【文档说明】2022-2023学年上海市奉贤区致远高级中学高二上学期12月月考数学试题解析版.doc，共(13)页，1.214 MB，由小喜鸽上传

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第1页共13页2022-2023学年上海市奉贤区致远高级中学高二上学期12月月考数学试题一、填空题1．直线()131yx+=−的倾斜角为_______.【答案】π3##60【分析】由斜率直接求出倾斜角.【详解】由直线()131yx+=−可得：斜率为3k=.设倾斜角为(),0π，

所以tan3=，解得：π3=.故答案为：π32．两条平行直线1:3460lxy−+=与2:3410lxy−+=间的距离为_______．【答案】1【分析】根据两平行直线间的距离公式求得正确答案.【详解】依题意可知，两直线的距离为2261134−=+.故答案为：13．直线3

10xy++=与直线310xy++=的夹角为_________【答案】π6##30【分析】结合两条直线的倾斜角求得正确答案.【详解】直线310xy++=的斜率为1333−=−，倾斜角为5π6；直线310xy++=的斜率为3−，倾斜角为2π3，所以两条直线的夹角为5

π2ππ636−=.故答案为：π64．过点()2,3−且与直线210xy++=垂直的直线l的方程是________．【答案】142yx=+第2页共13页【分析】根据两直线垂直，斜率乘积为1−，则得到12lk=，直接写出点斜式方程即可.【详解】因为直线l与直线2

10xy++=垂直，所以()21lk−=−，解得：12lk=，所以直线l的方程为()1322yx−=+，即142yx=+.故答案为：142yx=+.5．已知圆心()1,1C−且经过点()1,3A圆的标准方程为_________．【答案】()()22118xy++−=【

分析】求得圆的半径，从而求得圆的标准方程.【详解】圆的半径222222rAC==+=，所以圆的标准方程为()()22118xy++−=.故答案为：()()22118xy++−=6．计算：14nii==________.【答案】222nn

+【分析】利用等差数列求和公式计算即可.【详解】()()21144124222ninninnn=+=+++==+L.故答案为：222nn+.7．已知线段PQ两端点的坐标分别为(1,1)P−和(2,2)Q，若直线l恒过(0,1)−，且与线段PQ有交点，则l的斜率k的取值范围是_

____．【答案】(3,2,2−−+U【分析】根据已知条件及直线的斜率公式即可求解.【详解】因为直线l恒过(0,1)A−,(1,1)P−和(2,2)Q，所以11201APk−−==−+，12

3022AQk−−==−.由题意可知，直线l的斜率存在且l的斜率k，若直线l与线段PQ有交点，如图所示第3页共13页由图象可知，AQkk或APkk,即32k或2k−，所以l的斜率k的取值范围是为(3,2,2−−+U.故答案为：(

3,2,2−−+U.8．设等差数列{}na，{}nb的前n项和分别为nS，nT，且5321nnnSnT+=−，则44ab=____【答案】3813【分析】根据等差数列前n项和公式解决即可.【详解】由题知，等差数列{}na{}nb的前n项和分别为nS，nT，且5321nnnSnT

+=−，因为71744744177()7(2)353387(2)7()14113aaaaSbbbbT++=====+−，故答案为：3813.9．对任意Rm，直线()()22150mxmym++−++=过定点______.【答案】113,55−【分析】变换得到

()()21250mxyxy+++−+=，得到方程组210250xyxy++=−+=，解得答案.【详解】()()22150mxmym++−++=，则()()21250mxyxy+++−+=，210250xyxy++=

−+=，解得11535xy=−=，故直线过定点113,55−.故答案为：113,55−10．有一光线从点()3,5A−射到x轴以后，再反射到点()2,15B，则这条光线的入射光线所在直线的第4页共13页方程为____

__．【答案】4+70xy+=【分析】根据对称性可知：点()2,15B关于x轴对称的点在入射光线所在的直线上，求出点()2,15B关于x轴对称的点的坐标即可求解.【详解】因为点()2,15B关于x轴对称的点的坐标为()2,1

5B−，由直线的对称性可知：这条光线的入射光线经过点()3,5A−和()2,15B−，所以条光线的入射光线所在直线的方程为51515(2)32yx++=−−−，也即4+70xy+=，故答案为：4+70xy+=.11．已知数列na的通项公式为2

72,8,8nnnannaan−−+=，若数列na是严格递增数列，则实数a的取值范围是_________．【答案】()15,88,2+【分析】根据数列na是严格递增数列求得152a，再结合98aa求得a的取值范围．【详解】解：∵数列na严格递增，当

8n时，()2222=−+=−−+nanannaa，152a，∴当8n＞时，na递增，2896416=−+=aaaa<，即216640−+aa>，解得8a，∴()15,88,2a+

．故答案为：()15,88,2+．12．如图，1P是一块直径为2的半圆形纸板，在1P的左下端剪去一个半径为12的半圆后得到图形2P，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得到图形34,,,,nPPPLL，记纸板nP的周长为nL，则limnnL→

+=________.第5页共13页【答案】2π【分析】由题意知纸板每剪掉半圆，周长依次增加121ππ1π11,,...,24222nnnlll−=−=−=−，而12πL=+，利用等比数列求和公式可得nL，再利用极限思想即可求limnnL→+.【详解】由

题意得圆形1P的周长为12πL=+，每剪掉半圆，周长依次增加121ππ1π11,,...,24222nnnlll−=−=−=−，所以()1121ππ1π1...2π124222nnnnLLlll−=++++=++−+−++−L11πππ11π112π12π11

24222222nnn−−=+++++−+++=++−+++LLL11π2π22π12π12212nn−−=++−=+−，所以2π2π2πlim2limnnnnL→

+→+−=+=.故答案为：2π.二、单选题13．已知()2,1,3a=−r，11,,2b=r，若//abrr，则实数等于（）A．6−B．32C．32−D．6【答案】C【分析】由空间向量平行的坐标表示求解即可【详解】因为()2,1,3a=−r，11,,

2b=r，且//abrr，所以213112−==，解得32=−，故选：C第6页共13页14．已知直线12,ll的斜率是方程220xpx−−=的两个根，则（）A．12ll⊥B．12//llC．1l与2l相交但不垂直D．1l与2l的位置关系不确定【答案】C【分析】由122kk=−

可知两直线不垂直，且12kk知两直线不平行，由此可得结论.【详解】设直线12,ll的斜率为12,kk，则122kk=−，121kk−Q，12,ll不垂直，A错误；若12kk=，则21210kkk=，与122kk=−矛盾，12kk，12,ll不平行，B错误；12,l

lQ不平行，也不垂直，12,ll相交但不垂直，C正确，D错误.故选：C.15．用数学归纳法证明等式()()()()31122nnnnnn+++++++=L的过程中，当1nk=+时等式左边与nk=时的等式

左边的差等于（）A．22k+B．43k+C．32k+D．1k+【答案】C【分析】分别写出nk=与1nk=+时等式的左边式子，再作差即可.【详解】解：当nk=时，等式左边()()()12kkkk=++++++L，当1n

k=+时，等式左边()()()()23111kkkkkk=+++++++++++L，故当1nk=+时等式左边与nk=时的等式左边的差为()()()111132kkkkkk++++++−+=+.故选:C.16．小明同学

在课外阅读中看到一个趣味数学问题“在64个方格上放米粒：第1个方格放1粒米，第2个方格放2粒米，第3个方格放4粒米，第4个方格放8粒米，第5个方格放16粒米，……，第64个方格放632粒米．那么64个方格上一共有多少

粒米？”小明想：第1个方格有1粒米，前2个方格共有3粒米，前3个方格共有7粒米，前4个方格共有15粒米，前5个方格共有31粒米，……．小明又发现，1121=−，2321=−，3721=−，41521=−，53121=−，……．小明又查到一个数据：710粒米的体积大约是1立

方米，全球的耕地面积大约是131.510平方米，lg20.3010=，lg1.8360.2640=．依据以上信息，请你帮小明估算，64个方格上所有的米粒覆盖在全球的耕地上厚第7页共13页度约为（）A．0.0012米B．0.0

12米C．0.12米D．1.2米【答案】C【分析】由题意知格子上的米粒数是以1为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列求和公式可得64个方格上一共有6421−粒米，设米粒覆盖在全球的耕地上厚度约为h，可得713642101.51110=−h，两边

取对数计算可得答案.【详解】第1个方格放1粒米，第2个方格放2粒米，第3个方格放4粒米，第4个方格放8粒米，第5个方格放16粒米，……，可知格子上的米粒数是以1为首项，2为公比的等比数列，那么64个方格上一共有646411221

2−=−−粒米，设米粒覆盖在全球的耕地上厚度约为h，因为710粒米的体积大约是1立方米，全球的耕地面积大约是131.510平方米，所以713642101.51110=−h，可得()64641371372112lglglglg1.510101.51010h−=−

，用lg1.8360.2640=近似替代lg1.5，所以()641372lglg1.51064lg27lg1.51364lg2lg1.52010−=−−−=−−0.30100.264020164−−=−，即lg1=−h，可得0.1h=，又

0.10.12，故64个方格上所有的米粒覆盖在全球的耕地上厚度约为0.12（米）.故选：C.三、解答题17．已知直线1:10lxmy+−=，()2:2330lmxy−++=.(1)已知12ll⊥，求m的值；(2)已知12//ll，求m的值.【答案

】(1)12；(2)3m=.第8页共13页【分析】（1）根据直线垂直的条件直接列式计算即可得解.（2）根据两直线平行或重合的条件求出m值，再检验即可.【详解】（1）因为12ll⊥，则有1(2)30mm−+=，解得12m=

，所以m的值为12.（2）当12ll//或重合时，3(2)0mm−−=，3m=或1m=−，当3m=时，12:310,:330lxylxy+−=++=，此时两直线平行，满足条件，当1m=−时，1:10lxy−−=，2:3330lxy−++=，即10xy

−−=，此时两直线重合，不符合题意，综上，3m=.18．已知直线3420xy+−=与直线220xy++=交于点P.(1)直线1l经过点P，且平行于直线3450xy−+=，求直线1l的方程；(2)直线2l经过点P

，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线2l的方程.（注：结果都写成直线方程的一般式）【答案】(1)34140xy−+=；(2)40xy−+=.【分析】（1）联立两直线方程求出交点P的坐标，设1:340lxym−+=，将点P的坐标代入方程，求出m的值，即可得解；（2）依题意设2:1xy

laa+=或1xybb−=，将点P的坐标代入方程，求出a、b的值，即可得解；【详解】（1）解：由3420220xyxy+−=++=联立得22xy=−=，()2,2P−，设()1:3405lxymm−+=，将()2,2P−代入得

()32420m−−+=，解得14m=，1l为34140xy−+=.（2）解：由题意直线2l的斜率存在且不为0，设2:1xylaa+=或1xybb−=，将()2,2P−代入得221aa−+=或221bb−−=解得a无解或4b=−，所以144xy−

−−=，即40xy−+=，第9页共13页2l为40xy−+=.19．数列{an}满足：11a=，点()1,nnnaa++在函数1ykx=+的图象上，其中k为常数，且0k.(1)若1a，2a，4a成等比数列，

求k的值；(2)当3k=时，求数列na的前2n项的和2nS【答案】(1)2；(2)223nSnn=+.【分析】（1）通过合理代值，解出2ak=，42ak=，则得到22kk=，解出即可.（2）通过累加法得到224624106232nnSnnnn+

−=+++−==+L.【详解】（1）由11nnaakn++=+可得121aak+=+，2321aak+=+，3431aak+=+，所以2ak=，31ak=+，42ak=.又1a，2a，4a成等比数列，2214aaa=，即22kk=，又0k，故2k=.（2）3k=时

，131nnaan++=+，124aa+=，3410aa+=，…，2123(21)1nnaan−+=−+，224624106232nnSnnnn+−=+++−==+L.20．如图，平面PCBM⊥平面ABC，90PCBPMBC=，∥，直线AM与直线PC所成

的角为60，又1,22,90ACBCPMACB====．(1)求证：ACBM⊥；(2)求二面角MABC−−的大小；(3)求多面体PMABC的体积．第10页共13页【答案】(1)证明见解析；(2)39arccos13；(3)6

6.【分析】(1)根据题意和面面垂直的性质定理可得AC⊥平面PCBM即可得到证明；(2)由(1)，建立如图空间直角坐标系，设0(0,0,)Pz0(0)z，利用空间线线角和向量数量积的定义求出0z.利用向量法求出平面MAB的法向量，结合平面

ABC的一个法向量为(0,0,1)m=ur，根据空间数量积的定义计算，结合反三角函数的定义即可求解；(3)根据题意，找出底面和高，并求出底面积，求出高，结合锥体的体积公式计算即可.【详解】（1）因为平面PCBM⊥平面ABC，平面PCBMI

平面ABCBC=，BC⊥AC，AC平面ABC，所以AC⊥平面PCBM，由BM平面PCBM，得AC⊥BM；（2）由(1)知，建立如图空间直角坐标系Cxyz−，设0(0,0,)Pz0(0)z，则0(0,1,),(0,2,0),(1,0,0)MzBA，有00(1,1,),(0,0,)AMzPC

z=−=−uuuuruuur，又直线AM与直线PC所成的角为60，得cos60AMPCAMPC=uuuuruuuruuuuruuur，即22000122zzz=+，解得063z=，设平面MAB的一个法向量为(,,)nxyz=r，则60320nAMxyznABxy=−++=

=−+=uuuurruuurr，令6z=，得(4,26)n=r，，易知平面ABC的一个法向量为(0,0,1)m=ur，第11页共13页则639cos13261nmnmnm===rurrurrur，，又二面角M

ABC−−的所成角为锐角，所以二面角MABC−−的所成角的余弦值为3913，故二面角MABC−−的大小为39arccos13；（3）由题意知，多面体PMABC即为四棱锥ABCPM−，则111()332PMABCABCPMBCPMVVACSACP

MCBCP−===+梯形11661(21)3236+=，即多面体PMABC的体积为66.21．已知点P和非零实数，若两条不同的直线1l，2l均过点P，且斜率之积为，则称直线1l，2l是一组“P共轭线对”，如直线1l：2yx=，2l：12yx=−

是一组“1O−共轭线对”，其中O是坐标原点.(1)已知1l，2l是一组“3O−共轭线对”，求1l，2l的夹角的最小值；(2)已知点()0,1A､点()1,0B−和点()1,0C分别是三条直线PQ，QR，RP上的点（A，B，C与P，Q，R均不重合）

，且直线PR，PQ是“2P共轭线对”，直线QP，QR是“3Q共轭线对”，直线RP，RQ是“6R共轭线对”，求点P的坐标；(3)已知点()2,2Q−−，直线1l，2l是“12Q−共轭线对”，当1l的斜率变化时，求原点O到直线1l，2l的距离之积的取值范围.【答案】(1)3；(2)()3

,4P或()1,0P；(3))0,22【分析】（1）设1l的斜率为tank=，则2l的斜率为3tank−=，两直线的夹角为，利用夹角公式及基本不等式求最值，即可得到1l，2l的夹角的最小值；第12页共13页（

2）设直线PR，PQ，QR的斜率分别为123,,kkk，可得122331=2=3=6kkkkkk，求解可得123,,kkk的值，进一步得到直线PR与直线PQ的方程，联立得P的坐标；（3）设出直线1l，2l的方程，求出原

点到它们的距离12,dd，计算12dd，转化变形后结合基本不等式可得取值范围．【详解】（1）设1l的斜率为=tank，则2l的斜率为3=tank−，两直线的夹角为，则()()3tantan133tan=tan===+=31tantan1+32kkkkkk

−−−−+−，等号成立的条件是3k=，所以tan的最小值为3，则两直线的夹角的最小值为3；（2）设直线,,PRPQQR的斜率分别为123,,kkk，则122331=2=3=6kkkkkk，得123=2,=1,=3k

kk或123=2,=1,=3kkk−−−，当123=2,=1,=3kkk时，直线PR的方程为2(1)yx=−，直线PQ的方程为=+1yx，联立得，()3,4P；当123=2,=1,=3kkk−−−时，直线PR的方程为2(1)yx=−−，直线PQ的方程为1yx=−+，联立得，()1,0

P；故所求为()3,4P或()1,0P；（3）由题意可设()1:22lykx+=+即220kxyk−+−=，()21:222lyxk+=−+即11++2+=02xykk，其中k0，故21222221+22221=?=2211++14+11+4kk

kddkkkk−−42242422244+199=22=221=22114+5+14+5+14++5kkkkkkkkk−−−第13页共13页由于2222114++524+5=9kkkk（等号成立的条件是212k=），所以(2290,114++5kk，故)2

2910,114++5kk−即)22910,114++5kk−，所以)120,22dd.【点睛】方法点睛:“新定义"主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解

。对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求。但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说"新题"不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.