和0.1ea−=比较大小，可构造函数()e1xgxx=−−，求导判断函数单调性，即可比较,ab的大小；由于1coscos(0.1)10c==−，故与0.1ea−=比较，可构造函数()cos

exfxx=−，判断其单调性，可比较,ca大小，即可得答案.【详解】设()e1,()e1xxgxxgx=−−=−，当0x时，()0gx，()gx递减，第6页共18页当0x时，()0gx，()gx递增，故()(0)0gxg=，所以e1xx+，当且仅当0x=时取等号，取

0.1x=−，则0.1e0.9−，得ab；由1coscos(0.1)10c==−，构造函数()cosexfxx=−，(0.5,0)x−，()sinexfxx=−−，令()sinexhxx=−−，则()cosexhxx=

−−，当(0.5,0)x−时，()0hx，所以()hx即()fx在(0.5,0)−上递减，所以11()(0.5)sin2efxf−=−，设π()sin,(0,),()cos102mxxxxmxx=−=−，故()(0)0mxm=，即πsin,(0,)2xxx

，故111sin22e，所以()0fx，所以()fx在(0.5,0)−上递减，所以()(0)0fxf=，即cosexx，取0.1x=−，则0.1cos(0.1)e−−，即0.1cos0.1e−，即ca，则cab故选：D.【点睛】方法点睛：由于910.110b=

=−，因此和0.1ea−=比较大小，可构造函数()e1xgxx=−−，由于1coscos(0.1)10c==−，故与0.1ea−=比较，可构造函数()cosexfxx=−，所以解决此类问题时要能根据数或式的结构特征，

构造恰当的函数，是解题的关键.二、填空题13．高三年级某班共有48人，其中文艺爱好者20人，体育爱好者18人，文艺、体育均不爱好的20人，从班级中随机抽取1人，则他既是文艺爱好者，又是体育爱好者的概率是___

_______.【答案】524【分析】根据韦恩图求出既是文艺爱好者，又是体育爱好者的人数，根据古典概型中概率的公式求解即可.第7页共18页【详解】结合韦恩图可知班级中文艺、体育都爱好的有(2018)(4820)10+−−=，既是文艺爱好者，又是体育爱好者的概率10

54824P==，故答案为：524.14．若存在[0,1]x，有2(1)30xaxa+−+−成立，则实数a的取值范围是__________.【答案】(),3−【分析】参数分离可得231xxax+++，设()231xxfxx++=+，将存在问题

转化为()maxafx，求出函数的最大值，即可得到实数a的取值范围.【详解】解：将原不等式参数分离可得231xxax+++，设()231xxfxx++=+，已知存在[0,1]x，有2(1)30xaxa+

−+−成立，则()maxafx，令1tx=+，则()()22113133tttfxttttt−+−+==+−+=−，1,2t，由对勾函数知()fx在)1,3上单调递减，在(3,2上单调递增，()3

11131f=+−=，()3522122f=+−=，所以()()max13fxf==，即3a，故答案为：(),3−.15．若直线210xy+−=与圆224xy+=交于A，B两点，O为坐标原点，则OAOB=uuuruu

ur__________.【答案】185−【分析】根据点到直线的距离公式求出OD，由垂径定理可得2195DA=，最后利用极化恒等式即可求出OAOBuuuruuur.第8页共18页【详解】设圆心到直线210xy+−=的距离为220011512OD+−==+，由垂径定理可得2221

19455DArOD−−===，又221()()4OAOBOAOBOAOB=+−−uuuruuuruuuruuuruuuruuur2211918555ODDA=−=−=−，故答案为：185−16．在ABCV中，3AB=，2AC=，30BAC

=，Q为ABCV内一点，120BQC=.若150AQC=，则tanQBC=__________.【答案】34##134【分析】由余弦定理求得BC的长，确定90ABC=，设QBC=，推得QAB=，表示出3sinQB=，在QBC△中由正弦定理可得()3sin1sin60si

n120=−，化简即可求得答案.【详解】在ABCV中，3AB=，2AC=，30BAC=,由余弦定理得2232cos344312BCABACABACBAC=+−=+−=，则222ACABBC=+,根据勾股定理逆定理得90ABC=，因为120BQC=

，150AQC=，所以90AQB=，设QBC=，则ABQABQQAB+=+，所以QAB=，在RtAQBV中，3sinQB=，在QBC△中，由正弦定理得：sinsinBQBCQCBBQC=，即()

3sin1sin60sin120=−，第9页共18页所以331sincossin222=−,即32sincos2=，解得：3tan4=，即3an4tQBC=，故答案为：34三、解答题

17．某企业为解决科技卡脖问题，不断加大科技研发投入，下表为该企业2018年至2022年重大科技项目取得突破的个数：年份：20182019202020212022重大科技项目突破数y（单位：个）24478经过相关系数的计算和分析，发现重大科技项目突破个数y与年份

x的线性相关程度非常高.请建立y关于x的回归方程ˆˆˆybxa=+，并预测该企业在2024年重大科技项目取得突破的个数.附：对于一组数据()11,xy，()22,xy，…，(),nnxy，其回归直线ˆˆˆyax=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为()()()121ˆniiini

ixxyyxx==−−=−，ˆˆayx=−．【答案】3ˆ30252yx=−，11个【分析】根据回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程，并求得预测值.【详解】依据题意得：2018201920202021202220205x++++=

=，2447855y++++==，()52222221(2)(1)01210iixx=−=−+−+++=，()()51(2)(3)(1)(1)0(1)122315iiixxyy=−−=−−+−−+−++=，()()()51521153ˆ

102iiiiixxyybxx==−−===−，第10页共18页3ˆˆ5202030252aybx=−=−=−，故所求回归方程为3ˆ30252yx=−，当2024x=时，3ˆ20243025112y=−=，所以预测该企业在2024

年重大科技项目取得的突破数为11个.18．已知数列na满足2126nnnaaa++−−=，1nnnbaa+=−.(1)若11a=，23a=，①求1b，2b，3b；②求数列nb的通项公式；(2)若112a=，22a=，求数列na的通项公式.【答案】(1)①1232bbb===；②2nb

=(2)111112326nnan−=+−−【分析】（1）由已知条件取n的值代入计算可得1232bbb===，然后利用递推关系，验证2nb=，即为数列nb的通项公式；（2）由（1）可证数列2nb−是12−为首项，12−为公比的等比

数列，进而求得1122nnnaa+−=+−，利用累加法可求数列na的通项公式.【详解】（1）①已知12126262nnnnnnaaaaaa++++++−−==，若11a=，23a=，则2136316522aaa++++==

=，3246536722aaa++++===，而1nnnbaa+=−，1212baa=−=，2322baa=−=，4332baa=−=，即1232bbb===；②由2126nnnaaa++−−=，得()()21126nnnnaaaa+++−

=−−+，即126nnbb+=−+，所以()()1222nnbb+−=−−，第11页共18页因为120b−=，所以20nb−=，即2nb=；（2）由（1）知()()1222nnbb+−=−−，若112a=，22a=，则1211

2202baa−=−−=−，∴12122nnbb+−=−−，因此数列2nb−是12−为首项，12−为公比的等比数列，所以122nnb−=−，即1122nnnaa+−=+−，当2n时，()()()121321nnnaaaaaaaa

−=+−+−++−L12111112222222n−=++−++−+++−L12111112222222n−=++−++−+++−

L111112326nn−=+−−，又当1n=时，112a=也满足上式，所以111112326nnan−=+−−.19．如图，在三棱锥ABCD−中，平

面ABD⊥平面BCD，ABAD=，O为BD的中点.(1)证明：OABC⊥；(2)若OCDV是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，2DEEA=，且三棱锥ABCD−的体积为36，求二面角EBCD−−的大小.【答案】(1)证明见解析;第12页共18页(

2)π4=.【分析】（1）根据面面垂直的性质定理即可证明结论；（2）根据三棱锥ABCD−的体积求得AO，可得CDCB⊥，作辅助线作EFBD⊥于F，作FMBC⊥于M，连EM，利用定义法找到二面角EBCD−−的平面角，再求得相关线段长，解三角形可得

答案.【详解】（1）证明：因为ABAD=，O为BD中点，所以AOBD⊥，因为平面ABD平面BCDBD=，平面ABD⊥平面BCD，AO平面ABD，因此AO⊥平面BCD，因为BC平面BC，所以OABC⊥；（2）因OCDV是边长为1的等边三角形，所以34OCDS=△

，则32BCDS=V，因AO⊥平面BCD，所以AO为三棱锥ABCD−的高，设为h，所以133,1366ABCDBCDVhShh−====△.所以1OAOBOCODCD=====，即有12OCBD=,所以

CDCB⊥，作EFBD⊥于F，作FMBC⊥于M，连EM，则AOEF∥，因为AO⊥平面BCD，所以EF⊥平面BCD，BC平面BCD,则EFBC⊥，因为FMBC⊥，,,FMEFFFMEF=I平面EFM，所以BC⊥平面EFM，而ME平面EFM，故BCME⊥，则EM

F为二面角EBCD−−的平面角.又2DEEA=，所以2233EFAO==，在BCD△中，FMBC⊥，CDCB⊥，所以FMCD∥，第13页共18页由OAOD=知π4ODA=，故23DFEF==，所以43BF=，即23BFB

D=,∴2233FMCD==，从而23EFFM==，所以π4EMF=，即二面角EBCD−−的大小为π4.另解：因OCDV是边长为1的等边三角形，所以34OCDS=△，则32BCDS=V，因AO⊥平面BCD，所以AO为三棱锥ABC

D的高，设为h，所以133,1366ABCDBCDVhShh−====△，故1OAOBOCODCD=====，如图：以O为坐标原点，在平面BCD内过点O作BD的垂线为x轴，以OD、OA所在的直线分别为,yz轴，建立空间直角坐标系.则(0,0,0)O，(0,0,1)A，(0,1,0)D，

(0,1,0)B−，因OCDV是边长为1的等边三角形，故31,,022C，又2DEEA=，故120,,33E.因AO⊥平面BCD，故平面BCD的一个法向量为1(0,0,1)n=r，420,,

33EB=−−uuur，312,,263EC=−uuur，设平面EBC的一个法向量为2(,,)nxyz=r，由2200nEBnEC==uuurruuurr得420333120263yzxyz−−=

+−=，第14页共18页令1y=，得2z=−，3x=−，所以3(3,1,2)n=−−r，所以12121222cos,222nnnnnn−===−rrrrrr，由图知二面角EBCD−−的大小为锐角，设为（π02），所以π4

=.20．已知点(2,1)A在椭圆22221xyab+=（0ab）上，且该椭圆的离心率为22.直线l交椭圆于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为零，(1)求椭圆的标准方程；(2)若1cos3PAQ=，求PA

Q△的面积.【答案】(1)22163xy+=(2)16225【分析】（1）根据条件立方程组求解a，b，c；（2）设直线AP的倾斜角，由条件计算出AP和AQ的斜率，再求出点P和Q的坐标，运用三角形面积公式计算PAQ△的面积.【详解】（1）设椭圆的焦距为2c，由题意可得2222222411abccaa

b=+=+=，解得222633abc===，所以椭圆方程为22163xy+=；（2）由题意作下图：不妨设直线AP的倾斜角为锐角且为，则直线AQ的倾斜角为π−，所以π2PAQ=−，因1c

os3PAQ=，222211tancos2cossin31tan−=−=−=+，解得tan2=，又为锐角，所以tan2=，于是得直线AP：12(2)yx−=−，AQ：12(2)yx−=−−，第15页共1

8页联立方程组2216312(2)xyyx+=−=−消去y得：25(4216)12820xx+−+−=，因为方程有一根为2，所以6425Px−=，3425Py−−=，同理可得6425Qx+=，3425Qy−+=，所以PQ：

905xy−−=，16||5PQ=，点A到直线PQ的距离92122552d−−==，所以PAQ△的面积为1162216225525=；综上，椭圆方程为22163xy+=；PAQ△的面积为1162216225525=.21．已知函数()ln(1)sincosfxxxx=+++.(1)

当[0,π]x时，求证：()0fx；(2)若()1fxax+恒成立，求a的值.【答案】(1)证明见解析(2)2a=【分析】（1）化简π()ln(1)2sin4fxxx=+++，分类讨论3π0,4x和3π,π4x

，πln(1),2sin4xx++的正负，即可证明；（2）因为()1fxax+，令()ln(1)sincos1gxxxxax=+++−−，（1x−），要使()0gx恒成立，只要max[()]0gx，对()gx求导，讨论()gx的单调性，

即可得出答案.【详解】（1）π()ln(1)sincosln(1)2sin4fxxxxxx=+++=+++，当3π0,4x时，ln(1)0x+，πsin04x+，又二者不能同时为0，所以()0fx；当3π,π4x

时，3πln(1)ln1ln314x++，又sin0x，cos1x−，所以()0fx；综上有[0,π]x时，()0fx；（2）因为()1fxax+，令()ln(1)sincos1gxxxxax=+++−−，（1x−），要使()0gx恒成立，只要

max[()]0gx，第16页共18页因为(0)0g=，又()gx图像在定义域上连续不间断，所以0是()gx的一个极大值点，则有()00g=，因1()cossin1gxxxax=+−−+，所以1(0)

cos0sin02010gaa=+−−=−=+，2a=.当2a=时，1()cossin21gxxxx=−+−+，当(1,0]x−时，111x+，πcossin2cos14xxx−=+，所以()0gx，故()gx在(1,0]x−上递

增；又因11π()cossin22cos2114gxxxxxx=+−−=++−++在3π0,4递减，且(0)0g=，则()(0)0gxg=，故()gx在3π0,4x上递减；当

3π,4x+时，1112x+，所以1π1()2cos2220142gxxx=++−+−+，故()gx在[0,)+上递减.综上有当2a=时，()gx在(1,0]−上递增，在[0,)+上递减，即若()1fxax+成立，故2a=.

【点睛】关键点点睛：第二问，确定函数在0处取得最值，且把定义域分段研究是关键22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为2cos1sinxtyt=+=+（t为参数），曲线C的参数方程：4cos2si

nxy==（为参数）.(1)求l和C的直角坐标方程；(2)若直线l被曲线C所截得线段AB的中点坐标为(2,1)，求||AB.【答案】(1)当cos0=时，直线l的直角坐标方程为2x=，当cos0时，直线l

的直角坐标方程为tan12tanyx=+−，曲线C的直角坐标方程为：221164xy+=(2)25【分析】（1）消去参数可得直线l的直角坐标方程，消去参数可得曲线C的直角坐标方程；（2）将l的参数方程代入曲线C的

直角坐标方程，利用根与系数的关系以及直线参数方程中参数的几何意义可求出结果.【详解】（1）当cos0=时，直线l的直角坐标方程为2x=，第17页共18页当cos0时，直线l的直角坐标方程为tan12tanyx=+−，由4co

s2sinxy==消去参数，得221164xy+=.所以曲线C的直角坐标方程为221164xy+=；（2）因为线段AB的中点坐标为(2,1)，所以直线l不可能是2x=，将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程：221164xy+=，并整理得关于t

的方程：()2213sin4(cos2sin)80tt+++−=，设点,AB对应的参数分别为12,tt，所以1224(cos2sin)13sintt++=−+，122813sintt=−+，因为曲线C截直线l所得线段的中点(

2,1)在C内，所以120tt+=，即24(cos2sin)013sin+−=+，故cos2sin0+=，又22sincos1+=，所以22sin4sin1+=，解得21sin5=，所以212

1212|||)()4ABtttttt=−=+−12284413sintt=−=−−+32315=+25=.23．已知()12fxaxx=+−−.(1)当1a=时，求不等式()1fx的解集；(2)若(1,1)x−时，不等式()fxx恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(1){

|1}xx(2)[1,1]−【分析】（1）将双绝对值函数用分段函数表示，即可求出()1fx的解集；（2）当(1,1)x−时，将不等式()fxx恒成立，转化为12ax+恒成立，分类讨论a，即可求出实数a的取值范围.【详解】（1）当1a=时，()12fxxx=+−

−，即3,1()21,123,2xfxxxx−−=−−，131x−−或12211xx−−或231x第18页共18页解得1x故不等式()1fx的解集为{|1}xx；（2）当(1,1)x−时，12axxx+−−恒成立，等价于当(1

,1)x−时，12ax+恒成立.则21231axax−+−，若0a=，恒有()fxx成立；若0a，则当(1,1)x−时，12ax+的解集为13|xxaa−，所以1131aa

−−，故10a−；若0a，12ax+的解集为31|xxaa−，所以1131aa−−，故01a.综上所述，a的取值范围为[1,1]−.