【文档说明】2022-2023学年四川省遂宁市遂宁高级实验学校高二上学期期中数学文试题解析版.doc，共(18)页，1.990 MB，由小喜鸽上传

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第1页共18页2022-2023学年四川省遂宁市遂宁高级实验学校高二上学期期中数学（文）试题一、单选题1．直线tan6020220xy++=的倾斜角为（）A．30B．60C．120D．150【答案】D【分析】由直线方程求出斜率，根据斜率求出倾斜角.【详

解】设直线倾斜角为，由tan6020220xy++=，可得320220xy++=，所以斜率为3tan3k==−，由0180，可知倾斜角为150.故选：D.2．以点()3,1−为圆心且与直线340xy+=相切的圆的方程是A．()()2

2312xy++−=B．()()22311xy++−=C．()()22311xy−++=D．()()22312xy−++=【答案】C【详解】试题分析：由题意22334(1)134r+−==+，因此圆方

程为22(3)(1)1xy−++=．【解析】圆的标准方程．3．已知直线1:0lmxy+=与直线2:9100lxmy+−=平行，则实数m的值为（）A．3−B．3C．3D．0【答案】C【分析】由直线的位置关系列式求解，【详解】由题意知12ll∥，则290m−=，得3m=，经检验，3m=时

12ll∥，故选：C4．在正方体1111ABCDABCD−中，P为11BD的中点，则直线PB与1AD所成的角为（）第2页共18页A．π2B．π3C．π4D．π6【答案】D【分析】平移直线1AD至1BC，将直线PB与1AD所成的角转化为PB与1BC所成的角，解三角形即可.【详解】如

图，连接11,,BCPCPB，因为1AD∥1BC，所以1PBC或其补角为直线PB与1AD所成的角，因为1BB⊥平面1111DCBA，所以11BBPC⊥，又111PCBD⊥，1111BBBDB=，所以1PC⊥平面1PBB，所以1PCPB⊥，设正方体

棱长为2，则1111122,22BCPCDB===，1111sin2PCPBCBC==，所以16PBC=.故选：D5．关于直线m、n与平面、，有以下四个命题：①若//m，//n且//，

则//mn；②若m⊥，n⊥且⊥，则mn⊥；③若m⊥，//n且//，则mn⊥；④若//m，n⊥且⊥，则//mn.其中真命题的序号是（）A．①②B．③④C．①④D．②③【答案】D【分析】根据①②③④中的已知条件判断直线m、n的

位置关系，可判断①②③④的正误.【详解】对于①，若//m，//n且//，则m与n平行、相交或异面，①错误；对于②，如下图所示：第3页共18页设a=，因为⊥，在平面内作直线la⊥，由面面垂直的性质定理可知l⊥，m⊥，//ml，n⊥，l，nl⊥，因此，mn⊥

，②正确；对于③，若m⊥，//，则m⊥，因为//n，过直线n作平面使得a=，由线面平行的性质定理可得//na，m⊥，a，则ma⊥，因此mn⊥，③正确；对于④，若//m，n⊥且⊥，则m与n平行、相交或异面，④错误.故选：D.【点睛】方法点睛：对于空间线面位

置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体（如正方体、正四面体等

）为模型进行推理或者反驳．6．方程214yxx+=−+表示的曲线为（）A．圆()()22214xy−++=B．圆()()22214xy−++=的右半部分第4页共18页C．圆()()22214xy++−=D．圆()()22214xy−++=的上半部分【答案】D【分析】平方后可判断曲

线的形状.【详解】因为2140yxx+=−+，所以()()22141yxxy+=−+−，即()()()222141xyy−++=−，故方程214yxx+=−+表示的曲线为圆()()22214xy−++=的上半部分.故选：D.7．若x、y满足约束条件50210210xyxyxy+

−−−−+，则2zxy=+的最大值为（）A．3B．7C．8D．10【答案】C【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线2zxy=+，找出使得该直线在y轴上截距最大时对应的最优解，代入目标函数即可得解.【详

解】作出不等式组50210210xyxyxy+−−−−+所表示的可行域如下图所示：联立21050xyxy−+=+−=可得32xy==，即点()3,2A，平移直线2zxy=+，当该直线经过可行域的

顶点A时，直线2zxy=+在y轴上的截距最大，此时z取最大值，即max2328z=+=.故选：C.第5页共18页8．已知实数,xy满足3420xy+=−，那么224613xyxy+−++的最小值为（）A．16B．4C．2D．2【答案】A【分析】将224613xyxy+−++配方得22(

2)(3)xy−++，由几何意义可知，22(2)(3)xy−++表示直线3420xy+=−上的动点(,)xy与(2,3)−的距离的平方，根据点到直线的距离公式计算点(2,3)−到直线3420xy+=−的距离，即可求解出

最小值.【详解】由224613xyxy+−++可得22(2)(3)xy−++，可以看作直线3420xy+=−上的动点(,)xy与(2,3)−的距离的平方，又因为点(,)xy与(2,3)−的最小距离为(2,3)−到直线3420xy+=−的距离，为22|324(3)2|43(4)−−+=+

−，故224613xyxy+−++的最小值为16.故选：A.9．已知三棱锥−PABC的底面是正三角形，PA⊥平面ABC，且PAAB=，则直线PA与平面PBC所成角的正弦值为（）A．32B．217C．277D．64【答案】B【分析】如图所示，连接各线段，证明⊥AE平面PBC

，得到APD即为直线PA与平面PBC所成角，再计算线段长度得到答案.【详解】如图所示：D为BC中点，连接AD，PD，作AEPD⊥于E.PA⊥平面ABC，BC平面ABC，故PABC⊥，BCAD⊥，PAADA=，故BC⊥平面P

AD，AE平面PAD，故AEBC⊥，又AEPD⊥，PDBCD=，故⊥AE平面PBC，即APD即为直线PA与平面PBC所成角.设PAABa==，则32ADa=，223722PDaaa=+=，故3212sin772aA

DAPDPDa===.故选：B第6页共18页10．已知函数()lgfxx=，若0ab，且()()fafb=，则坐标原点O与圆()()222xayb−++=的位置关系是（）A．点O在圆内B．点O在圆上C．点O在圆外D．不能确定【答案】C【分析】画出分段函数

lgyx=的图象，求出,ab关系，进而根据点与圆的位置关系定义，可得答案．【详解】画出lgyx=的图象如图：0ab，且()()fafb=，lglgab=且01a，1b，lglgab−=，得()lglglg0abab+==，即1ab=，则22abab+=，（

当且仅当ab=时，取得等号，故等号取不到），圆22()()2xayb−++=，圆心坐标(),ab−，半径为2，坐标原点O到圆心的距离22()()2dabab=+=+，故坐标原点O在圆22()()2xayb−++=外.故

选：C．11．已知实数x，y满足：22(1)3xy−+=，则1yx+的取值范围为（）A．[3−，3]B．[23−，23]C．3[3−，3]3D．23[3−，23]3【答案】A第7页共18页【分析】确定圆心和半径，将题目转

化为点(),xy和点()1,0A−直线的斜率，画出图像，计算角度，计算斜率得到答案.【详解】22(1)3xy−+=表示圆心为()1,0M，半径3R=的圆，1kyx=+表示点(),xy和点()1,0A−直线的斜率，如图所示：直角ADM△中2AM=，3DMR==，故

3sin2DAM=，π0,2DAM，故π3DAM=，同理可得π3EAM=，对应的斜率为3和3−.故,313kyx=−+，故选：A12．已知圆C：()2211xy−+=，圆M：()()()2214cos4sin4Rx

y−−+−=，过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE、PF，切点分别为E、F，则PEPF的最小值是（）A．23−B．3C．32D．3−【答案】C【分析】设EPC=，利用勾股定理以及二倍角公式可得cos2PEPFPEPF=2223PCPC=+−，

设2PCt=，令2()3fttt=+−（436t），利用函数的单调性即可求出PEPF的最小值．【详解】由题意知，圆C的圆心为(1,0)，半径为1，圆M的圆心(14cos,4sin)+，半径为2，所以22(4cos)(4sin)4CM=+=，第8页共18页∴22CM

PCCM−+，即26PC，设EPC=，∴||1sin||CECPCP==，222cos212sin1PC=−=−，PEPF=，22221PEPCECPC=−=−，则()2222cos2cos211PEPFPEPFPEPCPC===−−

2223PCPC=+−，设2PCt=，436t，令2()3fttt=+−，436t，∴22222()10tfttt−=−=，即当436t时，()ft单调递增，∴当4t=时，()ft取最小值32，即PEPF的最小值为32．故

选：C．二、填空题13．过点(1,2)P且与直线21yx=+平行的直线的方程是__________________.【答案】2yx=【分析】设与直线21yx=+平行的直线的方程为2yxb=+，代点P计算即可.【详解】设与直线21yx=+

平行的直线的方程为()21yxbb=+，代入点(1,2)P得22b=+，解得0b=所以过点(1,2)P且与直线21yx=+平行的直线的方程是2yx=故答案为：2yx=14．已知直线l过点(),0(>0)Aaa，且斜率为1，若圆224xy+=上恰有3个点到l的距离为1，则a的第9页

共18页值为__________.【答案】2【分析】由于圆上恰有3个点到l的距离为1，则圆心到直线的距离等于半径减去1，列方程即可求解．【详解】由于直线l过点(,0)Aa且斜率为1，则直线:0lxya−−=，圆224xy+=上恰有3个点到l的

距离为1，圆心到直线的距离等于半径减去1，圆心(0,0)到直线:0lxya−−=的距离为212a=−，解得2a=，因为0a，所以2.故答案为：2.15．已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，点M、N在正方体的表面上运动，分别满足：2AM=，AN

∥平面1BDC，设点M、N的运动轨迹的长度分别为m、n，则mn=_______________.【答案】2π4##2π4【分析】M的轨迹为半径为2的球A与正方体表面的交线，即3个半径为2的14圆弧，要满

足AN∥平面1BDC，则N在平行于平面1BDC的平面与正方体表面的交线上，可证得为11ABD，最后求值即可得mn【详解】点M、N在正方体的表面上运动，由2AM=，则M的轨迹为半径为2的球A与正方体表面的交线，即3个半径为2的14圆弧，故132π23π4m==.正方

体中，11111111111,,,,ADBCABDCADABADCBCCADAB==、平面11ABD，11DCBC、平面1BDC，故平面11ABD∥平面1BDC，当N在11ABD上时，即满足AN∥平面1BDC且N在正方体的表面上，故32262n==

，故3π2π462mn==.故答案为：2π4第10页共18页16．在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，M为底面ABCD的中心，Q是棱11AD上一点，且111DQDA=，0,1，N为线段AQ的中点，给出下列命题：①,,,CMNQ四点共面；②三棱锥ADMN−的体积与的

取值有关；③当90QMC=时，0=；④当12=时，过,,AQM三点的平面截正方体所得截面的面积为3252+.其中正确的有__________（填写序号）.【答案】①③【分析】对于①，根据相交直线确定唯一平面即可判断；对

于②，转化顶点即可判断；对于③，建立空间直角坐标系，当90QMC=时，1110244MQMC=−+−=即可判断；对于④，当12=时，Q为11AD的中点，过Q作11//QPAC且11QPDCP=，则易证//QPAC，易得过,,AQ

M三点的平面截正方体所得截面为等腰梯形ACPQ，再计算等腰梯形ACPQ的面积即可判断.【详解】对于①，易知MAC，第11页共18页因为AQNCN=，所以,,,CMNQ四点共面，故①正确；对于②，因为三棱锥ADMN−的体积等于三棱锥NADM−的体积，又易知N到底面的距离等于定值12，而ADM

△的面积一定，所以三棱锥ADMN−的体积为定值，故②错误；对于③，建立如图所示空间直角坐标系，所以由题知，1111(0,1,0),(,,0),(1,0,1),(0,0,1)22CMAD,所以1111(,,0),(1,0,0)22MCDA=−=,因为111(,0,0)DQDA

==，所以(,0,1)Q,所以11(,,1)22MQ=−−，当90QMC=时，1110244MQMC=−+−=，解得0=所以Q与1D重合，所以0=，故③正确；对于④，当12=时，Q为11AD的中点，过Q作11//QPAC且11QPDC

P=，则易证//QPAC，所以易得过,,AQM三点的平面截正方体所得截面为等腰梯形ACPQ，又易知2,22QPAC==，从而可得等腰梯形ACPQ的高为322，所以截面等腰梯形ACPQ的面积为1239(2)22822+=，故④错误、第12页共18页故答案为

：①③三、解答题17．已知直角坐标平面xOy内的两点()5,3A−，()1,1B.(1)求线段AB的中垂线所在直线的方程；(2)一束光线从点A射向y轴，反射后的光线过点B，求反射光线所在的直线方程.【答案】(1)40xy−−=(2)2310x

y−+=【分析】（1）求出AB的中点坐标及AB中垂线的斜率，进而求出方程；（2）求出A关于y轴对称点的坐标，即可求反射光线所在的直线方程．【详解】（1）∵()5,3A−，()1,1B∴中点为()3,1−.且31151ABk−−==−−.∴线段AB的中

垂线的斜率为1，∴由直线方程的点斜式可得线段AB的中垂线所在直线方程为()13yx−−=−即40xy−−=.（2）∵()5,3A−关于y轴的对称点()5,3A−−，∴312513ABk−−==−−所以直线A

B的方程为：()2113yx−=−，即反射光线所在的直线方程为2310xy−+=18．已知圆C过两点()2,0A−，()2,4B，且圆心在直线240xy−−=上．(1)求该圆C的方程；(2)求过点(

)3,1P的直线被圆C截得弦长最小时的直线l的方程．【答案】(1)224120xyx+−−=(2)40xy+−=【分析】（1）求出AB的中垂线，根据2240yxxy=−−−=求出圆心坐标，求出半径即可得解；（2）直线被圆截得的弦长最小时是垂直于圆的直径所在的直线，求出直线方程.第13页共18

页【详解】（1）解：因为圆C过两点()2,0A−，()2,4B，设AB的中点为M，则()0,2M，因为()40122ABk−==−−，所以AB的中垂线方程为y-2=(x-0)，即2yx=−，又因为圆心在直线240xy−−=上，2240yxxy=−−−=，解得20xy=

=，圆心()2,0C，4r=，故圆的方程为224120xyx+−−=．（2）解：因为直线被圆截得弦长最小时CP⊥l，由过点P，C的斜率为10132CPk−==−，lk=-1，所以直线l的方程为11(3)yx−=−−，故直线l的方程为40xy+−=．19．已知四面体ABCD中AB⊥面BCD，

BCDC⊥，BEAD⊥垂足为E，E，F为,ADCD中点，2ABBD==,1CD=（1）求证：AC面BEF；（2）求点B到面ACD的距离．【答案】（1）见解析；（2）2217【分析】（1）证明线面平行,需先证明线线平行,可从三角形的中位线定理证明线线平行,从而再证线面平行.（2）求点到面

的距离用等体积法,由ABCDBACDVV−−=,分别算出BCDS、ACDS,建立体积等式关系即可求B到面ACD的距离．【详解】、（1）因为BEAD⊥,ABBD=所以E为AD中点,又因为F是CD中点,所以

ACEF,而AC面BEF,EF面BEF,所以AC面BEF.（2）由已知得3BC=,22AD=,7AC=,第14页共18页所以三角形ACD为直角三角形其面积72ACDS=,三角形BCD的面积32BCDS=设点B到面AC

D的距离为h,因为ABCDBACDVV−−=,即11233BCDACDSSh=解得2217h=,所以点B到面ACD的距离为2217.【点睛】（1）线面平行的判定定理是：若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行,即abaab

.（2）用等体积法求点到平面的距离主要是一个转换的思想,先用简单的方法求出四面体的体积,然后计算出底面三角形的面积,再根据四面体体积公式V=-Sh求出点到平面的距离h.20．如图，C、D是以AB为直径的圆上

两点，AB=2AD=23，AC=BC，F是AB上一点，且AF=13AB，将圆沿直径AB折起，使点C在平面ABD的射影E在BD上，已知：2CE=,（1）求证：AD⊥平面BCE；（2）求三棱锥A﹣CFD的体积．【答案】（1）见解析；（2）

66.【分析】（1）根据直径所对的圆周角为直角，得到AD⊥BD，结合CE⊥平面ADB得AD⊥CE，所以AD⊥平面BCE；（2）由已知条件求出F到AD的距离等于E到AD的距离，由VA﹣CFD＝VC﹣AFD，利用等积法能求出三棱锥A﹣CFD的体积．【

详解】（1）证明：依题AD⊥BD，∵CE⊥平面ABD，∴CE⊥AD，∵BD∩CE=E，第15页共18页∴AD⊥平面BCE．（2）由（2）知AD∥EF，AD⊥ED，且ED=BD﹣BE=1，∴F到AD的距离等于E到A

D的距离为1．∴S△FAD==．∵CE⊥平面ABD，∴VA﹣CFD=VC﹣AFD===．【点睛】求解空间几何体体积的常用策略：（1）公式法：对于规则几何体的体积问题，直接利用公式即可破解；（2）切割法：对于不规则的几何体，可以将其分割成规则的几何

体，再利用公式分别求解之后进行相加求和即可；（3）补形法：同样对于不规则的几何体，还可以将其补形成规则图形，求出规则几何体的体积后减去多于部分即可求解，但需注意的是补形后多于部分的几何体也应该是规则的，若不是规则的，此方法不建议使用.（4）等体积法：一个几何

体无论怎样变化，其体积是不会发生变化的.如果遇到一个几何体的底面面积和高较难求解时，常常采用此种方法进行解题.21．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆22:1214600Mxyxy+−−+=及其上一点(2,4)A．(1)设圆N与x轴相

切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程．【答案】(1)22(6)(1)1xy−+−=(2)250xy−+=或2150x

y−−=第16页共18页【分析】（1）设(6,)Nn，则圆N为：222(6)()xynn−+−=，0n，从而得到|7|||5nn−=+，由此能求出圆N的标准方程．（2）由题意得25OA=，2OAk=，设:2lyxb=+，则圆心M到直线l的距离：|5|5bd+=，由此能求出直线l的方

程．【详解】（1）解：NQ在直线6x=上，设(6,)Nn，圆N与x轴相切，圆N为：222(6)()xynn−+−=，0n，又圆N与圆M外切，圆22:1214600Mxyxy+−−+=，即圆22:(

6)(7)25Mxy−+−=，圆心()6,7M，半径=5r；|7|||5nn−=+，解得1n=，圆N的标准方程为22(6)(1)1xy−+−=．（2）解：由题意得25OA=，2OAk=，设:2lyxb=+，则圆心M到直线l

的距离：|5|5bd+=，则2(5)||2255bBC+=−，25BC=，即2(5)225255b+−=，解得5b=或15b=−，直线l的方程为：25yx=+或215yx=−．22．已知过原点的动直线l与圆1C:22650xyx+−+

=相交于不同的两点，．（1）求圆1C的圆心坐标；（2）求线段的中点的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L:()4ykx=−与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）()3,

0；（2）223953243xyx−+=；（3）存在，252577k−或34k=．【分析】（1）通过将圆1C的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线l的方程为y=kx，通过联立直线l与圆1C的方程，利用根的判别式大于0、韦达

定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线l与圆1C的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论第17页共18页【详解】（1）由22650xyx+

−+=得()2234xy−+=，∴圆1C的圆心坐标为()3,0；（2）设(),Mxy，当x=3时，符合题意；当x不等于3时，∵点M为弦AB中点即1CMAB⊥，∴11CMABkk=−即13yyxx=−−，∴线段AB的中点M的轨迹的方程为223953243xy

x−+=；（3）由（2）知点M的轨迹是以3,02C为圆心32r=为半径的部分圆弧EF（如下图所示，不包括两端点），且525,33E，525,33F−，又直线L：()4ykx=−过定点()4,0D，当直线L与圆L相切时

，由223402321kk−−=+得34k=，又2032357554DEDFkk−−=−=−=−，结合上图可知当332525,,4477k−−时，直线L：()4ykx=−与曲线L只有一个交点．第18页共18页【解析】1.轨迹方

程；2.直线与圆相交的位置关系；3.圆的方程