【文档说明】2022-2023学年浙江省宁波市镇海区蛟川书院九年级上期中数学试题及答案解析.docx，共(26)页，573.680 KB，由小喜鸽上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-170085.html

以下为本文档部分文字说明：

第1页，共26页2022-2023学年浙江省宁波市镇海区蛟川书院九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知5𝑎=8𝑏，则𝑎𝑏=()A.85B.58C.83D.382

.已知⊙𝑂的半径是6，点𝑃到圆心𝑂的距离为4，则点𝑃与⊙𝑂的位置关系是()A.点在圆内B.点在圆上C.点在圆外D.无法判断3.将抛物线𝑦=−2𝑥2向上平移1个单位，得到的抛物线是()A.𝑦=−2(𝑥+1)2B.𝑦=−2(𝑥−1)2C.𝑦=

−2𝑥2+1D.𝑦=−2𝑥2−14.掷一枚质地均匀的标有1，2，3，4，5，6六个数字的立方体骰子，骰子停止后，出现可能性最小的是()A.大于3的点数B.小于3的点数C.大于5的点数D.小于5的点数5.如图，在正五边形中，𝐵𝐸是对角线

，𝐴𝐹⊥𝐵𝐸交𝐶𝐷于点𝐹，则∠𝐵𝐴𝐹的度数为()A.30°B.36°C.40°D.54°6.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷、𝐸分别是线段𝐴𝐵、𝐴𝐶的中点，若𝑆△𝐴𝐷𝐸=2，则四边形𝐵𝐶𝐸𝐷的面积是()A.4B.6C.8D

.107.如图，在正方形网格中，△𝐴𝐵𝐶绕某点旋转一定的角度得到△𝐴′𝐵′𝐶′，则旋转中心是点()A.𝑂B.𝑃第2页，共26页C.𝑄D.𝑀8.如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△𝐴�

�𝐶∽△𝐴𝐷𝐸的是()A.∠𝐶=∠𝐸B.∠𝐵=∠𝐴𝐷𝐸C.𝐴𝐵𝐴𝐷=𝐵𝐶𝐷𝐸D.𝐴𝐵𝐴𝐷=𝐴𝐶𝐴𝐸9.如图，𝐴𝐵是半圆的直径，∠𝐴𝐵𝐶的平分线分别交弦𝐴𝐶和半圆于�

�和𝐷，若𝐵𝐸=2𝐷𝐸，𝐴𝐵=4，则𝐴𝐸长为()A.2B.√2+1C.√6D.4√3310.如图，点𝑃是平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷内部一点，过𝑃分别作𝐴𝐵和𝐵𝐶的平行线交平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的四边于𝐸，𝐹，𝐺，𝐻.连结𝐴𝐶分别交𝐸𝐺

，𝐹𝐻于𝑀和𝑁.若四边形𝐹𝐵𝐺𝑃∽四边形𝐸𝑃𝐻𝐷，且四边形𝐹𝐵𝐶𝐻的面积是四边形𝐴𝐹𝑃𝐸的3倍．下列选项正确的是()A.𝐸𝑃=𝑃𝐻B.𝐴𝑁=𝐸𝑃C.𝐴𝑁=2𝑀𝑁D.𝐴𝑀=2𝐶𝑀二、填空题（本大题共6小题，共30.0分

）11.抛物线𝑦=−𝑥2+2𝑥+3的对称轴是______．第3页，共26页12.已知线段𝑎=4，𝑏=5，则线段𝑎、𝑏的比例中项是______．13.在半径为1的⊙𝑂中，长为√2的弦所对圆

周角度数是______．14.如图，等边△𝐴𝐵𝐶的边长为2，点𝐷、𝐸、𝐹分别是𝐵𝐶、𝐴𝐵、𝐴𝐶边上的中点，以𝐷为圆心，𝐷𝐸长为半径作𝐸𝐹，连结𝐷𝐸、𝐷𝐹.假设可以在△𝐴𝐵𝐶内部随机取点，那么这个点取在阴影部分的概

率是______．15.如图，在平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，点𝐸是𝐵𝐶边上一点，连结𝐴𝐸、𝐵𝐷交于点𝐹，若∠𝐷𝐴𝐹=∠𝐴𝐵𝐷，𝐴𝐹𝐹𝐸=32，𝐵𝐸=√15，则𝐷

𝐹的长是______．16.如图，等腰△𝐴𝐵𝐶内接于⊙𝑂，𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶=120°，点𝐷是𝐴𝐶上一点，连结𝐵𝐷，点𝐸是𝐵𝐷上一点，满足∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐸𝐶𝐵.若𝐶𝐷=2，则△𝐴𝐸𝐶的面积是______．三、

解答题（本大题共8小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题8.0分)图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点𝐴、𝐵、𝐶、𝐷均在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必

要的作图痕迹．(1)在图①中以线段𝐴𝐷为边画一个三角形，使它与△𝐴𝐵𝐶相似；(2)在图②中画一个三角形，使它与△𝐴𝐵𝐶相似(不全等)；第4页，共26页(3)在图③中的线段𝐴𝐵上画一个点𝑃，使𝐴𝑃𝑃𝐵=23

．18.(本小题8.0分)公元前138年张骞出使西域，自长安出发，经匈奴，西行至大宛，经康居，抵达大月氏，再至大夏，最后于公元前126年返回汉朝．张骞出使西域后汉夷文化交往频繁，中原文明通过“丝绸之路”迅速向四周传播．根据古今地图对比，南南同学发现丝绸之路途经现代西安，吐

鲁番，喀什等地．(1)南南爸爸想趁暑假一家人一起出游，若只能去一个地方游览，且选择三个地方的概率相等，那么南南从西安，吐鲁番，喀什三个城市中选择西安的概率是______．(2)若时间充足，南南一家决定以上三个城市都去一趟，

求南南一家最后一站去喀什的概率．19.(本小题8.0分)某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量𝑦(个)与销售单价𝑥(元)有如下关系：𝑦=−2𝑥+8

0(20≤𝑥≤40)，设这种健身球每天的销售利润为𝑤元(1)如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是______个；(2)求𝑤与𝑥之间的函数关系式；(3)该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少

元？第5页，共26页20.(本小题10.0分)如图，⊙𝑂的半径为2，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷内接于⊙𝑂，圆心𝑂到𝐴𝐶的距离等于√3．(1)求𝐴𝐶的长；(2)求∠𝐴𝐷𝐶的度数．21.(本小题10.0分)二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的部分图象如图，其中图象与𝑥轴

交于点𝐴(−1,0)，与𝑦轴交于点𝐶(0,−5)，且经过点𝐷(3,−8)．(1)求此二次函数的解析式；(2)图象过三点𝐸(−2,𝑦1)，𝐹(1,𝑦2)，𝐺(4,𝑦3)，比较𝑦1，𝑦2

，𝑦3的大小；(用“<”连接)(3)直接写出不等式𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐>0的解集．22.(本小题10.0分)学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面

点𝐹处，他的同学在点𝐵处竖立“标杆”𝐴𝐵，使得小明的头顶点𝐸、杆顶点𝐴、楼顶点𝐶在一条直线上(点𝐹、𝐵、𝐷也在一条直线上).已知小明的身高𝐸𝐹=1.5米，“标杆”𝐴𝐵=2.5米，且𝐵𝐷=23米

，𝐹𝐵=2米．(1)求大楼的高度𝐶𝐷为多少米(𝐶𝐷垂直地面𝐵𝐷)？(2)小明站在原来的位置，同学们通过移动标杆，可以用同样的方法测得楼𝐶𝐷上点𝐺的高度第6页，共26页𝐺𝐷=11.5米，那么相对于第一次测量，标杆𝐴𝐵应该向大楼方向移动多少米？2

3.(本小题12.0分)[基础巩固](1)如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷，𝐸，𝐹分别为𝐴𝐵，𝐴𝐶，𝐵𝐶上的点，𝐷𝐸//𝐵𝐶，𝐴𝐹交𝐷𝐸于点𝐺，求证：𝐷𝐺𝐸𝐺=𝐵𝐹𝐶𝐹．[尝

试应用](2)如图2，已知𝐷、𝐸为△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶上的两点，且满足𝐵𝐷=2𝐷𝐸=4𝐶𝐸，一条平行于𝐴𝐵的直线分别交𝐴𝐷、𝐴𝐸和𝐴𝐶于点𝐿、𝑀和𝑁，求𝐿𝑀𝑀𝑁的值．[拓展提高](3)如图3，

点𝐸是正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边𝐶𝐷上的一个动点，𝐴𝐵=3，延长𝐶𝐷至点𝐹，使𝐷𝐹=2𝐷𝐸，连接𝐴𝐸，𝐵𝐹，𝐴𝐸与𝐵𝐹相交于点𝐺，连接𝐶𝐺，求𝐶𝐺的最小值．24.(本小题14.0分)如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷内接于⊙𝑂，𝐵�

�平分∠𝐴𝐵𝐶，过点𝐷作𝐷𝐸//𝐴𝐵，交𝐵𝐶于点𝐸，连结𝐴𝐸交𝐵𝐷于点𝐹.已知∠𝐴𝐹𝐷=∠𝐴𝐷𝐵+∠𝐶𝐷𝐸，(1)①假设∠𝐴𝐵𝐷=𝛼，则∠𝐴�

�𝐷=______．第7页，共26页②证明：𝐴𝐵=𝐴𝐸；(2)若𝐴𝐵2=𝐵𝐹⋅𝐵𝐷，𝐴𝐷=2，求𝐶𝐵的长；(3)若𝐶𝐸=2，𝐴𝐵=8，求𝐷𝐸的长．第8页，共26页答

案和解析1.【答案】𝐴【解析】解：∵5𝑎=8𝑏，∴𝑎𝑏=85，故选：𝐴．根据比例的性质，进行计算即可解答．本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．2.【答案】𝐴【解析】解：∵⊙𝑂的半径为6，点𝑃到圆心𝑂的距离为4，∴点𝑃到圆心�

�的距离小于圆的半径，∴点𝑃在⊙𝑂内．故选：𝐴．直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设⊙𝑂的半径为𝑟，点𝑃到圆心的距离𝑂𝑃=𝑑，则有：点𝑃在圆外⇔𝑑>𝑟；点𝑃在圆上⇔𝑑=𝑟；

点𝑃在圆内⇔𝑑<𝑟．3.【答案】𝐶【解析】解：∵将抛物线𝑦=−2𝑥2向上平移1个单位，∴平移后的抛物线的解析式为：𝑦=−2𝑥2+1．故选：𝐶．接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式．此题主要考查了二次函数图象的平移变换，正确掌握平移规律是解题关键．4

.【答案】𝐶【解析】解：掷一枚质地均匀的立方体骰子，骰子的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，∴骰子停止后，在骰子向上的一面，有6种等可能的结果．A、点数大于3的数有4，5，6，三种情况，第9页，共26页∴𝑃点数大于3=36

=12；B、点数小于3的数有1，2，两种情况，∴𝑃点数小于3=26=13；C、点数大于5的数有6，一种情况，∴𝑃点数大于5=16；D、点数小于5的数有1，2，3，4，四种情况，∴𝑃点数小于5=46=23

；∵23>12>13>16，∴点数大于5的概率最小，出现可能性最小．故选：𝐶．根据概率公式，分别求出四个选项中各事件出现的概率，再比较即可．本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．5.【答案】𝐷【解析】解：∵多边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸是正五边形，∴∠𝐸𝐴𝐵=

(5−2)×180°5=108°，𝐴𝐸=𝐴𝐵，∵𝐴𝐹⊥𝐵𝐸，∴∠𝐵𝐴𝐹=12∠𝐵𝐴𝐸=12×108°=54°，故选：𝐷．根据多边形的内角和定理得到∠𝐸𝐴𝐵=(5−2)×180

°5=108°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．本题考查了正多边形与圆，等腰三角形的性质，熟练掌握正五边形的性质是解题的关键．6.【答案】𝐵【解析】解：∵点𝐷、𝐸分别是线段𝐴𝐵、𝐴𝐶的中点，∴𝐷𝐸//𝐵𝐶，𝐷𝐸：𝐵𝐶=1：2，∴△𝐴𝐷

𝐸∽△𝐴𝐵𝐶，∵𝑆△𝐴𝐷𝐸=2，第10页，共26页∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=2÷14=8，∴四边形𝐵𝐶𝐸𝐷的面积是8−2=6，故选：𝐵．根据中位线定理得出𝐷𝐸：𝐵𝐶=1：2，根据面积比等于相似比的平方得出△𝐴𝐵𝐶的面积即可得出四边形𝐵

𝐶𝐸𝐷的面积．本题主要考查中位线定理和相似三角形的性质，根据面积比等于相似比的平方得出三角形𝐴𝐵𝐶的面积是解题的关键．7.【答案】𝐵【解析】如图，连接𝐵𝐵′，𝐴𝐴′可得其垂直平分线相交于点𝑃，故旋转中心是𝑃点．故选：𝐵．根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，可得

对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．本题考查了旋转的性质，对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，熟练掌握旋转中心的确定方法是解题的关键．8.【答案】𝐶【解析】解：∵∠1=∠2，∴∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐵𝐴𝐶，A、添加∠𝐶=∠𝐸，可

用两角法判定△𝐴𝐵𝐶∽△𝐴𝐷𝐸，故本选项错误；B、添加∠𝐵=∠𝐴𝐷𝐸，可用两角法判定△𝐴𝐵𝐶∽△𝐴𝐷𝐸，故本选项错误；C、添加𝐴𝐵𝐴𝐷=𝐵𝐶𝐷𝐸，不能判定△𝐴𝐵𝐶∽△𝐴𝐷𝐸，

故本选项正确；D、添加𝐴𝐵𝐴𝐷=𝐴𝐶𝐴𝐸，可用两边及其夹角法判定△𝐴𝐵𝐶∽△𝐴𝐷𝐸，故本选项错误．第11页，共26页故选：𝐶．先根据∠1=∠2求出∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐸，再根据相似三角形的判定方法解答．

本题考查了相似三角形的判定，先求出两三角形的一对相等的角∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐸是确定其他条件的关键，注意掌握相似三角形的几种判定方法．9.【答案】𝐷【解析】解：如图，连接𝑂𝐷交𝐴𝐶于点𝐹，∵𝐴𝐵是半圆的直径，∴∠𝐶=90°，∵𝐵𝐷平

分∠𝐴𝐵𝐶，∴∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐶𝐵𝐷，∴𝐴𝐷⏜=𝐶𝐷⏜，∴𝑂𝐷⊥𝐴𝐶，∴𝐴𝐹=𝐶𝐹，∵𝐴𝑂=𝐵𝑂，∴𝑂𝐹=12𝐵𝐶，∵∠𝐷𝐹𝐸=∠𝐶=90°，∠𝐷𝐸𝐹=∠𝐵𝐸𝐶，∴△𝐷𝐸𝐹∽△𝐵𝐸𝐶，∴𝐷𝐹𝐵𝐶=𝐷�

�𝐵𝐸=𝐸𝐹𝐶𝐸=12，∴𝑂𝐹=𝐷𝐹=1，𝐸𝐹=12𝐸𝐶，∴𝐵𝐶=2，𝐴𝐸=23𝐴𝐶，∴𝐴𝐶=√𝐴𝐵2−𝐵𝐶2=√42−22=2√3，∴𝐴𝐸=23×2√3=4√33．故选：𝐷．第12页，共26页连接

𝑂𝐷交𝐴𝐶于点𝐹，根据𝐴𝐵是半圆的直径，得∠𝐶=90°，由𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，得𝐴𝐷⏜=𝐶𝐷⏜，根据垂径定理得𝑂𝐷⊥𝐴𝐶，所以𝐴𝐹=𝐶𝐹，根据中位线定理得𝑂𝐹=12𝐵𝐶，再证明△𝐷𝐸𝐹∽△�

�𝐸𝐶，得𝐷𝐹𝐵𝐶=𝐷𝐸𝐵𝐸=𝐸𝐹𝐶𝐸=12，所以𝑂𝐹=𝐷𝐹=1，𝐸𝐹=12𝐸𝐶，𝐵𝐶=2，𝐴𝐸=23𝐴𝐶，根据勾股定理得𝐴𝐶=2√3，即可求出𝐴𝐸的长．此题考查了垂径定理、直径对

所对的圆周角是直角、勾股定理、相似三角形等知识与方法，关键是连接𝑂𝐷，得𝑂𝐷⊥𝐴𝐶．10.【答案】𝐷【解析】解：如图，过点𝐴作𝐴𝐾⊥𝐵𝐶于𝐾，交𝐹𝐻于𝐿，∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形，∵�

�𝐷//𝐵𝐶，𝐴𝐵//𝐶𝐷，∵𝐹𝐻//𝐵𝐶，𝐸𝐺//𝐴𝐵，∴𝐴𝐷//𝐹𝐻//𝐵𝐶，𝐴𝐵//𝐸𝐺//𝐶𝐷，∴四边形𝐹𝐵𝐺𝑃，𝐸𝑃𝐻𝐷，𝐴𝐹𝑃𝐸，𝑃𝐺𝐶𝑃，𝐹𝐵𝐶𝐻是

平行四边形，∴𝐵𝐺=𝐹𝑃=𝐴𝐸，𝐴𝐹=𝑃𝐸，𝐶𝐺=𝑃𝐻，∵四边形𝐹𝐵𝐺𝑃∽四边形𝐸𝑃𝐻𝐷，∴𝐹𝐵𝐵𝐺=𝐸𝑃𝑃𝐻，设𝐹𝐵𝐵𝐺=𝑎，则𝐹𝐵=𝑎𝐵𝐺，𝐸𝑃=𝐴𝐹=𝑎𝑃𝐻，∵𝐹�

�//𝐵𝐶，∴𝐿𝐾𝐴𝐿=𝐵𝐹𝐴𝐹=𝑎𝐵𝐺𝑎𝑃𝐻=𝐵𝐺𝑃𝐻，∵四边形𝐹𝐵𝐶𝐻的面积是四边形𝐴𝐹𝑃𝐸的3倍，∴𝐵𝐶⋅𝐾𝐿𝐹𝑃⋅𝐴𝐿=3，∴𝐵𝐺+𝐶𝐺𝐵𝐺⋅𝐵𝐺𝑃𝐻=

3，第13页，共26页∴𝐵𝐺+𝑃𝐻𝑃𝐻=3，∴𝐵𝐺=2𝑃𝐻，∴𝐴𝐸=2𝐶𝐺，∵𝐴𝐸//𝐶𝐺，∴𝐴𝑀𝐶𝑀=𝐴𝐸𝐶𝐺=2，∴𝐴𝑀=2𝐶𝑀．故选：𝐷．如图，过点𝐴作𝐴𝐾⊥𝐵𝐶于�

�，交𝐹𝐻于𝐿，根据平行四边形的判定和性质可得：四边形𝐹𝐵𝐺𝑃，𝐸𝑃𝐻𝐷，𝐴𝐹𝑃𝐸，𝑃𝐺𝐶𝑃，𝐹𝐵𝐶𝐻是平行四边形，则𝐵𝐺=𝐹𝑃=𝐴𝐸，𝐴𝐹=𝑃𝐸，𝐶𝐺=𝑃𝐻，由相似多边形的性质得𝐹𝐵

𝐵𝐺=𝐸𝑃𝑃𝐻，设𝐹𝐵𝐵𝐺=𝑎，结合已知可得𝐴𝐸=2𝐶𝐺，最后由平行线分线段成比例定理可得结论．此题主要考查了平行四边形的性质和判定，平行线分线段成比例定理，相似多边形的性质，关键是掌握平行线分线段

成比例定理是解本题的关键．11.【答案】𝑥=1【解析】解：∵𝑦=−𝑥2+2𝑥+3=−(𝑥−1)2+4，∴对称轴为直线𝑥=1，故答案为：𝑥=1．把解析式化为顶点式即可．本题考查二次函数的性质，把解析式化为顶

点式是解题关键．12.【答案】2√5【解析】解：设线段𝑎、𝑏的比例中项为𝑥，则𝑥2=𝑎𝑏，即𝑥2=4×5，解得𝑥=2√5或𝑥=−2√5<0(舍去)．故答案为：2√5．设线段𝑥是线段𝑎，𝑏的比例中项，根据比例中项的定

义列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案．第14页，共26页本题主要考查比例线段，掌握比例中项的性质是解题的关键．13.【答案】45°或135°【解析】解：如图所示，∵𝑂𝐶⊥𝐴𝐵，∴𝐶为𝐴𝐵的中点，即𝐴�

�=𝐵𝐶=12𝐴𝐵=√22，在𝑅𝑡△𝐴𝑂𝐶中，𝑂𝐴=1，𝐴𝐶=√22，根据勾股定理得：𝑂𝐶=√𝑂𝐴2−𝐴𝐶2=√22，即𝑂𝐶=𝐴𝐶，∴△𝐴𝑂𝐶为等腰直角三角形，∴∠𝐴𝑂𝐶=45°，同理∠𝐵𝑂𝐶=45°，∴∠𝐴𝑂�

�=∠𝐴𝑂𝐶+∠𝐵𝑂𝐶=90°，∵∠𝐴𝑂𝐵与∠𝐴𝐷𝐵都对弧𝐴𝐵，∴∠𝐴𝐷𝐵=12∠𝐴𝑂𝐵=45°，∵大角∠𝐴𝑂𝐵=270°，∴∠𝐴𝐸𝐵=135°，则弦𝐴𝐵所对的圆周角为45°或135°．故答案为：45°或135°．根据题意画出图形，由

𝑂𝐶垂直于𝐴𝐵，利用垂径定理得到𝐶为𝐴𝐵的中点，求出𝐴𝐶的长，在直角三角形𝐴𝑂𝐶中，利用勾股定理求出𝑂𝐶=𝐴𝐶，确定出三角形𝐴𝑂𝐶为等腰直角三角形，同理三角形𝐵𝑂𝐶为

等腰直角三角形，确定出∠𝐴𝑂𝐵度数，利用圆周角定理即可求出∠𝐴𝐷𝐵与∠𝐴𝐸𝐵的度数．此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．14.【答案】√3𝜋18【解析】解：∵点𝐷、𝐸、𝐹分别是𝐵𝐶、𝐴𝐵、𝐴𝐶边上的中点，∴∠𝐸𝐷𝐹=60°，

𝐷𝐸=𝐷𝐹=1，∴扇形𝐸𝐷𝐹的面积为60𝜋×12360=𝜋6，第15页，共26页三角形𝐴𝐵𝐶的面积为12×2×√3=√3，∴这个点取在阴影部分的概率是𝜋6√3=√3𝜋18．故答案

为：√3𝜋18．先求阴影部分的面积和三角形的面积，再根据几何概率的求法即可得出答案．本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件(𝐴)；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件(𝐴)

发生的概率．15.【答案】92【解析】解：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为平行四边形，∴𝐴𝐷//𝐵𝐸，∴△𝐴𝐷𝐹∽△𝐸𝐹𝐵，∴𝐴𝐹：𝐸𝐹=𝐴𝐷：𝐵𝐸=𝐷𝐹：𝐵𝐹，∵𝐴𝐹𝐹𝐸=32，𝐵𝐸=√1

5，∴𝐴𝐷=32√15，𝐷𝐹：𝐵𝐹=3：2，∵∠𝐷𝐴𝐹=∠𝐴𝐵𝐷，∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐴𝐷𝐵，∴△𝐴𝐷𝐹∽△𝐵𝐷𝐴，∴𝐴𝐷2=𝐷𝐹⋅𝐵𝐷，设𝐷𝐹=3𝑥，则𝐵𝐹=2𝑥，𝐵𝐷=5𝑥

，∴(32√15)2=3𝑥⋅5𝑥，∴𝑥=32(负值舍去)，∴𝐷𝐹=92．故答案为：92．首先利用平行四边形的性质证明△𝐴𝐷𝐹∽△𝐸𝐹𝐵，然后利用相似三角形的性质和已知条件求出𝐴𝐷，再利用已知条件证明△𝐴𝐷

𝐹∽△𝐵𝐷𝐴，最后利用相似三角形的性质建立方程解决问题．此题考查了相似三角形的性质与判定，同时也利用了平行四边形的性质，解题的关键是建立方程第16页，共26页模型．16.【答案】√3【解析】解：如图，连接𝐴𝐷、𝐶𝐷，过点𝐷作𝐷𝐹⊥𝐸

𝐶于𝐹，∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶=120°，∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐵=180°120°2=30°=∠𝐴𝐷𝐵，∵∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐸𝐶𝐵．∴∠𝐴𝐵𝐸+∠𝐸𝐵𝐶=∠𝐸𝐵𝐶+∠𝐸𝐶𝐵=∠𝐴𝐵𝐶=3

0°，∴∠𝐷𝐸𝐶=30°，∴∠𝐷𝐸𝐶=∠𝐷𝐶𝐸=30°=∠𝐴𝐷𝐵，∴𝐴𝐷//𝐸𝐶，在△𝐷𝐸𝐶中，𝐶𝐷=2，∠𝐷𝐶𝐸=30°，∴𝐷𝐹=12𝐶𝐷=1，𝐹𝐶=𝐹𝐸=√32𝐶𝐷=√3，∴𝐸𝐶=2𝐹𝐶=2√3，∴𝑆△𝐴𝐸�

�=𝑆△𝐷𝐸𝐶=12×2√3×1=√3，故答案为：√3．根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐵=30°，再根据圆周角定理可得出∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐷𝐸𝐶=∠𝐷𝐶𝐸=30°，进而得出𝐴𝐷//𝐸𝐶，在△𝐷

𝐸𝐶中由直角三角形的边角关系可求出𝐷𝐹，𝐹𝐶，再根据等腰三角形的性质得出𝐸𝐶，由𝑆△𝐴𝐸𝐶=𝑆△𝐷𝐸𝐶可得答案．本题考查等腰三角形的性质与判断，三角形内角和定理、圆周角定理以及直角三角形的边角关系，掌握等腰三角形的性质与判定方

法，三角形内角和是180°、圆周角定理以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．17.【答案】解：(1)如图①，△𝐴𝐷𝐸即为所求．(2)如图②，△𝐹𝐺𝐻即为所求．第17页，共26页(3)如图③，点𝑃即为

所求．【解析】(1)取格点𝐸，连接𝐷𝐸，使𝐷𝐸//𝐵𝐶，由相似三角形的判定可知△𝐴𝐷𝐸∽△𝐴𝐵𝐶．(2)取格点𝐹，𝐺，𝐻，使𝐹𝐺=2√2，𝐹𝐻=4，𝐺𝐻=2√1

0即可．(3)取格点𝑀，𝑁，连接𝑀𝑁，交𝐴𝐵于点𝑃，连接𝐴𝑀，𝐵𝑁，此时△𝐴𝑀𝑃∽△𝐵𝑁𝑃，由𝐴𝑀𝐵𝑁=23，可得𝐴𝑃𝑃𝐵=23．本题考查作图−相似变换、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质

是解答本题的关键．18.【答案】13【解析】解：(1)南南从西安，吐鲁番，喀什三个城市中选择西安的概率是13，故答案为：13；(2)南南一家游览的顺序有西安，吐鲁番，喀什；西安，喀什，吐鲁番，；喀什，吐鲁番，西安；喀什，西安，吐鲁番；吐鲁番，喀什，西安

；吐鲁番，西安，喀什这6种等可能结果，其中南南一家最后一站去喀什的有2种结果，所以南南一家最后一站去喀什的概率为26=13．(1)直接根据概率公式求解即可；(2)游览的顺序有西安，吐鲁番，喀什；西安，喀什，吐鲁番，

；喀什，吐鲁番，西安；喀什，西安，吐鲁番；吐鲁番，喀什，西安；吐鲁番，西安，喀什这6种等可能结果，其中南南一家最后一站去喀什的有2种结果，再根据概率公式求解即可．此题主要考查了概率公式，随机事件𝐴的概率𝑃(𝐴)=事件𝐴可能出现的结果数÷所有可能出

现的结果数．第18页，共26页19.【答案】30【解析】解：(1)在𝑦=−2𝑥+80中，令𝑥=25得：𝑦=−2×25+80=30，故答案为：30；(2)根据题意得：𝑤=(𝑥−20)(−2𝑥+80)=−2𝑥2+120𝑥−1600，∴𝑤与𝑥之间的函

数关系式为𝑤=−2𝑥2+120𝑥−1600；(3)𝑤=−2𝑥2+120𝑥−1600=−2(𝑥−30)2+200，∵−2<0，∴当𝑥=30时，𝑤取最大值，最大值为200，答：该种健身球销售单价定为30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元．(1)在𝑦=−2𝑥+80中，

令𝑥=25可得𝑦的值，即可得到答案；(2)根据总利润=每个健身球利润×销售量即可列出𝑤与𝑥之间的函数关系式；(3)结合(2)的函数关系式，根据二次函数性质可得答案；本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能列出函

数关系式．20.【答案】解：(1)过𝑂作𝑂𝐸⊥𝐴𝐶于𝐸，连接𝑂𝐴、𝑂𝐶，则∠𝐴𝐸𝑂=90°，∵圆心𝑂到𝐴𝐶的距离等于√3，∴𝑂𝐸=√3，由勾股定理得：𝐴𝐸=√𝑂𝐴2−𝑂𝐸2=√22−(√3)2=1，∵𝑂𝐸⊥

𝐴𝐶，𝑂𝐸过圆心𝑂，∴𝐴𝐸=𝐶𝐸=1，∴𝐴𝐶=𝐴𝐸+𝐶𝐸=1+1=2；第19页，共26页(2)∵𝑂𝐴=2，𝐴𝐸=1，∠𝐴𝐸𝑂=90°，∴𝐴𝐸=12𝑂𝐴，∵∠𝐴𝐸𝑂=90°，∴∠𝐴𝑂𝐸=30°，同理∠𝐶𝑂

𝐸=30°，∴∠𝐴𝑂𝐶=30°+30°=60°，∴∠𝐴𝐵𝐶=12∠𝐴𝑂𝐶=30°，∵四边形𝐴𝐷𝐶𝐵是⊙𝑂的内接四边形，∴∠𝐴𝐷𝐶+∠𝐴𝐵𝐶=180°，∴∠𝐴𝐷𝐶=180°−30°=150°．【解析】(1)过𝑂

作𝑂𝐸⊥𝐴𝐶于𝐸，连接𝑂𝐴、𝑂𝐶，根据勾股定理求出𝐴𝐸，根据垂径定理求出𝐴𝐸=𝐶𝐸，再求出𝐴𝐶即可；(2)根据直角三角形的性质求出∠𝐴𝑂𝐸=30°，求出∠𝐴𝑂𝐶=60°，根据圆周角定理求出∠𝐴𝐵𝐶，根

据圆内接四边形的性质求出∠𝐴𝐷𝐶+∠𝐴𝐵𝐶=180°，再求出答案即可．本题考查了圆内接四边形的性质，垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质，圆周角定理等知识点，能求出𝐴𝐸的长是解此题的关键．21.【答案】解：(1)根据题意，得{𝑎−�

�+𝑐=0𝑐=−59𝑎+3𝑏+𝑐=−8，解得{𝑎=1𝑏=−4𝑐=−5，∴此二次函数的解析式为𝑦=𝑥2−4𝑥−5；(2)∵𝑦=𝑥2−4𝑥−5=(𝑥−2)2−9，∴抛物线的对称轴为直线𝑥=2

，∴𝐺(4,𝑦3)关于直线𝑥=2的对称点坐标为𝐺′(0,𝑦3)，∵𝑎=1>0，∴当𝑥<2时，𝑦随𝑥的增大而减小，∵图象过三点𝐸(−2,𝑦1)，𝐹(1,𝑦2)，𝐺′(0,𝑦3)，且−2<0

<1，∴𝑦2<𝑦3<𝑦1；第20页，共26页(3)令𝑦=0，得𝑥2−4𝑥−5=0，解得𝑥1=−1，𝑥2=5，∴抛物线𝑦=𝑥2−4𝑥−5与𝑥轴交于点(−1,0)和(5,0)，由函数图象可知，

当抛物线在𝑥轴上方时，𝑥<−1或𝑥>5，∴不等式𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐>0的解集为：𝑥<−1或𝑥>5．【解析】(1)把点𝐴、𝐵、𝐶的坐标代入函数表达式，然后根据三元一次方程的解法求出𝑎、𝑏、𝑐的值，

即可得到二次函数的解析式；(2)求出抛物线的对称轴，求出𝐴关于对称轴的对称点的坐标，根据抛物线的开口方向和增减性，即可求出答案；(3)先求出抛物线与𝑥轴的交点坐标，再观察函数图象得出抛物线在𝑥轴上方的部分的自

变量的取值范围，便是不等式𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐>0的解集．本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与不等式的关系，掌握待定系数法，二次函数的性质，二次函数与不等式的关系是解题的关键．22.【答案

】解：(1)如图1所示，过点𝐸作𝐸𝐻⊥𝐶𝐷交𝐶𝐷于点𝐻、交𝐴𝐵于点𝐽，则四边形𝐸𝐹𝐵𝐽、四边形𝐸𝐹𝐷𝐻都是矩形，∴𝐸𝐹=𝐵𝐽=𝐷𝐻=1.5米，𝐵𝐹=𝐸𝐽=2米，𝐷𝐵=𝐽𝐻=23米，∵𝐴𝐵=2.5米，∴𝐴𝐽

=𝐴𝐵−𝐵𝐽=2.5−1.5=1(米)，∵𝐴𝐽//𝐶𝐻，∴△𝐸𝐴𝐽∽△𝐸𝐶𝐻，∴𝐴𝐽𝐶𝐻=𝐸𝐽𝐸𝐻，第21页，共26页∴1𝐶𝐻=225，∴𝐶𝐻=12.5(米)，∴𝐶𝐷=𝐶𝐻+𝐷𝐻=12.5+1.5=14(米)；(2)如下图

所示，过点𝐸作𝐸𝑇⊥𝐶𝐷交𝐶𝐷于点𝑇、交𝐴𝐵于点𝑅，设𝐵𝐹=𝑥米，∵𝐴𝑅//𝐺𝑇，𝐸𝑅=𝐵𝐹，∴𝐴𝑅𝐺𝑇=𝐸𝑅𝐸𝑇，∴111.5−1.5=𝑥25，∴𝑥=2.5，∵2.5−2=0.5(米)，∴标杆𝐴𝐵应该向大楼方

向移动0.5米．【解析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．(1)如图1中，过点𝐸作𝐸𝐻⊥𝐶𝐷交𝐶𝐷于点𝐻、交𝐴𝐵于点𝐽，则四边形𝐸𝐹𝐵𝐽、四边形𝐸𝐹𝐷𝐻都是矩形，利用相似三角形的性质求出

𝐶𝐻，可得结论．(2)如图2中，过点𝐸作𝐸𝑇⊥𝐶𝐷交𝐶𝐷于点𝑇、交𝐴𝐵于点𝑅，设𝐵𝐹=𝑥米，利用相似三角形的性质求解即可．23.【答案】(1)证明：∵𝐷𝐸//𝐵�

�，∴△𝐴𝐷𝐺∽△𝐴𝐵𝐹，△𝐴𝐺𝐸∽△𝐴𝐹𝐶，∴𝐴𝐺𝐴𝐹=𝐷𝐺𝐵𝐹，𝐴𝐺𝐴𝐹=𝐺𝐸𝐹𝐶，∴𝐷𝐺𝐵𝐹=𝐸𝐺𝐶𝐹，∴𝐷𝐺𝐸𝐺=𝐵𝐹𝐶𝐹；第22页，共26页(2)解：如图2，过点𝑀作𝑀𝐺//𝐵𝐶

，交𝐴𝐵于点𝐺，交𝐴𝐷于点𝐻，交𝐴𝐶于点𝐹，∵𝑀𝐺//𝐵𝐶，∴△𝐴𝐻𝐺∽△𝐴𝐷𝐵，△𝐴𝑀𝐻∽△𝐴𝐸𝐷，∴𝐺𝐻𝐵𝐷=𝐴𝐻𝐴𝐷，𝐴𝐻𝐴𝐷=𝐻𝑀𝐷𝐸，∴𝐺𝐻𝐵𝐷=𝐻𝑀𝐷𝐸，∴𝐺𝐻𝐻𝑀=𝐵𝐷𝐷

𝐸=2，∴𝐺𝐻=2𝐻𝑀，同理可得：𝐻𝑀=2𝑀𝐹，∴𝐺𝐻=4𝑀𝐹，𝐺𝐹=7𝑀𝐹，∵𝑁𝐿//𝐴𝐵，∴△𝐹𝑀𝑁∽△𝐹𝐴𝐺，∴𝑀𝑁𝐴𝐺=𝑀𝐹𝐺𝐹=17，∴𝑀𝑁=17𝐴𝐺，∵𝑁

𝐿//𝐴𝐵，∴△𝑀𝐻𝐿∽△𝐺𝐻𝐴，∴𝑀𝐿𝐴𝐺=𝑀𝐻𝐺𝐻=12，∴𝑀𝐿=12𝐴𝐺，∴𝐿𝑀𝑀𝑁=72；(3)解：如图3，连接𝐷𝐺，并延长𝐷𝐺交𝐴𝐵于𝑄，第23页，共26页∵𝐴𝐵

//𝐶𝐷，∴△𝐴𝐵𝐺∽△𝐸𝐹𝐺，△𝐴𝑄𝐺∽△𝐸𝐷𝐺，∴𝐴𝐺𝐺𝐸=𝐴𝑄𝐷𝐸，𝐴𝐺𝐺𝐸=𝐴𝐵𝐸𝐹，∴𝐴𝑄𝐷𝐸=𝐴𝐵𝐸𝐹，∵𝐷𝐹=2𝐷𝐸，∴𝐸𝐹=3𝐷𝐸，∴𝐴

𝑄𝐷𝐸=33𝐷𝐸，∴𝐴𝑄=1，∴𝑄𝐷=√𝐴𝑄2+𝐴𝐷2=√1+9=√10，∵点𝐺在𝑄𝐷上运动，∴当𝐶𝐺⊥𝑄𝐷时，𝐶𝐺有最小值，此时，∠𝐶𝐺𝐷=∠𝐷𝐴𝑄=90°，∵𝐴𝐵//𝐶𝐷，∴∠𝐴𝑄𝐷=∠𝐶𝐷𝐺，∴△𝐴�

�𝐷∽△𝐺𝐷𝐶，∴𝐶𝐺𝐴𝐷=𝐶𝐷𝑄𝐷，∴𝐶𝐺=3×3√10=9√1010．【解析】(1)通过证明△𝐴𝐷𝐺∽△𝐴𝐵𝐹，△𝐴𝐺𝐸∽△𝐴𝐹𝐶，由相似三角形的性质可求解；(2)通过证明△𝐹𝑀𝑁∽△𝐹𝐴𝐺，可得

𝑀𝑁𝐴𝐺=𝑀𝐹𝐺𝐹=17，通过证明△𝑀𝐻𝐿∽△𝐺𝐻𝐴，可得𝑀𝐿𝐴𝐺=𝑀𝐻𝐺𝐻=12，可得结论；(3)通过相似三角形的性质可求𝐴𝑄=1，可求𝐷𝑄的长，当𝐶𝐺⊥𝑄𝐷时，𝐶𝐺有最小值，即可求解．第24页，

共26页本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．24.【答案】180°−3𝛼【解析】(1)①解：∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，∴∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐶𝐵𝐷，∵∠𝐴𝐵𝐷=𝛼，∴∠𝐴�

�𝐶=2𝛼，∠𝐶𝐵𝐷=𝛼，∵𝐷𝐸//𝐴𝐵，∴∠𝐵𝐷𝐸=∠𝐴𝐵𝐷=𝛼，∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是圆𝑂的内接四边形，∴∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐴𝐷𝐶=180°，∴𝛼=180°−2𝛼−(∠𝐴𝐷𝐹+∠𝐶

𝐷𝐸)，∴∠𝐴𝐷𝐹+∠𝐶𝐷𝐸=180°−3𝛼，∵∠𝐴𝐹𝐷=∠𝐴𝐷𝐵+∠𝐶𝐷𝐸，∴∠𝐴𝐹𝐷=180°−3𝛼，故答案为：180°−3𝛼；②证明：∵∠𝐴𝐹𝐷=180°−3𝛼，∴∠𝐴𝐹𝐵=∠𝐷𝐹𝐸=3𝛼，∵

∠𝐷𝐵𝐸=𝛼，∴∠𝐴𝐸𝐵=2𝛼，∵∠𝐴𝐵𝐸=2𝛼，∴∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐴𝐸𝐵，∴𝐴𝐵=𝐴𝐸；(2)解：由(1)可知，∠𝐴𝐹𝐷=180°−3𝛼，∴∠𝐹𝐴𝐵=180

°−4𝛼，根据圆内接四边形对角互补的性质，得∠𝐴𝐷𝐶+∠𝐴𝐵𝐶=180°，∴∠𝐶𝐷𝐸+2𝛼+𝛼+2𝛼=180°，即∠𝐶𝐷𝐸=180°−5𝛼，第25页，共26页∴∠𝐶𝐷𝐹=∠𝐶𝐷𝐸+∠𝐸𝐷𝐵=𝛼+180°

−5𝛼=180°−4𝛼，∵∠𝐵𝐴𝐹=∠𝐵𝐷𝐶=180°−4𝛼，且∠𝐴𝐵𝐹=∠𝐹𝐵𝐶=𝛼，∴△𝐴𝐵𝐹∽△𝐷𝐵𝐶，𝐴𝐵𝐷𝐶=𝐹𝐵𝐵𝐶，则𝐵𝐶=𝐹𝐵⋅𝐷𝐶

𝐴𝐵，∴∠𝐴𝐹𝐵=∠𝐷𝐶𝐵=180°−(180°−3𝛼)=3𝛼，∵∠𝐷𝐴𝐹+∠𝐹𝐴𝐵+∠𝐷𝐶𝐵=180°，即∠𝐷𝐴𝐹+(180°−4𝛼)+3𝛼=180°，∴∠𝐷𝐴𝐹=∠𝐹𝐷𝐸=∠𝐷𝐵𝐸=𝛼，∴△𝐴𝐷𝐸∽△𝐵

𝐶𝐷，𝐴𝐷𝐵𝐶=𝐴𝐸𝐵𝐷，则𝐵𝐶=𝐴𝐷⋅𝐵𝐷𝐴𝐸，∴𝐵𝐶=𝐹𝐵⋅𝐷𝐶𝐴𝐵=𝐴𝐷⋅𝐵𝐷𝐴𝐸，且△𝐴𝐵𝐸≌△𝐵𝐴𝐷(𝑆𝐴𝑆)，∵𝐴𝐵2=𝐵𝐹⋅𝐵𝐷，𝐴𝐷=

2，且𝐴𝐵=𝐴𝐸，𝐴𝐷=𝐸𝐶=𝐷𝐶=2，∴𝐶𝐵=4．(3)解：由(2)可知，△𝐴𝐵𝐸≌△𝐵𝐴𝐷(𝑆𝐴𝑆)，𝐶𝐸=2，𝐴𝐵=8，∴𝐵𝐸=𝐵𝐶−𝐶𝐸=4−2=2，∴𝐷𝐸=𝐵𝐸=2．(1)①𝐵𝐷平分∠�

�𝐵𝐶，𝐷𝐸//𝐴𝐵，可知∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐷𝐵𝐶=∠𝐵𝐷𝐸=𝛼，又因为∠𝐴𝐹𝐷=∠𝐴𝐷𝐵+∠𝐶𝐷𝐸，根据内接四边形的对角互补即可求证；②由①的结论可知∠𝐹𝐴𝐵=∠𝐸𝐴𝐵=180

°−4𝛼，因为∠𝐴𝐵𝐷=𝛼，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，可知∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐴𝐸𝐵=2𝛼，由此即可求证；(2)由(1)可知∠𝐹𝐴𝐵=∠𝐸𝐴𝐵=180°−4𝛼，且∠𝐴𝐷𝐵+∠𝐶�

�𝐸+𝛼+2𝛼=180°，可知∠𝐵𝐷𝐶=180°−4𝛼，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，即可得到△𝐴𝐵𝐹∽△𝐷𝐵𝐶，△𝐴𝐷𝐸∽△𝐵𝐶𝐷，由相似三角形的对应边成比例即可求解；(3)由(2)的结论可知，𝐷𝐸=𝐵𝐸，𝐷𝐸//�

�𝐵，可得△𝐴𝐵𝐸∽△𝐵𝐴𝐷，即可求出𝐵𝐸的长度，由此即可求解．本题主要考查圆内接四边形的性质和相似三角形的判定与性质，理解和掌握圆内接四边形的性质第26页，共26页是解题的关键．