【文档说明】2022-2023学年新疆喀什地区伽师县高二上学期期中数学试题解析版.doc，共(18)页，2.045 MB，由小喜鸽上传

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第1页共18页2022-2023学年新疆喀什地区伽师县高二上学期期中数学试题一、单选题1．在空间直角坐标系Oxyz中，已知(1,0,0),(1,2,2),(0,0,2),(2,2,4)ABCD−−−−，则以下错误的是（）A．6ACAB=uuur

uuurB．,ACABuuuruuur夹角的余弦值为156C．A，B，C，D共面D．点O到直线AB的距离是63【答案】B【分析】根据空间向量数量积的坐标运算以及夹角计算公式即可求解A,B,根据共面向量基本定理可判断C，根据点线距离的向量法即可判断D.【详解】因为(2,2,2)

,(1,0,2)ABAC=−=−uuuruuur，所以6ACAB=uuuruuur，A正确；,ACABuuuruuur夹角的余弦值为615cos,5||||235ACABACABACABuuuruuuruuu

ruuuruuuruuur===，所以B错误；因为(3,2,4)AD=−uuur，所以ADABAC=+uuuruuuruuur，所以A，B，C，D共面，所以C正确；因为(1,0,0)OA=−uuur，所以1||3OAABAB=−uuuruuuruuur，所以点O到直线A

B的距离是22116||1333OA−−=−=uuur，D正确．故选:B．2．已知点()()1,3,1,33AB−，则直线AB的倾斜角为（）A．23B．6C．3D．56【答案】A【解析】由两点坐标，求出直线AB的斜率，利用tank=，结合倾斜角的范围即可求解.【详

解】设直线AB的倾斜角为，因为()()1,3,1,33AB−，所以直线AB的斜率333311k−==−−−，即tan3=−，因为)0,，所以23=.故选：A第2页共18页3．若椭圆221164yx+=

上一点A到焦点1F的距离为3，则点A到焦点2F的距离为（）A．6B．5C．4D．3【答案】B【分析】根据椭圆的定义可求解.【详解】由椭圆的定义知，212835AFaAF=−=−=，故选：B4．已知,PQ分别是直线:20lxy−−=和圆22

:1Cxy+=上的动点，圆C与x轴正半轴交于点(1,0)A，则PAPQ+的最小值为A．2B．2C．51−D．21012+−【答案】C【分析】由题意画出图形，求出A关于直线l的对称点B的坐标，再求出B到圆心的距离，则答案可求．【详解】如图，

圆22:1Cxy+=的圆心为00O(，)，半径1r=.设点0(1)A，关于:20lxy−−=的对称点为()Bab，，则1202211abba+−−==−−，，解得21ab−＝，＝，即(21)B−，.连接BO，交直线:2

0lxy−−=于点P，交圆22:1Cxy+=于点Q，此时PAPQ+取得最小值为51BOr−=−.故选C.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查了数形结合的思想方法和转化的思想方法，是中档题．第3页共18页5．已知椭圆22122:1xyCab+=，双曲线22222:1

xyCab−=，其中0ab.若1C与2C的焦距之比为1:3，则2C的渐近线方程为（）A．250xy=B．520xy=C．20xy=D．20xy=【答案】A【分析】首先表示出椭圆与双曲线的焦距以及双曲线的渐近线方程，依题意得到方程，即可得到ba

，即可得解；【详解】解：椭圆22122:1xyCab+=的焦距为222ab−，双曲线22222:1xyCab−=的焦距为222ab+，渐近线为byxa=，因为1C与2C的焦距之比为1:3，所以22222132abab−=+，所以22

2219abab−=+，即2245ba=，所以255ba=，所以双曲线的渐近线为255yx=，即250xy=；故选：A6．已知a，b都是实数，那么“2a”是“方程2220xyxa+−−=表示圆”的（）A．充分不必要条件B．

必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】方程2220xyxa+−−=，即22(1)1xya−+=+，表示圆则需10a+，解得1a−，因为21aa−，而反之不成立，所以“2a”是“方程2220

xyxa+−−=表示圆”的充分不必要条件，故选：A7．三棱柱111ABCABC-中，记1,,BAaBBbBCc→→→→→→===，则1CA→=（）A．abc→→→−++B．abc→→→+−C．abc→→→−−D

．abc→→→++【答案】C【解析】根据向量加减法运算求解即可得答案.【详解】解：如图，根据向量的加减法运算法则得：第4页共18页1111CABABCBABBBCBABBBCabc→→→→→→→→→→→→=−=−+=−−=−−，故选：C.8．已知向量

()1,2a=r，()2,1bk=−r，kR，ar，br的夹角为，若存在实数m，使得cos50bm−r，则m的取值范围是（）A．1,2−+B．()0,+C．2,5−D．1,2−【答案】C【分析】根据cos50bm

−r，可得5cos5mbr，即cos5abmrr，则只要max5abmrr，求得max()abrr即可的解.【详解】解：由cos50bm−r，得5cos5mbr，又5a=r，所以cos5abmrr，若存在实数m，使

得cos50bm−r，则max5abmrr，因为22abk=−+rr，所以()max2ab=rr，故25m.故选：C．二、多选题9．下列说法正确的是（）A．已知直线()2210axay++−=与直线320axy−+=垂直，则实数a的值是43−第5页共18页B．直线1

0mxym−+−=必过定点()1,1C．直线32yx=−在y轴上的截距为2−D．经过点()1,3且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为40xy+−=【答案】BC【分析】根据直线垂直关系列方程求a，判断选项

A；将直线方程化为点斜式即可判断选项B；根据截距的定义判断选项C，根据条件求出满足要求的直线方程，判断选项D.【详解】解：对A：因为直线()2210axay++−=与直线320axy−+=垂直，则()2322340aaaaa+−=+=，解得0a=或43a=−，A不正确；对B：直线10

mxym−+−=可变为()11ymx−=−，因此直线必过定点()1,1，即B正确；对C：由直线方程32yx=−取=0x，得=2y−，所以直线32yx=−在y轴上的截距为2−，所以C正确．对D：经过点()1,3且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为40xy+−=或3yx=，所以D不正

确；故选：BC．10．已知点P在曲线xye=上，点P与点Q关于y轴对称，点P与点R关于x轴对称，点R与点S关于直线yx=对称，则下列说法正确的是（）A．点Q与点R关于原点对称B．点S在曲线()lnyx=−−C．设O为坐标原点，sinSPO的值不随点P

位置的改变而改变D．当且仅当点P与点Q重合时，QS取最小值2【答案】ACD【分析】本题需要先作图，在图像上进行分析，并标注好每个点的坐标.【详解】依题意，作图如下：第6页共18页设点P坐标为()00,xy，00exy

=，则()00,Qxy−，()00,Rxy−，故A正确；设点S的坐标为()11,xy，S与R的中点为B，由于S与R关于y=x对称，所以B必然在直线y=x上，并且直线SR与直线y=x垂直，则：10101yyxx+=−−……①，101022xxyy+−=……②，联立①②，解得10

xy=−，10yx=，即S点的坐标为()()0000,e,xyxx−=−，将S点坐标代入()lnyx=−−，得()000lnexxx=−=−，故B错误；延长PS，交x轴于C点，设,PCOSPO==，直线PO的倾斜角为，则=−，000000tan,tanyyxxxy−==+

，()tantantantan11tantan−=−==+，由于()0,，4=，故C正确；由两点距离公式得：()()()()022222000000022exQSxyyxyxx=−++−=−=−，设()()'e,e1xxgxxg

x=−=−，当x=0时，()gx取得最小值=1，即2QS取最小值=2，此时P与Q重合，故D正确；故答案为：ACD.11．在三棱锥A－BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC，E为BC的中点，则

直线AE和BC（）第7页共18页A．垂直B．相交C．共面D．异面【答案】ABC【分析】因为E为BC的中点，则直线AE和BC相交于点E，可判断选项B,C，D，利用基底向量表示出向量AEBCuuuruuur，，求出A

EBCuuuruuur，从而可判断选项A,得出答案.【详解】因为E为BC的中点，则直线AE和BC相交于点E，所以选项B,C正确，选项D不正确.因为E为BC的中点，所以()12AEDEDADBDCDA=−=+−uuuruuuruuu

ruuuruuuruuur因为在三棱锥A－BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC，所以()()2211022AEBCDBDCDADCDBDCDB=+−−=−=uuuruuuruuuruuuruuuru

uuruuuruuuruuur所以AEBC⊥uuuruuur，故选项A正确.故选:ABC.12．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=的离心率为52，且双曲线C的左焦点在直线50xy++=上，

A，B分别是双曲线C的左，右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，记PA，PB的斜率分别为1k，2k，则下列说法正确的是（）A．双曲线C的渐近线方程为2yx=B．双曲线C的方程为2214xy−=C．12kk

为定值14D．存在点P，使得121kk+=【答案】BC【详解】因为双曲线C的左焦点(,0)c−在直线50xy++=上，所以5c=，又离心率为52cea==，所以2a=，故2221bca=−=，所以双曲线方程为2214xy−=，故双曲线的渐近线方程为20xy=，故A错误；B正确；由

题意可得(2,0),(2,0)AB−，设P(m,n)，可得2214mn−=，即有22144nm=−，第8页共18页所以212212244nnnkkmmm===+−−，故C正确；因为点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，所以120,0kk，则121212212kkkk+==

，当且仅当12kk=时，等号成立，由A，B为左右顶点，可得12kk，所以121kk+，故D错误.故选：BC【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单几何性质，直线的斜率，属于中档题.三、填空题13

．在正方体1111ABCDABCD−中，E为1BB的中点，则异面直线1AE与1AC所成角的余弦值为_________.【答案】1515【分析】以D为原点，1,,DADCDD分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量可以求得结果.【详解】以D为原点，1,,DADCDD分别

为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，如图：设正方体的棱长为1，则(1,0,0)A，1(0,1,1)C，1(1,0,1)A，1(1,1,)2E，所以1(1,1,1)AC=−uuuur，11(0,1,)2AE=−uuur，设异面直线1AE与1AC所成角为，则1111cos||||ACAEACAE

=uuuuruuuruuuuruuur10121111014+−=++++1515=.第9页共18页故答案为：1515.【点睛】本题考查了利用空间向量求异面直线所成角，属于基础题.14．已知圆C的方程为2220xyxy++−=，则它的圆心坐标为________

__．【答案】11,2−##()1,0.5−【分析】将圆的一般方程转化成标准方程即可得到答案【详解】由2220xyxy++−=可得2215(1)()24xy++−=，所以圆心坐标为1(1,)2−，故答案为：11,2

−15．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．今有抛物线()2:20Cypxp=(如图)一条平行x轴的光线射向C上一点P点，经过C的焦点F射向C上的点Q，再反射后沿平行x轴的方向射出，若两平行线间的最小距离

是4，则C的方程是____________．【答案】24yx=【解析】先由题意得到PQ必过抛物线的焦点，设出直线PQ的方程，联立直线PQ与抛物线方程，利用韦达定理表示出弦长，得出PQ的最小值，进而可求出p的值，得出抛物线方程．【详解】由抛物线的光学性质可

得：PQ必过抛物线的焦点(,0)2pF，当直线PQ斜率不存在时，易得2PQp=；当直线PQ斜率存在时，设PQ的方程为2pykx=−，11(,)Pxy，22(,)Qxy由222pykxypx=−=，得222

24pkxpxpx=−+，整理得()222224480kxkppxkp−++=，所以221212224kpppxxxxk++==,，所以()2122222222kpPQxxpppkk+=++==+；综上，当直线PQ与x轴垂直时，弦长最短，又

因为两平行光线间的最小距离为4，故24p=，第10页共18页所以抛物线方程为24yx=．故答案为：24yx=．【点睛】本题主要考查了直线与抛物线位置关系，解决这类问题通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、弦长公式等求解，属于中档题．四、双空题

16．已知函数()()cos22cosRfxxxx=−，则π3f=___________；()fx的最大值为___________【答案】32−3【分析】将π3x=代入解析式即可求π3f

的值；利用二倍角公式化简，令cos1,1xt=−，转化为关于t的二次函数，利用二次函数的性质即可求最值.【详解】因为()()cos22cosRfxxxx=−，所以π2ππ113cos2cos2333222f=−=−−=−，()2cos22cos2cos2cos

1xxxfxx=−=−−，令cos1,1xt=−，则()2221fttt=−−，对称轴为21222t−=−=，开口向上，所以当cos1tx==−时()()()2max212113ft=−−−−=，所以()fx的最大值为3，故答案为：32−；3.五、解答题1

7．已知ABCV的三个顶点是(3,4)A−、(0,4)B、(6,0)C−，求：（1）BC边上的高AD所在直线的一般式方程；（2）BC边上的中线AM所在直线的一般式方程.【答案】（1）:3210ADlxy+−=（2）:10AMlxy++=【分析

】（1）求出直线BC的斜率，根据两直线垂直的斜率关系，利用点斜式求出直线方程，最后化成一般式；（2）求BC的中点M的坐标，求出AMk，利用点斜式求出直线方程，最后化成一般式；第11页共18页【详解】解：（1）(3,4)A−Q、(0,

4)B、(6,0)C−，()402063BCk−==−−所以直线AD的方程为：()2433yx+=−故:3210ADlxy+−=（2）BC的中点(3,2),M−()42133AMk−−==−−−所以直线AM的方程为：()413yx

+=−−故:10AMlxy++=【点睛】本题查直线的一般式方程，属于基础题．18．在ABCV中，a，b，c所对的角分别为A，B，C，已知3cos3abAc+=.（1）求sinB；（2）若3a=，D为AC的中点；且3BD=，求ABCV的面积.【答案】（1）223；（2）2.【分析】（1）根据题意

，由正弦定理得出sin3sincos3sinABAC+=，再由两角和的正弦公式化简得sin3sincosAAB=，由于sin0A，从而可求得1cos3B=，最后根据同角三角函数的平方关系，即可求出sinB；（2）法1：在ABCV中由余弦定理得出2

21936cbc+−=，再分别在ABD△和BCD△中，由余弦定理得出2234cos3bcADBb+−=和2394cos3bCDBb+−=，再由cosADBcosDB0+=C，整理化简的出c边，最后根据三角形的面积公式1sin2ABCSacB=△，即可求出结果.法2：由

平面向量的加法运算法则得出12BDBABC→→→=+，两边平方并利用平面向量的数量积运算化简得()213294cc=++，从而可求出c边，最后根据三角形的面积公式1sin2ABCSacB=△，即可求出结果.【详解】解：（

1）因为3cos3abAc+=，由正弦定理得sin3sincos3sinABAC+=，因为()sinsinsincoscossinCABABAB=+=+，所以sin3sincosAAB=，第12页共18页因为()0,A，所以sin0A，所

以1cos3B=，因为()0,B，所以22122sin1cos133BB=−=−=.（2）法1：在ABCV中，由余弦定理得222cos2acbBac+−=，即221936cbc+−=，在ABD△中，由余弦定理得2234cos3bcADBb+−=，在BCD△

中，由余弦定理得2394cos3bCDBb+−=，因为πADBCDB+=，所以22233944033bbcbb+−+−+=，即2262bc=+，所以()222296219366cccbcc+−++−==，整理得2230c+c−=，解得：1c=或

3c=−（舍去），所以1122sin312223ABCSacB===△.法2：因为D为AC的中点，所以12BDBABC→→→=+，两边平方得222124BBDBBACBCA→→→→→

=++，即()213294cc=++，即2230c+c−=，解得1c=或3c=−（舍），所以1122sin312223ABCSacB===△.19．已知直线1:140()lmxymmR−+−=

，2:34210lxy−−=．圆C满足条件：①经过点(3,5)P；②当0m=时，被直线1l平分；③与直线2l相切．（1）求圆C的方程；（2）对于mR，求直线1l与圆C相交所得的弦长为整数的弦共有几条．【答案】（1）22(1)

25xy+−=；（2）7条．【分析】（1）根据圆C的圆心在直线1y=上，设出圆的方程222()(1)(0)xayrr−+−=，根据条件第13页共18页圆心到点P与到直线2l的距离相等，列出方程求解,ar的值，得到圆的方程；（2）判定直线1l过定点(4,1)M，且点(4,1)M在圆

内，可得过点(4,1)M的最长弦长为10，最短弦长为4，从而可得弦长为正数的直线的条数．【详解】（1）由②可知圆C的圆心在直线1y=上，故可设圆C的方程为222()(1)(0)xayrr−+−=由①③，圆心到点P与到直线

2l的距离相等，即222234121(3)(15)3(4)ara−−=−+−=+−，解得0,5.ar==所以，圆C的方程为22(1)25xy+−=，（2）由140mxym−+−=可得：(4)10xmy−−+=，令404,101xxyy−==−+==，直线1l过定点

(4,1)M又224(11)1625+−=，(4,1)M在⊙C内直线1l与⊙C交于两点，设为,.AB当直线1l过圆心C时，AB取最大值10，此时0m=，当直线lMC⊥时，AB取最小值，4MC=，225166AB=−=，而此时m不存在所以，610AB故弦长为整数的值有

7,8,9ABABAB===各有2条而10AB=时有1条，故弦长为整数的弦共有7条．20．已知直三棱柱111ABCABC-中，12ABBCBB===，E，F分别为AC和1CC的中点，D为棱11AB上的点，BFAB⊥．第14页共18页(1)证明：BFDE⊥；(2)若D为11AB中点，求平面1

1BBCC与平面DFE所成锐角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)31414【分析】（1）证得BA，BC，1BB两两垂直．建立空间直角坐标系，利用空间向量即可证明；（2）分别求出平面11BBCC与平面DFE的法向量，结合空间向量的夹角坐标公式即可求出结果.【详

解】（1）因为三棱柱111ABCABC-是直三棱柱，所以1BB⊥底面ABC，所以1BBAB⊥因为11ABAB∥，11BFAB⊥，所以BFAB⊥，又1BBBFB=，所以AB⊥平面11BCCB．所以BA，BC，1BB

两两垂直．以B为坐标原点，分别以BA，BC，1BB所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图．所以()0,0,0B，()2,0,0A，()0,2,0C，()10,0,2B，()12,0,2A，()10,2,2C，()1,1,0E，()0,2,1F．由题设()(),0,202Da

a≤≤．因为()0,2,1BF=uuur，()1,1,2DEa=−−uuur，所以()()0121120BFDEa=−++−=uuuruuur，所以BFDE⊥．（2）因为D为11AB中点，则()1,0,2D第15页共18页因为

AB⊥平面11BBCC，所以面11BBCC的法向量为()1,0,0n=r而()1,2,1DF=−−uuur，()0,1,2DE=−uuur设面DEF的法向量为(),,mxyz=ur，00mDEmDF==uuuvvuuuv

v，即2020xyzyz−+−=−=解得()3,2,1m=ur，222130201314cos,141321nm++==++rur所以平面11BBCC与平面DFE所成锐角的余弦值31414.21

．如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，AD=2AB=6，32PAPD==，PD⊥AB，AC=BD，点M在侧棱PD上，且PD=3MD．(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)求平面PAB与平面MAC所成锐二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)155【分析

】（1）先证明线面垂直，再证明面面垂直即可；（2）以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，再分别求出两平面的法向量，用向量的夹角公式计算即可.【详解】（1）因为底面ABCD是平行四边形，且AC=BD，所以底面ABCD是矩形，所以有ABAD⊥,又PD⊥AB，且=ADP

DD,,ADPD平面PAD,所以AB⊥平面PAD，又AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD；第16页共18页（2）取AD的中点O,因为PAPD=，可得POAD⊥,由（1）可得ABPO⊥，而=ABAD

A，且ABAD，平面ABCD,所以PO⊥平面ABCD.所以以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.所以(0,0,3),(3,0,0),(3,3,0),(3,3,0),(3,0,0)PABCD−−.设(,,)Mxyz，由PD=3MD．有(3,0,3)3(3,

,)xyz−−=−−−−，可得2,0,1xyz=−==，所以(2,0,1)M−.所以(3,0,3),(3,3,3),(5,0,1),(1,3,1),PAPBMAMC=−=−=−=−−uuuruuuruuu

ruuuur设平面PAB的法向量为111(,,)mxyz=ur，则有111113303330xzxyz−=+−=，可取=(1,0,1)mur，设平面MAC的法向量为222(,,)nxyz=r，则有222225030xzxyz−=−

+−=，可取(1,2,5)n=r，设平面PAB与平面MAC所成锐二面角为，则平面PAB与平面MAC所成锐二面角的余弦值为22222211021515cos||5||||101125mnmn++===++++urrurr.22．如图，在平面直角坐标系xOy中，圆O：224x

y+=与x轴的正半轴交于点A，以点A为圆心的圆A：()()22220yxrr+=−与圆O交于B，C两点.(1)当2r=时，求BC的长；(2)当r变化时，求·ABACuuuruuur的最小值；(3)过点()6,0P的直线l与圆A切于点D，与圆O

分别交于点E，F，若点E是DF的中点，试求直线l的方程.第17页共18页【答案】(1)7；(2)2-；(3)360xy−=【分析】（1）根据半径，得到圆A的标准方程；因为BC、是两个圆的交点，联立两个圆可得到两个交点坐标，利用两点间距离公式即可求得BC的长．（2）根据圆A关于

x轴对称，可设()()0000,,BxyCxy−、，代入到圆O中，用0y表示0x；根据向量数量积的坐标运算，得到()20212ABACx=−−uuuruuur，根据0x的取值范围即可得到·ABACuuuruuur的最小值．（3）取EF的中点G，连结O

GADOF、、，可知ADP△与OGPV相似，根据中点性质和勾股定理，在RtOFG△和RtADPV中，联立方程求得r的值；设出直线方程，根据点到直线距离公式即可求出直线方程．【详解】（1）解：当2r=时，联立方程()2222422xyxy+=−+=得

，37,,22B37,,22C−所以7BC=（2）解：由对称性，设()()0000,,BxyCxy−、，则22004xy+=所以()22002ABACxy=−−uuuruuur()()220024xx=−−−

()20212x=−−因为022x−，所以当01x=时，ABACuuuruuur的最小值为2−（3）解：取EF的中点G，连结OGADOF、、，所以，由垂径定理和切线的性质得,,OGPFADPF⊥⊥所以，//ADOG所以，46ADAPPDOGOPPG===，从而32OGr=，第1

8页共18页因为点E是DF的中点，所以，不妨记222DEEGGFt===，6PDt=在RtOFG△中，有222OFOGFG=+，即222322rt=+①在RtADPV中，有222APADDP=+，即()22246rt=+②由①②解得210

5r=由题直线l的斜率不为0，可设直线l的方程为：6xmy=+，由点A到直线l的距离等于r，则220621051mm−−=+，所以3m=，所以，直线l的方程为360xy−=