【文档说明】2022-2023学年上海市静安区华东模范中学九年级上期中数学试题及答案解析.docx，共(20)页，415.448 KB，由小喜鸽上传

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第1页，共20页2022-2023学年上海市静安区华东模范中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列图形中一定相似的是()A.直角三角形都相似B.等腰三角形都相似C.矩形都相似D.等腰直角三角形都相似2.已

知𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴=90°，则𝑏𝑐是∠𝐵的()A.正切B.余切C.正弦D.余弦3.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷、𝐸两点分别在𝐴𝐵、𝐴𝐶边上，𝐷𝐸//𝐵𝐶，若𝐴𝐷：�

�𝐵=3：2，则𝑆△𝐴𝐷𝐸：𝑆△𝐴𝐵𝐶为()A.3：5B.9：4C.9：25D.3：24.已知非零向量𝑎⃗⃗、𝑏⃗和𝑐⃗，下列条件中不能判定𝑎⃗⃗//𝑏⃗()A.𝑎⃗⃗//𝑐⃗，𝑏⃗//𝑐⃗

B.𝑎⃗⃗=2𝑐⃗，𝑏⃗=𝑐⃗C.𝑎⃗⃗=−5𝑏⃗D.|𝑎⃗⃗|=|𝑏⃗|5.如图，已知𝐷是𝐴𝐵上一点，如果𝐷𝐸//𝐵𝐶，𝐷𝐹//𝐴𝐶，点𝐸，𝐹分别在𝐴𝐶，𝐵𝐶上，那么下列比例式中正确

的是()A.𝐴𝐸𝐸𝐶=𝐷𝐸𝐵𝐶B.𝐴𝐸𝐸𝐶=𝐶𝐹𝐹𝐵C.𝐷𝐸𝐵𝐶=𝐷𝐹𝐴𝐶D.𝐹𝐶𝐵𝐶=𝐸𝐶𝐴𝐶第2页，共20页6.下列五幅图均是由边长为1的16个小正方形组成的正方形网格，网格中的三角形的顶点都在小正方形的顶点上，那么在下

列右边四幅图中的三角形，与左图中的△𝐴𝐵𝐶相似的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.如果在比例尺为1：1000000的地图上，𝐴、𝐵两地的图上距离是3.4厘米，那么𝐴、𝐵两地的实际距离是______千米．

8.若点𝑃是线段𝐴𝐵的黄金分割点，且𝐴𝑃>𝐵𝑃，𝐴𝐵=2，则𝐴𝑃=______.(保留根号)9.计算：2(𝑎⃗⃗−𝑏⃗)−12𝑎⃗⃗=______．10.如图，如果𝐴𝐵𝐵𝐶=𝐷𝐸𝐸𝐹，那么�

�𝐷//𝐵𝐸//𝐶𝐹，这个命题是______命题(填“真”或“假”)．11.若𝑥2=𝑦3=𝑧4(𝑥,𝑦,𝑧均不为0)，则𝑥+2𝑦−𝑧𝑧的值为______．12.已知在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶=5，𝐵𝐶=8，点𝐺为重心，那么𝐺𝐴=_

_____．13.如果两个相似三角形的面积的比等于16：9，那么它们的对应边上的高的比等于______．14.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐴𝐶=4，𝐵𝐶=3，𝑂是边𝐴𝐵的中点，过点𝑂

的直线𝑙将△𝐴𝐵𝐶分割成两个部分，若其中的一个部分与△𝐴𝐵𝐶相似，则满足条件的直线𝑙共有______条．第3页，共20页15.在△𝐴𝐵𝐶中，|𝑐𝑜𝑠𝐴−√32|+(1−𝑐𝑜�

�𝐵)2=0，则△𝐴𝐵𝐶的形状是______．16.如图，已知∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐶𝐷𝐵=90°，𝐴𝐶=5𝑐𝑚，𝐵𝐶=4𝑐𝑚，如果图中的两个直角三角形相似，那么𝐵𝐷=______．17.已知在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠�

�𝐶𝐵=90°，𝐶𝐷是𝐴𝐵上的中线，𝐵𝐶=2√5，cos∠𝐴𝐶𝐷=23，则𝐶𝐷=______．18.在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=3，𝐴𝐶=4，△𝐴𝐵𝐶绕着点𝐴旋转后能与△𝐴𝐵′𝐶′重合，那么△𝐴𝐵𝐵′与△𝐴𝐶𝐶′的周长之比为______．

三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.(本小题10.0分)𝑠𝑖𝑛60°⋅(cos245°)+𝑐𝑜𝑡30°√2⋅𝑠𝑖𝑛45°20.(本小题10.0分)如图，在梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐸是𝐶𝐷的中点，且

𝐸𝐶=25𝐴𝐵，𝐴𝐶与𝐵𝐸交于点𝐹．第4页，共20页(1)若𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑚⃗⃗⃗，𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑛⃗⃗，请用𝑚⃗⃗⃗，𝑛⃗⃗来表示𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗、𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗；(2

)请直接在图中画出𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗在𝑚⃗⃗⃗，𝑛⃗⃗方向上的分向量．21.(本小题10.0分)如图，已知△𝐴𝐵𝐶中，𝐷𝐸//𝐵𝐶交𝐴𝐵于点𝐷，交𝐴𝐶于点𝐸，点𝑀在𝐵𝐶边上，𝐴

𝑀交𝐷𝐸于点𝐹．求证：𝐷𝐹𝐹𝐸=𝐵𝑀𝑀𝐶．22.(本小题10.0分)如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝑃𝐶平分∠𝐴𝐶𝐵，𝑃𝐵=𝑃𝐶，(1)求证：△𝐴𝑃𝐶∽△𝐴𝐶𝐵；(2)若𝐴𝑃=2，𝑃𝐶

=4，𝑆△𝐴𝐵𝐶=12√3，求𝑆△𝐴𝑃𝐶．23.(本小题12.0分)已知点𝐴(1,0)和点𝐵(5,0)，点𝐶在𝑥轴的负半轴上，且𝐴𝐶=𝐴𝐵，点𝐷的坐标为(0,3)，直线𝑙经过点𝐶、𝐷．(1)求直线𝑙的表达式；(2)点𝑃是直线𝑙在第三象限上

的点．联结𝐴𝑃、𝐵𝑃，若线段𝐶𝑃是线段𝐶𝐴、𝐶𝐵的比例中项．第5页，共20页①求证：△𝐶𝑃𝐴∽△𝐶𝐵𝑃；②求tan∠𝐶𝑃𝐴的值．24.(本小题12.0分)已知：如图，梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐷𝐶//𝐴𝐵，𝐴𝐷=𝐵𝐶=𝐷

𝐶，𝐴𝐶、𝐵𝐷是对角线，𝐸是𝐴𝐵延长线上一点，且∠𝐵𝐶𝐸=∠𝐴𝐶𝐷，联结𝐶𝐸．(1)求证：四边形𝐷𝐵𝐸𝐶是平行四边形；(2)求证：𝐴𝐶2=𝐴𝐷⋅𝐴𝐸．25.(本小题14.0分)已知：如图，在等腰直角△𝐴𝐵𝐶

中，𝐴𝐶=𝐵𝐶，斜边𝐴𝐵的长为4，过点𝐶作射线𝐶𝑃//𝐴𝐵，𝐷为射线𝐶𝑃上一点，𝐸在边𝐵𝐶上(不与𝐵、𝐶重合)，且∠𝐷𝐴𝐸=45°，𝐴𝐶与𝐷𝐸交于点𝑂．(1)求证：△𝐴𝐷𝐸∽△𝐴𝐶𝐵；(2)设𝐶𝐷=𝑥，tan∠𝐵

𝐴𝐸=𝑦，求𝑦关于𝑥的函数解析式，并写出它的定义域；(3)如果△𝐶𝑂𝐷与△𝐵𝐸𝐴相似，求𝐶𝐷的值．第6页，共20页第7页，共20页答案和解析1.【答案】𝐷【解析】解：直角三角形，等腰三角形，矩形不一定相似，等腰直角三角形一定相似

．故选：𝐷．根据相似图形的定义一一判断．本题考查相似图形，解题的关键是掌握相似图形的定义，属于中考常考题型．2.【答案】𝐴【解析】解：如图，𝑡𝑎𝑛𝐵=𝑏𝑐．故选：𝐴．根据题意画出直角三角形，根据锐角三角函

数的定义便可直接解答．本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．3.【答案】𝐶【解析】解：∵𝐴𝐷：𝐷𝐵=3：2，∴𝐴𝐷：𝐴𝐵=3：5，∵𝐷𝐸//𝐵𝐶，∴△𝐴𝐷𝐸∽△𝐴𝐵𝐶，∴𝑆△𝐴𝐷𝐸

：𝑆△𝐴𝐵𝐶=(𝐴𝐷𝐴𝐵)2=(35)2=9：25．故选：𝐶．由𝐷𝐸//𝐵𝐶，根据相似三角形的判定方法得到△𝐴𝐷𝐸∽△𝐴𝐵𝐶，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解．本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形一边的直线与其他两边所

截的三角形与原三角形相似；相似三角形对应边的比相等，都等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．4.【答案】𝐷第8页，共20页【解析】解：∵𝑎⃗⃗//𝑏⃗，𝑏⃗//𝑐⃗，∴𝑎⃗⃗//𝑏⃗，故A能判定𝑎⃗⃗//𝑏⃗，不符合

题意；∵𝑎⃗⃗=2𝑐⃗，𝑏⃗=𝑐⃗，∴𝑎⃗⃗与𝑏⃗方向相同，∴𝑎⃗⃗//𝑏⃗，故B能判定𝑎⃗⃗//𝑏⃗，不符合题意；∵𝑎⃗⃗=−5𝑏⃗，∴𝑎⃗⃗与𝑏⃗方向相反，∴𝑎⃗⃗//𝑏⃗，故C能判定𝑎⃗⃗//

𝑏⃗，不符合题意；∵|𝑎⃗⃗|=|𝑏⃗|不能确定𝑎⃗⃗与𝑏⃗的方向，∴不能判定向量𝑎⃗⃗与向量𝑏⃗平行，故D不能判定𝑎⃗⃗//𝑏⃗，符合题意．故选：𝐷．根据平面向量的性质即可判断．本题考查了平面向量，掌握向量平行的判定是解题

关键．5.【答案】𝐵【解析】解：∵𝐷𝐸//𝐵𝐶，𝐷𝐹//𝐴𝐶，∴△𝐴𝐷𝐸∽△𝐴𝐵𝐶，△𝐵𝐷𝐹∽△𝐵𝐴𝐶，∴𝐴𝐸𝐴𝐶=𝐷𝐸𝐵𝐶，故A错误；𝐴𝐸𝐸𝐶=𝐴𝐷𝐷𝐵

=𝐹𝐶𝐹𝐵，故B正确；𝐷𝐹𝐴𝐶=𝐷𝐵𝐵𝐴，𝐷𝐸𝐵𝐶=𝐴𝐷𝐴𝐵，故C错误；𝐸𝐶𝐴𝐶=𝐷𝐵𝐵𝐴=𝐵𝐹𝐵𝐶，故D错误；故选：𝐵．由相似三角形的判定，可得△𝐴𝐷𝐸∽△𝐴𝐵𝐶，△𝐵𝐷𝐹

∽△𝐵𝐴𝐶；又由相似三角形的对应边成比例与平行线分线段成比例定理，可得B正确．第9页，共20页本题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题；解题的关键是找准对应线段，准确列出比例式，科学推理论证．

6.【答案】𝐵【解析】【分析】此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，三角形对应边比值相等判定三角形相似的方法，本题中根据勾股定理计算三角形的三边长是解题的关键．可利用勾股定理把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题．【解答】解：观察可以发现𝐴

𝐶=√2，𝐵𝐶=2√2，𝐴𝐵=√10，故该三角形中必须有一条边与邻边的比值为2，且为直角三角形，第1个图形中，有两边为2，4，且为直角三角三角形，第2，3图形中，两边不具备2倍关系，不可能相似，第4个图形中，

有两边为√5，2√5，且为直角三角三角形，∴只有第1，4个图形与左图中的△𝐴𝐵𝐶相似．故选：𝐵．7.【答案】34【解析】解：根据题意，3.4÷11000000=3400000厘米=34千米．即实际距离是34千

米．故答案为：34．实际距离=图上距离：比例尺，根据题意代入数据可直接得出实际距离．本题考查了比例线段的知识，注意掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用，同时要注意单位的转换．8.【答案】√5−1【解析】解：由于𝑃为线段𝐴𝐵=2的黄金分割点，且𝐴𝑃是较长

线段；第10页，共20页则𝐴𝑃=√5−12𝐴𝐵=√5−12×2=√5−1．故答案为√5−1．根据黄金分割点的定义，知𝐴𝑃是较长线段；则𝐴𝑃=√5−12𝐴𝐵，代入数据即可得出𝐴𝑃的长．本题考查了黄金分

割的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的3−√52，较长的线段=原线段的√5−12．9.【答案】32𝑎⃗⃗−2𝑏⃗【解析】解：2(𝑎⃗⃗−𝑏⃗)−12𝑎⃗⃗=2𝑎⃗⃗−2𝑏⃗−12𝑎⃗⃗=(2−

12)𝑎⃗⃗−2𝑏⃗=32𝑎⃗⃗−2𝑏⃗．故答案为：32𝑎⃗⃗−2𝑏⃗．先去括号，然后合并同类项．本题主要考查了平面向量，实数的运算法则同样适用于平面向量的计算过程中．10.【答案】假【解析】解：当𝐵是𝐴𝐶的中点，𝐸是𝐷𝐹的中点时比例成立但不一定平行，则这是假命题；故答案

为：假．当𝐵是𝐴𝐶的中点，𝐸是𝐷𝐹的中点时比例成立但不一定平行，由此得出是假命题．此题考查了平行线分线段成比例定理和命题的真假，注意找准对应关系，得出正确答案．11.【答案】1【解析】解：已知𝑥2=𝑦3=𝑧4(𝑥,𝑦,𝑧均不为0)，由比例的

性质得：𝑥𝑧=24=12，第11页，共20页𝑦𝑧=34，则𝑥+2𝑦−𝑧𝑧=𝑥𝑧+2⋅𝑦𝑧−𝑧𝑧=12+32−1=1，故答案为：1．首先根据比例的等比性质与已知得出𝑥𝑧，𝑦𝑧，然后将𝑥+2𝑦−𝑧𝑧化为：𝑥𝑧+2⋅𝑦𝑧−𝑧𝑧，再代入求值．此

题考查的知识点是比例的性质，关键是准确掌握其性质进行运算．12.【答案】2【解析】解：∵𝐴𝐵=𝐴𝐶=5，𝐵𝐶=8，点𝐺为重心，∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，𝐶𝐷=12𝐵𝐶=12×8=4，∴𝐴𝐷=√𝐴𝐶2−𝐶𝐷2=√25−16=3，∴𝐺𝐴=2．故答案为：2．根据等腰三

角形的中线、角平分线和垂线三线合一，利用勾股定理求出𝐴𝐷的长，再利用重心的性质即可求出𝐺𝐴的长．此题主要考查学生对三角形重心的理解和掌握，解答此题的关键是明确等腰三角形的中线、角平分线和垂线三线合一．此题难度不大，属于

基础题．13.【答案】43【解析】解：∵两个相似三角形的面积之比为16：9，∴相似比是4：3，又∵相似三角形对应高的比等于相似比，∴对应高线的比为4：3，即43．故答案为：43．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，对应高的比等于相似比解答．本题考查对相似三角形性质的理解，掌握

相似三角形对应高的比等于相似比是解题关键．14.【答案】3第12页，共20页【解析】解：∵三角形𝐴𝐵𝐶是直角三角形，∴只有创造出一个直角时，才有可能满足题中相似的条件；①当𝐿//𝐵𝐶时，可得三角形相似；②当𝐿//𝐴𝐶时，亦可

得三角形相似；③当𝐿⊥𝐴𝐵时，三角形也相似，故满足题中的直线𝐿共有3条．由于三角形𝐴𝐵𝐶是直角三角形，所以必须保证直线𝑙与三角形的任意一边能够形成直角三角形，进而再判定其是否相似．本题主要考查了相似三角形的判定问题，应熟练掌握．15.【答案】钝

角三角形【解析】解：∵在△𝐴𝐵𝐶中，|𝑐𝑜𝑠𝐴−√32|+(1−𝑐𝑜𝑡𝐵)2=0，∴𝑐𝑜𝑠𝐴=√32，𝑐𝑜𝑡𝐵=1，∴∠𝐴=30°，∠𝐵=45°，∴∠𝐶=180

°−30°−45°=105°，∴△𝐴𝐵𝐶是钝角三角形．故答案为：钝角三角形．先根据非负数的性质求出𝑐𝑜𝑠𝐴及𝑐𝑜𝑡𝐵的度数，再根据特殊角的三角函数值得出∠𝐴及∠𝐵的度数，进而可判断出△𝐴𝐵𝐶的形状．本题考查的是特殊角的三角函数值，

熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．16.【答案】125𝑐𝑚或165𝑐𝑚【解析】解：∵∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐷𝐵=90°，𝐴𝐶=5𝑐𝑚，𝐵𝐶=4𝑐𝑚，∴𝐴𝐵=√𝐴𝐶2−𝐵𝐶2=√52−42=3(𝑐𝑚)，若△𝐴𝐵𝐶∽△𝐴𝐷𝐵，则𝐴�

�𝐶𝐵=𝐴𝐵𝐵𝐷，即54=3𝐷𝐵，解得：𝐵𝐷=125(𝑐𝑚)．第13页，共20页若△𝐴𝐵𝐶∽△𝐵𝐷𝐴，则𝐴𝐶𝐵𝐶=𝐵𝐶𝐵𝐷，即54=4𝐵𝐷，解得：𝐵𝐷=165(𝑐𝑚

)．综上所述．𝐵𝐷的长为：125𝑐𝑚或165𝑐𝑚．由△𝐴𝐵𝐶与△𝐴𝐷𝐵中，∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐷𝐵=90°，𝐴𝐶=5𝑐𝑚，𝐵𝐶=4𝑐𝑚，可求得𝐴𝐵的长，然后分别从△𝐴�

�𝐶∽△𝐴𝐷𝐵或△𝐴𝐵𝐶∽△𝐵𝐷𝐴，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．此题考查了相似三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．17.【答案】3【解析】解：∵𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=

90°，𝐶𝐷是𝐴𝐵上的中线，∴𝐶𝐷=12𝐴𝐵=𝐴𝐷，∴∠𝐴=∠𝐴𝐶𝐷，∴cos∠𝐴=cos∠𝐴𝐶𝐷=23，设𝐴𝐶为2𝑥，则𝐴𝐵=3𝑥，∴𝐵𝐶=√5𝑥，∵𝐵𝐶=2√5，∴𝑥=2，

∴𝐴𝐵=3𝑥=6，∴𝐶𝐷=12𝐴𝐵=3，故答案为3．易得𝐶𝐷=𝐴𝐷，那么∠𝐴=∠𝐴𝐶𝐷，则可得𝐴𝐶与𝐴𝐵之比为2：3，利用勾股定理可得𝐵𝐶的份数，进而可得𝐵𝐴的长，除以2即为𝐶𝐷的长．考查解直角三角形的知识；突破点是得到∠𝐴的余弦值

；用到的知识点为：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．18.【答案】3：4第14页，共20页【解析】解：由旋转的性质可知，𝐴𝐵=𝐴𝐵′，𝐴𝐶=𝐴𝐶′，旋转角∠𝐵𝐴𝐵′=∠𝐶𝐴𝐶′，所以

，△𝐵𝐴𝐵′∽△𝐶𝐴𝐶′，相似比𝐴𝐵：𝐴𝐶=3：4，根据相似三角形的周长比等于相似比可知，△𝐴𝐵𝐵’与△𝐴𝐶𝐶’的周长之比为3：4，故答案为：3：4．旋转的性质：对应点与旋转中心的连线长度相等，夹角为旋转角，旋转角相等．可知

△𝐵𝐴𝐵′与△𝐶𝐴𝐶′是顶角相等的两个等腰三角形，易证它们相似，利用相似三角形的性质解题．本题利用旋转的性质，证明相似三角形，再用相似三角形的性质求周长的比．19.【答案】解：原式=√32×(√22

)2+√3√2×√22=√32×12+√3=√34+√3=5√34．【解析】直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案．此题主要考查了实数的运算、特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．20.【答案】解：(1)∵𝐶𝐷//𝐴𝐵，𝐸�

�=23𝐴𝐵，∴𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=23𝑚⃗⃗⃗，∵𝐸是𝐶𝐷的中点，∴𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=43𝑚⃗⃗⃗，∵𝐸𝐶//𝐴𝐵，∴𝐶𝐹𝐴𝐹=𝐸𝐶𝐴𝐵=23，∴𝐴�

�=35𝐴𝐶，∵𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝑛⃗⃗+43𝑚⃗⃗⃗，∴𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=35𝑛⃗⃗+45𝑚⃗⃗⃗；第15页，共20页(2)过点𝐶作𝐶𝑇//𝐴𝐷交

𝐴𝐵于点𝑇，𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗，𝐴𝑇⃗⃗⃗⃗⃗即为所求．【解析】(1)利用平行向量的性质，以及三角形法则求解即可；(2)利用平行四边形法则画出图形即可．本题考查作图−复杂作图，平面向量，三角形法则，平行四边形法则等知识，解题的关键是掌握

三角形法则，平行四边形法则，属于中考常考题型．21.【答案】证明：∵𝐷𝐸//𝐵𝐶，∴𝐷𝐹𝐵𝑀=𝐴𝐹𝐴𝑀，𝐹𝐸𝑀𝐶=𝐴𝐹𝐴𝑀∴𝐷𝐹𝐵𝑀=𝐹𝐸𝑀𝐶，∴𝐷𝐹𝐹

𝐸=𝐵𝑀𝑀𝐶．【解析】由𝐷𝐸//𝐵𝐶，将问题分解为𝐷𝐹//𝐵𝑀，𝐹𝐸//𝑀𝐶，分别利用平行线分线段成比例定理，利用“中间比”过渡，得出新的比例式，再变形即可．本题考查了平行线分线段成比例定理．关键是利用中间比过渡，得出新的比例．22.【答案】

解：(1)∵𝑃𝐵=𝑃𝐶，∴∠𝐵=∠𝑃𝐶𝐵；∵𝑃𝐶平分∠𝐴𝐶𝐵，∴∠𝐴𝐶𝑃=∠𝑃𝐶𝐵，∠𝐵=∠𝐴𝐶𝑃，∵∠𝐴=∠𝐴，∴△𝐴𝑃𝐶∽△𝐴𝐶𝐵(𝐴𝐴)．(2)∵△𝐴𝑃𝐶∽△𝐴𝐶𝐵，∴

𝐴𝑃𝐴𝐶=𝐴𝐶𝐴𝐵，第16页，共20页∵𝐴𝑃=2，𝑃𝐶=4，𝐴𝐵=6，∴𝐴𝐶=2√3．∵△𝐴𝑃𝐶∽△𝐴𝐶𝐵，∴𝐴𝑃𝐴𝐶=√33，𝑆△𝐴𝐵𝐶=3𝑆△𝐴𝐶𝑃，∴𝑆△𝐴𝐶𝑃=6√3．【解析】(1)证明∠𝐵=∠�

�𝐶𝑃，结合∠𝐴=∠𝐴，即可解决问题．(2)由△𝐴𝑃𝐶∽△𝐴𝐶𝐵，得到𝐴𝑃𝐴𝐶=𝐴𝐶𝐴𝐵，利用𝐴𝑃=2，𝑃𝐶=4，𝐴𝐵=6，即可解决问题．该题主要考查了相似三角形的

判定及其性质的应用问题；牢固掌握相似三角形的判定及其性质是灵活运用、解题的基础和关键．23.【答案】解：(1)∵𝐴(1,0)，𝐵(5,0)，∴𝑂𝐴=1，𝐴𝐵=4，∵𝐴𝐶=𝐴𝐵且点𝐶在点𝐴的左侧，∴𝐴𝐶=4，∴𝐶(−3,0)．设直线𝑙的表达式为𝑦=𝑘𝑥+�

�，∵𝐶(−3,0)，𝐷(0,3)在直线上，∴{−3𝑘+𝑏=0𝑏=3，解得：{𝑘=1𝑏=3，∴直线𝑙的表达式为𝑦=𝑥+3；(2)①∵线段𝐶𝑃是线段𝐶𝐴、𝐶𝐵的比例中项，∴𝐶𝐴𝐶𝑃=𝐶𝑃𝐶𝐵，又∵∠𝑃𝐶𝐵是公共角，∴△𝐶𝑃𝐴∽△𝐶

𝐵𝑃；②∵𝐶𝐴𝐶𝑃=𝐶𝑃𝐶𝐵，𝐶𝐴=4，𝐶𝑃=8，∴𝐶𝑃=4√2，第17页，共20页∵△𝐶𝑃𝐴∽△𝐶𝐵𝑃，∴∠𝐶𝑃𝐴=∠𝐶𝐵𝑃，过𝑃作𝑃𝐻⊥𝑥轴于𝐻，∵�

�𝐶=𝑂𝐷=3，∠𝐷𝑂𝐶=90°，∴∠𝐷𝐶𝑂=45°，∴∠𝑃𝐶𝐻=45°，∴𝑃𝐻=𝐶𝐻=𝐶𝑃𝑠𝑖𝑛45°=4，∴𝐻(−7,0)，𝑂𝐻=7，𝐵𝐻=12，∴

𝑃(−7,−4)，在𝑅𝑡△𝐵𝐻𝑃中，tan∠𝐻𝐵𝑃=𝑃𝐻𝐵𝐻=13，∴tan∠𝐶𝑃𝐴=13．【解析】(1)根据𝐴(1,0)，𝐵(5,0)，求得𝑂𝐴=1，𝐴𝐵=4，得到𝐶(−3,0).设直线𝑙的表达式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏，解方

程组即可得到答案；(2)①根据线段𝐶𝑃是线段𝐶𝐴、𝐶𝐵的比例中项，得到𝐶𝐴𝐶𝑃=𝐶𝑃𝐶𝐵，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；②过𝑃作𝑃𝐻⊥𝑥轴于𝐻，根据等腰直角三角形的性质得到∠𝐷𝐶𝑂=45°，求得∠𝑃𝐶𝐻=45°，根据三角函数的

定义即可得到结论．本题考查了一次函数的综合题，待定系数法求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，证得△𝐶𝑃𝐴∽△𝐶𝐵𝑃是解题的关键．24.【答案】证明：(1)∵梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐷𝐶//𝐴𝐵，𝐴𝐷=𝐵𝐶=𝐷𝐶，∴∠𝐴𝐷𝐶=∠

𝐵𝐶𝐷，在△𝐴𝐷𝐶和△𝐵𝐶𝐷中，{𝐴𝐷=𝐵𝐶∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐵𝐶𝐷𝐶𝐷=𝐷𝐶,∴△𝐴𝐷𝐶≌△𝐵𝐶𝐷(𝑆𝐴𝑆)，∴∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐵𝐷𝐶，∵𝐵𝐶=𝐷𝐶，∴∠𝐶𝐵𝐷=∠𝐵𝐷𝐶，∴∠𝐶𝐵𝐷=∠𝐴𝐶𝐷，∵

∠𝐵𝐶𝐸=∠𝐴𝐶𝐷，∴∠𝐵𝐶𝐸=∠𝐶𝐵𝐷，第18页，共20页∴𝐵𝐷//𝐶𝐸，又∵𝐷𝐶//𝐴𝐵，∴四边形𝐷𝐵𝐸𝐶是平行四边形；(2)由(1)得：四边形𝐷𝐵𝐸𝐶是平行四边形，

∴∠𝐸=∠𝐵𝐷𝐶，∵𝐷𝐶//𝐴𝐵，∴∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐴𝐶𝐷，∵∠𝐵𝐶𝐸=∠𝐴𝐶𝐷，∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐵𝐷𝐶，∴∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐵𝐶𝐸=∠𝐸，∴𝐶𝐸=𝐴𝐶，又∵∠𝐸=∠

𝐸，∴△𝐸𝐴𝐶∽△𝐸𝐶𝐵，∴𝐶𝐸𝐵𝐶=𝐴𝐸𝐴𝐶，∵𝐶𝐸=𝐴𝐶，𝐵𝐶=𝐴𝐷，∴𝐴𝐶𝐴𝐷=𝐴𝐸𝐴𝐶，∴𝐴𝐶2=𝐴𝐷⋅𝐴𝐸．【解析】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形

的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰梯形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形相似得出比例式是解决问题(2)的关键．(1)由等腰梯形的性质得出∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐵𝐶𝐷，由𝑆𝐴𝑆证明△𝐴𝐷𝐶≌△𝐵𝐶𝐷

，得出∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐵𝐷𝐶，由等腰三角形的性质和已知条件得出∠𝐵𝐶𝐸=∠𝐶𝐵𝐷，证出𝐵𝐷//𝐶𝐸，即可得出结论；(2)证出𝐶𝐸=𝐴𝐶，证明△𝐸𝐴𝐶∽△𝐸𝐶𝐵，得出对应边成比例𝐶𝐸𝐵𝐶=𝐴𝐸𝐴𝐶，即可

得出结论．25.【答案】(1)证明：由题意可知∠𝐶𝐴𝐷+∠𝐶𝐴𝐸=∠𝐶𝐴𝐸+∠𝐵𝐴𝐸=45°，∴∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐵𝐴𝐸；∵𝐶𝑃//𝐴𝐵，∴∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐶𝐴𝐸=∠�

�=45°．∴△𝐴𝐶𝐷∽△𝐴𝐵𝐸，∴𝐴𝐷𝐴𝐸=𝐴𝐶𝐴𝐵，即𝐴𝐷𝐴𝐶=𝐴𝐸𝐴𝐵，又∵∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐶𝐴𝐵=45°，∴△𝐴𝐷𝐸∽△𝐴𝐶𝐵．第19页，共20页(2)解：∵

等腰直角△𝐴𝐵𝐶中，斜边𝐴𝐵的长为4，∴𝐴𝐶=𝐵𝐶=2√2．如答图1，过点𝐷作𝐷𝐹⊥𝐴𝐶于点𝐹，则△𝐷𝐶𝐹为等腰直角三角形，∴𝐷𝐹=𝐶𝐹=√22𝐶𝐷=√22𝑥，∴𝐴𝐹=𝐴𝐶−𝐶𝐹=2√2−√22�

�，∴tan∠𝐶𝐴𝐷=𝐷𝐹𝐴𝐹=√22𝑥2√2−√22𝑥=𝑥4−𝑥．由(1)知，∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐶𝐴𝐷，∴tan∠𝐵𝐴𝐸=tan∠𝐶𝐴𝐷，∴𝑦=𝑥4−𝑥，定义域0<𝑥<2．(

3)解：在△𝐶𝑂𝐷与△𝐵𝐸𝐴中，∠𝐷𝐶𝑂=∠𝐵=45°，∠𝐷𝑂𝐶与∠𝐴𝐸𝐵均为钝角，∴如果△𝐶𝑂𝐷与△𝐵𝐸𝐴相似，只能是△𝐶𝑂𝐷∽△𝐵𝐸𝐴，∴∠1=∠2．∵∠𝐴𝐸𝐶

=∠𝐴𝐸𝐷+∠3=45°+∠3，∠𝐴𝐸𝐶=∠𝐵+∠2=45°+∠2，∴∠3=∠2，∴∠1=∠2=∠3，∴𝐶𝐸=𝐶𝐷．∵𝐶𝑃//𝐴𝐵，∴∠𝐷𝐶𝐸+∠𝐵=180°，∴∠𝐷𝐶𝐸=

180°−∠𝐵=135°，∴∠1=∠2=∠3=12(180°−∠𝐷𝐶𝐸)=22.5°，∴∠2=12∠𝐶𝐴𝐵，即𝐴𝐸为角平分线．第20页，共20页如答图2，过点𝐸作𝐸𝐺⊥𝐴𝐵于点𝐺，

则𝐸𝐺=𝐶𝐸，且△𝐵𝐸𝐺为等腰直角三角形．∴𝐸𝐺=𝐵𝐺=𝐶𝐸=𝐶𝐷，𝐵𝐸=√2𝐸𝐺=√2𝐶𝐷．∴𝐵𝐶=𝐶𝐸+𝐵𝐸=𝐶𝐷+√2𝐶𝐷=2√2，∴𝐶𝐷=4−2√2．【解析】(1)

首先利用两角对应相等，证明△𝐴𝐶𝐷∽△𝐴𝐵𝐸，进而证明△𝐴𝐷𝐸∽△𝐴𝐶𝐵；(2)如答图1所示，过点𝐷作𝐷𝐹⊥𝐴𝐶于点𝐹，则△𝐷𝐶𝐹为等腰直角三角形；分别求出𝐶�

�、𝐷𝐹、𝐴𝐹的长度，然后利用tan∠𝐵𝐴𝐸=tan∠𝐶𝐴𝐷求解；(3)首先确定△𝐶𝑂𝐷∽△𝐵𝐸𝐴，然后证明𝐴𝐸为角平分线；如答图3，作辅助线，利用角平分线与等腰直角三角形的性质，求出𝐶𝐷的长度

．本题是几何综合题，考查了等腰直角三角形、平行线、角平分线、相似三角形等几何知识点．本题着重考查几何基础知识，难度不大．