【文档说明】2022-2023学年四川省乐山沫若中学高二上学期第二次月考期中考试数学文试题解析版.doc，共(18)页，2.439 MB，由小喜鸽上传

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第1页共18页2022-2023学年四川省乐山沫若中学高二上学期第二次月考（期中考试）数学（文）试题一、单选题1．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，该几何体的体积为（）A．272π3B．80πC．48πD．144π【答案】B【分析】由三视图画出该几何体的直观图，

结合图中数据求出该几何体的体积．【详解】由三视图画出该几何体的直观图，如图所示；由图可知：圆锥的母线长为5，圆柱的高为4，底面圆直径为8，故该几何体的体积为22221π454π4480π3圆锥圆柱VVV=+=−+=．故选:B2．已知方程22112xymm+=−−表示焦点在y轴

上的椭圆，则m的取值范围是A．(1,2)B．31,2C．(,1)(2,)−+D．3(,1),2−+【答案】B【分析】利用椭圆的性质列出不等式求解即可．第2页共18页【详解

】方程2212xymm+=−−1表示焦点在y轴上的椭圆，可得2110mmm−−−＞＞，解得1＜m32＜．则m的取值范围为：（1，32）．故选B．【点睛】本题考查椭圆的方程及简单性质的应用，基本知识的考查．3．加斯帕尔·蒙日（图1

）是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．则椭圆22:154xyC+=的蒙日圆的半径为（）A．3B．4C．5D．6【答案】A【分析】由蒙日圆的定义，确定出圆上

的一点即可求出圆的半径.【详解】由蒙日圆的定义，可知椭圆22:154xyC+=的两条切线5,2xy==的交点在圆上，所以543R=+=，故选：A4．过椭圆2222xy+=的左焦点作斜率为1的弦AB，则弦AB的长为（）A．3B．2C．433D．423【答案

】D【分析】首先求出椭圆左焦点，然后写出直线方程为1yx=+，再联立椭圆解出两交点坐标，最后依据两点之间距离公式得到AB弦长.【详解】由2222xy+=,得椭圆方程2212xy+=,2222,1,1,1abcc====左焦点为(1

,0)F−,第3页共18页过左焦点F的直线为1yx=+,代入椭圆方程2222xy+=得2340xx+=，解得01xy==或4313xy=−=−，()()222212124442333ABxxyy=−+−=+=，故选：D.5．在正方体1

111ABCDABCD−中，P是11CD的中点，则异面直线AP与1BA所成角的余弦值为（）A．26B．36C．13D．23【答案】A【分析】法一：作出辅助线，找到APQ就是AP与1BA夹角或其补角，利用余弦定理进行求解；法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直线的夹角余弦值.【详解

】法一：设正方体的棱长为2，取1CC的中点Q，连接PQ，1,ADAC，∵P是11CD的中点，∴11////PQCDAB，故APQ就是AP与1BA夹角或其补角，由勾股定理得：813APAQ==+=，2PQ=，由余弦定理得：2

229292cos26232APPQAQAPQAPPQ+−+−===，第4页共18页故异面直线AP与1BA所成角的余弦值为26；法二：设正方体的棱长为2，以DA，DC，1DD分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，()2,0,0A，()0,1,2P，()12,0

,2A，()2,2,0B，()2,1,2AP=−uuur，()10,2,2BA=−uuur，()()1112,1,20,2,22cos,641444APBAAPBAAPBA−−===+++uuuruuuruuuruuuruuuruuur，故异面直线AP与1BA所成角的余弦值为26；故

选：A.6．已知椭圆22143xy+=的两个焦点为1F，2F，过2F的直线交椭圆于M，N两点，若1FMN△的周长为（）A．2B．4C．6D．8【答案】D【分析】运用椭圆的定义进行求解即可.【详解】由221243xya+==.因为M，N是椭圆的上的点，1F、2F是椭圆的焦点，所以1212

2,2MFMFaNFNFa+=+=，因此1FMN△的周长为1112212248MFMNNFMFMFNFNFaaa++=+++=+==，故选：D第5页共18页7．已知12FF、为椭圆22221(0)xyaba

b+=的焦点，M为椭圆上一点，1MF垂直于x轴，且1260FMF=o，则椭圆的离心率为（）A．12B．22C．33D．32【答案】C【分析】在直角21MFFV中，由12tanFMF得到,,abc的等量关系，结合222abc=+计算即可得到离心率.【详解】由已知1260

FMF=o，得2130MFF=o，则213tan3MFF=,又在椭圆中通径的长度为21MbFa=，122FFc=，故212112M3tan23bFaMFFFFc===,即2213222223acacaccaee−=−=−=,解得33e=故选：C8．已知1F，2F是椭圆C：

()222210xyabab+=的两个焦点，P为椭圆C上一点，且12PFPF⊥uuuruuuur，若12PFF△的面积为9，则b=（）A．3B．9C．92D．12【答案】A【分析】结合三角形的面积、勾股定理、椭圆的

定义列方程，化简求得b的值.【详解】设12,PFmPFn==,依题意22221924mnamnmnc+==+=，整理得224364ca+=，即222244436,9,3acbbb−====.故选：A9．已知三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC

，PA＝AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为（）A．12B．16C．20D．24第6页共18页【答案】C【分析】由PA⊥平面ABC，可将此三棱锥补成直三棱柱，则三棱柱的外接球就是三棱锥的外接球，三棱柱上下两个

底面的外心连线的中点就是球心，然后通过计算可得外接球的半径，从而可求得外接球的表面积.【详解】将三棱锥还原成直三棱柱，则三棱柱的外接球即为球O，,DD为上下底面的外心，O为DD的中点，AD为底面外接圆的半径，由余弦

定理得222cos12023BCABACABAC=+−=o由正弦定理得2324sin120AD==o，由1,2ODAD==，得5AO=，所以球O的表面积为2420Sr==．故选：C10．已知大小为60的二面角l−−棱上有两点A，B，A

C，ACl⊥，BD，BDl⊥，若3AC=，3BD=，210AB=，则CD的长为（）．A．22B．49C．7D．21【答案】C【分析】过A作//AEBD且AEBD=，连接CE、DE，易得60CAE=，通过线面垂直的判定定理可得ED⊥平面AEC，继而得到EDEC⊥，即可求出答案．【详

解】解：过A作//AEBD且AEBD=，连接CE、DE，第7页共18页则四边形ABDE是平行四边形，则210ABED==因为BDAB⊥，所以平行四边形ABDE是矩形，因为BDl⊥，即AEl⊥，而ACl⊥，则CAE是二面角l−−的平面角，即60CAE=，因为3BDAEAC===，即ACE

△为正三角形，所以3CE=，因为EDAE⊥，lAC⊥即EDAC⊥，AEACA=，AE，AC平面AEC，所以ED⊥平面AEC，因为EC平面AEC，所以EDEC⊥，所以在RtEDCV中，()222221037CDCEED=+=+=故选：C．11．已

知椭圆22:143xyE+=右顶点为A，若P是椭圆上的一动点，O为坐标原点，则PAPOuuuruuur的最大值为（）A．0B．3C．8D．9【答案】C【分析】根据题意得()2,0A，故设()2cos,3sinP，进而根据向量数量积运算得()2cos21PAPO=−−uuuruuur，最

后结合二次函数性质与cos的有界性求解即可.【详解】解：由题知，椭圆中2a=，3b=，1c=，所以()2,0A，设()2cos,3sinP所以()22cos,3sinPA=−−uuur，()2cos,3sinPO=−

−uuur()222cos2cos23sin3sin4cos4cos3sinPAPO=−+=−+uuuruuur()22cos4cos3cos21=−+=−−，所以当cos1=−时

，PAPOuuuruuur取得最大值为8.故选：C12．如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，P是11BD上的动点，则下列说法不正确的是（）第8页共18页A．直线DP与1BC是异面直线B．CP∥平面1

ABDC．1APPB+的最小值是2D．当P与1B重合时，三棱锥1PABD−的外接球半径为32【答案】C【分析】选项A，利用平面11BBCC可说明直线DP与1BC是异面直线；选项B，先证明平面11//CBD平面1ABD，再由CP平面1

1CBD，得//CP平面1ABD；选项C，通过作辅助线，将1APPB+的最小值转化为求BM的值，在BMNV中，利用勾股定理求出BM的值；选项D，认识到当P与1B重合时，三棱锥1PABD−的外接球与正方体的外接球是同一个，利用正方体来求外接球半径.

【详解】A选项，因为直线DP与平面11BBCC相交于点1B，直线1BC在平面11BBCC内，所以由线线位置关系知，直线DP与1BC是异面直线，故选项A正确；B选项，连接1CB，1CD，由正方体性质，易知，

11//ADBC，11ADBC=，所以四边形11ABCD为平行四边形，有11//CDAB，又1CD平面1ABD，1AB平面1ABD，所以1//CD平面1ABD，同理可证1//CB平面1ABD，又1CD，1CB都在平面

11CBD内，且相交于点C，所以平面11//CBD平面1ABD，又CP平面11CBD，所以//CP平面1ABD，故选项B正确；第9页共18页C选项，延长1BB到2B，使得12112BBBD==，连接21BD，在21BD上取点M，使得

11111DMAD==，则111ADPMDPVV，有1MPPA=.故1APPBMPPBBM+=+.过点M作12MNBB⊥，交12BB于点N，在121BBDV中，因为12112BBBD==，所以212BD=，又11DM=，所以22MN

=，122BN=，212BN=+，2222BMMNBN=+=+，所以1APPB+的最小值为22+，故选项C错误；D选项，当P与1B重合时，三棱锥1PABD−的外接球即为正方体1111ABCDABCD−的外接球，又正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，故其外接球半径2221311

122R=++=，故选项D正确.故选：C第10页共18页二、填空题13．点P(2,1)在椭圆22149xy+=的内部______.（正确或错误）【答案】错误【分析】根据椭圆内部，外部的条件判断.【详解】∵22211=1+1499+

，∴点P(2,1)在椭圆22149xy+=的外部，故答案为：错误.14．若圆锥的轴截面是边长为1的正三角形．则圆锥的侧面积是_________．【答案】π2【分析】根据题意可得圆锥的底面半径和母线长，进而根据圆锥侧面积公式πSrl=求得结果.【详解】若圆锥的轴截面

是边长为1的正三角形，则圆锥的底面半径12r=，母线1l=，故圆锥的侧面积ππ2Srl==.故答案为：π2.15．设椭圆22:184xyC+=的左，右焦点分别为1F，2F，过2F的直线l与C交于A，B两点（点A在x轴上方），且满足2213AFFBuuuuruuuur

=，则直线l的斜率为______.【答案】1【分析】设出直线l的方程并与椭圆方程联立，结合根与系数关系以及2213AFFBuuuuruuuur=求得直线l的斜率.【详解】椭圆()22228,4,4,2,2,0abccF====，

由于A在x轴上方且直线l的斜率存在，所以直线l的斜率不为0，设直线l的方程为2xmy=+，且0m，由222184xmyxy=++=，消去x并化简得()222440mymy++−=，设()()1122,,,AxyBx

y，120yy，则12242myym−+=+①，12242yym−=+②，由于2213AFFBuuuuruuuur=，所以1213=−yy③，由①②③解得1m=.第11页共18页所以直线l的方程为2,2xyyx=+=−，斜率为1.故答案为：116．设12,FF分别

是椭圆22221xyab+=（0ab）的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使得()220OPOFFP+=uuuruuuuruuuur，其中O为坐标原点，且12PFPFa=+uuuruuuur，则该椭圆的离心率为______【答案】104【分析】设A是线段2PF的中点，连

接OA，由()220OPOFFP+=uuuruuuuruuuur得2OAFP⊥，结合椭圆定义及12PFPFa=+uuuruuuur，可得2231,,44OAaAFaOFc===，即可由勾股定理得出a、c的齐次方程，即可求离心率.【详解】设A是线段2PF的中

点，连接OA.由于()22220OPOFFPOAFP+==uuuruuuuruuuuruuuuruuur，所以2OAFP⊥，由于O是线段12FF的中点，所以112OAPF=，由于12122PFPFaPFPFa=++=，所以123212PFaPFa==，所以22

31,,44OAaAFaOFc===，所以22222311010,,44164ccaaceaa+====.故答案为：104第12页共18页三、解答题17．已知()()1,0,1,0BC−为ABCV的两个顶点，P为ABCV的重心，边,A

CAB上的两条中线长度之和为6，求点P的轨迹的方程.【答案】()221243xyx+=【分析】根据题意可知，PBPC+的和为定值，利用椭圆的定义可求得轨迹方程.【详解】解：因为P为ABCV的重心，所以22,33PBABPCAC==

且边,ACAB上的两条中线长度之和为6，所以2643PBPCBC+==，故由椭圆的定义可知P的轨迹T是以()()1,0,1,0BC−为焦点的椭圆（不包括长轴的端点），且2,1ac==，所以3b=，所以,P的轨迹T的方程为()221243xyx+=.18．如图，

在正三棱柱111ABCABC-中，D是棱BC上的点（不与点C重合），1ADDC⊥.(1)证明：平面1ADC⊥平面11BCCB；(2)若12ACCC==，求1CC与平面1ADC所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析第13页共18页(2)55

.【分析】（1）首先由1CC垂直底面得到1CCAD⊥，又因为1ADDC⊥，则由线面垂直的判定定理得到AD⊥平面11BCCB，而AD面1ADC，最终证明面1ADC⊥面11BCCB；（2）在平面11BCCB中，作1CEDC⊥于点E，由AD⊥

平面11BCCB得ADCE⊥，又因为1CEDC⊥，可得CE⊥平面1ADC，故1CCE为1CC与平面1ADC所成的角，再利用等边三角形三线合一、勾股定理得到1,DCDC的值，最终计算出其正弦值.【详解】（1）证明：在正三棱柱111ABCABC-中，1CC⊥平面ABC，因为AD平面A

BC，所以1CCAD⊥.又1ADDC⊥，111CCDCC=，1CC，1DC平面11BCCB，所以AD⊥平面11BCCB.又因为AD面1ADC，所以面1ADC⊥面11BCCB.（2）在平面11BCCB中，作1CEDC⊥于

点E.由（1）可知AD⊥平面11BCCB，因为CE平面11BCCB，所以ADCE⊥，又1CEDC⊥，1ADDCD=I，1,ADDC平面1ADC，所以CE⊥平面1ADC.因此1CCE为1CC与平面1AD

C所成的角.第14页共18页因为在正三棱柱111ABCABC-中，ABCV为正三角形，由AD⊥平面11BCCB，DC平面11BCCB，得ADDC⊥，所以D为BC的中点，1DC=.在Rt1CCDV中，122221

115sin512DCDCDCCDCDCCC====++，即15sin5CCE=，所以1CC与平面1ADC所成角的正弦值为55.19．已知椭圆经过点()3,0P−和点()0,2Q−，一直线与椭圆相交于A、B两点，弦AB的中点坐标为()1,1M.（1）求椭圆的方

程.（2）求弦AB所在的直线方程.【答案】（1）22194xy+=；（2）49130xy+−=【分析】（1）椭圆经过点()3,0P−和点()0,2Q−，可得,ab，求出椭圆方程；（2）根据题意设出直线方程代入椭圆方程，利

用韦达定理及弦AB的中点坐标为()1,1M，求出斜率，即可求得直线AB的方程.【详解】（1）由题意知，点()3,0P−，()0,2Q−分别是椭圆的长轴和短轴的一个端点，且椭圆的焦点在x轴上，所以3a=，2b=，故所

求椭圆的标准方程为22194xy+=；（2）解：设经过点()1,1M的直线方程为()11ykx=−+，代入椭圆方程，整理得()()()2229418191360kxkkxk++−+−−=，设A、B的横

坐标分别为1x、2x，则()()12218112294kkxxk−−+==+，解之得49k=−，故AB方程为()4119yx=−−+，即所求的方程为49130xy+−=.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查弦中点问题，解题的关键是直线方程代入椭圆方程，

利用韦达定理求解，是基础题.20．如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为正方形，且PA⊥底面ABCD.第15页共18页（1）求证：平面PAC⊥平面PBD；（2）若E为棱BC的中点，在棱PA上求一点F，使//BF平面PDE.【答案】（1）证明见解析

；（2）点F为棱PA的中点（证明见解析）【分析】(1)先证BD⊥平面PAC,即可证明平面PAC⊥平面PBD,(2)取PA的中点Q,PD的中点H,连接BQ、QH、HE,证四边形BQHE为平行四边形，从而得//BQEH，即可证明平面PAC⊥平面PBD.从而得F点即为PA的中点

.【详解】（1）证明：因为PA⊥底面ABCD，BD平面ABCD,所以PABD⊥；又底面ABCD为正方形，所以BDAC⊥,ACPAA=,所以BD⊥平面PAC,又BD平面PBD，所以平面PAC⊥平面PBD,得证.（2）如图所示

，取PA的中点Q,PD的中点H,连接BQ、QH、HE,所以会有//QHAD,1=2QHAD,又//BEAD,12BEAD=,所以//QHBE且QHBE=,所以四边形BQHE为平行四边形，所以//BQEH,BQ面PDE,EH

面PDE,所以平面PAC⊥平面PBD,所以Q点，即为我们要找的F点.21．如图，菱形ABCD的边长为6，对角线交于点E，23ABC=，将ADC△沿AC折起得到三棱锥DABC−，点D在底面ABC的投影为点O．第16页共18页（1）求证：ACBD⊥；（2）当O为ABCV的

重心时，求C到平面ABD的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）66611．【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明AC⊥平面BDE，利用线面垂直的定义可得命题成立；（2）利用三棱锥的等体积法求出点面距离即可．【详解】（1）证明：因为折叠前BDAC⊥，所以ACBE⊥，ACDE⊥

，因为DEBEE=，所以AC⊥平面BDE，又BD平面BDE，所以ACBD⊥．（2）当O为ABCV的重心时，如图，2BOOE=，因为6AB=，23ABC=，所以33CEAE==，3DEBE==，故2BO=，1OE=，因为DO⊥平面ABC，所以DOBE⊥，在RtDOEV中，2222DODEO

E=−=，2223BDDOOB+==，在DABV中，6ADAB==，23BD=，由勾股定理可得点A到BD的距离为33，所以123333112ABDS==△，设C到平面ABD的距离为d，第17页共18

页因为DABCCABDVV−−=，11163322311323d=，则66611d=．即C到平面ABD的距离等于66611．22．已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的一个顶点为()3,0，离心率为33.

(1)求椭圆C的标准方程；(2)斜率为1的直线与椭圆C交于,AB两点，①若OAOB⊥，求直线方程；②求AOBV面积的最大值（O为坐标原点）【答案】(1)22196xy+=；(2)①655yx=+或655yx=−；②362.【分析】（1）根据已知条

件，求得,,abc，则椭圆方程得解；（2）设出直线方程，联立椭圆方程，得到,AB的坐标关系；①根据OAOB⊥，则0OAOB=uuuruuur，即可带值计算，求得直线方程；②利用弦长公式和点到直线的距离公式，将三角形AOB的面积转化为含变

量的函数，求其最大值即可.【详解】（1）椭圆C的焦点在x轴上，根据题意，显然有：3a=，33ca=，又222abc=+，解得：226,3bc==，故椭圆C的标准方程为：22196xy+=.（2）设直线AB的方程为：yxm=+，联立椭圆方程：22196xy+

=，可得：22563180xmxm++−=，因直线AB与椭圆交于两点，故()2236203180mm=−−，解得：215m；设,AB坐标分别为()()1122,,,xyxy，则212126318,555mxxxxm+=−=−；①若OAOB⊥，则0OAOB=uuuruuur，即12120

xxyy+=，()()12120xxxmxm+++=，即()2121220xxmxxm+++=，故222318620555mmm−−+=，解得2365m=，655m=，此时，直线方程为：655yx

=+或655yx=−；②()22212124143155ABkxxxxm=++−=−，第18页共18页又O点到直线AB的距离2md=设AOBV的面积为S，则()22161525SABdmm==−，令()20,15mt=，故()6155Stt=−

，当152t=时，AOBV的面积取得最大值362.【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆方程的求解，以及椭圆中直线方程的求解和三角形面积的最值；处理问题的关键是转化OAOB⊥为0OAOB=uuuruuur，以及正确的利用弦长公式，

属综合中档题.