【文档说明】2022-2023学年上海市嘉定区封浜高级中学高二上学期9月月考数学试题解析版.doc，共(18)页，2.459 MB，由小喜鸽上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-170049.html

以下为本文档部分文字说明：

第1页共18页2022-2023学年上海市嘉定区封浜高级中学高二上学期9月月考数学试题一、填空题1．设A和B的两边分别平行，若45A=，则B的大小为___________.【答案】45°或135°#

#135°或45°【分析】根据等角定理即可得到答案.【详解】根据等角定理：一个角的两边平行于另外一个角的两边，则这两个角相等或互补.故答案为：45°或135°.2．一个边长为4的正方形的直观图的面积为___________.【答案】42【分析】根据直观图面积是原图形面积的24

，即可得出答案.【详解】解：正方形的面积为4416=，所以直观图的面积为216424=.故答案为：42.3．两个平面最多可以将空间分为___________部分.【答案】4【分析】根据两个平面的位置关系分别计算出它们将空间分成的部分数即

可得解.【详解】两个平面的位置关系有平行和相交两种，当两个平面平行时，它们可将空间分成3部分，当两个平面相交时，它们可将空间分成4部分，所以两个平面最多可以将空间分为4部分.故答案为：44．将边长分别为1cm和2cm的矩形，绕边长为2cm的一边所在的直线旋转一周得到一圆柱，则该圆柱的侧

面积为_____cm2．【答案】4π【分析】确定圆柱的底面半径和母线长，利用侧面积求解公式可得.【详解】依题意，圆柱的底面半径为1，母线长为2，所以该圆柱的侧面积为S＝2×2＝4．故答案为4．【点睛】本题主要考查圆柱侧面积的求解，圆柱侧面积的求

解关键是确定半径和母线长，侧重考查第2页共18页直观想象和数学运算的核心素养.5．若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为163，则=a________．【答案】4【详解】试题分析：231634Vaa==，4a=．【解

析】棱柱的体积．【名师点睛】1．解答与几何体的体积有关的问题时，根据相应的体积公式，从落实公式中的有关变量入手去解决问题，例如对于正棱锥，主要研究高、斜高和边心距组成的直角三角形以及高、侧棱和外接圆的半径组成的直角三角形；对于正

棱台，主要研究高、斜高和边心距组成的直角梯形．2．求几何体的体积时，若给定的几何体是规则的柱体、锥体或台体，可直接利用公式求解；若给定的几何体不能直接利用公式得出，常用转换法、分割法、补形法等求解．6．已知一个底面半径为2的圆锥，其侧面展开图为半圆，则该圆

锥的体积为_____．【答案】833【分析】由圆锥侧面展开图求得圆锥的母线长，从而得圆锥的高，再由体积公式计算．【详解】设圆锥母线长为l，则由题意得22l=，4l=，∴圆锥的高为22224223hlr=−=−=，圆锥

体积为221183223333Vrh===．故答案为：833．7．设长方体的长、宽、高分别为2,1,1，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为______.【答案】6【详解】长方体外接球直径=长方体体对角线长度．2212221164

6RSR=++===．8．已知长方体1111ABCDABCD−中，1ABBC==，12AA=，E是侧棱1BB的中点，则直线AE与平面11AED所成的角的大小为________．【答案】2##90【分析】证明1

1ADAE⊥和1AEAE⊥后得线面垂直，从而易得线面角的大小．【详解】长方体中11AD⊥平面11ABBA，AE平面11ABBA，则11ADAE⊥，在矩形11ABBA中，1AB=，12AA=，E是1BB中点，则12AEAE==，第3页共18页2221

1AEAEAA+=，∴1AEAE⊥，1111AEADA=，111,AEAD平面11AED，所以⊥AE平面11AED，所以直线AE与平面11AED所成的角的大小为.2故答案为：2．9．如图是正方体的平面张开图，在这

个正方体中：①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°；④DM与BN是异面直线；以上四个命题中，正确命题的序号是__________．【答案】③④【详解】试题分析：以正方形ABCD为正方

体的底面将正方体折叠起来后，,BMDE是异面直线，所成角90，,CEBE互相平行，与是异面直线，成角，与是异面直线【解析】1．翻折问题；2．直线位置关系的判定；3．异面直线所成角10．已知圆柱的底面圆半径为1，高为2，AB为上底面圆

的一条直径，C是下底面圆周上的一个动点，则△ABC的面积的取值范围为_______【答案】[2,5]．【分析】讨论C在下底面圆周上的位置，确定不同位置上ABCS的变化情况及其最值点，进而确定第4页共18

页△ABC的面积的范围.【详解】如图1，上底面圆心记为O，下底面圆心记为O，连结OC，过点C作CMAB⊥，垂足为点M，则12ABCSABCM=△，又AB为定值2，故ABCS的大小随着CM的长短变化而变化，如图2所示，当点M与点O重合时，22125CMOC==+=

，此时ABCS取得最大值为12552=；如图3所示，当点M与点B重合，CM取最小值2，此时ABCS取得最小值为12222=．综上所述，ABCS的取值范围为[2,5]．故答案为：[2,5]．11．学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111AB

CDABCD−挖去四棱锥OEFGH−后所得的几何体，其中O为长方体的中心，,,,EFGH分别为所在棱的中点，16cm4cmAB=BC=,AA=，3D打印所用原料密度为30.9/gcm，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________

g.【答案】118．8【分析】根据题意可知模型的体积为长方体体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质量.第5页共18页【详解】由题意得，2146423122EFGHScm=−=，四棱锥O−EFG的高3cm，∴31123123OEFGHVcm−==．又长方体1111ABC

DABCD−的体积为32466144Vcm==，所以该模型体积为22114412132VVVcm=−=−=，其质量为0.9132118.8g=．【点睛】本题考查几何体的体积问题，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解．12．如图，

在直三棱柱111ABCABC-中，1AB=，2BC=，13BB=，90ABC=，点D为侧棱1BB上的动点，当1ADDC+最小时，三棱锥1DABC−的体积为______．【答案】13【分析】将直三棱柱1

11ABCABC-展开成矩形11ACCA，连结1AC，交1BB于D，此时1ADDC+最小，此时1BD=，由11DABCCABDVV−−=，可求出答案.【详解】将直三棱柱111ABCABC-展开成矩形11ACCA

，如图，连结1AC，交1BB于D，此时1ADDC+最小．∵1AB=，2BC=，13BB=，90ABC=，第6页共18页1//BDCC,则113BDABCCAC==,所以1BD=∴当1ADDC+最小时

，1BD=，由90ABC=，则11190ABC=，即1111ABBC⊥又在直三棱柱111ABCABC-中，侧棱1BB⊥底面111ABC，所以111BBBC⊥1111BBABB=,所以11CB⊥面11ABBA此时三棱锥1DABC−的体积：111113DABCCABDABDV

VSBC−−==△111132ABBDBC=111112323==．故答案为：13【点睛】本题考查空间展开法研究距离最值问题和棱锥的体积计算，关键是利用展开法解决距离和的最小问题和棱锥的等体积转化，属基础题．二、单选题13．两个圆锥的底

面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为323，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（）A．3B．4C．9D．12【答案】B【分析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体

积公式可求得结果.【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D，设圆锥AD和圆锥BD的高之比为3:1，即3ADBD=，第7页共18页设球的半径为R，则343233R=，可得2R=，所以，44ABADBDBD=+==，所以，1BD=，3AD=，CDAB⊥，则90CADACDBCDACD+

=+=，所以，CADBCD=，又因为ADCBDC=，所以，ACDCBD△∽△，所以，ADCDCDBD=，3CDADBD==，因此，这两个圆锥的体积之和为()21134433CDADBD+=

=.故选：B.14．已知a，b表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，下列说法错误的是A．若a⊥，b⊥，∥，则ab∥B．若a⊥，b⊥，ab⊥rr，则⊥C．若a⊥，ab⊥rr，∥，则b

∥D．若a=，ab∥，则ab∥或b∥【答案】C【详解】若b⊥，，则baab⊥⊥，因为所以;若a⊥，b⊥则a，b为，ab⊥⊥法向量，因为，所以；若a⊥，，则a，⊥而ab⊥，则b或b在内；若a=，ab，则由

线面平行判定定理得ba或b；因此选C.15．体积相等的球、正四面体和正方体，则它们的表面积的大小关系为（）．A．SSS球正四面体正方体B．SSS球正方体正四面体C．SSS正四面体球正方体D．SSS正方体球正四面体【答案】B【分

析】分别利用球、正四面体和正方体的体积公式和表面积公式，求得其表面积，即可求解.第8页共18页【详解】设球、正四面体和正方体的体积都为V，若球的半径为R，则343VR=，可得其表面积为2321436SRV==若正四

面体的棱长为m，则23136234312Vmmm==，可得362mV=，所以其表面积为2223234321634SmmV===若正方体的棱长为a，可得3Va=，所以正方体的表面积为322366SaV==，可得132SSS，即SSS球正方体正

四面体.故选：B.16．三棱锥SABC−中，点P是RtABC△斜边AB上一点．给出下列四个命题：①若SA⊥平面ABC，则三棱锥SABC−的四个面都是直角三角形；②若4AC=，4BC=，4SC=，SC⊥平面ABC，则三棱锥SABC−的外接球体积为323；③若3AC=，4BC=，3SC=，S在平面

ABC上的射影是ABC内心，则三棱锥SABC−的体积为2；④若3AC=，4BC=，3SA=，SA⊥平面ABC，则直线PS与平面SBC所成的最大角为60．其中正确命题的序号为（）A．①②④B．①②③C．①③

④D．②③④【答案】B【分析】①由三垂线定理及线面垂直的性质定理得结论判断，②把三棱锥补形为正方体，正方体的外接球就是三棱锥的外接球，正方体的对角线就是外接球的直径，从而可云计算出球体积判断，③利用直角三角形的内切圆直径等于两直角边长

之和减去斜边长，得内切圆半径后可求得棱锥的高，从而可得体积判断，根据线面角的定义得出线面角后，求出其正弦值，并让动点P运动，得出角的正弦值的变化情况，从而得角的最大值判断④．【详解】①，SA⊥平面ABC，BC平面ABC，则SABC⊥

，同理,SAABSAAC⊥⊥，又BCAC⊥，AC是SC在平面ABC上的射影，∴BCSC⊥，因此三棱锥SABC−的四个面都是直角三角，①正确；第9页共18页②，已知说明三棱锥SABC−可以补形成以,,CACBCS为邻边的正方体，该正方体的外接球就是三棱锥SABC−的外接球，正方体的对角线长为43

，则外接球半径为23R=，球体积为34(23)3233V==，②正确；③，在直角三角形ABC中，3,4ACBC==，则5AB=，设O是ABC内心，则内切圆半径为12ACBCABr+−==，从而2OC=，在三棱锥SABC−中，SO⊥平面

ABC，而OC平面ABC，则SOOC⊥，22321SOSCOC=−=−=，13462ABCS==△，因此16123SABCV−==，③正确；④，由选项A讨论知BC⊥平面SAC，BC平面SBC，则平面SBC⊥平面SA

C，因此过A作AMSC⊥，垂足为M，则AM⊥平面SBC，BM是BA在平面SBC上的射影，因此P在平面SBC上的射影Q在BM上，如图，且//PQAM，由PQ⊥平面SBC，SQ平面SBC，得PQSQ⊥，PSQ是直线PS

与平面SBC所成的角，sinPQPSQPS=，由图可知，当P从B向A移动时，PQ增大，SP减小，因此sinPSQ增大，∴当P与A重合时（此时Q与M重合），sinPSQ最大，即PSQ最大，SAAC=，SAAC⊥，因

此PSQ的最大值为45SAM=，④错误．第10页共18页正确的是①②③，故选：B.【点睛】方法点睛：本题考查空间垂直问题，外接球问题，锥体的体积及线面角，解题关键是掌握线面垂直的判定与性质定理，充分利用三垂线定理

及其逆定理可以简化线线垂直的证明，特殊棱锥的外接球可把棱锥补形为长方体（或正方体、直棱柱等），便于确定外接球球心，得球半径．三、解答题17．如图，在长方体1111ABCDABCD−中，已知AB＝BC＝2，13AA=．(1)若点P是棱11AD上的动点，求三棱锥

C－PAD的体积；(2)求直线1AB与平面11ACCA的夹角大小．【答案】(1)2；(2)26arcsin13﹒【分析】(1)根据1111····332CPADPADVSCDADAACD−==即可计算；(2)连接1111ACBDO=，连接AO，证明1OB⊥平面11AC

CA，则直线1AB与平面11ACCA所成的角为第11页共18页1OAB，解△1OAB即可．【详解】（1）如图，在长方体1111ABCDABCD−中，111111····232233232CPADPADVSCDADAACD−

====；（2）连接1111ACBDO=，连接AO，ABBC=，四边形1111DCBA为正方形，∴11OBOA⊥，又11AAOB⊥，111OAAAA=，1OB⊥平面11ACCA，∴直线1AB与平面11ACCA所成的角为1OAB，221122122

262sin1323OBOABAB+===+∴直线1AB与平面11ACCA所成的角为26arcsin13．18．如图，底面ABCD是边长为1的菱形，π4ABC=，OA⊥底面ABCD，2OA=，M为OA的中点，第12页共18页N为BC的中点．(1)证明：直线MN∥平面OCD；(2)求

异面直线AB与MD所成角的大小．【答案】(1)证明见解析(2)π3【分析】（1）取OB中点E，连接ME，NE．利用三角形的中位线定理和菱形的性质可得//MECD，//NEOC，利用面面平行的判定定理得到平面//MNE平面OCD，进而得到//MN平面OCD．（2）由于//CDAB，可得

MDC或其补角为异面直线AB与MD所成的角．作APCD⊥于P，连接MP，在MDP中求出即可．【详解】（1）取OB中点E，连接ME，NE．由M为OA的中点，//MEAB，而//ABCD，//MECD,ME

平面OCD，故//ME平面OCD，又N为BC的中点，//NEOC，NE平面OCD，故//NE平面OCD，而,,MENEEMENE=平面MNE,平面//MNE平面OCD，//MN平面OCD．（2）//CDABQ，MDC或其补角为异面直线AB与MD所成的角．第13页共18页作

APCD⊥于P，连接MP，OA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，故OACD⊥,又,,OAAPAOAAP=平面OAP,故CD⊥平面OAP，而MP平面OAP，CDMP⊥，π,14ADPABCAD===

，22DP=，而1MA=,故222MDMAAD=+=，212cos22DPMDPMD===，则π3MDCMDP==，AB与MD所成角的大小为π3．19．如图，半径为R的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，求球的表面积与该圆柱的侧面积之差．【答案】22R【分析】作出圆柱的轴截面，

其外接圆是球的大圆，由此易得圆柱底面半径r、高h与球半径R关系，从而可求得圆柱侧面积的最大值，再由球面积得结论．【详解】如图是圆柱的轴截面，其外接圆是球的大圆，M是圆柱上底面圆心，AB是圆柱母线，设圆柱底面半径为r，高为h，则AMr=，12OMh=

，OAR=，因此22214rhR+=，所以2222211244Rrhrhrh=+=，当且仅当2214rh=，即12rh=22R=时等号成立，圆柱侧面积为2122SrhR=，最大值为22R，此时球的表面积与该圆柱

的侧面积之差为222422RRR−=．第14页共18页20．如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，A-BCB1是棱长为2的正四面体.（Ⅰ）求证：AC⊥CC1；（Ⅱ）求三棱锥B-ACC1的体积．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）223【分析】（Ⅰ）取1BB的中点E，根据正四

面体特点，可知AO⊥平面11BCCB，1BCB为正三角形，然后根据11,BBAOBBCE⊥⊥，可得1BB⊥平面AEC，最后可得结果.（Ⅱ）计算1BCCS△以及AO，使用等体积法11BACCABCCVV

−−=，并结合锥体体积公式，可得结果.【详解】（Ⅰ）如图，取1BB的中点E，连接CE交1BC于点O，则点O为1BCB△的重心，连接AO，设1BC交1BC于点F．依题意点A在底面的投影为1BCB△的重心O，即AO⊥平面11BCCB，所以1AOBB⊥

．因为1BCB△是正三角形，所以1CEBB⊥，第15页共18页,,AOCEOAOCE=平面AEC则1BB⊥平面AEC，又AC平面AEC，则1BBAC⊥，由1BB//1CC所以1CCAC⊥．（Ⅱ）由1ABCB−是棱长为2的正四面

体，所以22333COCE==，2AC=，22263AOACCO=−=因为12BCCC==，1120BCC=，得111113sin223222BCCSBCCCBCC===△所以11126223333BACCABCCVV−−===．【点睛】本题考查线面、线线位置关系，还考查等体积

法的使用，熟练掌握线面垂直的判定定理以及性质定理，考验推理论证能力，属中档题.21．如图，在三棱锥ABCD−中，平面ABD⊥平面BCD，ABAD=，O为BD的中点.（1）证明：OACD⊥；（2）若OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，2DEEA=，且二面角EBCD−−的大

小为45，求三棱锥ABCD−的体积.【答案】(1)证明见解析；(2)36.【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；(2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几

何特征计算三棱锥的体积即可.第16页共18页【详解】（1）因为ABAD=，O是BD中点，所以OABD⊥，因为OA平面ABD，平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD平面BCDBD=，所以OA⊥平面BCD．因为CD平面BCD，所以OACD⊥.（2）[方法一]：通性通法—坐标法如图所

示，以O为坐标原点，OA为z轴，OD为y轴，垂直OD且过O的直线为x轴，建立空间直角坐标系Oxyz−，则31(,,0),(0,1,0),(0,1,0)22CDB−，设12(0,0,),(0,,)33AmEm,所以4233(0,,),(,,0)3322EBmBC=−−=，设(),,nx

yz=r为平面EBC的法向量，则由00EBnECn==可求得平面EBC的一个法向量为2(3,1,)nm=−−．又平面BCD的一个法向量为()0,0,OAm=，所以222cos,244nOAmm−==+，解得1m=．又点C到平面ABD的

距离为32，所以1133213226ABCDCABDVV−−===，所以三棱锥ABCD−的体积为36．[方法二]【最优解】：作出二面角的平面角如图所示，作EGBD⊥，垂足为点G．作GFBC⊥，垂足为

点F，连结EF，则OAEG∥．第17页共18页因为OA⊥平面BCD，所以EG⊥平面BCD，EFG为二面角EBCD−−的平面角．因为45EFG=，所以EGFG=．由已知得1OBOD==，故1OBOC==．又30OBCOCB==，所以3BC=．因为2422

2,,,,133333GDGBFGCDEGOA======，11113322(11)1333226ABCDBCDBOCVSOSOAA−====．[方法三]：三面角公式考虑三面角BEDC−，记EBD为，EBC为，30D

BC=，记二面角EBCD−−为．据题意，得45=．对使用三面角的余弦公式，可得coscoscos30=，化简可得3coscos2=．①使用三面角的正弦公式，可得sinsinsin=，化简可得

sin2sin=．②将①②两式平方后相加，可得223cos2sin14+=，由此得221sincos4=，从而可得1tan2=．如图可知π(0,)2，即有1tan2=，根据三角形相似知，点G为OD的三等分点，即可得43BG

=，结合的正切值，第18页共18页可得2,13EGOA==从而可得三棱锥ABCD−的体积为36．【整体点评】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理；方法二：找到二面角的平面角是立

体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解.方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直观、迅速.