【文档说明】2022-2023学年上海市部分学校九年级上期中数学试题及答案解析.docx，共(22)页，474.559 KB，由小喜鸽上传

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第1页，共22页2022-2023学年上海市部分学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知3𝑥=4𝑦(𝑦≠0).那么下列各式正确的是()A.𝑥：𝑦=3：4B.𝑥：𝑦=4：3C.𝑥

：𝑦=1：3D.𝑥：𝑦=1：42.在相同时刻的物高与影长成比例．小明的身高为1.5米，在地面上的影长为2米，同时一古塔在地面上的影长为40米，则古塔高为()A.60米B.40米C.30米D.25米3.在𝑅�

�△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵=90°，如果∠𝐴=𝛼，𝐵𝐶=𝑎，那么𝐴𝐶的长是()A.𝑎⋅𝑡𝑎𝑛𝛼B.𝑎⋅𝑐𝑜𝑡𝛼C.𝑎cos𝛼D.𝑎sin𝛼4.在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷、𝐸分别在边𝐴𝐵、𝐴𝐶上，下列条件中不能判定𝐷𝐸//𝐵𝐶的是(

)A.𝐴𝐷𝐷𝐸=𝐴𝐵𝐵𝐶B.𝐴𝐷𝐴𝐸=𝐴𝐵𝐴𝐶C.𝐵𝐷𝐴𝐷=𝐶𝐸𝐴𝐸D.𝐵𝐷𝐴𝐵=𝐶𝐸𝐴𝐶5.下列命题中，假命题是()A.任意两个正方形一定相似B.任意两个边

长相等的菱形一定相似C.任意两个等边三角形一定相似D.任意两个等腰直角三角形一定相似6.如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形，∠𝐵𝐴𝐷的平分线交𝐵𝐷于𝐸，交𝐷𝐶于𝐹，交𝐵𝐶的延长线于𝐺.那么下列结论正确的是()A.𝐴𝐸2=𝐸𝐹⋅𝐹𝐺B.𝐴𝐸2=𝐸𝐹⋅

𝐴𝐺C.𝐴𝐸2=𝐸𝐺⋅𝐹𝐺D.𝐴𝐸2=𝐸𝐹⋅𝐸𝐺二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.已知𝑎𝑏=23，那么代数式𝑏−𝑎𝑎+𝑏的值是______．8.如果两个相

似三角形的面积比是4：9，那么它们对应高的比是______．9.已知点𝑃是线段𝑀𝑁的黄金分割点，𝑀𝑃>𝑃𝑁，如果𝑀𝑁=8，那么𝑃𝑀的长是______．第2页，共22页10.在比例尺为1：500000的

地图上，甲乙两地的距离是3.5厘米，那么甲乙两地的实际距离是______千米．11.两个相似三角形的对应边上中线之比为2：3，周长之和为20𝑐𝑚，则较小的三角形的周长为______．12.在𝑅𝑡

△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90°，𝑠𝑖𝑛𝐴=√32，𝐴𝐵=10，那么𝐵𝐶的长是______．13.如图，已知𝐴𝐷//𝐵𝐸//𝐶𝐹.如果𝐴𝐵=4.8，𝐷𝐸=3.6，𝐸𝐹=1.2，那

么𝐴𝐶的长是______．14.在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶=6，∠𝐴=36°，点𝐷在边𝐴𝐶上，如果𝐵𝐷=𝐵𝐶，那么𝐵𝐶的长是______．15.在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴=90°，已知𝐴𝐵=1，𝐴𝐶

=2，𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝐶的平分线，那么𝐴𝐷的长是______．16.已知△𝐴𝐵𝐶∽△𝐷𝐸𝐹，如果△𝐴𝐵𝐶三边长分别是√2，2，2，△𝐷𝐸𝐹的两边长为1，√2，那么它的第三边长是______．17.在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴=

2∠𝐵，如果𝐴𝐶=4，𝐴𝐵=5，那么𝐵𝐶的长是______．18.如图，点𝐸、𝐹分别在边长为1的正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边𝐴𝐵、𝐴𝐷上，𝐵𝐸=2𝐴𝐸、𝐴𝐹=2𝐹𝐷，正方形𝐴′

𝐵′𝐶′𝐷′的四边分别经过正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的四个顶点，已知𝐴′𝐷′//𝐸𝐹，那么正方形𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′的边长是______．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.(本小题10.0

分)计算：𝑠𝑖𝑛60°+|1−𝑐𝑜𝑡30°|+𝑡𝑎𝑛45°−𝑐𝑜𝑠30°．第3页，共22页20.(本小题10.0分)如图4，在梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵//𝐶𝐷，对角线𝐴𝐶和𝐵𝐷交于点𝑂，且𝐴𝐶⊥𝐵𝐷．

(1)设𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎，𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑏，如果𝐶𝐷：𝐴𝐵=2：7，求𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗(用含𝑎⃗⃗、𝑏⃗的式子表示)；(2)如果𝐴𝐶=12，tan∠𝐶𝐴𝐵=34，求梯形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积．21.(本小题10.0分)如图

，△𝐴𝐵𝐶是某工厂一块三角形剩余料，边𝐵𝐶=120𝑚𝑚，高𝐴𝐷=80𝑚𝑚.小王将这块余料加工成正方形零件，使一边在𝐵𝐶边上，其余两个顶点分别在𝐴𝐵、𝐴𝐶边上，求这个正方形零件的周长．22.(本小题10

.0分)如图，在𝑅𝑡△𝐸𝐴𝐶中，∠𝐸𝐴𝐶=90°，∠𝐸=45°，点𝐵在边𝐸𝐶上，𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，垂足为𝐷，点𝐹在𝐵𝐷延长线上，∠𝐹𝐴𝐶=∠𝐸𝐴𝐵，𝐵𝐹=5，tan∠𝐴𝐹𝐵=34．求：(1)𝐴𝐷的长；(2)co

t∠𝐷𝐶𝐹的值．第4页，共22页23.(本小题10.0分)如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷、𝐹分别是边𝐵𝐶、𝐴𝐵上的点，𝐴𝐷和𝐶𝐹交于点𝐸．(1)如果𝐵𝐹⋅𝐴𝐵=𝐵𝐷⋅𝐵𝐶.求证：𝐸𝐹⋅𝐶𝐸=𝐷𝐸⋅𝐴𝐸；(

2)如果𝐴𝐸⋅𝐵𝐹=2𝐴𝐹⋅𝐷𝐸，求证：𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线．24.(本小题14.0分)如图，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长为5，点𝐸是边𝐶𝐷上的一点．(1)当𝐷𝐸=2时，求点𝐵到直线𝐴𝐸的距离；(2)将正方形𝐴𝐵𝐶𝐷沿直线𝐴𝐸翻折后，点

𝐷的对应点是点𝐷′，联结𝐶𝐷′交正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的一边于点𝐹，如果𝐴𝐹=𝐶𝐸，求𝐴𝐹的长．25.(本小题14.0分)如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶=90°，𝐴𝐶=10，sin

∠𝐵𝐴𝐶=45，𝐵𝐷是斜边𝐴𝐶上的中线，点𝑃是线段𝐷𝐵延长线上一点，点𝐸是线段𝐴𝑃的中点，联结𝐶𝐸交𝑃𝐷于点𝐹．(1)求证：𝐸𝐹⋅𝑃𝐹=𝐷𝐹⋅𝐶𝐹；(2)如果𝐶𝐸⊥𝐴𝑃，联结𝑃𝐶，点𝐺在线段𝑃𝐶上，当点𝐺满

足怎样的条件时，以点𝐶、𝐷、𝐸、𝐺为第5页，共22页顶点的四边形𝐶𝐷𝐸𝐺是菱形？(3)当∠𝑃𝐴𝐵=∠𝐷𝐵𝐶时，求𝐵𝑃的长．第6页，共22页答案和解析1.【答案】𝐵【解析】解：𝐴、由

比例的性质，得4𝑥=3𝑦与3𝑥=4𝑦不一致，故此选项不符合题意；B、由比例的性质，得3𝑥=4𝑦与3𝑥=4𝑦一致，故此选项符合题意；C、由比例的性质，得3𝑥=𝑦与3𝑥=4𝑦不一致，故此选项不符合题意；D、由比例的性质，得4𝑥=𝑦

与3𝑥=4𝑦不一致，故此选项不符合题意．故选：𝐵．根据比例的性质，可得答案．本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．比例的性质：内项之积等于外项之积．2

.【答案】𝐶【解析】解：据相同时刻的物高与影长成比例，设旗杆的高度为𝑥𝑚，则可列比例式，1.52=𝑥40，解得𝑥=30．故选：𝐶．在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直

角三角形相似本题考查同学们利用所学知识解决实际问题的能力，属于基础题．3.【答案】𝐷【解析】解：如图：在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶=𝐵𝐶𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑎sin𝛼．第7页，共22页故选：𝐷．画出图形

，根据锐角三角函数的定义求出即可．本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握直角三角形边角之间的关系，属于中考常考题型．4.【答案】𝐴【解析】解：由𝐴𝐷𝐷𝐸=𝐴𝐵𝐵𝐶，则𝐷𝐸//𝐵𝐶，不一定成立，故选项A符合题意．∵𝐴𝐷𝐴𝐸=𝐴𝐵𝐴𝐶，∴𝐴𝐷𝐴𝐵=

𝐴𝐸𝐴𝐶，∴𝐷𝐸//𝐵𝐶，故选项B不符合题意．∵𝐵𝐷𝐴𝐷=𝐶𝐸𝐴𝐸，∴𝐷𝐸//𝐵𝐶，故选项C不符合题意．∵𝐵𝐷𝐴𝐵=𝐶𝐸𝐴𝐶，∴𝐷𝐸//𝐵𝐶，故选项D不符合题意．故选：𝐴．根据平行线分线段成比例定理对

各个选项进行判断即可．本题考查平行线分线段成比例定理，如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．5.【答案】𝐵【解析】解：𝐴、任意两个正方形一定相似，正确，是真命题，不符合

题意；B、任意两个边长相等的菱形的对应角不一定相等，不一定相似，故原命题错误，是假命题，符合题意；C、任意两个等边三角形一定相似，正确，是真命题，不符合题意；D、任意两个等腰直角三角形一定相似，正确，是真命题，不符合题

意．故选：𝐵．利用相似形的定义进行判断后即可确定正确的选项．第8页，共22页本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解相似图形的定义，难度不大．6.【答案】𝐷【解析】解：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形，∴△𝐴𝐸𝐷∽△

𝐺𝐸𝐵，△𝐷𝐸𝐹∽△𝐵𝐸𝐴，∴𝐴𝐸𝐸𝐺=𝐷𝐸𝐸𝐵，𝐷𝐸𝐸𝐵=𝐸𝐹𝐴𝐸，∴𝐴𝐸𝐸𝐺=𝐸𝐹𝐴𝐸，即𝐴𝐸2=𝐸𝐹⋅𝐸𝐺．所以选项D正确，故选：𝐷．解答此题的关键是利用平行四边形证明出△𝐴𝐷𝐸∽△𝐸�

�𝐵，△𝐷𝐸𝐹∽△𝐴𝐸𝐵，然后利用对应边成比例即可解答此题．此题主要考查学生利用平行四边形的性质证明三角形相似以及相似三角形的对应边成比例，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质．7.【答案】15【解析】解：∵𝑎𝑏=23，设𝑎=2𝑘，𝑏=

3𝑘，∴𝑏−𝑎𝑎+𝑏=3𝑘−2𝑘2𝑘+3𝑘=𝑘5𝑘=15．故答案为：15．已知𝑎𝑏=23，则设𝑎=2𝑘，𝑏=3𝑘，把𝑎和𝑏的值代入代数式𝑏−𝑎𝑎+𝑏化简即可．本题考查了比例的性质，根据已知设出𝑎=2

𝑘，𝑏=3𝑘是解题的关键．8.【答案】2：3【解析】解：∵两个相似三角形的面积比是4：9，∴两个相似三角形相似比是2：3，∴它们对应高的比是2：3．第9页，共22页故答案为：2：3．根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据相似三角形对应高的比等于相似比解

答即可．本题考查对相似三角形性质的理解．相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．9.【答案】4√5−4【解析】解：∵点𝑃是线段𝑀𝑁的黄金分割点，𝑀𝑃>𝑃�

�，𝑀𝑁=8，∴𝑃𝑀=√5−12𝑀𝑁=√5−12×8=4√5−4，故答案为：4√5−4．由黄金分割的定义得𝑃𝑀=√5−12𝑀𝑁，即可得出结论．本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部

分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，比值√5−12叫做黄金比．10.【答案】17.5【解析】解：设甲乙两地的实际距离为𝑥厘米，根据题意得，1：500000=3.5：𝑥，解得𝑥=1750000，120

00000厘米=17.5千米．即甲乙两地的实际距离为17.5千米．故答案为：17.5．根据比例尺=图上距离：实际距离，列比例式即可求得甲乙两地的实际距离．要注意统一单位．本题考查了比例线段，熟练运用比例尺进行计算，注意单位的转换是解决问题的关键．11.【答

案】8𝑐𝑚【解析】解：因为该相似比为2：3，而周长比也等于相似比，则较小的三角形周长为20×25=8𝑐𝑚，故答案为：8𝑐𝑚根据相似三角形的性质，相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似第10页，共22页比来解答．本题考查对相似三角形性质的理解：(1

)相似三角形周长的比等于相似比；(2)相似三角形面积的比等于相似比的平方；(3)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．12.【答案】5√3【解析】解：在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∵𝑠𝑖𝑛𝐴=𝐵𝐶𝐴𝐵=√32，𝐴𝐵=1

0，∴𝐵𝐶=5√3．故答案为：5√3．利用直角三角形的边角间关系得结论．本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．13.【答案】6.4【解析】解：∵𝐴𝐷//𝐵𝐸//𝐶𝐹，∴𝐴𝐵𝐵𝐶=𝐷𝐸𝐸𝐹，∵𝐴𝐵=4.8，𝐷𝐸=3.6，𝐸

𝐹=1.2，∴4.8𝐵𝐶=3.61.2，解得𝐵𝐶=1.6，∴𝐴𝐶=𝐴𝐵+𝐵𝐶=4.8+1.6=6.4．故答案为：6.4．根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例列出比例式解答即可．本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握定理并灵活运用列出正确的比例式．14

.【答案】3√5−3第11页，共22页【解析】解：如图：∵等腰△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶=36°，∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐶=72°，∵𝐵𝐷=𝐵𝐶，∴∠𝐵𝐷𝐶=∠𝐶=72°，∠𝐷𝐵�

�=180°−72°×2=36°，∴∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐶𝐵𝐷=36°，∵∠𝐶𝐵𝐷=∠𝐴=36°，∠𝐶=∠𝐶，∴△𝐴𝐵𝐶∽△𝐵𝐶𝐷，∵∠𝐴=∠𝐴𝐵𝐷=36°，∴𝐴𝐷=𝐵𝐷，∵𝐵𝐷=𝐵𝐶，∴𝐴

𝐷=𝐵𝐷=𝐵𝐶，设𝐵𝐶=𝑥，则有𝐴𝐷=𝐵𝐷=𝐵𝐶=𝑥，𝐷𝐶=6−𝑥，∵△𝐴𝐵𝐶∽△𝐵𝐶𝐷，∴𝐴𝐵𝐵𝐷=𝐵𝐶𝐶𝐷，即6𝑥=𝑥6−𝑥，整理得：𝑥2+6𝑥−36=0，解得：𝑥=−3±

3√5(负值舍去)，∴𝑥=3√5−3．∴𝐵𝐶的长是3√5−3．故答案为：3√5−3．等腰三角形𝐴𝐵𝐶中，利用顶角的度数求出两底角度数，再由𝐵𝐷=𝐵𝐶，得到∠𝐵𝐷𝐶=∠𝐶，∠𝐷𝐵𝐶=∠𝐴，再由∠𝐶为公共角，得

到三角形𝐴𝐵𝐶与三角形𝐵𝐶𝐷相似，最后根据相似三角形的性质即可解答．本题考查了相似三角形的判定与性质，以及一元二次方程的解法，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．第12页，共22页15.【答案】2√

23【解析】解：过𝐵作𝐵𝐸⊥𝐴𝐵交𝐴𝐷的延长线于𝐸，∵∠𝐵𝐴𝐶=90°，𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝐶的平分线，∴∠𝐵𝐴𝐸=45°，∴△𝐴𝐵𝐸是等腰直角三角形，∴𝐵𝐸=

𝐴𝐵=1，∴𝐴𝐸=√𝐴𝐵2+𝐵𝐸2=2√2，∵∠𝐶𝐴𝐵=90°，𝐴𝐵⊥𝐵𝐸，∴𝐴𝐶//𝐵𝐸，∴△𝐴𝐶𝐷∽△𝐸𝐵𝐷，∴𝐴𝐶𝐵𝐸=𝐴𝐷𝐷𝐸，∴21=𝐴𝐷√2−𝐴𝐷，

∴𝐴𝐷=2√23，故答案为：2√23．过𝐵作𝐵𝐸⊥𝐴𝐵交𝐴𝐷的延长线于𝐸，根据角平分线的定义得到∠𝐵𝐴𝐸=45°，推出△𝐴𝐵𝐸是等腰直角三角形，求得𝐵𝐸=𝐴𝐵=1，根据勾股定理得到𝐴𝐸=√𝐴�

�2+𝐵𝐸2=2√2，根据相似三角形的性质即可得到结论．本题考查了勾股定理，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．16.【答案】√2【解析】解：∵△𝐴𝐵𝐶∽△𝐷𝐸𝐹，∴𝐴𝐵𝐷𝐸=𝐵𝐶

𝐸𝐹=𝐴𝐶𝐷𝐹，∴√21=2√2=2𝐷𝐹，解得𝐷𝐹=√2，所以△𝐷𝐸𝐹的第三边长为√2．根据相似三角形的性质列出比例式，求出第三边的长即可．第13页，共22页本题考查了相似三角形的性质，解题的关键根据性质列出比例式，相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．

17.【答案】6【解析】解：解法一：过𝐶作𝐶𝐻⊥𝐴𝐵，垂足为𝐻，在𝐴𝐵上取点𝐷，连接𝐶𝐷，使𝐶𝐷=𝐴𝐶=4，∵𝐶𝐷=𝐴𝐶=4，∴∠𝐴=∠𝐶𝐷𝐴=2∠𝐵，∴∠𝐵=∠𝐵𝐶𝐷，∴

𝐵𝐷=𝐶𝐷=4，𝐷𝐻=𝐴𝐻=0.5，∴𝐶𝐻2=𝐴𝐶2−𝐴𝐻2=1534，∵𝐵𝐶2=𝐵𝐻2+𝐶𝐻2，∴𝐵𝐶2=4.52+1534，即𝐵𝐶=6，故答案为：6．解法二：作𝐴

𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶交𝐵𝐶于𝐷，∵∠𝐴=2∠𝐵，∴∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐷𝐴𝐵=∠𝐵，∴𝐴𝐷=𝐵𝐷，∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，∴𝐶𝐷𝐵𝐷=𝐴𝐶𝐴𝐵=45，设𝐶𝐷=4𝑥，𝐵𝐷=5𝑥，𝐵𝐶=9𝑥，∵∠𝐶

=∠𝐶，第14页，共22页∴△𝐶𝐴𝐷∽△𝐶𝐵𝐴，∴𝐶𝐴𝐶𝐵=𝐶𝐷𝐶𝐴，∴𝐶𝐴2=𝐶𝐷⋅𝐶𝐵，即16=4𝑥⋅9𝑥，解得𝑥=23，∴𝐵𝐶=9𝑥=6．故答案为：6．解法一：过𝐶作𝐶𝐻⊥

𝐴𝐵于点𝐻，在𝐴𝐵上取点𝐷，连接𝐶𝐷，使𝐶𝐷=𝐴𝐶=4，从而构造出等腰三角形𝐴𝐶𝐷和𝐶𝐷𝐵，然后利用勾股定理就可求得𝐵𝐶的长度．解法二：作𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶交𝐵𝐶于𝐷，所以𝐶𝐷𝐵𝐷=𝐴𝐶𝐴𝐵=45，再根据两角相等证明△𝐶�

�𝐷∽△𝐶𝐵𝐴，最后根据相似三角形的性质即可解答．本题考查的是等腰三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识点，解题关键是恰当作出辅助线．18.【答案】3√55【解析】解：∵𝐵𝐸=2𝐴𝐸、𝐴𝐹=2𝐹𝐷，𝐴�

�=𝐴𝐷=1，∴𝐵𝐸=23，𝐴𝐸=13，𝐴𝐹=23，𝐷𝐹=13，∴𝐸𝐹=√𝐴𝐸2+𝐴𝐹2=√53，∵𝐴′𝐷′//𝐸𝐹，∴∠𝐴′𝐴𝐵=∠𝐴𝐸𝐹，又∵∠𝐴′=∠𝐸𝐴𝐹=90°，∴△𝐴𝐸𝐹∽△𝐴′

𝐴𝐵，∴𝐴𝐴′𝐴𝐸=𝐴𝐵𝐸𝐹，∴𝐴𝐴′=13×1√53=√55，同理可求：𝐴𝐷′=2√55，∴𝐴′𝐷′=3√55，第15页，共22页∴正方形𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′的边长为3√55，故答案为：3√55．通过证明

△𝐴𝐸𝐹∽△𝐴′𝐴𝐵，可求𝐴𝐴′的长，同理可求𝐴𝐷′的长，即可求解．本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．19.【答案】解：𝑠𝑖𝑛60°+|1−𝑐𝑜𝑡30°|+𝑡𝑎𝑛45°−𝑐𝑜𝑠30°=√32+|1−√

3|+1−√32=√32+(√3−1)+1−√32=√32+√3−1+1−√32=√3．【解析】首先计算特殊角的三角函数值和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和

有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．20.【答案】解：(1)∵𝐶𝐷//𝐴𝐵，∴𝑂𝐷𝑂𝐵=𝐶𝐷𝐴𝐵=27，∴𝑂𝐵=79𝐵𝐷，∵𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=

𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−𝑎⃗⃗+𝑏⃗，∴𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗=79(−𝑎⃗⃗+𝑏⃗)=79𝑏⃗−79𝑎⃗⃗；(2)∵𝐶𝐷//𝐴𝐵，∴𝑂𝐷𝑂𝐵=𝑂𝐶𝑂𝐴=𝐶𝐷

𝐴𝐵=27，∵𝐴𝐶=12，∴𝑂𝐴=79×12=283，∵𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，第16页，共22页∴tan∠𝑂𝐴𝐵=𝑂𝐵𝑂𝐴=34，∴𝑂𝐵=7，∴𝑂𝐷=2，∴𝐵𝐷=𝑂𝐷+𝑂𝐵=9，∵𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，∴𝑆四边形𝐴

𝐵𝐶𝐷=12⋅𝐵𝐷⋅𝐴𝑂+12⋅𝐵𝐷⋅𝑂𝐶=12⋅𝐵𝐷⋅(𝑂𝐴+𝑂𝐶)=12⋅𝐵𝐷⋅𝐴𝐶=54．【解析】(1)利用三角形法则求出𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗，再利用平行线分线段成比例定理求解；(2)𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷=12⋅𝐵�

�⋅𝐴𝑂+12⋅𝐵𝐷⋅𝑂𝐶=12⋅𝐵𝐷⋅(𝑂𝐴+𝑂𝐶)=12⋅𝐵𝐷⋅𝐴𝐶，求出𝐵𝐷，可得结论．本题考查平面向量，梯形的性质，平行线分线段成比例定理，三角形法则等知识，解题的关键是掌握三角形法则，属于中考常考题型．21

.【答案】解：设正方形的边长为𝑥𝑚𝑚，则𝑃𝑁=𝑃𝑄=𝐸𝐷=𝑥𝑚𝑚，∴𝐴𝐸=𝐴𝐷−𝐸𝐷=(80−𝑥)𝑚𝑚，∵𝑃𝑁//𝐵𝐶，∴△𝐴𝑃𝑁∽△𝐴𝐵𝐶，∴𝑃𝑁𝐵𝐶=𝐴𝐸𝐴𝐷，

即𝑥120=80−𝑥80，解得𝑥=48．∴该正方形零件的边长是48𝑚𝑚，∴这个正方形零件的周长为192𝑚𝑚．【解析】设正方形的边长为𝑥𝑚𝑚，则𝑃𝑁=𝑃𝑄=𝐸𝐷=𝑥𝑚𝑚，𝐴�

�=𝐴𝐷−𝐸𝐷=(80−𝑥)𝑚𝑚，通过证明△𝐴𝑃𝑁∽△𝐴𝐵𝐶，利用相似三角形的性质可得到𝑥120=80−𝑥80，解方程求出𝑥即可．本题考查了相似三角形的应用，根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列式表示出正方形的边长与三角形的边与这边上的高的关系是解题的关键

．22.【答案】解：(1)∵∠𝐸𝐴𝐶=90°，∴∠𝐸𝐴𝐵+∠𝐵𝐴𝐶=90°，∵∠𝐹𝐴𝐶=∠𝐸𝐴𝐵，∴∠𝐹𝐴𝐶+∠𝐵𝐴𝐶=90°，第17页，共22页∴∠𝐵𝐴𝐹=90°，∵tan∠𝐴𝐹

𝐵=𝐴𝐵𝐴𝐹=34，令𝐴𝐵=3𝑥，则𝐴𝐹=4𝑥，∵𝐵𝐹2=𝐴𝐵2+𝐴𝐹2，∴𝐵𝐹2=(3𝑥)2+(4𝑥)2，∴𝐵𝐹=5𝑥=5，∵𝑥=1，∴𝐴𝐵=3𝑥=3，𝐴𝐹=4

𝑥=4，∵𝐵𝐹⋅𝐴𝐷=𝐴𝐵⋅𝐴𝐹=2𝑆△𝐴𝐵𝐹，∴5𝐴𝐷=3×4=12，∴𝐴𝐷=125，(2)在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐹中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐹，∴𝐴𝐵2=𝐵𝐷⋅𝐵𝐹，∴32=5𝐵𝐷

，∴𝐵𝐷=95，∴𝐷𝐹=𝐵𝐹−𝐵𝐷=165，∵∠𝐸𝐴𝐶=90°，∠𝐸=45°，∴∠𝐵𝐶𝐷=45°，∴∠𝐷𝐵𝐶=45°，∴𝐷𝐶=𝐵𝐷=95，∴cot∠𝐷𝐶𝐹=𝐷𝐶𝐷

𝐹=916．【解析】(1)由锐角的正切定义，三角形面积公式，即可求解；(2))由锐角的余切定义，即可求解．本题考查锐角的正切，余切的概念，关键是由勾股定理求出𝐴𝐵，𝐴𝐹的长；由射影定理求出𝐵𝐷的长．第18页，共22页23.【答案】证明(1)∵𝐵�

�⋅𝐴𝐵=𝐵𝐷⋅𝐵𝐶，∴𝐵𝐹𝐵𝐷=𝐵𝐶𝐴𝐵，∵∠𝐵=∠𝐵，∴△𝐴𝐵𝐷∽△𝐶𝐵𝐹，∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐵𝐶𝐹，又∵∠𝐴𝐸𝐹=∠𝐶𝐸𝐷，∴△𝐴𝐸𝐹∽△𝐶𝐸𝐷，∴𝐸𝐹𝐸𝐷=𝐴𝐸𝐶𝐸，∴𝐸𝐹⋅𝐶𝐸=

𝐷𝐸⋅𝐴𝐸；(2)过𝐷作𝐷𝐺//𝐴𝐵交𝐶𝐹于𝐺，∴𝐴𝐸𝐸𝐷=𝐴𝐹𝐷𝐺，∵𝐴𝐸⋅𝐵𝐹=2𝐴𝐹⋅𝐷𝐸，∴𝐴𝐸𝐸𝐷=2𝐴𝐹𝐹𝐵，∴𝐴𝐹

𝐷𝐺=2𝐴𝐹𝐹𝐵，即𝐷𝐺𝐹𝐵=𝐴𝐹2𝐴𝐹=12，∵𝐶𝐷𝐵𝐶=𝐷𝐺𝐹𝐵，∴𝐶𝐷𝐵𝐶=12，∴𝐷为𝐵𝐶的中点，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线．【解析】(1)根据𝐵𝐹⋅𝐴𝐵=𝐵𝐷⋅𝐵𝐶

，得到比例式𝐵𝐹𝐵𝐷=𝐵𝐶𝐴𝐵，又因为成比例的边的夹角相等，证明△𝐴𝐵𝐷∽△𝐶𝐵𝐹，所以对应角∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐵𝐶𝐹，再因为对顶角相等得到△𝐴𝐸𝐹∽△𝐶𝐸𝐷，最后根据相似三角形的性质即可证明；(2)过𝐷作𝐷𝐺//𝐴𝐵交

𝐶𝐹于𝐺，根据平行线分线段成比例定理和已知条件等量代换即可证明．第19页，共22页本题考查平行线分线段成比例定理、三角形中线定义等知识点，解题关键是恰当作出辅助线．24.【答案】解：(1)连接𝐵𝐸，过点𝐸作𝐸𝑁⊥𝐴𝐵于𝑁，过点𝐵作�

�𝑀⊥𝐴𝐸于𝑀，∵正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长为5，𝐷𝐸=2，∴𝐴𝐸=√𝐴𝐷2+𝐷𝐸2=√52+22=√29，𝐴𝐵=𝐴𝐷=𝑁𝐸=5，∴𝑆△𝐴𝐵𝐸=12𝐴𝐵⋅𝑁𝐸=12𝐴𝐸⋅𝐵�

�，∴5×5=√29𝐵𝑀，∴𝐵𝑀=25√2929，∴点𝐵到直线𝐴𝐸的距离为25√2929；(2)如图：连接𝐷𝐷′，由翻折得𝐴𝐸⊥𝐷𝐷′，𝐷𝐸=𝐷′𝐸，∴∠𝐸𝐷𝐷′=∠𝐸

𝐷′𝐷，∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，∴𝐴𝐵//𝐶𝐷，∵𝐴𝐹=𝐶𝐸，∴四边形𝐴𝐸𝐶𝐹是平行四边形，∴𝐴𝐹=𝐶𝐸，𝐴𝐸//𝐶𝐹，∴𝐶𝐹⊥𝐷𝐷′，∴∠𝐸𝐷𝐷

′+∠𝐷′𝐶𝐸=∠𝐸𝐷′𝐷+𝐸𝐷′𝐶=90°，∴∠𝐸𝐷′𝐶=∠𝐷′𝐶𝐸，第20页，共22页∴𝐷′𝐸=𝐶𝐸=𝐷𝐸，∵正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长为5，∴𝐶𝐸=12�

�𝐷=12𝐴𝐵=52，∴𝐴𝐹=52．【解析】(1)连接𝐵𝐸，过点𝐸作𝐸𝑁⊥𝐴𝐵于𝑁，过点𝐵作𝐵𝑀⊥𝐴𝐸于𝑀，利用面积法即可求解；(2)根据翻折的性质得𝐴𝐸⊥𝐷𝐷′，𝐷𝐸=𝐷′𝐸，可得∠𝐸𝐷𝐷′=∠𝐸𝐷′𝐷，证明四边形𝐴𝐸

𝐶𝐹是平行四边形，则𝐴𝐹=𝐶𝐸，𝐴𝐸//𝐶𝐹，可得𝐶𝐹⊥𝐷𝐷′，根据等角的余角相等可得∠𝐸𝐷′𝐶=∠𝐷′𝐶𝐸，则𝐷′𝐸=𝐶𝐸=𝐷𝐸，即可求解．本题是四边形综合题，考查了翻折变换的性质、正方形的性质、三角形的面

积，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题．25.【答案】(1)证明：如图1中，连接𝐷𝐸，𝐶𝑃．∵𝐴𝐸=𝐸𝑃，𝐴𝐷=𝐷𝐶，∴𝐷𝐸//𝐶𝐵，∴△𝐷𝐸�

�∽△𝑃𝐶𝐹，∴𝐸𝐹𝐶𝐹=𝐷𝐹𝑃𝐹，∴𝐸𝐹⋅𝑃𝐹=𝐷𝐹⋅𝐶𝐹；(2)解：如图2中，当𝑃𝐺=𝐺𝐶时，四边形𝐷𝐸𝐺𝐶是菱形．第21页，共22页理由：∵𝐴𝐸=𝐸𝑃，𝐶𝐸⊥𝐴𝑃，∴𝐶𝐴=𝐶𝑃，∵𝐴𝐷=𝐷𝐶

，𝐶𝐺=𝑃𝐺，𝐴𝐸=𝐸𝑃，∴𝐷𝐸//𝑃𝐶，𝐸𝐺//𝐴𝐶，∴四边形𝐶𝐷𝐸𝐺是平行四边形，∵∠𝐴𝐸𝐶=90°，𝐴𝐷=𝐷𝐶，∴𝐷𝐸=𝐷𝐶=𝐴𝐷，∴四边形

𝐶𝐷𝐸𝐺是菱形；(3)解：如图3中，过点𝐵作𝐵𝑇⊥𝐴𝐶于点𝑇．在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶=10，sin∠𝐵𝐴𝐶=𝐵𝐶𝐴𝐶=45，∴𝐵𝐶=8，∴𝐴𝐵=√𝐴𝐶2−𝐵𝐶2=√102−82=6，∵𝐵𝑇⊥𝐴𝐶，∴12⋅𝐵𝐶⋅𝐴𝐵

=12⋅𝐴𝐶⋅𝐵𝑇，∴𝐵𝑇=6×810=245，∴𝐴𝑇=√𝐴𝐵2−𝐵𝑇2=√62−(245)2=185，∵𝐴𝐷=𝐷𝐶=5，第22页，共22页∴𝐷𝑇=5−185=75

，∵∠𝐴𝐵𝐶=90°，𝐴𝐷=𝐷𝐶，∴𝐷𝐵=𝐷𝐶=𝐷𝐴=5，∴∠𝐷𝐵𝐶=∠𝐷𝐶𝐵，∵∠𝐵𝐴𝑃=∠𝐷𝐵𝐶，∴∠𝑃𝐴𝐵=∠𝐷𝐶𝐵，∵∠𝐷𝐶𝐵+∠𝐶𝐴𝐵=90°，∴∠𝑃𝐴𝐵+∠

𝐶𝐴𝐵=90°，∴∠𝐵𝑇𝐶=∠𝑃𝐴𝐷=90°，∴𝐵𝑇//𝐴𝑃，∴𝑃𝐵𝐷𝐵=𝐴𝑇𝑇𝐷，∴𝑃𝐵5=18575，∴𝑃𝐵=907．【解析】(1)如图1中，连接𝐷𝐸，𝐶

𝑃.证明𝐷𝐸//𝐶𝐵，推出△𝐷𝐸𝐹∽△𝑃𝐶𝐹，推出𝐸𝐹𝐶𝐹=𝐷𝐹𝑃𝐹，可得结论；(2)如图2中，当𝑃𝐺=𝐺𝐶时，四边形𝐷𝐸𝐺𝐶是菱形．根据邻边相等平行四边形是菱形证明即可；(3)如图3中，过点𝐵作𝐵𝑇⊥𝐴𝐶于点𝑇

.利用面积法，勾股定理求出𝐴𝑇，𝐷𝑇，再证明𝐷𝑇//𝐴𝑃，利用平行线分线段成比例定理求解即可．本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，

属于中考常考题型．