【文档说明】2022-2023学年山东省青岛第二中学高二上学期12月月考数学试题word版.docx，共(14)页，1.041 MB，由小喜鸽上传

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1青岛第二中学2022-2023学年高二上学期12月月考数学一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知2(1,0,2),(6,21,)ab=+=−vv，若av∥bv，则与

的值分别为（）A．11,52B．11,52−−C．5,2D．5,2−−2．已知双曲线22214xym−=的右焦点到其渐近线的距离等于3，则该双曲线的离心率等于A．12B．32C．2D．723．数列{}na为等差数列，123,,aaa为等比数列，51a=，则10a=A．5B

．1−C．0D．14．已知nS为数列na的前n项和，34nnaS=+，那么5a=（）A．－4B．18C．18−D．14−5．已知直线31axy+=与直线320xy−+=互相垂直，则=a（）A．-3B．-1C．3D．

16．已知空间四边形ABCD中，ABa=uuurr，CBb=uuurr，ADc=uuurr，则CDuuur等于（）A．abc+−rrrB．abc−−+rrrC．abc−++rrrD．abc−+−rrr7．已知,abrr为非零向量，matb=+

urrr，若||1,||2ab==rr，当且仅当14t=时，||mur取得最小值，则向量,abrr的夹角为（）A．6B．3C．23D．568．某村计划修建一条横断面为等腰梯形（上底大于下底）的水渠，为了降低建造成本，必须尽量减少水与渠壁的接触面.已知

水渠横断面面积设计为6平方米，水渠深2米，水渠壁的倾角为02，则当该水渠的修建成本最低时的值为（）A．6B．4C．3D．512二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对

的得2分．9．已知数列na的前n项和22nnnS+=，数列nb满足1nnba=，若nb，2nb+，nkb+（kN，2k）成等差数列，则k的值不可能是（）2A．4B．6C．8D．1010．如图所示，下列四条

直线1l，2l，3l，4l，斜率分别是1k，2k，3k，4k，倾斜角分别是1，2，3，4，则下列关系正确的是（）A．2143kkkkB．3214kkkkC．2143D．321411．直线l的方向向量为ar

，两个平面，的法向量分别为nr，mur，则下列命题为真命题的是（）A．若an⊥rr，则直线//l平面B．若anrr∥，则直线l⊥平面C．若1cos,2an=rr，则直线l与平面所成角的大小为π6D．若3cos,2mn=ur

r，则平面，所成二面角的大小为π612．以下四个命题表述正确的是（）A．若点(1,2)在圆222(1)20xyxmym+++−−+=外，则实数m的取值范围为(7,)−+B．圆222xy+=上有且仅有3个点到直线:10lxy−+=的距离等于22C．圆221:2440Cxyxy+−−−=和圆2

22:2220Cxyxy+++−=外切D．实数,xy满足2220xyx++=，则1yx−的取值范围是33[,]33−三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分13．直线l过点()1,1A−−，()2,3B，则直线AB的方程为______

．14．抛物线的焦点坐标是_______________．15．数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体.关于“等腰四面体”，以下结

论正确的序号是______.①“等腰四面体”每个顶点出发的三条棱一定可以构成三角形；②“等腰四面体”的四个面均为全等的锐角三角形；③三组对棱长度分别为5，6，7的“等腰四面体”的体积为295；④三组对棱长度分别为a，b，c的“等腰四面体”的外接球直径为222abc++.3

16．已知数列na的前n项和为nS，且12a=，11122nnaa+=+，则nS=______；若12nnSnat+恒成立，则实数t的取值范围为______.四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．1

7．已知na是递增的等差数列，13a=，且13a，4a，1a成等比数列.(1)求数列na的通项公式；(2)设数列11nnaa+的前n项和为nT，求证：11156nT.18．求下列各圆的方程，并面出图形.（1）圆心为点()8,3

C−，且过点()5,1A；（2）过()1,5A−，()5,5B，()6,2C−三点．19．已知正方体1111ABCDABCD−.(1)求证:11ACBC⊥.(2)求二面角1BACD−−的大小.20．已知na是首项为2的等比数列，各项均为正

数，且2312aa+=.（Ⅰ）求数列na的通项公式；（Ⅱ）设211lognnbna+=，求数列nb的前n项和nT.21．如图，AE⊥平面ABCD，CFAE∥，ADBC∥，ADAB⊥，2ABAD==，4AEBC

==.(1)求证：BF∥平面ADE；(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；(3)若二面角EBDF−−的余弦值为13，求线段CF的长.22．已知椭圆C：22221(0)xyabab+=的焦距为

23，且经过点1(3,)2A−.4（1）求椭圆C的标准方程；（2）斜率为k的直线l与椭圆C交于不同的两点M、N，若椭圆上存在点P，使得四边形OMPN为平行四边形（其中O是坐标原点），求平行四边形OMPN的面积.参考答案1．A由于

//abrr，所以1210,2−==，且121,265+==.故选：A.2．D右焦点到其渐近线的距离等于为m3=，故c7=,故离心率等于72，故选D3．D试题分析：设等差数列na的公差为d，则2131,2aadaad=+=+，又123,,aaa成等比数列，所以2

213aaa=，即()2111(2)adaad+=+，解之得0d=，所以等差数列na为常数列，所以1051aa==，故选D．考点：1．等差数列的定义及性质；2．等比数列的定义与性质．4．C因为34n

naS=+，当1n=时，12a=−，当2n时，由34nnaS=+得1134nnaS−−=+，两式相减得()1133nnnnnaaSSa−−−=−=，即112nnaa−=−，又2112aa=−，所以na是等

比数列，()1122nna−=−−，则()4511228a=−−=−，故选：C5．D直线31axy+=的斜率为3a−，直线320xy−+=的斜率为3，由题意，()313a−=−，解得1a=.5故选：D6

．C由向量的运算法则，可得CDCBBAADCBABADabc=++=−+=−++uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurrrr.故选：C.7．C设为ar与br的夹角，且0,，则222||()44cos1matb

tt=+=++urrr，∵当且仅当14t=时，mur取得最小值，∴cos124−=，即1cos2=−，∵0,，∴23=故选：C8．C作出横截面ABCD如下图所示，其中//ABCD，ADBC=，CEAE⊥，CBE

=，则2CE=，2sinBC=Q，2tanBE=，42tanCDABBE−==，又梯形ABCD的面积()162SABCDCEABCD=+=+=，23tanCD=+，23tanAB=−，设yADABBC=++，则()

22cos42330sintansin2y−=+−=+；若y取最小值，则−sincos2取得最小值；−sincos2表示点()0,2与点()sin,cos−连线的斜率，()sin

,cos02−Q的轨迹为()22110,01xyxy+=−，6可作出图象如下图所示，则当过()0,2的直线与()22110,01xyxy+=−相切时，−sincos2取得最小值，设切线方程为：()20ykxk=+，即20kxy−

+=，()0,0到切线距离2211dk==+，解得：3k=，即当2cos3sin−=时，y取得最小值，此时3sincos2sin26+=+=，则3=，即当3=时，该水渠的修建成本最低.故选：C.9．AD当1n=时，11212aS===，当2n时

，()()2211122nnnnnnnaSSn−−+++=−=−=，故nan=（Nn），11nnban==（Nn）．因为nb，2nb+，nkb+（Nk，2k）成等差数列，所以22nnnkbbb

++=+，即2112nnnk=+++，所以48422nknn==+−−，（2k，Nk），从而2n−的取值为1，2，4，8，则对应的k的值为12，8，6，5，所以k的值不可能是4，10，故选:AD．

10．BC直线1l，2l，3l，4l，斜率分别是1k，2k，3k，4k，倾斜角分别是1，2，3，4，由倾斜角定义知1402，32，20=，2143，故C正确；由tank=，知20k=，30k，140kk

，3214kkkk，故B正确；故选：BC11．BC7对于A：若an⊥rr，则直线//l平面，或直线l平面，故A错误；对于B：若anrr∥，根据平行的传递性可得直线l⊥平面，故B正确；对于C：因为直线与平

面所成角范围为0,2，且若1cos,2an=rr，即ar与nr的夹角为3，所以直线l与平面所成角的大小为π6，故C正确；对于D：因为两面所成角范围为0,，若3cos,2mn=urr，则平面，所成

二面角的大小为π6或5π6，故D错误.故选：BC12．ABDA,点(1,2)在圆222(1)20xyxmym+++−−+=外,221222(1)20mm+++−−+,7m−，A选项正确.B,圆222xy+=的圆心为()0,0，半径为2，圆心到直线l的距离为1222=，

所以圆222xy+=上有且仅有3个点到直线:10lxy−+=的距离等于22，B选项正确.C,1C的圆心为()1,2，半径为3；2C的圆心为()1,1−−，半径为2，所以圆心距为491332+=+，所以C选项错误.D,圆2220xyx++=的圆心为()1,0A−，半径为1，1yx

−表示圆上的点(),Bxy与点()1,0C连线的斜率，当直线BC与圆A相切时，如图所示，1,2ABAC==，所以π6BCA=，结合对称性可知1yx−的取值范围是33,33−，D选项正确.故选：ABD813．4310xy−+=因为直线过点()1,1A−−，()2

,3B，故可得直线AB的斜率314213k+==+，根据点斜式方程可得()4113yx+=+整理化简得4310xy−+=.故答案为：4310xy−+=.14．15．①②③解：将等腰四面体补成长方体，设等腰四面体的对棱棱长分别为a，b，c，与之对应的长方体的长宽高分别为x，y，z

，则222222222xyayzbxzc+=+=+=，故22222acbx+−=，22222abcy+−=，22222bcaz+−=，结合图像易得①②正确；三组对棱长度分别为5a=，6b=，7c=，则19x=，6y=，30z=，因为等腰四面体的体积是对应长方体体积减去四个小

三棱锥的体积，所以等腰四面体的体积1114295323xyzxyzxyz−==，③正确；三组对棱长度分别为a，b，c的“等腰四面体”的外接球直径2222222Rxyzabc=++++，④错误.9故答案为：①②③.16．1212nn+−)4,+由12a=，1112

2nnaa+=+，得()11112nnaa+−=−，111a−=，所以数列1na−是首项为1，公比为12的等比数列，所以11111122nnna−−−==，1112nna−=+，1221111122

2nnnSaaan−=+++=+++++LL111221122nnnn−=+=+−−.又12nnnnan−=+，所以111121212222nnnnnnntSnann−+−=+−

−+=−恒成立，即1412nnt+−，*nN恒成立.令12nnnb+=，则111210222nnnnnnnnbb+++++−=−=−，所以nb是递减数列，所以1012nn+，

10112nn+−，即4t，实数t的取值范围为)4,+.故答案为：1212nn+−；)4,+.17．(1)21nan=+(2)见解析.(1)设na的公差为d，因为13a，4a，1a成等比数列，10所以()()222411333331220

aaadddd=+=+−=，因为na是递增，所以0d，故2d=，所以21nan=+.(2)()()111111212322123nnaannnn+==−++++,所以11111111112355721232323nTnnn

=−+−++−=−+++L，因为123n+单调递减，所以nT单调递增，故当1n=时，min11()15nTT==，而111123236nnT=−+，故11156nT.18．（1）22(8)(3)25xy−++=（图见解析）（

2）2242200xyxy+−−−=（图见解析）（1）由题意知半径22(85)(31)5r=−+−−=,所以圆的方程为：22(8)(3)25xy−++=.（2）设圆的一般方程为：220xyDxEyF++++=.将()1,5A−，()5,5B，()6,2C−代入得：1+2550425255502

36462020DEFDDEFEDEFF−++==−++++==−++−+==−所以圆的方程为：2242200xyxy+−−−=.19．(1)证明见解析；(2)120o.11设正方体边长为a，以1A为原点，11AD为x轴，11AB为y轴，1AA为z轴建立如图所示空间直角坐

标系，其中11(0,0,0),(0,,),(,,),(,0,),(,,0)ABaaCaaaDaaCaa(1)11(,,),(,0,)ACaaaBCaa==−uuuruuuur，22110ACBCaa=−=uuuruuuur，11BACC⊥uuuruuuur，则11ACBC⊥；(2)设(,

,),(,,)nxyzmrst==rur分别为平面1BAC，平面1DAC的法向量，,nmrur的夹角为，1(0,,),(,0,0)ABaaBCa==uuuruuur，则110000yznABnABxnBCnBC+=⊥==⊥=uuuvuuuvvvuuuvuu

uvvv，令1y=可得(0,1,1)n=−r，(,0,),(0,,0)ADaaDCa==uuuruuur，则0000rtmADmADsmDCmDC+=⊥==⊥=uuuvuuuvvvuuuvuuuv

vv，令1r=可得(1,0,1)m=−ur，所以1cos2nmnm==rurrur，则,nmrur的夹角为60o，所以二面角1BACD−−的大小为120o.20．（Ⅰ）2nna=（Ⅱ）1nn+（I）设na的公比为q，由2312aa+=，得26qq+=3q=−或2q=.又

na的各项均为正数，0,2.qq=2nna=（II）211111log(1)1nnbnannnn+===−++121111112231nTnn=−+−++−+L1111nnn=−=++21．(1)证明见解析(2)49；(3)167（1）证明：因为AE⊥平面ABCD，

AD，AB在平面ABCD内，则AEAD⊥，AEAB⊥，又ADAB⊥，故以A为坐标原点，分别以ABuuur，ADuuur，AEuuur所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，可得()0,0,0A，()2,0,0B，()2,4

,0C，()0,2,0D，()0,0,4E.设(0)CFhh=，则()2,4,Fh.则()2,0,0AB=uuur是平面ADE的法向量，又()0,4,BFh=uuur，可得0BFAB=uuuruuur.又

∵直线BF平面ADE，∴BF∥平面ADE；（2）依题意，()2,2,0BD=−uuur，()2,0,4BE=−uuur，()2,4,4CE=−−uuur.设(),,nxyz=r为平面BDE的法向量，则·=+=0,·=+2=0nBDxynBExz−

−uuurruuurr令1z=，得()2,2,1n=r.∴4cos,9CEnCEnCEn==−uuurruuurruuurr.13∴直线CE与平面BDE所成角的正弦值为49；（3）设()111,,mxyz=r为平面BDF的法向量，则1111·=+=0·=4+=0m

BDxymBFyhz−uuurruuurr，取11y=，可得41,1,mh=−r，由题意，2441cos,31632mnhmnmnh−===+rrrrrr，解得167h=.经检验，符合题意.∴线段

CF的长为167.22．（1）2214xy+=（2）3S=解：（1）由题意可知椭圆的左、右焦点分别为()13,0F−，()23,0F，又椭圆C经过点13,2A−，所以122AFAFa+=，即()()2222113333222a−

−++−+=，所以712422a=+=，即2a=，又2221bac=−=，所以椭圆的标准方程为2214xy+=.（2）设直线l的方程为ykxm=+，由2214ykxmxy=++=，消去y得()222418440kxkmxm+++−=.设()11,Mxy，()2

2,Nxy，(),PPPxy，则有()()()2228441440kmkm=−+−，即2241km+，又122841kmxxk−+=+，21224441mxxk−=+.因为四边形OMPN为平行四边形，所以OPOMON=+uuuvuu

uuvuuuv，故122841Pkmxxxk−=+=+，()()1212Pyyykxmkxm=+=+++228224141kmmkmkk−=+=++，所以2282,4141kmmPkk−++，14由点P在椭圆上可得222

282411441kmmkk−++=+，化简得22441mk=+而()()221212124xxxxxx−=+−()()2222222216418444414141kmkmmkkk−+−−=−=+++

.又因为22441mk=+，所以()221242163316mxxmm−==，所以123xxm−=，所以2212311MNkxxkm=+−=+.又点O到直线l的距离21mdk=+，故OMN的面积22113312221OMNmSMNdkmk==+=

+.所以平行四边形OMPN的面积为3232S==.