【文档说明】2022届湖北省恩施高中郧阳中学高三仿真模拟考试数学试题解析版.doc，共(22)页，2.173 MB，由小喜鸽上传

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第1页共22页2022届湖北省恩施高中郧阳中学高三仿真模拟考试数学试题一、单选题1．已知集合,AUBU，且UAB=ð，则下列说法一定正确的是（）A．ABB．AB=C．UBA=ðD．UUCACB【

答案】D【分析】根据交集的结论及包含关键判断．【详解】因为UAB=ð，所以AB，所以.UUAB痧故选：D2．袋子中有四个小球，分别写有“文､明､中､国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”

两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“文､明､中､国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了

以下18组随机数：232321230023123021132220001231130133231013320122103233由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（）A．16B．19C．29D．518【答案】A【分析】利用古典概型的概率公式求解.【详解

】因为随机模拟产生了以下18组随机数：232321230023123021132220001231130133231013320122103233，其中恰好第三次就停止包含的基本事件有：023,123,132共3个，所以由此可以估计，

恰好第三次就停止的概率为31186p==，故选：A3．设有下面四个命题1p：若复数z满足1Rz，则zR；2p：若复数z满足2zR，则zR；3p：若复数12,zz满足12zzR，则12zz=；第2页共22页4p：若复数zR，则z

R.其中的真命题为A．13,ppB．14,ppC．23,ppD．24,pp【答案】B【详解】令i(,)zababR=+，则由2211iiabzabab−==++R得0b=，所以zR，故1p正确；当iz=时，因

为22i1z==−R，而iz=R知，故2p不正确；当12izz==时，满足121zz=−R，但12zz，故3p不正确；对于4p，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故4p正确，故选B.点睛:分式形

式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成i(,)zababR=+的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.4．已知12,FF是双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的两个焦点，R是C上的一点，且1212

0FRF=，12:4:1,RFRFC=经过点232,3Q，则C的虚轴长为（）A．3B．23C．4D．2【答案】C【分析】根据余弦定理，结合双曲线的定义列出方程，再根据双曲线经过点Q，解出

方程，即可求得,,abc，从而得到结果.【详解】设2RFx=，由1241::RFRF=，得14RFx=，因为12120FRF=，则由余弦定理可得2221641cos120242xxcxx+−==−，解得22121xc=，

则12221237RFRFaxc−===，即217ac=①，又C经过点232,3Q，第3页共22页所以()2224413aca−=−②联立①②，解得3,7ac==，则2b=所以C的虚轴长为24b=故选:C5．将函数()4cos2fxx=和直线()

1gxx=−的所有交点从左到右依次记为1A，2A，3A，nA，若P点坐标为()0,2，则12nPAPAPA+++=A．55B．35C．5D．0【答案】A【分析】画出函数图像，根据图像知共有5个交点，交点关于()1,0对称，则12535PA

PAPAPA+++=，计算得到答案.【详解】()4cos2fxx=，函数周期为4T=，函数图像关于()1,0中心对称，画出函数图像：根据图像知，共有5个交点，交点关于()1,0对称，()31,0A，则125333322555PAPAPAPAPAPAPA+++=++=

=.故选：A.【点睛】本题考查了三角函数交点问题，向量的模，确定共有5个交点，交点关于()1,0对称是解题的关键.6．设等差数列na的前n项和为nS．若230SS，则下列结论中正确的是（）A．30aB．21

0aa−C．230aa+D．435aaa第4页共22页【答案】D【分析】根据230SS，可得30a，20a，从而可判断AB，举出反例即可判断C，根据等差数列的性质结合基本不等式即可判断D.【详解】解：因为230SS，所以3230SSa−=，故A错误；32

30Sa=，所以20a，则公差32210daaaa=−=−，故B错误；所以等差数列na为递增数列，则450,0aa，35aa，则35352aaaa+，所以4353522aaaaa=+，所以435aaa，故D正确；对于C，当13,2ad=−=时，2

31,1aa=−=，23430SS=−=−。此时230aa+=，故C错误.故选：D.7．设抛物线28yx=的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于点A，B，与圆22430xyx+−+=交于点P，Q，其中点A，P在第一象限，则2APQB+的

最小值为（）A．223+B．225+C．425+D．423+【答案】D【解析】根据抛物线与圆的位置关系，利用抛物线的焦半径公式，将2APQB+表示为焦半径与半径的关系，然后根据坐标,ABxx的特点结合基本不等式求解出2AP

QB+的最小值.【详解】如图所示：第5页共22页因为圆的方程为22430xyx+−+=即为()2221xy−+=，所以圆心为()2,0即为抛物线28yx=的焦点且半径1R=因为()()22APQBAFRBFR+=−+−，所以223APQBAFBF+=+−，又

因为22AApAFxx=+=+，22BBpBFxx=+=+，所以223ABAPQBxx+=++，设:2lxmy=+，所以228xmyyx=+=，所以()224840xmx−++=，所以4ABxx=，所以223

223423ABABAPQBxxxx+=+++=+，取等号时2,22ABxx==.综上可知：()min2423APQB+=+.故选：D.【点睛】本题考查抛物线与圆的综合应用，着重考查了抛物线的焦半径公式的运用，难度较难.(1)已知抛物线()220ypxp=上任意一点()00,Mxy以

及焦点F，则有02pMFx=+；(2)当过焦点的直线l与抛物线()220ypxp=相交于()()1122,,,AxyBxy，则有221212,4pxxyyp==−.8．已知实数,,abcR满足ln,1abcabcbeee==−

，则,,abc大小关系为（）A．abcB．acbC．bcaD．bac【答案】D【解析】先分析得到1,1,0abc，再构造函数利用导数比较,ab的大小即得解.【详解】1,0,0,0,bcbcbcbcee−，ln0,ln

0,1ababaaacee=，，第6页共22页lnababee=设()(1)xxfxxe=，所以1()=0xxfxe−，所以函数()fx在1)（，+单调递减，设ln()(1),()ln(1),xxxgxxh

xxxxe−==−所以11()10,()(1)0,ln0xhxhxhxxxx−=−==−，所以lnlnln()0,,xxxaabxxxxaabgxeeeeee−==，因为函数()fx在1)（，

+单调递减，所以ab，故选：D【点睛】关键点睛：解答本题的关键是两次构造函数，第一次是构造函数()(1)xxfxxe=，得到函数()fx在1)（，+单调递减，第二次是构造函数ln()(1),()ln(1),xxxgxx

hxxxxe−==−得到lnxxxxee.在解答函数的问题时，经常要观察已知条件构造函数解决问题.二、多选题9．下列说法正确的是（）A．“4x=”是“tan1x=”的充分不必要条件B．在某项测量中，测量结果服从正态分布()2N1,(0)，若位

于区域()0,1内的概率为0.4，则位于区域()0,2内的概率为0.8C．命题“0001R,2xxx+”的否定是“1R,2xxx+”D．函数sincos2yxx=++无零点【答案】AB【分析】A项方程tan1x=解不唯一，B项正态曲线()2N1,(0)

关于1x=对称C项存在量词命题的否定是存在量词命题，D项辅助角公式后求解.【详解】A项，把4x=代入tanx即tan14=充分性成立，当tan1x=时()4xkkZ=+,所以必要第7页共22页性

不成立,故A正确；B项，因为服从正态分布()2N1,(0)，则正态曲线关于1x=对称，所以位于区域()1,2的概率也是0.4，所以位于区域()0,2内的概率为0.8，故B正确；C项由命题的否定得“0001R,2xxx+”的否定是“1R,2xxx+”，故C错误；D项

，因为函数sincos22sin204yxxx=++=++=时，即sin14x+=−，所以()242xkkZ+=−+，即()324xkkZ=−+,所以零点为()324kkZ−+，所以D错误.故选：AB10．将甲､乙､丙

､丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A表示事件“医生甲派往①村庄”；B表示事件“医生乙派往①村庄”；C表示事件“医生乙派往②村庄”，则（）A．事件A与B相互独立B．事件A

与C不相互独立C．()512PBA=∣D．()512PCA=∣【答案】BD【分析】由古典概率公式求出()()()()(),,,,PAPBPCPABPAC，再利用相互独立事件的定义判断A，B；用条件概率公式计算判断

C，D作答.【详解】将甲、乙、丙、丁4名医生派往①，②，③三个村庄义诊的试验有2343CA36=个基本事件，它们等可能，事件A含有的基本事件数为322332ACA12+=，则()121363PA==，同理()()13PBPC==，事件A

B含有的基本事件数为22A2=，则21()3618PAB==，事件AC含有的基本事件数为211222CCC5+=，则()536PAC=，对于A，()()()19PAPBPAB=，即事件A与B相互不独立，A不正确；对于B，()()()19PAPCP

AC=，即事件A与C相互不独立，B正确；对于C，()()()1|6PABPBAPA==，C不正确；第8页共22页对于D，()()()5|12PACPCAPA==，D正确.故选：BD11．已知O为坐标原点，圆()()22Ω:cossi

n1xy−+−=，则下列结论正确的是（）A．圆Ω恒过原点OB．圆Ω与圆224xy+=外切C．直线322xy+=被圆Ω所截得弦长的最大值为3D．直线cossin0xy+=与圆Ω相切或相交【答案】ACD【分析】A.代入点()0,0可判断；B.计算圆心距离与半径差的大

小关系；C.利用垂径定理求弦长然后求最值；D.求圆心到直线的距离来判断.【详解】对于A：代入点()0,0得()()22cossin1−+−=恒成立，A正确；对于B：22cossin12+=−，即两圆心距离等于两圆半径差，两圆内切，B错误；对于C：直线322x

y+=被圆Ω所截得弦长为223232sincossincos22212122+−+−−=−πsincos2sin2,24+=+−，223232sincos2222121322+−−

−−=，即直线322xy+=被圆Ω所截得弦长的最大值为3，C正确；对于D：圆心到直线的距离()22coscossinsincos1cossin+=−+，故圆和直线相切或相交，D正确；故选：ACD.12．已知菱形ABCD中，∠BA

D=60°，AC与BD相交于点O．将△ABD沿BD折起，使顶点A至点M，在折起的过程中，下列结论正确的是（）第9页共22页A．BD⊥CMB．存在一个位置，使△CDM为等边三角形C．DM与BC不可能垂直D．直线DM与平面BCD所成的角的最大值为60°【答案】ABD【解析】画出图形，利用直线与直线的

位置关系，直线与平面的位置关系判断选项的正误即可．【详解】对A，菱形ABCD中，60BAD=，AC与BD相交于点O．将ABD沿BD折起，使顶点A至点M，如图：取BD的中点E，连接ME，EC，可知MEBD⊥，ECBD⊥，所以BD⊥平面MCE，可知MCBD⊥，故A正确；对B

，由题意可知ABBCCDDABD====，三棱锥是正四面体时，CDM为等边三角形，故B正确；对C，三棱锥是正四面体时，DM与BC垂直，故C不正确；对D，平面BDM与平面BDC垂直时，直线DM与平面BCD所成的角的最大值为60，故D正

确．故选：ABD．【点睛】本题考查空间几何体的直线与直线、直线与平面的位置关系的综合判断、命题的真假的判断，考查转化与化归思想，考查空间想象能力．三、填空题13．直线tan07xy+=的倾斜角是__________.【答案】67【分析】根据直线求出斜率，根据斜率与倾斜角的关系，求出

斜率为tan7−，根据诱导公式转化成[)0,p里的正切值.【详解】因为直线tan07xy+=的斜率为tan7−设此直线的倾斜角为，且)0,第10页共22页所以tantantan77

=−=−又因为tanyx=的周期为，所以6tantantan777−=−+=即6tantan7=，所以倾斜角为67.故答案为：6π7.14．如图，正方形OA

BC的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长为________．【答案】8【分析】根据斜二测画法，还原出原图，根据原图与直观图的关系，求得边长，即可得答案.【详解】根据直观图，

还原原图可得OABC，如图所示：根据原图与直观图的关系可得，1,222OAOAOBOB====，且OAOB⊥，所以223ABOBOA=+=，所以原图形OABC的周长为3+1+3+1=8，故答案为：815．已知二次函数()23fxaxbxab=+++是偶函数，定义域

为1,2aa−，则函数()()6log112aafxyax=+−在6,12xaab+上的最小值__________.【答案】9【分析】利用偶函数的定义解出,ab的值，再利用均值不等式求最小值即可.第11页共22页【详解】由()fx是偶函数可得(

)()12fxfxaa=−−=−，解得013ba==，所以原问题为221log231113(1)(1)443331512111(1)3xxxxyxxxxx++−++=+=+=+=−++−−−−在[2,4]x的最小值，由均值不等

式得4412(1)411xxxx−+−=−−，当且仅当411xx−=−即3x=时等号成立，所以9y，即y在[2,4]x上的最小值为9，故答案为：916．共和国勋章，是中华人民共和国最高荣誉勋章，授予

在中国特色社会主义建设和保卫国家中作出巨大贡献、建立卓越功勋的杰出人士.2020年8月11日，国家主席习近平签署主席令，授予钟南山“共和国勋章”.某市为表彰在抗疫中表现突出的个人，制作的荣誉勋章的挂坠结构示意图如图，O为图中两个同心圆的圆心，三角形ABC

中，ABAC=，大圆半径2OA=，小圆半径1OBOC==，记S为三角形OAB与三角形OAC的面积之和.设阴影部分的面积为S，当SS−取得最大值时cos=BOC___________.【答案】25−

【分析】设,(0,)BOC=，利用扇形的面积公式及三角形的面积公式得到1sin22S=−，2sin2S=，构造函数1()2sinsin,(0,π)222fSS=−=−+，利用导数求函数的单调性与最值即可得到答案.【详解】过点O作ODBC⊥于点D，则点D为BC的中点

，又ABAC=，A，O，D三点共线，设,(0,)BOC=，2AOBAOC==−，则221111sin22S=−=1sin22−，1212sin()2sin222S=−=，从而12sinsin222SS

−=−+，令1()2sinsin,(0,π)222f=−+，211()coscoscoscos122222f=−+=+−，第12页共22页由()0f=，解得：51cos22−=或51cos22−−=（舍去），记51c

os,(0,)22−=()f在(0,)上单调递增，在,2上单调递减，故当51cos22−=时，()f取得最大值，此时2251cos2cos1212522−=−=−=−.故答案为：25−【点睛】方法点睛：本题考查利用导数

求三角函数的最值，考查三角函数的值域时，常用的方法：（1）将函数化简整理为()()sinfxAx=+，再利用三角函数性质求值域；（2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.（3）关于三角函数的

二次型，利用换元法结合二次函数求值域.四、解答题17．在数列na中，*112,431,Nnnaaann+==−+.(1)设nnban=−，求证：数列nb是等比数列；(2)求数列na的前项和.【答案】(1)证明见解析；(2)数列na的前项和为24132nnn−++.【分析】（1）

由条件证明对于任意的*Nn，1nnbb+为常数即可.（2）结合（1）的结论求得数列na的通项公式，再由分组求和法求和.第13页共22页【详解】（1）由已知又111ba=−，12a=，所以11b=，因为*1431,Nnnaann+=−+，所以()()

114nnanan+−+=−，又nnban=−所以14nnbb+=，*Nn，因为11b=，所以0nb，*Nn所以14nnbb+=，*Nn所以数列nb是首项为1，公比为4的等比数列．（2）由（1），可知14nnan−−=，所以数列na的通项公

式为14nnan−=+．设数列na的前项和为nS，则123nnSaaaa=++++，所以()()()()01214142434nnSn−=++++++++，01214142434nnSn−=++++++++，()()012144

44123nnSn−=+++++++++，()114142nnnnS+−=+−，所以24132nnnnS−+=+，所以数列na的前项和为24132nnn−++.18．设ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且3a=，60A=，32bc+=.（

1）求ABC的面积；（2）求sinsinBC+的值及ABC中内角B，C的大小.【答案】（1）334；（2）6sinsin2BC+=；15=C，105B=或105C=，15B=【分析】（1）根据题意，由余弦定理得出()2

222cos60abcbcbc=+−−，可求出bc，再根据三角形面积公式，即可求出ABC的面积；（2）根据正弦定理sinsinsin+=+abcABC，求得6sinsin2BC+=，利用三角函数的恒等变换进

行化简求出角C，最后结合三角形的内角和，即可求出角B.第14页共22页【详解】解：（1）由题可知，3a=，60A=，32bc+=，由余弦定理得：2222cos60abcbc=+−，则()2222cos60abcbcbc=+−−，即()2193222

2bcbc=−−，即9183bc=−，解得：3bc=，故ABC的面积为：11333sin32224ABCSbcA===.（2）因为3a=，60A=，32bc+=，由正弦定理得sinsinsinsinsinabcbcABCBC+===+，即：332sin

60sinsinBC=+，所以6sinsin2BC+=，因为120BC+=，所以120BC=−，则()6sinsinsin120sin2BCCC+=−+=，即6sin120coscos120sinsin2CCC−+=，整理得：336sincos222CC+=，则()63si

n302C+=，由此得()2sin302C+=，在ABC中，3045C+=或135，所以15=C或105C=，由此可求得15=C，105B=或105C=，15B=.【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，以及

三角形的面积公式，考查三角恒等变换的应用和三角形内角和关系，考查化简运算能力.19．某地区为贯彻习近平总书记关于“绿水青山就是金山银山”的精神，鼓励农户利用荒坡种植果树.某农户考察三种不同的果树苗A、B、C，经引种试验后发现，引种

树苗A的自然成活率为0.8，引种树苗B、C的自然成活率均为(0.70.9)pp.（1）任取树苗A、B、C各一棵，估计自然成活的棵数为X，求X的分布列及()EX；（2）将（1）中的()EX取得最大值时p的值作为B种树苗自然成活的概率.该农户决定引种n棵B种树苗，引种后没

有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活.①求一棵B种树苗最终成活的概率；第15页共22页②若每棵树苗引种最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，

该农户为了获利不低于20万元，问至少引种B种树苗多少棵？【答案】（1）详见解析；（2）①0.96；②700棵.【分析】（1）依题意，得到X的所有可能值为0,1,2,3，求得相应的概率，得出随机变量的分布列，利用公式求得数学期望；（2）由（1）可知当0.9p=

时，()EX取得最大值，①利用概率的加法公式，即可求得一棵B树苗最终成活的概率；②记Y为n棵树苗的成活棵数，()Mn为n棵树苗的利润，求得()()286EMnn=，要使()()200000EMn，即可求解.【详解】（1）依题意，X的所有可能值为0，1，2，3.则

()()200.21PXp==−；()()()21210.810.21PXpCpp==−+−()()20.810.41ppp=−+−，即()210.41.20.8PXpp==−+，()()21220.20.81PXpCpp==+−()220.21.611.41.

6ppppp=+−=−+，()230.8PXp==；X的分布列为：X0123P20.20.40.2pp−+20.41.20.8pp−+21.41.6pp−+20.8p所以()()()22210.41.20.821.41.630.8EXppppp=−++−++20.8p=+.（

2）当0.9p=时，()EX取得最大值.①一棵B树苗最终成活的概率为0.90.10.750.80.96+=.②记Y为n棵树苗的成活棵数，()Mn为n棵树苗的利润，则(),0.96YBn，()0.96EYn=，()()

3005035050MnYnYYn=−−=−，()()()35050286EMnEYnn=−=，要使()()200000EMn，则有699.3n.所以该农户至少种植700棵树苗，就可获利不低于20万元.第16页共22页【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列

及数学期望的求解，以及期望的实际应用问题，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可能取值，计算得出概率，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望，其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.20．如图，在三棱锥DABC−中

，ABBD⊥，BCCD⊥，M，N分别是线段AD，BD的中点，1MC=，2ABBD==，二面角DBAC−−的大小为60°.（1）证明：平面MNC⊥平面BCD；（2）求直线BM和平面MNC所成角的余弦值.【答案】（1）证明

见解析；（2）104.【分析】（1）要证平面MNC⊥平面BCD，需证线面垂直，根据条件可知MNBD⊥，再根据勾股可证MNNC⊥，从而可证MN⊥平面BCD，进而证出结论.（2）法一：以B为坐标原点，BC为x轴，BA为y轴，建立空间直角坐标系，用空间向量法可求；法二：由（1）可知MN⊥平

面BCD，取CN的中点E，连接BE，可证BE⊥平面CMN，BME即为直线BM和平面MNC所成的角，利用直角三角形即可求出结果.【详解】解：（1）在RtBCD△中，N是斜边BD的中点，所以1222NCBD==.因为M，N是AD，BD的中点，所以

1222MNAB==，且1MC=，所以222MNNCMC+=，MNNC⊥.又因为ABBD⊥，//MNAB，所以MNBD⊥，且BDNCN=，故MN⊥平面BCD，因为MN平面MNC，所以平面MNC⊥平面BCD.（2）法一：由（1）知MN⊥平

面BCD，故AB⊥平面BCD，第17页共22页所以ABBC⊥.又ABBD⊥，所以CBD即为二面角DBAC−−的平面角，故60CBD=，因此22BCBNCN===，62CD=.以B为坐标原点，BC为x轴，BA为y轴，建立如图所示空间直角坐标系.因为26,0

,22D，()0,2,0A，所以中点226,,424M，226,,424BM=.2,0,02C，26,0,44N.所以26,0,44CN

=−，20,,02NM=.设平面NMC的法向量(),,mxyz=，则00NMmCNm==，即20226044yxz=−+=，取3x=，得()3,0,1m=，所以66644co

s,124BMmMmBMmB+===，故10sin,4BMm=，因此直线BM和平面MNC所成角的余弦值等于104.法二：由（1）知MN⊥平面BCD，故AB⊥平面BCD，所以ABBC⊥，又ABBD⊥，所以CBD即为二面角DBAC−−的平

面角，故60CBD=，因此22BCBNCN===，第18页共22页取CN的中点E，连接BE，则BECN⊥，且64BE=，在RtABD中，112BMAD==，又因为平面MNC⊥平面BCD，所以BE⊥平面CMN，因

此BME即为直线BM和平面MNC所成的角，由6sin4BEBMEBM==，得10cos4BME=，所以直线BM和平面MNC所成角的余弦值等于104.【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查空间向量法求线面角，本题也可以用传统方法求线面角，考查学生的空

间立体感和计算能力，属于中档题.21．已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的两个焦点分别为1F，2F，过点1F的直线l与椭圆C交于M，N两点(点M位于x轴上方)，2MNF，12MFF△的周长分别为8，6.（1）求椭圆C的方程；（2）若1||MFmMN=，且2334m，设直线l

的倾斜角为，求sin的取值范围.【答案】（1）22143xy+=；（2）50,3.【分析】（1）根据椭圆的定义可得2MNF，12MFF△的周长分别为4,22aac+，结合222abc=+可得答案.(2)根据题意设出直线l的方程与

椭圆方程联立，写出韦达定理，由1||MFmMN=，得出11MFFN，得出,MN的纵坐标12,yy的关系，从而可求出答案.【详解】（1）设椭圆C的半焦距为c，因为2MNF，12MFF△的周长分别为8，6，所以根据椭圆的定义得22248226aacabc=+==+，解得213ac

b===.第19页共22页所以椭圆C的方程为22143xy+=.（2）由条件1||MFmMN=，且2334m，则12MFMF,所以直线l的斜率存在.根据题意，可设直线l的方程为(1)(0).ykxk=+.联

立22(1)143ykxxy=++=，消去x，得()22234690kykyk+−−=，则()2214410kk=+，设()11,Mxy，()22,Nxy，则122634kyyk+=+①，2122934kyyk−=+②，又1|

|MFmMN=，且2334m，则11[2,3)1MFmFNm=−.设1mm=−，[2,3)，则11MFFN=，所以12yy=-③，把③代入①得()226(1)34kyk=−+，()126(

1)34kyk−=−+，并结合②可得()2212222236934(1)34kkyykk−−==+−+，则22(1)434k−=+，即214234k+−=+，因为12+−在[2,3)上单调递增，所以114223+−，即21442343k+，且0k，解得502

k，即50tan2，所以50sin3.故sin的取值范围是50,3.【点睛】关键点睛：本题考查求椭圆方程和直线与椭圆的位置关系，解答本题的关键是由122634kyyk+=+，2122934k

yyk−=+，又1||MFmMN=，且2334m，则11[2,3)1MFmFNm=−，得出关系求解，属于中档题.22．已知函数()()2(,)1xfxaexaRgxx=−−=.(1)讨论函数()fx的单调性;第20页共22页(2)当0a时，若

曲线()1:1Cyfxx=++与曲线()2:Cygx=存在唯一的公切线，求实数a的值;(3)当1,0ax=时，不等式()()1fxkxlnx+恒成立，求实数k的取值范围.【答案】（1）见解析（2）24ae=（3）1,2−【解析】（1）()1xfxae

=−，分0a和0a讨论函数的单调性；（2）曲线1:xCyae=，曲线()22:Cgxx=，设该公切线与12,CC分别切于点()()12122,,,xxaexx，显然12xx，利用导数的几何意义和两点间的斜率公式求得11222122xxaexaexxx−==−，解得()11

1214(21)1xxxxaxee−==，()()14()1xxFxxe=−问题等价于直线ya=与曲线()yFx=在1x时有且只有一个公共点，利用导数求()Fx的值域；（3）问题等价于不等式()11xexkxlnx−−+，当0x时恒成立，设()()110()xhxexkxlnxx=−

−−+，先求()mx=()hx，再求()()211'11xmxekxx=−+++，分12k和12k两种情况讨论函数的最小值，判断()0hx是否成立.【详解】解:(1)()1xfxae=−，当0a时，()'0fx恒成立，()fx在()−+，上

单调递减，当0a时，由()'0fx=，解得xlna=−，由于0a时，导函数()1xfxae=−单调递增，故()xlna−−，，()()0,fxfx单调递减，()()(),,0,xlnafxfx−+单调递增.综上，当0a

时()fx在()−+，上单调递减;当0a时，()fx在()lna−−，上单调递减，在,()lna−+上单调递增..(2)曲线11:xCyae=与曲线222:Cyx=存在唯一公切线，设该公切线与12,CC分别切于点()()12122,,,xxaexx，显然12

xx.由于12','2xyaeyx==，第21页共22页所以11222122xxaexaexxx−==−，1222212222222xxxxaexxx−=−=−，2122222xxxx−=由于0a，故20x，且21220xx=−因此1

1x，此时()111214(21)1xxxxaxee−==，设()()14()1xxFxxe=−问题等价于直线ya=与曲线()yFx=在1x时有且只有一个公共点，又()4(2)xxFxe−=，令()'0Fx=，解得2x=，则()F

x在()1,2上单调递增，(2,)+上单调递减，而()()242,10FFe==，当x→+时，()0Fx→所以()Fx的值域为240,e.故24ae=.(3)当1a=时，()1xfxex=−−，问题等价于不等式()11xexkxlnx−−+，当0x

时恒成立.设()()110()xhxexkxlnxx=−−−+，()00h=，又设()()()'111)0(xxmxhxeklnxxx==−−+++则()()211'11xmxekxx=−+++

而()'012mk=−.(i)当120k−时，即12k时，由于0,1xxe，()()2211111112111kxxxx++++++此时()()'0,mxmx在[0,)+

上单调递增.第22页共22页所以()()00mxm=即()'0hx，所以()hx在[0,)+上单调递增所以()()00hxh=，即()110xexkxlnx−−−+，故12k适合题意.(ii)当12k时，()'00m，由于()()21111xmxekxx

=−+++在[0,)+上单调递增，令()20xlnk=，则()()211'222201ln21ln2mlnkkkkkxx=−+−=++，故在()0,ln2k上存在唯一ox，使()'0omx=，因此当()00,xx时，()()'0,

mxmx单调递减，所以()()00mxm=，即()()'0,hxhx在()00,x上单调递减，故()()00hxh=，亦即()110xexhxlnx−−−+，故12k时不适合题意，综上，所求k的取值范围为1,2−

.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调性，以及根据函数的零点和利用不等式恒成立求参数的取值范围，意在考查转化与化归，推理能力，和计算能力，解决零点问题好恒成立问题常用方法还有：分离参数、构造函数、数形结合.