【文档说明】2022-2023学年山东省菏泽市巨野县第一中学高二上学期期末数学试题解析版.doc，共(23)页，2.854 MB，由小喜鸽上传

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第1页共23页2022-2023学年山东省菏泽市巨野县第一中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．na是首项和公差均为3的等差数列，如果2022na=，则n等于（）．A．671B．672C．673D．674【答案】D【分析】根据题意，求得数列na的通项公式

，代入数据，即可得答案.【详解】因为数列na为等差数列，所以3(1)33nann+−==，令32022n=，解得674n=.故选：D2．设nS为等差数列na的前n项和，已知311a=，1060S=，则5a=（）A．7B．8C．9D．10【答案】A【详解】设等差数列na的

公差为d，由题意建立方程，即可求出1a，d，再根据等差数列的通项公式，即可求出结果．【分析】设等差数列na的公差为d，由题意可知11211?104560adad+=+=，解得115a=，2d=−，所以5141587aad=+=−=．故选：A3．阿波罗尼斯研究发现：如

果一个动点P到两个定点的距离之比为常数（0，且1），那么点P的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．若点C到()1,0A−，()10B,的距离之比为3，则点C到直线280xy−+=的最小距离为（）A．253−B．53−C．25D．3【答案】A【分析】设(,)Cxy，依题意求出点C的

轨迹方程，进而可求点C到直线280xy−+=的距离的最小第2页共23页值．【详解】解：由题意，设(,)Cxy，由(1,0)A−，(1,0)B，因为3CACB=，所以2222(1)3(1)xyxy++=−+，即22(2)3xy−+=，所以点C的轨迹为以(2

,0)M为圆心，半径3r=的圆，又点M到直线280xy−+=的距离()222082512d−+==+−，所以点C到直线280xy−+=的距离的最小值为253−．故选：A．4．如图，某建筑物白色的波浪形屋顶像翅膀一样漂浮，建筑师通过双

曲线的设计元素赋予了这座建筑以轻盈，极简和雕塑般的气质，该建筑物外形弧线的一段可以近似看成焦点在y轴上的双曲线()222210,0yxabab−=上支的一部分.已知该双曲线的上焦点F到下顶点的距离为18，F到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率

为（）.A．53B．54C．43D．45【答案】B【分析】由点到直线的距离公式可得b，已知结合双曲线222+=abc列方程组求解即可.【详解】点(0,)Fc的到渐近线ayxb=，即0axby−=的距离226−===+bcdbab，又由题知222186+=+=

acac，解得108==ca，所以10584===cea.故选：B.5．已知椭圆M：()22211xyaa+=的中心为O，过焦点F的直线l与M交于A，B两点，线段AF的中点为P，若32OPPF==，则椭圆M的方程为（）A．2212

xy+=B．2213xy+=C．2214xy+=D．2215xy+=第3页共23页【答案】B【分析】设(,)Amn，2(1,0)Fa−，利用中点坐标公式得到21(,)22manP+−，再利用32OPPF==得到m、n、a的方程组即可求解.【详解】设(,)Amn，2(1,0

)Fa−，则21(,)22manP+−，因为32OPPF==，所以3AF=，所以()()22222222213134441manmanmna−−+=+−+=+=，即()()22222222213131m

anmanmna−−+=+−+=+=，解得0m=，21n=，23a=，所以椭圆M的方程为2213xy+=.故选：B.6．对于空间一点O和不共线三点A，B，C，且有623OPOAOBOC=++uuuruuuruuuruuu

r，则（）A．O，A，B，C四点共面B．P，A，B，C四点共面C．O，P，B，C四点共面D．O，P，A，B，C五点共面【答案】B【分析】利用向量加减法，根据空间向量的加减法，可得,,APPBPCuuuruuuruuur三个向量共面，可得答案.【详解】由623OPOAOBOC=++uuuruuuru

uuruuur，得()()=2+3OPOAOBOPOCOP−−−uuuruuuruuuruuuruuuruuur，即23APPBPC=+uuuruuuruuur，故,,APPBPCuuuruuuruuur共面.又因为三个向量有同一公共点P，所以,,,PABC共面.故选：B.7．已知直

线2ykx=+与圆C：222xy+=交于A，B两点，且2AB=，则k的值为（）A．33B．3C．3D．2第4页共23页【答案】B【分析】利用圆的弦长、弦心距、半径关系，以及点线距离公式列方程求k值.【详解

】由题设(0,0)C且半径2r=，弦长2AB=，所以C到2ykx=+的距离22||()12ABdr=−=，即2211k=+，可得3k=.故选：B8．已知椭圆22143xy+=的左、右焦点分别为1F、2F，点P在椭圆上且在x轴的下方，若线段2PF的中点在

以原点O为圆心，2OF为半径的圆上，则直线2PF的倾斜角为（）A．6B．4C．3D．23【答案】C【分析】设线段2PF的中点为M，连接1PF、1MF，利用圆的几何性质可得出12FMPF⊥，求得11222PFFFc===，利用椭圆的定义可求得2PF，可判断出12PFF△的形

状，即可得解.【详解】在椭圆22143xy+=中，2a=，3b=，221cab=−=，设线段2PF的中点为M，连接1PF、1MF，则12FF为圆O的一条直径，则12FMPF⊥，因为M为2PF的中点，则11222PFFFc===，则2122PFaPF=−=，所以，12PFF

△为等边三角形，由图可知，直线2PF的倾斜角为3.故选：C.二、多选题9．已知在直三棱柱111ABCABC-中，底面是一个等腰直角三角形，且1ABBCBB==，E、F、G、M第5页共23页分别为1111BCABABBC，，，的中点．则（

）A．1GB与平面11ACCA夹角余弦值为255B．1AB与1BC所成角为3C．1//AM平面EFBD．平面1ABC⊥平面1AMC【答案】BCD【分析】建系，利用坐标法，根据线面角，线线角的向量求法可判断AB，根据线面平行的判定定理可判断C，利用线面垂直的判定定理先证BC⊥平

面11ABBA，可得1BCAB⊥，再证1AB⊥平面1ABC，然后根据面面垂直的判定定理即得．【详解】如图1，建立空间之间坐标系，设2AB=，则有：()()()()()()110,2,00,0,02,0,00,1,0

2,0,20,0,2ABCGCB，，，，，，∴()10,1,2GB=−uuur，()2,2,0AC=−uuur，()10,0,2CC=uuuur，()12,0,2BC=uuuur，()10,2,2AB=−uuur，设平面ACC1A1的法向量为(),

,nxyz=r则有122020nACxynCCz=−===uuurruuuurr，令x＝1，则()1,1,0n=r，则111110cos,1025nGBnGBnGB==−=−ruuurruuurru

uur，∴1GB与平面11ACCA夹角的正弦值为1010，则余弦值为31010，A错误；∵11111141cos,22222BCABBCABBCAB===uuuuruuuruuuuruuuruuuuruuur

，∴AB1与BC1所成角的余弦值为12，则夹角为π3，B正确；如图2：连接1EFBEBM，，，设1BEBMO=I，连接OF，第6页共23页E、M分别为11BCBC，的中点，则1//BEBM且1BEBM=，∴1EMBB为平行四边形，则O为1MB的中点，又∵F为11AB的中

点，则1//OFAM，OF平面EFB，1AMË平面EFB，∴1//AM平面EFB，C正确；由题可知平面1AMC即为平面1ABC，由题意可得：1BCABBCBB⊥⊥，，又1ABBBB?，AB，1BB

平面11ABBA，∴BC⊥平面11ABBA，1AB平面11ABBA，则1BCAB⊥，又∵11ABBA为正方形，则11ABAB⊥，又1BCABB=，,BC1AB平面1ABC，所以1AB⊥平面1ABC，1AB平面1ABC，∴平面1ABC⊥平面1ABC，即平面1ABC⊥平面1AMC，D正确.故

选：BCD．10．已知椭圆22:143xyC+=的左、右焦点分别是1F，2F，04,3My为椭圆C上一点，则下列结论正确的是（）A．12MFF△的周长为6B．12MFF△的面积为153第7页共23页C．12MFF△的内切圆的半径为159D．12MFF△的外接圆的直径为3211【答案】A

BC【分析】求得0y，进而求得12,MFMF，由此对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】椭圆22:143xyC+=的左、右焦点分别是()11,0F−，()21,0F，04,3My为椭圆C上一点，220041

531,433yy+==，所以2212715884,433333MFMF=+==−=.所以12MFF△的周长为22426ac+=+=，A正确.12MFF△的面积为001151521233cycy===，B正确.设12MFF△的

内切圆的半径为r，则115156,239rr==，C选项正确.1212641641199cos0,8416233FMFFMF+−==为锐角，12121135315sin12561616FMF=−==，所以12MFF△的外接圆的直径为12122323215s

in4531531516FFFMF===，D选项错误.故选：ABC11．过抛物线2:2Cypx=上一点A(1，-4)作两条相互垂直的直线，与C的另外两个交点分别为M，N，则（）A．C的准线方程是4x=−B．过C的焦点的最短弦长为8C．直线M

N过定点(0，4)D．当点A到直线MN的距离最大时，直线MN的方程为2380xy+−=【答案】AD【分析】由题可得C为216yx=，进而判断A，利用焦点弦的方程结合抛物线的定义结合条件可判断B，设MN为xmyn=+，联立抛物线利用韦达定理结合条件可得m、n的数量关系，可判断C，由C分析所得的

定点P，要使A到直线MN的距离最大有MNAP⊥，可得此时直线MN的方程判断D.第8页共23页【详解】将()1,4A−代入C中得：8p=，则C为216yx=，所以C的准线方程是4x=−，故A正确；由题可知C的焦点为()4,0，可设过C

的焦点的直线为4xty=+，由2416xtyyx=+=，可得216640yty−−=，设交点为()(),,,EEFFExyFxy，则16EFyyt+=，()281688EFEFxxtyyt+=++=+，所以816EFEFxx=++

，即过C的焦点的最短弦长为16，故B不正确；设211,16yMy，222,16yNy，直线MN为xmyn=+，联立抛物线得：216160ymyn−−=，所以1216yym+=，1216yyn=−，又AMAN

⊥，所以2212121,41,41616yyAMANyy=−+−+uuuuruuur()()()()2212121616440256yyyy−−=+++=，因为14y−，24y−，即()()12440yy++，所以()()124410256yy−−+=，

整理得()121242720yyyy−++=，故16642720nm−−+=，得417nm=−+，所以直线MN为(4)17xmy=−+，所以直线MN过定点()17,4P，故C不正确；当MNAP⊥时，A到直线MN的距离最大，此时直线M

N为2380xy+−=，故D正确.故选：AD.12．已知22:60Cxyx+−=，则下述正确的是（）A．圆C的半径3r=B．点()1,22在圆C的内部C．直线:330lxy++=与圆C相切D．圆()22:14Cxy++=与圆C相交【答案】ACD【分

析】先将圆方程化为标准方程，求出圆心和半径，然后逐个分析判断即可【详解】由2260xyx+−=，得22(3)9xy−+=，则圆心(3,0)C，半径13r=，所以A正确，第9页共23页对于B，因为点()1,2

2到圆心的距离为22(31)(022)233−+−=，所以点()1,22在圆C的外部，所以B错误，对于C，因为圆心(3,0)C到直线:330lxy++=的距离为()12233313dr+===+，所以直线:330lxy++=与圆C相切，所以C正确，对于D，圆()22:14Cxy

++=的圆心为(1,0)C−，半径22r=，因为2(31)4CC=+=，12124rrrr−+，所以圆()22:14Cxy++=与圆C相交，所以D正确，故选：ACD三、填空题13．已知P为抛物线212yx=上一个动点，Q为圆()2241xy+−=上一个动点，那么点P到点Q的距离与点

P到直线3x=−的距离之和的最小值是___________.【答案】4【分析】根据抛物线方程求得焦点F坐标和准线方程，由圆的方程求得圆心坐标，半径r，然后根据抛物线的定义，将问题转化为求点P到点Q的距离与点

P到抛物线的焦点F距离之和的最小值，从而即可求解．【详解】解：抛物线212yx=的焦点为()3,0F，准线方程为3x=−，圆()2241xy+−=的圆心为()0,4E，半径为1，根据抛物线的定义可知点P到准线3x=−的距离等于点P到焦点()3,0F的距离，从而可得：当P，Q，F三点共线时，

点P到点Q的距离与点P到直线3x=−距离之和的最小为223414QFEFr=−=+−=，故答案：4.14．已知F为双曲线C：()222210,0xyabab−=的右焦点，A为C的左顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴，若AB的斜率为2，则C的离心率为______．【

答案】3【分析】由双曲线的基本性质得A、B两点的坐标，利用斜率得关系式求解即可.第10页共23页【详解】解:设双曲线焦距为2c，则(),0Fc，2,bBca，(),0Aa−，因为AB的斜率为2，所以()22ABbkaca==+，整理得22230caca−−

=，解得3ca=，所以3e=．故答案为:3.15．斐波那契数列（Fibonaccisequence）又称黄金分割数列，是数学史上一个著名的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…….已知在斐波那契数列na中，11a=，21a=，()21Nnnnaaan+++=+，若2

022am=，则数列na的前2020项和为___________（用含m的代数式表示）.【答案】1m−##1m−+【分析】通过累加得到22nnaaS+=+即可求得前2020项和.【详解】由21nnnaaa++=+，可知11nnnaaa+−=+，……，432aaa

=+，321aaa=+，将以上各式相加得1312121222nnnnnaaaaaaaa+−++++++++=++LL，整理得22nnaaS+=+，则2020202221Saam=−=−.故答案为：1m−.四、双空题16．已知抛物线2:2(0)Cxpyp=的焦点为F，

Q（2，3）为C内的一点，M为C上任意一点，且MQMF+的最小值为4，则p＝______；若直线l过点Q，与拋物线C交于A，B两点，且Q为线段AB的中点，则OABV的面积为______．【答案】2；22．【分析】把MF转化为M到准线的距离MN，可得MQMF

+的最小值，从而求得p，设11(,)Axy，22(,)Bxy，代入抛物线方程相减求得直线AB的斜率，得直线方程，可求得原点O到直线AB的距离，直线AB方程与抛物线方程联立消元，应用韦达定理，然后由弦长公式求得弦长AB，从而得三角形面积．【详解】:2ply=−是抛物

线的准线，过P作MNl⊥于N，过Q作QPl⊥于P，第11页共23页则MFMN=，QMMFQMMN+=+，易知当M是QP与抛物线的交点时，QMMF+取得最小值，所以342p+=，2p=，设11(,)Axy，22(,)Bxy，显然12xx，124xx+=，126yy

+=，由21122244xyxy==得2212124()xxyy−=−，12121214AByyxxkxx−+===−，直线AB方程为32yx−=−，即1yx=+，原点O到直线AB的距离为1222d==，由214yxxy=+=，得2440xx−−=，124xx+=，124xx=−，22

2121212112()4244(4)8ABxxxxxx=+−=+−=−−=，所以112822222OABSABd===!．故答案为：2；22．五、解答题17．已知空间三点()4,0,4A−，()2,2,4B−，()3,2,3C−．设aAB=ruuur，b

BC=ruuur．(1)求ar，br；(2)求ar与br的夹角；第12页共23页(3)若向量kab+rr与2kab−rr互相垂直，求实数k的值．【答案】(1)22，2(2)23(3)1338−【分析】（1）根据空间向量模的坐标运算公式即可求出

结果；（2）由（1）可知,abrr的坐标，根据空间向量夹角的坐标运算公式，即可求出结果；（3）由（1）可求出kab+rr，2kab−rr的坐标，由向量kab+rr与2kab−rr互相垂直，可得()()20kakabb−+=rrrr，再根据空间向量数量积的坐标运

算公式建立方程，即可求出结果.【详解】（1）解：因为()4,0,4A−，()2,2,4B−，所以()2,2,0aAB==ruuur,所以22222022a=++=r；因为()2,2,4B−，()3,2,3C−，所以()1,0,1bBC==−−ruuur，所以()()22

21012b=−++−=r；（2）解：由（1）可知()()2120011cos22,22ababab−++−===−rrrrrr，又0,,abrr，所以2,3ab=rr，即ar与br的夹角为23.（3）解：由（1）可知(

)21,2,1kabkk+=−−rr，()22,22,2kkakb−=+rr，又向量kab+rr与2kab−rr互相垂直，所以()()20kakabb−+=rrrr，所以()()21,2,122,2,20kkkk

−−+=，即()()22122420kkk−++−=，解得1338k−=.18．记nS为数列na的前n项和．已知221nnSnan+=+．(1)证明：na是等差数列；(2)若479,,aaa成等比数列，求nS的最小值．【答案】(1)证明见解析；(2)78−．第13页共23页

【分析】（1）依题意可得222nnSnnan+=+，根据11,1,2nnnSnaSSn−==−，作差即可得到11nnaa−−=，从而得证；（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出1a，即可得到na的通项公式与前n项和，再根据二次函数的性质计算可得．【详解】（1）因为221n

nSnan+=+，即222nnSnnan+=+①，当2n时，()()()21121211nnSnnan−−+−=−+−②，①−②得，()()()22112212211nnnnSnSnnannan−−+−−−=+−−−−，即()12212211nnnannana−+−=

−−+，即()()()1212121nnnanan−−−−=−，所以11nnaa−−=，2n且N*n，所以na是以1为公差的等差数列．（2）[方法一]：二次函数的性质由（1）可得413aa=+，716aa=+，918aa=+，又4a，7a，9a成等比

数列，所以2749aaa=，即()()()2111638aaa+=++，解得112a=−，所以13nan=−，所以()22112512562512222228nnnSnnnn−=−+=−=−−，所以，当12n=或13n=时，()min78nS=

−．[方法二]：【最优解】邻项变号法由（1）可得413aa=+，716aa=+，918aa=+，又4a，7a，9a成等比数列，所以2749aaa=，即()()()2111638aaa+=++，解得112a=−，所以13nan=−，即有

1123210,0aaaa=L.则当12n=或13n=时，()min78nS=−．第14页共23页【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出nS的最小值，适用于可以求出nS的表达式；法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．19．已知直三棱柱111ABCABC-中，

侧面11AABB为正方形，2ABBC==，E，F分别为AC和1CC的中点，D为棱11AB上的点．11BFAB⊥（1）证明：BFDE⊥；（2）当1BD为何值时，面11BBCC与面DFE所成的二面角的正弦值最

小?【答案】（1）证明见解析；（2）112BD=【分析】（1）方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直；（2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值

最大，进而可以确定出答案；【详解】（1）[方法一]：几何法因为1111,//BFABABAB⊥，所以BFAB⊥．又因为1ABBB⊥，1BFBBB=，所以AB⊥平面11BCCB．又因为2ABBC==，构造正方体1111ABCGABCG−，如图所示，过E作AB

的平行线分别与AGBC，交于其中点,MN，连接11,AMBN，第15页共23页因为E，F分别为AC和1CC的中点，所以N是BC的中点，易证1RtRtBCFBBNVV，则1CBFBBN=．又因为1190BBNBNB+=，所以1190CBFBNBBFBN+=⊥，．又因为

111111,BFABBNABB⊥=I，所以BF⊥平面11AMNB．又因为ED平面11AMNB，所以BFDE⊥．[方法二]【最优解】：向量法因为三棱柱111ABCABC-是直三棱柱，1BB⊥底面ABC，1BBAB⊥11//ABABQ，11BFAB⊥，BFAB⊥，又1

BBBFB=，AB⊥平面11BCCB．所以1,,BABCBB两两垂直．以B为坐标原点，分别以1,,BABCBB所在直线为,,xyz轴建立空间直角坐标系，如图．()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0,BAC()()()1110,0,2,2,0,2,0,2,2BAC，()(

)1,1,0,0,2,1EF．由题设(),0,2Da（02a）．因为()()0,2,1,1,1,2BFDEa==−−uuuruuur，所以()()0121120BFDEa=−++−=uuuruu

ur，所以BFDE⊥．[方法三]：因为11BFAB⊥，11//ABAB，所以BFAB⊥，故110BFAB=uuuruuuur，0BFAB=uuuruuur，所以()11BFEDBFEBBBBD=++uuuruuuruuuruuuruuuruuuur()11=B

FBDBFEBBB++uuuuruuuuruuuruuuruuur1BFEBBFBB=+uuuruuuruuuruuur11122BFBABCBFBB=−−+uuuruuuruuuruuuruuur11122BFBABFBCBF

BB=−−+uuuruuuruuuruuuruuuruuur112BFBCBFBB=−+uuuruuuruuuruuur111coscos2BFBCFBCBFBBFBB=−+uuuruuuruuuruuur121=52520255−

+=，所以BFED⊥．（2）[方法一]【最优解】：向量法第16页共23页设平面DFE的法向量为(),,mxyz=ur，因为()()1,1,1,1,1,2EFDEa=−=−−uuuruuur，所以00mEFmDE==uuuvruuuvr，即()0120xyz

axyz−++=−+−=．令2za=−，则()3,1,2maa=+−r因为平面11BCCB的法向量为()2,0,0BA=uuur，设平面11BCCB与平面DEF的二面角的平面角为，则cosmBAmBA

=uuurruuurr2622214aa=−+232214aa=−+．当12a=时，2224aa−+取最小值为272，此时cos取最大值为363272=．所以()2min63sin133=

−=，此时112BD=．[方法二]：几何法如图所示，延长EF交11AC的延长线于点S，联结DS交11BC于点T，则平面DFEI平面11BBCCFT=．作1BHFT⊥，垂足为H，因为1DB⊥平面11BBCC，联结DH，则1DHB为平面11BBCC

与平面DFE所成二面角的平面角．设1,BDt=[0,2],t1BTs=，过1C作111//CGAB交DS于点G．由111113CSCGSAAD==得11(2)3CGt=−．第17页共23页又1111BDBTCGCT

=，即12(2)3tsst=−−，所以31tst=+．又111BHBTCFFT=，即1211(2)BHss=+−，所以121(2)sBHs=+−．所以2211DHBHBD=+2221(2)sts=++−2229225tttt=+−+．则11sin

BDDHBDH=2229225ttttt=+−+219119222t=+−+，所以，当12t=时，()1min3sin3DHB=．[方法三]：投影法如图，联结1,FBFN，DEFV在平面11BBCC的

投影为1BNFV，记面11BBCC与面DFE所成的二面角的平面角为，则1cosBNFDEFSS=VV．设1(02)BDtt=，在1RtDBFV中，222115DFBDBFt=+=+．在RtEC

FV中，223EFECFC=+=，过D作1BN的平行线交EN于点Q．在RtDEQ△中，2225(1)DEQDEQt=+=+−．在DEFV中，由余弦定理得222cos2DFEFDEDFEDFEF+−=()22315(1)35ttt++=+，第18页共2

3页()222214sin35ttDFEt−+=+，1sin2DFESDFEFDFE=V2122142tt=−+，13,2BNFS=V1cosBNFDFESS=VV232214tt=−+，()29sin127tt=−−+

，当12t=，即112BD=，面11BBCC与面DFE所成的二面角的正弦值最小，最小值为33．【整体点评】第一问，方法一为常规方法，不过这道题常规方法较为复杂，方法二建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量求解是最简单，也是最优解；方法三利用空间向量加减法则及数量

积的定义运算进行证明不常用，不过这道题用这种方法过程也很简单，可以开拓学生的思维.第二问：方法一建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角是最常规的方法，也是最优方法；方法二：利用空间线面关系找到，面11BBCC与面DFE

所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是很容易找到；方法三：利用面DFE在面11BBCC上的投影三角形的面积与DFE△面积之比即为面11BBCC与面DFE所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，进而求出二面角的正弦值最小，非常好的方法，开阔学生的思维．20．如图

，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为棱CC1的中点．(1)用向量法证明：1AC∥平面B1ED1；(2)求直线B1D与平面B1ED1所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)23【分析】（1）建立空间直角坐标系，设11,2ABAA==，从而得到点A1，C，B1，E，D1

的坐标，即可得到11DBuuuur，1DEuuuur，1ACuuur，然后求出平面B1ED1的一个法向量()1,1,1n=−−r，可得10ACn=uuurr，且1AC第19页共23页平面B1ED1，从而得到1AC∥平面B1ED1；

（2）求出平面11BED的法向量，利用空间向量的数量积求解1BD与面11BED所成角的正弦值即可．【详解】（1）证明：如图，以D为坐标原点，DA，DC，1DD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，设1AB=，12AA=，则则1(1B,1,2)，(0D,0,0

)，(0E,1,1)，1(0D,0,2)，∴()111,1,0DB=uuuur，()10,1,1DE=−uuuur，()11,1,2AC=−−uuur．设(),,nxyz=r是平面B1ED1的一个法向量，则可得11100nDBnDE==uuuurru

uuurr00xyyz+=−=，令1x=，则1y=−，1z=−，即()1,1,1n=−−r，∴()()()()11111210ACn=−+−+−−=uuurr．且1AC平面B1ED1，∴1AC∥平面

B1ED1；（2）解：由（1）可知()11,1,2DB=uuuur，()1,1,1n=−−r是平面B1ED1的一个法向量，设1BD与面11BED所成角为α，∴1111122sincos,363DBnDBnDBn−−====uuuu

rruuuurruuuurr．∴1BD与面11BED所成角的正弦值为23．21．已知P是离心率为22的椭圆2222:10xyCabab+=（）上任意一点，且P到两个焦点的距离之和为4．第20页共23页(1)

求椭圆C的方程；(2)设点A是椭圆C的左顶点，直线AP交y轴于点D，E为线段AP的中点，在x轴上是否存在定点M，使得直线DM与OE交于Q，且点Q在一个定圆上，若存在，求点M的坐标与该圆的方程；若不存在，说明理由．【答案】(1)22142xy+=(2)存在，221124xy++=【分析】

（1）由椭圆定义和离心率可得答案；（2）设存在定点(),0Mt，设出直线AP的方程为()2ykx=+．联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理可得直线OE的方程、直线DM方程，再联立两个方程可得答案.【详解】（1）因为1224PFPFa+==，所以2a=，又22ca=，所以22

222cbac==−=，故椭圆方程为：22142xy+=．（2）设存在定点(),0Mt，0t满足条件．由已知()2,0A−，设直线AP的方程为()2ykx=+，由()222142ykxxy=++=

消去y整理得()2222128840kxkxk+++−=，()()2222222Δ644218408218421APAPkkkkxxkkxxk=−+−+=−+−=+，所以21224212Bxxkxk+==−+，()22212BBkykxk=+=

+，0k时，12OBkk=−，所以直线OE的方程为12yxk=−，①由()2ykx=+中，令0x=，得2yk=，从而()0,2Dk，第21页共23页又(),0Mt，所以5020DMkkktt−==−，所以直线DM方程为2221kxyxkktt=−+=−+，②由①②消去参数k，得22

1xxyxxtt=−−+=−，即220xyxt−++=，③方程③要表示圆，当且仅当1t=−，此时圆的方程为221124xy++=，0k=时，()0,0Q在上述圆上，所以存在定点()1,0M−使直线DM与OE的交点Q在一个定圆上，且定圆方程为：221124xy

++=.22．已知椭圆()2222:10yxCabab+=的上､下焦点分别为1F，2F，左､右顶点分别为1A，2A，且四边形1122AFAF是面积为8的正方形.(1)求C的标准方程.(2)M，N为C上且在y

轴右侧的两点，12//MFNF，2MF与1NF的交点为P，试问12PFPF+是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)22184yx+=；(2)12PFPF+为定值，定值为32.【分析】（1）根据椭圆上、下焦点和左、右顶点的定义，结合正方形的面积

进行求解即可；（2）根据平行线的性质、椭圆的定义，结合直线方程与椭圆方程联立，求出M，N的坐标，利用两点间距离公式进行求解即可.【详解】（1）椭圆()2222:10yxCabab+=的上､下焦点分别为12(0,),(0,)

FcFc−，左､右顶点分别为12(,0),(,0)AbAb−，因为四边形1122AFAF是面积为8的正方形，所以有bc=且1482bc=，解得22228bcabc===+=，所以椭圆的标准方程为：22184yx+=；第22页共23页（2）因为12MFNF∥，所以22211

11111111NFPNNFPNNFFMPNPFFMPFFMPFFMPF++=+=+=11121NFPFFMNFFM=+，因为N为C上且在y轴右侧的点，所以21242NFFNa+==，因此11221(42)FMPFN

FNFFM=−+，同理可得：22121(42)FNPFMFNFFM=−+，所以121212212121212(42)(42)42,FMFNFMFNPFPFNFMFNFFMNFFMNFFM+=−+−=−+++设

12,MFNF的方程分别为：1,1ykxykx=+=−，设112212(,),(,)(,0)MxyNxyxx，则22221(2)440842yxkxkxykx+=++−==+，所以22212241616(

2)22222(2)2kkkkkxkk−−++−−+==++，因此222222211111122122(1)(2)(22)12kkkMFxyxkxxkk+++=+−=++−=+=+，第23页共23页同理可得：222222(1)212kkkNFk+−+=

+，因此212242(1)2kMFNFk++=+，2222212222[22(1)]4(1)4(1)(2)(2)kkkkMFNFkk+−++==++，所以22121222124(1)22242424223242(1)2kFMFNkPFPFNFFMkk

+++=−=−=−=+++，所以12PFPF+为定值，定值为32.【点睛】关键点睛：利用平行线的性质，得到比例式子是解题的关键.