【文档说明】2022-2023学年山东省高二上学期12月质量检测联合调考数学试题解析版.doc，共(22)页，5.866 MB，由小喜鸽上传

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第1页共22页2022-2023学年山东省高二上学期12月质量检测联合调考数学试题一、单选题1．已知圆1C：222xy+=，圆2C：()()22222xy−+−=，则圆1C与圆2C的位置关系为（）A．相离

B．相交C．外切D．内切【答案】C【分析】计算圆心距，和12rr+比较大小，即可判断两圆的位置关系.【详解】圆1C的圆心坐标是()0,0，半径12r=，圆2C的圆心坐标是()2,2，半径22r=，22122222CC=+=,所以圆心距1212CCrr=+，所以两圆

相外切.故选：C2．已知,,abcrrr是空间的一个基底，则可以与向量2mbc=−urrr，2nbc=+rrr构成空间另一个基底的向量是（）A．arB．brC．crD．bc+rr【答案】A【分析】根据空间向量基底的定义依次判断各选项即

可.【详解】对于A选项，不存在,Rxy使得()()22axmynxbcybc=+=−++rurrrrrr成立，故能构成空间的另一个基底；对于B选项，()()1112212222mnbcbbc+=−+=+urrrrrrr，故不能构成空间的另一个基底；对于C选项，()(

)1114412244cmnbcbc=+=−−+−+rurrrrrr，故不能构成空间的另一个基底；对于D选项，()()1134432424mnbcbcbc=+=−+++urrrrrrrr，故不能构成空间的另一个基底.故选：A.3．已知数列na满

足11a=，13+=+nnaan，则6a=（）A．30B．31C．45D．46【答案】D【分析】利用累加法可求得6a的值.【详解】由已知13nnaan+−=，第2页共22页213aa−=，326aa−=，L，6515aa−=，

上述等式全加可得61369121545aa−=++++=，614546a=+=.故选：D.4．已知双曲线C：221mxy+=的渐近线方程为2yx=，则m=（）A．2B．－2C．2−D．2【答案】B【分析】根据双曲线的方程可

得渐近线方程为：ymx=−，结合题意然后根据双曲线标准方程可得0m，进而求解.【详解】因为双曲线C的方程为221mxy+=，所以0m，令220mxy+=可得：22ymx=−，所以渐近线方程为：ymx=−，由题意知：双曲线C：221mxy+=的渐近线方程为2yx=，所

以2m=−，故选：B.5．已知数列na满足1nnaad−=+，2n，Nn，则“2mnaad−=”是“2mn−=”的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由题意可得na为等差数列，后

据此判断2mnaad−=与2mn−=间关系可得答案.【详解】设na首项为1a，由1nnaad−=+，可得1nnaad−−=，则可得()11naand+−=.则()()()111122mnaaamdandmnd

dmn−=+−−−−=−=−=()()()1122112mnmnmnddamdandaad−=−=+−−−−=−=.故“2mnaad−=”是“2mn−=”的充分必要条件.故选：A6．图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分，已知该卫星接收

天线的口径6AB=，深度2MO=，信号处理中心F位于焦点处，以顶点O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，若P是该拋物线上一点，点15,28Q，则PFPQ+的最小值为（）第3页共22页A．4B．3C．2D．1【答案】B【分析】

由已知点()2,3在抛物线上，利用待定系数法求抛物线方程，结合抛物线定义求PFPQ+的最小值.【详解】设抛物线的方程为()220ypxp=，因为6AB=，2MO=，所以点()2,3A在抛物线上，所以94p=，

故94p=，所以抛物线的方程为292yx=，所以抛物线的焦点F的坐标为9,08，准线方程为98x=−，在方程292yx=中取158x=可得2135416y=，所以点Q在抛物线内，过点P作PP与准线垂直，P为垂足，点Q作QQ与准线垂直，Q为垂足

，则PFPP=，所以159388PFPQPPPQQQ+=+=+=，当且仅当直线PQ与准线垂直时等号成立，所以PFPQ+的最小值为3，故选：B.7．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四

棱锥称为阳马.如图，在阳马PABCD−中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，2PAAB==，若OG∥平面EFC，则AG=（）第4页共22页A．12B．34C．23D．1【答案】C【分析】以A为坐标原点

，,,ABADAPuuuruuuruuur的方向分别为,,xyz轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，根据条件求得点G的坐标，即可得到结果.【详解】以A为坐标原点，,,ABADAPuuuruuuruuur的方向分别为,,xyz轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，由题意可得()()()()()

0,0,2,2,0,0,0,2,0,2,2,0,1,1,0PBDCO，则()()1,0,1,0,1,1FE，所以()()1,2,1,1,1,0FCFE=−=−uuuruur，设平面EFC的法向量为(),,nxyz=r，则02000nFCxy

zxynFE=+−=−+==uuurruuurr，解得3yxzx==，令1x=，则1,3yz==所以平面EFC的一个法向量为()1,1,3n=r因为OG∥平面EFC，则0nOG=ruuur设()0,0,

Ga，则()1,1,OGa=−−uuur，所以1130a−−+=解得23a=，所以20,0,3G，即23AG=第5页共22页故选:C.8．已知直线:320lxy++=与x、y轴的交点分别为A、B，且直线1

:310lmxym−−+=与直线2:310lxmym+−−=相交于点P，则PABV面积的最大值是（）A．10253+B．10453+C．12253+D．12453+【答案】A【分析】求出点A、B的坐标，可得出AB的值，求出直线1l、2l所过定点的坐标，根据12

ll⊥可求得点P的轨迹方程，根据圆的几何性质可求得点P在直线l距离的最大值，再利用三角形的面积公式可求得PABV面积的最大值.【详解】在直线l的方程中，令0x=可得=2y−，令0y=可得23x=−，即点2,03A−、()0,2B−，故()222210233AB

=−+−=，将直线1l的方程变形可得()310mxy−+−=，由3010xy−=−=可得31xy==，所以，直线1l过定点()3,1E，将直线2l的方程变形为()130xmy−+−=

，由1030xy−=−=可得13xy==，所以，直线2l过定点()1,3F，110mm−=Q，则12ll⊥，设点(),Pxy.①若点P不与E或F重合，则PEPF⊥，且()3,1EPxy=−−uuur，()1,3FPxy=−−uuur，()()()()31130EPF

Pxxyy=−−+−−=uuuruuur，整理可得()()22222xy−+−=；②当点P与E或F重合，则点E、F的坐标满足方程()()22222xy−+−=.所以，点P的轨迹方程为()()22222xy−+−=.圆()()22222xy−+−=圆心()2,2到直

线l的距离为32221010d++==，所以，点P到直线l的最大距离为102+，第6页共22页因此，PABV面积的最大值是()()1121010251021022233AB++=+=.故选：A.二、多选题9．已知直线l在x轴，y轴上的截距分别为1，1−，O是坐标原点

，则下列结论中正确的是（）A．直线l的方程为10xy−−=B．过点O且与直线l平行的直线方程为0xy−=C．若点(),0a到直线l的距离为22，则0a=D．点O关于直线l对称的点为()1,1-【答案】ABD【分析】对A，由截距式可求；对B，由点斜式可求；对C，由点线距离

公式可求；对D，两对称点连线与直线l垂直，且两对称点中点过直线l.【详解】对A，直线l在x轴，y轴上的截距分别为1，1−，直线l的方程为111xy+=−，即10xy−−=，A对；对B，直线l斜率为1，故过点O且与直线l平行的直线方程为yx=，即0x

y−=，B对；对C，点(),0a到直线l的距离为1222a−=，故2a=或0，C错；对D，点O关于直线l对称的点(),mn满足01101022nmmn−=−−−−=，解得11mn==−，

故该点为()1,1-，D对.故选：ABD10．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于整除的问题.现将1到1000这1000个数中能被2除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列na，其前n项和为nS，则（）

A．10814aa−=B．10127a=C．10640S=D．na共有72项【答案】BCD第7页共22页【分析】先求得数列na的通项公式1413(72)nann=−，进而求得108aa−的值判断选项A；求得10a的值判断选项B；求得10S的值判断选项C；求得n

a的项数判断选项D.【详解】将1到1000这1000个数中能被2除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成首项为1末项为995公差为14的等差数列则数列na的通项公式为114(1)1413(72)nannn=+−=−则数列na共有72项.故选项D判断正确；10821428

aa−==.故选项A判断错误；10141013127a=−=.故选项B判断正确；10110(1127)6402S=+=.故选项C判断正确.故选：BCD11．已知椭圆C：2214xy+=的左、右焦点分别为1F，2F，P为椭圆C上的一个动点，则（）A．1223PFPF−B．121PF

PFC．12PFF△内切圆半径的最大值是3D．12cosFPF的最小值是12−【答案】ABD【分析】对A：根据椭圆定义，结合三角形中三条边的关系，即可求得求得结果，从而判断；对B：设1PFx=，根

据椭圆定义求得2PF，建立12PFPF关于x的函数关系，即可求得其最小值和最大值，从而进行判断；对C：根据等面积法，结合点P纵坐标绝对值的范围，即可求得R的最大值；对D：根据B中所求，结合余弦定理和椭圆定义，即可求得结果.【详解】对椭圆C：2214xy+=，易知222

4,1,3abc===，()()123,0,3,0FF−；对A：根据椭圆定义可知：124PFPF+=，当点P不在长轴的两个端点时，在△12PFF中，由三角形三边关系可知：12PFPF−1223FF=；当点P在椭圆长轴的左端点时，12PFPF−23=−；当点P在椭圆长

轴的右端点时，12PFPF−23=；第8页共22页综上所述：1223PFPF−，故A正确；对B：设1PFx=，又23,23x−+，则24PFx=−，故()124PFPFxx=−，又()4yxx=−在23,2−单调递增

，在(2,23+单调递减，且当23x=−与23x=+时，12PFPF取得最小值，此时1y=，故121PFPF，又当2x=时，12PFPF取得最大值，此时4y=，故124PFPF，即1214PFPF，故B正确；对C：设△12PFF内切圆半径为R,由()12121

2121122PFFPSFFyPFPFFFR==++V，即()323PyR=+，若12,,PFF能构成三角形，则(0,1Py，显然当Py取得最大值1时，R取得最大值为323323=−+，故C错误；对D：若12,,PFF能构成三角形，由余弦定理可得：()

2222212121212121212122cos22PFPFPFPFFFPFPFFFFPFPFPFPFPF+−−+−==12121216122212PFPFPFPFPFPF−−==−由选项B中所求可知，12PFPF的最大值为4，此时12cosFPF取得最小值为12−；若12,

,PFF不能构成三角形，则12cos1FPF=；综上所述，12cosFPF的最小值为12−，故D正确；故选：ABD.12．《瀑布》（图1）是埃舍尔为人所知的作品.画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”（图2）.在棱长为2的正方体ABCDABC

D−中建立如图3所示的空间直角坐标系（原点O为该正方体的中心，x，y，z轴均垂直该正方体的面），将该正方体分别绕着x轴，y轴，z轴旋转45，得到的三个正方体nnnnnnnnABCDABCD−，1n=，2，3（图4，5，6）结合在一起便可得到一个高度对称的“三

立方体合体”（图7）.在图7所示的“三立方体合体”中，下列结论正确的是（）第9页共22页A．设点nB的坐标为(),,nnnxyz，1n=，2，3，则2223nnnxyz++=B．设2233BCABE=I，则32

3BE=C．点1A到平面223BCB的距离为263D．若G为线段22BC上的动点，则直线2AG与直线11AB所成角最小为6【答案】ACD【分析】正方体的顶点到中心O的距离不变，判断A，写出各点坐标，利用空间向量法求解判断BCD．【详解】正方体棱长为2，面对角

线长为22，由题意(1,1,1)A−，(1,1,1)B，(1,1,1)C−，(1,1,1)D−−，旋转后1(1,2,0)A−，1(1,0,2)B，1(1,0,2)C−，1(1,2,0)D−−，2(2,1,0)A−，2(2,1,0)B，2(0,1,2)C，第10页共22页2

(0,1,2)D−，3(2,0,1)A，3(0,2,1)B，3(2,0,1)C−，3(0,2,1)D−，旋转过程中，正方体的顶点到中心O的距离不变，始终为3，因此选项A中，1n=，2，3，2223nnnxyz++=正确；33(2,2,0)BA=−uuuur

，设333(2,2,0)BEBA==−uuuuruuuur，则2233(2211(2,2,0)BEBBBE=+=−−+−uuuuruuuuruuuur，，）(22,221,1)=−−+−，22(2,0,2)BC=−uuuuur，2

2EBC，则存在实数m，使得222BEmBC=uuuuruuuuur，(22,221,1)(2,0,2)mm−−+−=−，222221012mm−=−−+−==，212=−，∴3332

(1)2222BEBA==−=−，B错；22(2,0,2)BC=−uuuuur，32(0,12,21)BC=−−uuuuur，设(,,)nxyz=r是平面223BCB的一个法向量，则2232220(12)(21)0nBCxznBCyz=−+==−+−=uuu

uurruuuuurr，令1x=，得(1,1,1)n=r，又13(1,22,1)AB=−uuuur，∴1A到平面223BCB的距离为1312212633nABdn−++===ruuuurr，C正确；22(2,0,2)BC=−uuuuur，设222(2,0,2)BGkBCkk==−u

uuuruuuuur，(01)k，2222(0,2,0)(2,0,2)(2,2,2)AGABBGkkkk=+=+−=−uuuuruuuuuruuuur，11(0,2,2)AB=uuuur，211211211cos,AGABAGABAGAB=uuuuruuuuruuuuruuu

uruuuuruuuur22222224421kkkk++==++令22()21kfkk+=+，则22(12)()2(1)1kfkkk−=++，202k时，()0fk，()fk递增，212k时，()0fk，()fk递减，第11页共22页∴max2

3()()22fkf==，又2(0)2f=，212(1)222f+=，所以23()[,]22fk，即21123cos,[,]22AGABuuuuruuuur，211,[,]64AGABuuuuru

uuur，211,AGABuuuuruuuur夹角的最小值为6，从而直线2AG与直线11AB所成角最小为6，D正确．故选：ACD．【点睛】方法点睛：本题正方体绕坐标轴旋转，因此我们可以借助平面直角坐标系得出空间点的坐标，例如绕x轴旋转时时

，各点的横坐标（x）不变，只要考虑各点在坐标平面yOz上的射影绕原点旋转后的坐标即可得各点空间坐标．三、填空题13．已知nS是等差数列na的前n项和，且2410aa+=，39S=，则na的公差d=______.【答案】2【分析】根据已知条件列方程

，由此求得公差d.【详解】依题意得111310339adadad+++=+=，解得1a1,d2==.故答案为：214．已知双曲线M：()222210,0xyabab−=的左焦点为F，右顶点为A，()0,Bb，若FABV是直角三角形，则双曲线M的离心率为______

.【答案】152+【分析】利用题给条件列出关于ac、的关系式，解之即可求得双曲线M的离心率【详解】由FABV是直角三角形，得BFBA⊥，则FBOBAOV:V，则2bac=，则22caac−=则210ee−−=，解之得15

2e+=或152e−=（舍）故答案为：152+15．已知圆1C：224240xyxy−−++=与圆2C：226260xyxy+−++=，点A，B圆2C上，且第12页共22页22AB=，线段AB的中点为D，则直线OD（O为坐标原点）被圆1C截得的弦长的取值范围是__

____.【答案】382,65【分析】由22AB=知点D在以2C为圆心2为半径的圆上，由直线OD与此圆有交点得117k−剟，再表示出直线OD被圆1C截得的弦长后求其最值即可.【详解】由题意可知圆1C的圆心为()12,1C−，半径13r=，圆2C的圆心为()23,1C−，半径

22r=.因为22AB=，所以22CD=，即点D在以2C为圆心，2为半径的圆上.设直线OD的方程为ykx=，则23121kk++„，即27610kk+−„，解得117k−剟.圆心()12,1C−到直线OD的距离为2211kk++，直线OD被圆1C截

得的弦长()2221291kk+−+，令()2221()1xfxx+=+，117x−剟，则()()()222142()1xxfxx+−+=，当112x−−剟时()0,()fxfx为减函数，当1127x−剟

时，()0,()fxfx为增函数，故min1()()02fxf=−=，max181()()750fxf==，当12k=−时，直线OD经过1C，此时直线OD被圆1C截得的弦长最长，最长的弦长是圆1C的直径6.当17k=时，直线OD被圆1C截得的弦长最短，则弦长为8138229

505−=；综上，直线OD被圆1C截得的弦长的取值范围是382,65.故答案为：382,65【点睛】分式型函数()()fxygx=求最值方法：①转化为反比例函数求最值；②转化为对勾函数或基本不等式求最值；③换元为二次函

数求最值；④用导数求最值.第13页共22页四、双空题16．如图，在平行六面体1111ABCDABCD−中，G为11BC的中点，1xAByAAGDzAA=++uuuruuuuruuruuur，则xyz++=______；若该六面体的棱长都为2，

1160BADAABAAD===，则AG=______.【答案】52##2.517【分析】由空间向量基本定理和已知条件可得112AGABADAA=++uuuruuuruuuruuur；由22AGAG=uuuruuur结合向量的数

量积运算可得AG．【详解】1111111122AGABBGABAABCABADAA=+=++=++uuuruuuruuuuruuuruuuruuuuruuuruuuruuur，∴11,,12xyz===，∴52xyz++=；∵222112AGAGABADAA=++=uuuruuuruu

uruuuruuur222111124ABADAAABADABAAADAA=+++++uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur222122222cos60222cos6

022cos60174=+++++=，∴17AG=uuur，即17AG=．故答案为：52；17．五、解答题17．已知F是抛物线C：24yx=的焦点，点M在抛物线C上，且M到F的距离是M到y轴距离的3倍.第14页共22页(1)求M的坐标；(2)求直线MF被抛物线C所截线段的长度.

【答案】(1)1,22或1,22−(2)92【分析】（1）设出M点坐标，利用已知条件列方程，化简求得M点的坐标.（2）求得直线MF的方程，并与抛物线方程联立，求得直线MF与抛物线的交点坐标，

进而求得直线MF被抛物线C所截线段的长度.【详解】（1）抛物线的焦点()1,0F，设2,4tMt，则22221344ttt−+=，解得2t=，所以M点的坐标为1,22或1,22−.（2）由（1）得

M点的坐标为1,22或1,22−.当M的坐标是1,22时，直线MF的方程为()()21221112yxx=−=−−−，由()22214yxyx=−−=，消去y并化简

得22520xx−+=，解得112x=，22x=，所以直线MF与抛物线的交点坐标为1,22和()2,22−，所以直线MF被抛物线C所截线段的长度为()2219222222−+−−=.当M的

坐标是1,22−时，同理可求得直线MF被抛物线C所截线段的长度为92.综上所述，直线MF被抛物线C所截线段的长度为92.18．已知数列na的前n项和2142nSnn=−+.(1)求na的通项公式；(2)求数列na的前n项和nT.第15页共22页【答案】(1)11,

1215,2nnann−==−；(2)22142,17,N1492,8,NnnnnnTnnnn++−+−=−−.【分析】（1）利用11,1,2nnnSnaSSn−==−，即可求解数列na的通项公式；（2）由（1）由0na得152n

，然后分17n和8n两种情况对nT化简求解即可.【详解】（1）当1n=时，1114211S=−+=−，即111a=−，当2n时，221142[(1)14(1)2]215nnnaSSnnnnn−=−=−+−−−−+=−，1n=时，113a=−，与111a=−不符，所以11,1215

,2nnann−==−；（2）由0na得152n，而Nn+，所以当17n时，0na，当8n时，0na，当17n时，21212()142nnnnTaaaaaaSnn=+++=−+++=−=−+−，当8

n时，1278nnTaaaaa=++++++1278()naaaaa=−++++++77()nSSS=−+−72nSS=−21492nn=−−，所以22142,17,N1492,8

,NnnnnnTnnnn++−+−=−−19．如图，三棱柱111ABCABC-的底面ABC是正三角形，侧面11ACCA是菱形，平面11ACCA⊥平面ABC，E，F分别是棱11AC，BC的中点.第16页共22页(1)证明：EF∥平面11ABBA；(2)若11

2,60,2ACACCCGGC===uuuuruuur，求直线11BC与平面EFG所成角的正弦值.【答案】(1)见解析；(2)15953.【分析】（1）取11AB的中点M，连接ME，MB，易证四边形MEFB为平行四边形

，从而有EF∥MB，故而得证；(2)过点1C作1COAC⊥于O，连接OB，以O为原点，OB、OC、1OC分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系,用向量法求解即可.【详解】（1）证明：取11AB的中点M，连接ME，MB，因为E，F分别是棱11A

C，BC的中点，则ME∥11BC∥BF，111122MEBCBCBF===，四边形MEFB为平行四边形，所以EF∥MB，EFQ平面11ABBA，MB平面11ABBA，EF∥平面11ABBA；（2）解

：在平面11ACCA中过点1C作1COAC⊥于O，连接OB，平面11ACCA⊥平面ABC，平面11ACCAI平面ABCAC=，第17页共22页1CO⊥平面ABC，又因为12,60ACACC==，所以1OC=,113,2COCC==,因为点O为AC的中点

，OBAC⊥，故以O为原点，OB、OC、1OC分别为,,xyz轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(3,0,0)B，(0,1,0)C，1(0,0,3)C，1(0,2,3)A−，(0,1,3)E−，31(,,0)22F，23(0,,)33G，

所以11(3,1,0)BCBC==−uuuuruuur,33(,,3)22EF=−uuur,313(,,)263GF=−−uuur,设平面EFG的法向量为(,,)nxyz=r，则有3330223130263xyzxyz+−=

−−=，423,55xzyz==，所以取(4,23,5)n=r，设直线11BC与平面EFG所成角为，则11|4323|159sin|cos,|5316122531nBC−+===+++ruuuur.20．已知直线l：220kxxyk+−++=，圆C：()()224220xy

−+−=．(1)若直线l与圆C相切，求k的值．(2)若直线l与圆C交于A，B两点，是否存在过点()3,3D的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出直线l与直线l的交点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)1k=或32k=−第18页共22页(2)存在

，交点坐标为()2,4【分析】（1）由题意圆心到直线的距离等于半径，列出方程求解即可；（2）由直线l与圆C交于A，B两点，可得圆心C到直线l的距离25d，由此求出k的范围．根据圆的性质可知直线l必经过圆心C，从而求得直线l的斜

率，利用点斜式可得直线l的方程，由ll⊥求得k，联立直线l与l的方程，可得交点坐标．【详解】（1）圆22:(4)(2)20Cxy−+−=，则圆心(4,2)C，半径25r=∵若直线l与圆C相切，∴圆心C到直线l的距离2244222

6425(1)1(1)1kkkdkk+−+++===++++，即2230kk+−=，即(1)(23)0kk−+=，解得1k=或32k=−．（2）若直线l与圆C交于A，B两点，则圆心C到直线l的距离24422225(1)1kkdk+−++=++，即2230kk+−，即(1)(23)

0kk−+，解得132k−.过点()3,3D的直线l垂直平分弦AB，则直线l必经过圆心C，直线l的斜率为23143−=−−，直线l的方程为3(3)yx−=−−，即60xy+−=，又ll⊥，且直线0:(1)22lkxyk+−++=，则(1)(1)1k−+=−，解得0k

=，符合题意，所以直线l的方程为20xy−+=，联立直线l与l的方程得6020xyxy+−=−+=，解得24xy==所以，存在符合题意的直线l，直线l与直线l的交点坐标为()2,4．21．如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线

AC折起，使得点D到点D¢的位置，连接BD，O为AC的中点.第19页共22页(1)若平面DAC⊥平面ABC，求点O到平面DBC的距离；(2)不考虑点D¢与点B重合的位置，若二面角ABDC−−的余弦值为23−，求BD的长度

.【答案】(1)33；(2)455.【分析】（1）连接,ODOB，根据面面垂直的性质可得OD⊥平面ABC，然后利用锥体的体积公式结合等积法即得；（2）取DB的中点E，可得AEC为二面角ABDC−−的平面角，然后利用余弦定理结合条件可得2265A

ECE==，进而即得.【详解】（1）连接,ODOB，则ODAC⊥，因为平面DAC⊥平面ABC，OD平面DAC，所以OD⊥平面ABC，又OB平面ABC，所以OD⊥OB，又正方形ABCD的边长为2，所以1ODOBOC===，2BDBCDC===，

设点O到平面DBC的距离为h，则DOBCODBCVV−−=，所以()2111311123234h=，所以33h=，即点O到平面DBC的距离为33；（2）取DB的中点E，连接,AEEC，因为2ABADBCDC====，所以,AEB

DECBD⊥⊥，第20页共22页所以AEC为二面角ABDC−−的平面角，所以2cos3AEC=−，由题可知ABDCBDVV≌，在AEC△中，2AC=，AECE=，2222cos23AECEACAECAECE+−==−，所以226

5AECE==，所以22264255DEADAE=−=−=，所以4525DBDE==.22．已知椭圆C：()222210xyabba+=与椭圆22184xy+=的离心率相同，2,12P为椭圆C上一点.(1)求椭圆C

的方程.(2)若过点1,03Q的直线l与椭圆C相交于A，B两点，试问以AB为直径的圆是否经过定点T？若存在，求出T的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)2212yx+=(2)存在T的坐标为(1,0)−，理由见解析【分析】（1）先求出椭圆22184x

y+=的离心率为22，由此得到222ab=，将点P的坐标代入椭圆C，得到221112ba+=，再代入222ab=，解得21b=，22a=，则可得结果；（2）先用两个特殊圆求出交点(1,0)−，再猜想以AB为直径的圆经过定点(1,0)T−，再证明猜想，设直线1:3

lxmy=+，并与2212yx+=联立，利用韦达定理得到12yy+，12yy，进一步得到12xx+，12xx，利用12yy+，12yy，12xx+，12xx证明0TATB=uuruur即可.【详解】（1）在椭圆2218

4xy+=中，122a=，12b=，1842c=−=，离心率e=1122222ca==，在椭圆C：()222210xyabba+=中，22221cabbeaaa−===−，所以22212ba−=，化简得222ab=，第21页共2

2页因为2(,1)2P在椭圆C：()222210xyabba+=上，所以221112ba+=，所以2211122bb+=，所以21b=，22a=，所以椭圆22:12yCx+=.（2）当直线l的斜率为0时，线段AB是椭圆的短轴，以AB为直径的圆的方程为221xy+=，当直

线l的斜率不存在时，直线l的方程为13x=，代入2212yx+=，得43y=，以AB为直径的圆的方程为22116()39xy−+=，联立2222111639xyxy+=−+=，解得10xy=−=，由此猜想存在(1,0)T−，使得以AB为直径的圆是经过

定点(1,0)T−，证明如下：当直线l的斜率不为0且斜率存在时，设直线1:3lxmy=+，联立221312xmyyx=++=，消去x并整理得22128()0239mymy++−=，224184()0929mm=++，设11(,)Axy、22(,)Bxy，则

122213()2myym+=−+，122819()2yym=−+，则121212112()333xxmymymyy+=+++=++2222133()2mm=−++，121211()()33xxmymy=++2121211()39myymyy=+++22228211199()9()22mmm

m=−−+++22101199()2mm=−++，因为TATBuuruur1122(1,)(1,)xyxy=++1212(1)(1)xxyy=+++1212121xxxxyy=++++222221012281111939()3()9(

)222mmmmm=−+−++−+++第22页共22页2216816199()2mm+=−++0=，所以TATB⊥，所以点(1,0)T−在以AB为直径的圆上，综上所述：以AB为直径的圆是经过定点(1,0)T−.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与

圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,xyxy；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12xx+、12xx（或12yy+、12yy

）的形式；（5）代入韦达定理求解.