【文档说明】2022-2023学年四川省泸州市泸县第五中学高二上学期12月月考试数学理试题解析版.doc，共(16)页，1.363 MB，由小喜鸽上传

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第1页共16页2022-2023学年四川省泸州市泸县第五中学高二上学期12月月考试数学（理）试题一、单选题1．抛物线y＝4x2的焦点坐标是（）A．（0，1）B．（1，0）C．1(0,)16D．1(,0)16【答案】C【分析】将抛物线方程化为标准方程，由此可抛物线

的焦点坐标得选项.【详解】解：将抛物线y＝4x2的化为标准方程为x2＝14y，p＝18，开口向上，焦点在y轴的正半轴上，故焦点坐标为（0，116）.故选：C．2．下图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件

）若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为A．5，5B．3，5C．3，7D．5，7【答案】B【分析】利用茎叶图、中位数、平均数的性质直接求解．【详解】由茎叶图得：∵甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组

数据的中位数相等，∴65＝60+y，解得y＝5，∵平均值也相等，∴5662657074596167657855x+++++++++=，解得x＝3．故选B．第2页共16页【点睛】本题考查实数值的求法，考查茎叶图、中位

数、平均数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．已知命题1:,04xpxR，命题p的否定是（）A．1,04xxRB．1,04xxRC．1,04xxRD．1,04xxR【答案】B【解

析】根据命题的否定的定义，写出命题的否定，然后判断．【详解】命题1:,04xpxR的否定是：1,04xxR．故选：B．4．已知,abR且ab，下列不等式正确的是（）A．11abB．1abC．a

-b>0D．a+b>0【答案】C【解析】根据不等式性质一一判断即可.【详解】A选项：当2,1ab==时1121，故错误；B选项：当1,1ab==−时111−，故错误；C选项：0abab−成立，故正确；D选项：当2,

3ab==−时2310−=−，故错误故选：C5．在如图所示的程序框图中，如果输入的5n=，那么输出的i等于（）第3页共16页A．3B．4C．5D．6【答案】C【解析】根据程序框图逐次计算每次判断n的奇偶性前各变量的值，结合n的值判断循环何时终止，从而得到输出的i的值.【详解】解：由框图知：第

一次判断n为奇偶性前，5n=，0i=；第二次判断n为奇偶性前，16n=，1i=；第三次判断n为奇偶性前，8n=，2i=；第四次判断n为奇偶性前，4n=，3i=；第五次判断n为奇偶性前，2n=，4i=；第六次判断n为奇偶性前，

1n=，5i=；此时判断1n=，终止循环输出5i=.故选：C.6．若x，y满足约束条件202030,xyxyx−++−−，z=2x-3y的最大值为（）A．9B．6C．3D．1【答案】A【解析】画出不等式组表示的可行域，数形结合即可求解.

【详解】作出可行域：第4页共16页由23zxy=−得233zyx=−，它表示斜率为23纵截距为3z−的直线，当直线经过点()3,1A−时，直线的纵截距3z−最小，z最大，此时，2339z=+=，故选：A7．已知直线0xaya−−

=和直线10axy−+=互相平行，则=a（）A．1B．1−C．1D．0【答案】C【分析】根据两直线互相平行斜率相等可得答案.【详解】由()()11aa−=−，解得1a=，经检验均满足题意.故选：C.8．已知命题()4:0,,sin4sinpxxx+，命题()001:0

,,32xqx+=，则下列判断正确的是（）A．p是真命题B．q是真命题C．()pq是真命题D．()pq是真命题【答案】C【分析】先根据基本不等式判断命题p的真假，根据指数函数的单调性判

断命题q的真假，再根据命题的命题与逻辑连接词关系判断选项.【详解】命题p：当()0,x时，sin0x，根据基本不等式可得44sin2sin4sinsinxxxx+=，当且仅当4sinsinxx=即sin2x=时等号成立

，因为当()0,x时0sin1x，故等号不成立，命题p为真命题；第5页共16页命题q：因为()3xfx=在定义域内为增函数，故1()(0)12fxf=，命题q为假命题，q为真命题.故选：C9．设m为实数，若直线yxm=+与圆224680xyxy+−−

+=相交于M，N两点，且23MN=，则m=（）A．3B．-1C．3或-1D．-3或1【答案】C【分析】化出圆的标准方程，求出圆心和半径，利用垂径定理列方程求解即可.【详解】圆224680xyxy+−−+=的标准方程为()()22

235xy−+−=，圆心为()2,3，半径为5，直线yxm=+的一般方程为0xym−+=则由已知得2222323522m−+=+，解得3m=或1m=−故选：C.10．已知双曲线22212xya−=的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的右焦点到

其中一条渐近线的距离为（）A．2B．4C．22D．42【答案】A【分析】由双曲线22212xya−=的两条渐近线互相垂直，即可求得双曲线的渐近线方程为0xy=，然后可以求得右焦点坐标，最后利用点到直线距离公式即可求解.【详解】∵双曲线22212xya−=的

两条渐近线互相垂直，∴双曲线的两条渐近线的斜率为1，∴双曲线的渐近线方程为0xy=，又∵2b=，1ba=，∴22a=，∴2224cab=+=，即右焦点的坐标为()2,0，则右焦点到渐近线的距离为2022d−==.故选：A.11．过点P(3，5)作圆C：(x+2

)2+y2=10的切线，若切点为A，B，则直线AB的方程是A．x+y+2=0B．x+y﹣2=0C．x+y=0D．x+y﹣3=0【答案】C第6页共16页【解析】求出以PC为直径的圆的方程，两个圆方程相减可得直线AB方程．【详解】圆C的圆为(2,0)C−，由切线性质知,AB在以PC为直径

的圆上，PC的中点为15(,)22M，22(23)(05)52PC=−−+−=，所以以PC为直径的圆方程为222155225()()()2222xy−+−==，即22560xyxy+−−−=，圆C的方程为22460xyx++

−=，两式相减得550xy+=，即0xy+=，此即为直线AB方程．故选：C．【点睛】本题考查切点弦所在直线方程，由圆的性质知圆外点P，圆心C，两切点,AB四点共圆，此圆直线就是PC，而AB是两圆的公共弦．12．设椭圆22221(0)xyaba

b+=的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交椭圆于P，B两点（点P在第一象限），过椭圆的左顶点和上顶点的直线1l与直线l交于A点，且满足APBPuuuvuuuv，设O为坐标原点，若(,)OPOAOBR=+uuuvuuuvuuuv，29=，则该椭圆的离心率为A．35B．12

13C．35或1213D．45【答案】A【详解】分析：根据向量共线定理及29=，APBPuuuvuuuv，可推出，的值，再根据过点F作与x轴垂直的直线l交椭圆于P，B两点（点P在第一象限），可推出P，B两点的坐标，然后求

出过椭圆的左顶点和上顶点的直线1l的方程，即可求得A点的坐标，从而可得a，b，c三者关系，进而可得椭圆的离心率.详解：∵A、P、B三点共线，(),OPOAOBR=+uuuvuuuvuuuv∴1+=又∵29=∴1323=

=或2313==∵APBPuuuvuuuv∴2313==∵过点F作与x轴垂直的直线l交椭圆于P，B两点（点P在第一象限）第7页共16页∴2(,)bPca，2(,)bBca−∵过椭圆的左顶点

和上顶点的直线1l与直线l交于A点∴直线1l的方程为为1xyab+=−∴()(,)acbAca+∵2133OPOAOB=+uuuruuuruuur∴222()1()33bacbbaaa+=+−，即2bac=+.∴22224()2acaacc−=++，即2

23520acac−−=.∴25230ee+−=∵(0,1)e∴35e=故选A.点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,ac，代入

公式cea=；②只需要根据一个条件得到关于,,abc的齐次式，转化为,ac的齐次式，然后转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e(e的取值范围)．二、填空题13．已知直线23yx=−过抛物线C：22

ypx=()0p的焦点，则p=______．【答案】3【分析】根据直线过抛物线的焦点，可确定抛物线的焦点坐标，即可求得答案.【详解】因为直线23yx=−与x轴交点坐标为3(,0)2，又23yx=−过抛物线C的焦点，则3(,0)2即为抛物线的焦点，所以322p=，故3p=，故答案为：3.14

．设:14x≤，:xm，若是的充分条件，则实数m的取值范围是______．【答案】)4,+第8页共16页【分析】根据题目条件得到14xxm，从而求出实数m的取值范围.【详解】是的充分条件，故14xxm，所以4m，实数m的取值范围为)4,+

.故答案为：)4,+15．已知0x，0y，且4xy+=，则19xy+的最小值为______.【答案】4【分析】利用“1”的妙用，运用基本不等式即可求解.【详解】∵4xy+=，即144xy+=，∴19191910444xyyxxyxyxy

+=++=++又∵0x，0y，∴9926yxyxxyxy+=，当且仅当9yxxy=且4xy+=，即1x=，3y=时，等号成立，则19xy+的最小值为4.故答案为：4.16．已知正三棱锥SABC−的所有顶点都在球O的球

面上，棱锥的底面是边长为2的正三角形，侧棱长为1，则球的表面积为___________.【答案】3【分析】设1O为正三角形ABC的中心，则1SO⊥平面ABC，正三棱锥S−ABC的外接球的球心O在1SO上，在Rt△1OSA中

利用勾股定理求出SA的长，再在Rt△1OAO中利用勾股定理即可求出R的值，从而得到球O的表面积．【详解】如图所示：设1O为正三角形ABC的中心，连接1SO，则1SO⊥平面ABC，正三棱锥S−ABC的外接球的球心O第9页共16页在1SO上，设球

的半径为R，连接AO，1AO，∵△ABC的边长为2，∴13262233AO==，又∵1SA=，∴在Rt△1OSA中，221163193SOSAAO=−=−=，在Rt△1OAO中，OA＝R，1133OOSOSOR=−=−，163AO=，∴2226333RR

=+−，解得：32R=，∴球O的表面积为234434R==πππ．故答案为：3．三、解答题17．为了解某市家庭用电量的情况，该市统计局调查了若干户居民去年一年的月均用电量（单位：kwh），得到如图所示的频率分布直方图.(1)估计月均用电量的众数；(2)

求a的值；(3)为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，月均用电量不高于平均数的为第一档，高于平均数的为第二档，已知某户居民月均用电量为162kWh，请问该户居民应该按那一档电价收费，说明理由.【答案】(1)175(2)0.004(

3)该居民该户居民应该按第二档电价收费，理由见解析第10页共16页【分析】（1）在区间[150,200)对应的小矩形最高，由此能求出众数；（2）利用各个区间的频率之和为1，即可求出a值；（3）求出月均用电量的平均数的估计值即可判断.【详解】（1）由

题知，月均用电量在区间[150,200)内的居民最多，可以将这个区间的中点175作为众数的估计值，所以众数的估计值为175.（2）由题知：(0.0020.0030.0050.006)501a++++=，解得0.004a=则a的值为0.004.（3）平均数的估计值为

：(0.004750.0051250.0061750.0032250.002275)50++++160=，则月均用电量的平均数的估计值为160kwh，又∵162160∴该居民该户居民应该按第二档电价收费.18

．已知命题:p方程22167xymm+=+−表示椭圆，命题：2:,2210qxmxmxm++−R．（1）若命题q为真，求实数m的取值范围；（2）若pq为真，p为真，求实数m的取值范围．【答案】（1）1m

£；（2）6m−或12m=.【分析】（1）分类讨论及结合一元二次不等式的性质进行求解即可；（2）若pq为真，p为真，则p为假命题，q为真命题，建立不等式关系求解即可.【详解】（1）Q命题q：xR，22210mxmxm++−为真命题，当0m时，

244(21)0mmm=−−，即4(1)0mm−，解得01m；当0m=时，不等式等价为10−，为真命题；当0m时，不等式恒成立.综上知，1m£.（2）若p为真，则607067-mmmm+−+，解得67m−且12

m，若pq为真，p为真，则p为假命题，q为真命题，第11页共16页所以16mm−或112mm=或17mm，解得6m−或12m=.即实数m的取值范围是6m−或12m=.【点睛】本题主要考查复合命

题之间的关系，根据条件合理转化，建立不等式关系是解决本题的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题.19．已知函数1()(1)1fxxxx=+−.（1）解不等式：(1)()3xfx−；（2）当1x时，求()fx的最小值.【答案】（1）()()12−−

+，，；（2）最小值是3.【解析】（1）把(1)()3xfx−化为2201xxx−−，解不等式即可；（2）利用均值不等式求最值.【详解】（1）由(1)()3xfx−，得220xx−−，

又1x，解之得：2x或1x−.即原不等式的解集为()()12−−+，，；（2）当1x时，1110,()1121311xfxxxxx−=+=−+++=−−.当且仅当111xx−=−时，即2x=或0(舍)时，“=”成立.所以()fx的最小值是3.【点睛】易错点睛

：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不

等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．20．已知点F是拋物线C:y2=2px(p>0)的焦点,点M(x0,1)在C上,且|MF|=054x.(1

)求p的值;(2)若直线l经过点Q(3,-1)且与C交于A,B(异于M)两点,证明:直线AM与直线BM的斜率之积为常数.【答案】（1）12；（2）12−第12页共16页【分析】（1）抛物线定义知|0|2pMFx=+，则00524xpx+=，求得x0=2

p，代入抛物线方程，0112xp==，；（2）由（1）得M（1，1），拋物线C：y2=x，当直线l经过点Q（3，-1）且垂直于x轴时，直线AM的斜率312AMk−=，直线BM的斜率312BMk−−=，31311222AMBMkk−−−=

=−．当直线l不垂直于x轴时，直线l的方程为y+1=k（x-3），代入抛物线方程，由韦达定理及斜率公式求得1212111113112AMBMkkyyyykk==−−++=−+++，即可证明直线AM与直线BM的斜率之积为常数12−．【详解】

(1)由抛物线定义知|MF|=x0+,则x0+=x0,解得x0=2p,又点M(x0,1)在C上,所以2px0=1,解得x0=1,p=.(2)由(1)得M(1,1),C:y2=x.当直线l经过点Q(3,-1)且垂直于x轴时,不妨设A(3,),B(3,-),则直线AM的斜率kAM=,直线BM的斜率kB

M=,所以kAM·kBM=-×=-.当直线l不垂直于x轴时,设A(x1,y1),B(x2,y2),则直线AM的斜率kAM===,同理直线BM的斜率kBM=,∴kAM·kBM=·=.设直线l的斜率为k(显然k≠0且k≠-1),

则直线l的方程为y+1=k(x-3).联立消去x,得ky2-y-3k-1=0,所以y1+y2=,y1y2=-=-3-,故kAM·kBM===-.综上,直线AM与直线BM的斜率之积为-.【点睛】本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，考查直线的斜率公式及韦达定理的综

合应用，考查计算能力，属于中档题．21．如图，C是以AB为直径的圆上异于,AB的点，平面PAC⊥平面,2,,ABCPAPCACEF===分第13页共16页别是,PCPB的中点.(1)证明：EF⊥平面PAC；(2)若直线AB与平面PAC所成角的正切值为2，求

锐二面角PAFE−−的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)25719【分析】（1）由,EF分别是,PBPC的中点，得到//BCEF，在由BC是圆的直径，所以BCAC⊥，结合面面垂直的性质定理，证得BC⊥面

PAC，即可证得EF⊥面PAC；（2）以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，过C垂直于面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面AEF与平面PAF的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1

）证明：在PBCV，因为,EF分别是,PBPC的中点，所以//BCEF，又因为BC是圆的直径，所以BCAC⊥，又由平面PAC⊥平面ABC，平面PACI平面ABCAC=，且BC平面ABC，所以BC⊥面PAC，因为//BCEF，所以EF⊥面PAC.（2）解：由（1）知B

C⊥面PAC，所以直线AB与平面PAC所成角为BAC，由题意知2,4BCBCAC==，以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，过C垂直于面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，可得1313(2,0,0),(0,4,0),(1,0,3),,0,,,2,2222ABPEF

，则33,0,22=−uuurAE，33(0,2,0),(1,0,3),,2,22EFAPAF==−=−uuuruuuruuur，设面AEF的法向量为111(,,)mxyz=ur，则1113302220AEm

xzEFmy=−+===uuuvvuuuvv，取11x=，可得110,3yz==，所以(1,0,3)=urm，第14页共16页设面PAF的法向量为222(,,)nxyz=r，则2222230332022APnxzAFnxyz=−+==−++=

uuuvvuuuvv，取21z=，可得2233,2xy==，所以33,,12n=r，则257|cos,|||||19mnmnmn==rrrrrr，所以锐二面角PAFE−−的余弦值为25719.22．设O为坐标原点，过椭圆E：()

222210xyabab+=的左焦点()1,0F−作直线l与椭圆E交于A，B两点，点31,2Q在椭圆E上.(1)求椭圆E的方程；(2)求OABV面积的取值范围；(3)是否存在实数k，使

直线l的斜率等于k时，椭圆E上存在一点P满足OPOAOB=+uuuruuuruuur?若存在，求出k的所有值；若不存在，说明理由.【答案】(1)22143xy+=(2)30,2(3)不存在，理由见解析【分析】（1）根据条件直接列关于,,abc的方程求解即可；（2）设直线l的方

程为1xty=−，()()1122,,,AxyBxy，联立方程，然后利用韦达定理表示出第15页共16页1212OABySy=−V，利用对勾函数的性质求其最值即可；（3）先假设存在，然后由（2）利用韦达定理及

向量的坐标运算求出t，进而可得结论.【详解】（1）由已知得222211914abab−=+=，解得224,3ab==，所以椭圆E的方程为22143xy+=；（2）设直线l的方程为1xty=−，()()1122,,,AxyBxy，联立221143xtyxy=−+=

，消去x得()2234690tyty+−−=，12122269,3434tyyyytt+==−++则()2221212122226361214343434ttyyyyyyttt+−=+−=+=+++2

122161324OABtyytS=+−=+V令21tm+=，m1，则221tm=−，当()222261666134313143tmmtmmmm+===++−++，由对勾函数的性质可知13ymm=+在)1,+上单调递增，134mm+，则66301423mm=+

，OABV面积的取值范围为30,2；（3）假设存在实数k，使直线l的斜率等于k时，椭圆E上存在一点P满足OPOAOB=+uuuruuuruuur，设为()00,Pxy，则由（2）得0122634tyyyt=+=+，()2012122268223434txxxtyytt=+=+−=−=

−++，2222863434143ttt+++=，解得0=t，此时直线l的方程为=1x−，其斜率不存在.第16页共16页故不存在实数k，使直线l的斜率等于k时，椭圆E上存在一点P满足OPOAOB=+uuuruuuruuu

r.