【文档说明】2022-2023学年辽宁省大连市第十五中学高二上学期期中数学试题解析版.doc，共(16)页，2.051 MB，由小喜鸽上传

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第1页共16页2022-2023学年辽宁省大连市第十五中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．直线3340xy−+=的倾斜角为（）A．150°B．120°C．60°D．30°【答案】D【分析】先求出直线的斜率，从而可求倾斜角.【详解】设直线的倾斜角为，则3tan3=，而)0,

π，故π6=，故选：D.2．已知空间向量()3,2,5a=−r，()1,,1bx=−r，且ar与br垂直，则x等于（）A．4B．1C．3D．2【答案】A【分析】由空间向量垂直的坐标表示可求得实数x的值.【详解】由已知可得325280abxx=−+−=−=rr，解得4x=.故选：A.3．

已知在四面体ABCD中，,MN分别是,BCAD的中点，设,ABaACb==uuuruuurrr，ADc=uuurr，则MN=uuuur（）A．()12abc−++rrrB．()12abc+−rrrC．()12abc−+rrrD．()

12abc−−+rrr【答案】D【分析】结合图像，利用空间向量的线性运算即可得到结果.【详解】连接AM，如图，因为,ABaACb==uuuruuurrr，ADc=uuurr，,MN分别是,BCAD的中点，所以()111222MNMAA

NAMADABACAD=+=−+=−++uuuuruuuruuuruuuuruuuruuuruuuruuur()11111112222222ABACADabcabc=−−+=−−+=−−+uuuruuuruuurrrrrrr.故选：D.第2页共16页4．已知直线l

：20xy−+=，点()0,0A，()1,1B，点C为直线l上一动点，则ABCV的面积为（）A．1B．2C．2D．22【答案】A【分析】根据两点求得直线方程，利用平行线距离公式，结合三角形面积公式，可得答案.【详解】直线AB的方程为0xy−=，所以//lAB，所以AB边上的高为两平行线之间的

距离，记为d，因为()2220211d−==+−，112AB=+=，所以112ABCSABd==△．故选：A．5．如果方程22216xyaa+=+表示焦点在y轴上的椭圆，则实数a的取值范围是（）A．3aB．2a−

C．3a或2a−D．23a−且0a【答案】D【分析】依题意可得206aa+，即可求出参数的取值范围.【详解】因为方程22216xyaa+=+表示焦点在y轴上的椭圆，所以206aa+，即()()230aa+−，解得23a−且0a；故选：D.6．已知椭圆与双曲线

22132xy−=有共同的焦点，且离心率为15，则椭圆的标准方程为（）A．2212025xy+=B．2212520xy+=C．221255xy+=D．221525xy+=【答案】B【分析】设椭圆的方程为22221xyab+=(0)ab，求出,ab即得解.第3页共16页

【详解】由题得双曲线的焦点为(5,0),(5,0)−，所以椭圆的焦点为(5,0),(5,0)−，设椭圆的方程为22221xyab+=(0)ab，所以225,5,25515ababa=+===.所以椭圆的标准方程为2212520xy+=.故选：B7．已知圆1O：()()22129x

y−++=，圆2O：()()222116xy+++=，则这两个圆的位置关系为（）A．外离B．外切C．相交D．内含【答案】C【分析】根据两圆圆心距与两圆的半径的和与差作比较即可.【详解】由题可知，两圆的圆心距为2212(3)(1)10OO=−+−=,因为124343OO−+，所以两

圆相交.故选:C.8．已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左、右焦点分别为1F、2F，点P为C上一点，若212PFFF⊥，且1230PFF=，则椭圆C的离心率为（）A．16B．36C．13D．33【答案】D【分析】先根据212PFFF

⊥，且1230PFF=求得2124,33PFaPFa==，再根据勾股定理列出关于,ac的方程，解出e即可【详解】PQ点椭圆C上的点，12+2PFPFa=第4页共16页212PFFF⊥，且1230PFF=2124,33PFaPFa==在12PFF△中，2221221FFPFP

F+=即22224(2)()()33caa+=，整理得：2213ca=即213,33ee==故选：D二、多选题9．已知椭圆2212xym+=，1c=，则ca（2a为椭圆上的点到两焦点的距离之和，2c为

两焦点之间的距离）为（）A．13B．33C．22D．3【答案】BC【分析】分焦点在x轴上还是在y轴上讨论确定m的值.【详解】当焦点在x轴上时，3m=，曲线方程为22132xy+=，则长半轴长为3，半焦距为

1，离心率为33；当焦点在y轴上时，1m=时，方程为22121yx+=，则长半轴2，半焦距1，离心率为1222=故选:BC.10．下列选项正确的是（）第5页共16页A．过点(1,2)−且和直线3270xy+−=平行的直线方程是321

0xy+−=B．“1a=−”是“直线210axy−+=与直线20xay−−=互相垂直”的充要条件C．若直线1:210lxy−+=与2:2+-2=0lxay平行，则1l与2l的距离为255D．直线sin20xy++=的倾斜角的

取值范围是π3π0,,π44【答案】ACD【分析】由直线的点斜式方程可判断A，由两直线垂直对应的斜率关系可判断B，由两平行线的距离公式可判断C，由斜率和倾斜角的关系可判断D.【详解】对于A，直线3270xy+−=的斜率为32k=−

，所以过点(1,2)−且和直线3270xy+−=平行的直线方程为32(1)2yx−=−+，即3210xy+−=，A正确；对于B，1a=−时，直线210axy−+=的斜率11k=，直线20xay−−=的斜率21k=−，满足121kk=−，所以两直线垂直，而当0a=时，直线210ax

y−+=也与直线20xay−−=垂直，故“1a=−”是“直线210axy−+=与直线20xay−−=互相垂直”的充分不必要条件，B错误；对于C，直线1:210lxy−+=与2:220lxay+−=平行，则4a=−，则直线1l与2l

的距离为222225524d−−==+，C正确；对于D，直线sin20xy++=的斜率sin[1,1]k=−−，即tan[1,1]−，所以π3π0,,π44，D正确.故选：ACD11．已知直线():1233

0lmxmym−+−+=，mR和圆()()22:214Cxy−+−=，下列说法正确的是（）A．直线l恒过定点()3,0B．圆C被x轴截得的弦长为23C．直线被圆截得的弦长存在最大值，且最大值为22D．直线被圆截得的弦长存在最小值，且最小值为2

2【答案】ABD【分析】利用直线系方程求得直线所过定点的坐标判断A；求出圆C被x轴截得的弦长判断B；当第6页共16页直线过圆心时可判断C，当直线lPC⊥时算出弦长可判断D.【详解】对于A，由()12330mxmym−+−+=，得()2330mx

yx+−−+=，联立23030xyx+−=−+=，得30xy==，无论m为何值，直线l恒过定点()3,0，故A正确；对于B，在22(2)(1)4xy−+−=中，令0y=，得23=x，所以圆C被x轴截得的弦长为23(23)23+−−=

，故B正确；对于C，当直线l过圆心C(2,1)时，直线被圆截得的弦长最大，最大值为圆C直径4，故C错误；对于D，由于直线l恒过的定点()3,0，易知此点在圆内，设此定点为P，当直线l与直径垂直时，直线l被圆截得的弦长最小，且最小值为22424222PC−=−=，故D正确.故选：ABD12．[多选

题]已知抛物线212xy=的焦点为F，()11,Mxy，()22,Nxy是抛物线上两点，则下列结论正确的是（）A．点F的坐标为1,08B．若直线MN过点F，则12116xx=−C．若MFNF=uuuruuur，则MN的最小值为12D．若

32MFNF+=，则线段MN的中点P到x轴的距离为58【答案】BCD【分析】根据抛物线方程的标准形式求出焦点可判断A；由抛物线的性质可判断B、C；利用抛物线的焦半径公式可判断D.【详解】易知点F的坐标为10,8

，选项A错误；根据抛物线的性质知，MN过焦点F时，212116xxp=−=−，选项B正确；若MFNF=uuuruuur，则MN过点F，则MN的最小值即抛物线通径的长，为2p，即12，选项C正确，抛物线212xy

=的焦点为10,8，准线方程为18y=−，过点M，N，P分别作准线的垂线MM，NN，PP垂足分别为M，N，P，第7页共16页所以MMMF=，NNNF=．所以32MMNNMFNF+=+=，所以线段324MMNNPP+==，所以

线段MN的中点P到x轴的距离为13158488PP−=−=，选项D正确．故选：BCD三、填空题13．直线l经过原点，且经过直线2210xy−−=与直线4230−−=xy的交点，则直线l方程为__________.【答案】20xy−=【分析】联立直线求解交点坐标，

从而可得直线l的斜率，即可得直线方程.【详解】解：直线2210xy−−=与直线4230−−=xy的交点满足22104230xyxy−−=−−=，解得112xy==，故交点坐标为11,2M所以直线l的斜率1012102OMkk−==

=−，所以直线l的方程为12yx=，即20xy−=.故答案为：20xy−=.14．若过点()1,3P−作圆224xy+=的切线，则切线方程为_________.【答案】340xy−+=【分析】根据题意可得点P在圆2

24xy+=上，根据切线的性质可得切线的斜率33k=−，进而由点斜式求切线方程.【详解】圆224xy+=的圆心()0,0O，半径2r=，第8页共16页∵()()22134−+=，则点()1,3P−在圆224xy+=上，又∵直线OP

的斜率30310OPk−==−−−，则切线的斜率33k=，∴切线方程为()3313yx−=+，即340xy−+=，故切线方程为340xy−+=.故答案为：340xy−+=.15．已知椭圆C：()22101xymmm+=+的焦点为1F，2F，短轴端点为P，若122FPF

=，则m=__________.【答案】1【分析】根据题意可得bc=，列出等量关系，即可求得结果.【详解】对椭圆C：()22101xymmm+=+，其2221,,1ambmc=+==，又0m，故bm

=，1c=，根据椭圆的对称性，因为122FPF=，故可得1m=，解得1m=.故答案为：1.16．已知双曲线C：()222210,0xyabab−=的右焦点F，过点F作一条渐近线的垂线l，垂足为M，若l与另一条渐近

线交于点N，且满足4MFMN=uuuruuuur，则该双曲线的离心率为____________.【答案】62【分析】根据NOM的正切值，结合渐近线的斜率，即可列出等量关系，求解即可.【详解】根据题意，作图如下：设点F坐标为(),0c，其到渐近线OM：byxa=的距离

22bcMFbab==+，第9页共16页因为OFc=，显然OMa=，又因为4MFMN=uuuruuuur，故可得4MNb=，在RtVOMN中，4tanbMONa=，设MOF=，则tanba=，又22tantan21baMONba==−，故2241bbaa

ba=−，解得：212ba=，故双曲线的离心率26e12ba=+=.故答案为：62.四、解答题17．已知向量(0,2,3),(2,4,6),(8,,3)abcx==−=−rrr(1)若向量ar与akb+rr垂直

，求实数k的值；(2)若向量,abrr和cr是共面向量，求实数x的值．【答案】(1)12−；(2)2−.【分析】（1）根据向量的加法和数乘，可得坐标表示，根据垂直向量的坐标计算公式，可得答案；（2）根据向量共面定理，建立向量,abrr和cr之间的表示，可得方程组，解得答案.

【详解】（1）由()0,2,3a=r，()2,4,6b=−r，则()2,24,36akbkkk+=−++rr，因为()aakb⊥+rrr，所以()()()02243360aakbkk+=++++=r

rr，则26130k+=，解得12k=−.（2）由向量,abrr和cr是共面向量，则存在,，使得cab=+rrr，则8224336x=−=+−=+，解得472x=−==−，则2x=−.

18．已知圆C经过三点()0,2M，()0,6Q，()2,4N．(1)求圆C的标准方程；第10页共16页(2)若过点()1,0P且斜率存在的直线l与圆C交于A，B两点，且23AB=，求直线l的方程．【答案

】(1)22(4)4xy+−=；(2)158150xy+−=.【分析】(1)利用待定系数法或几何法均可求圆的标准方程；(2)根据圆的弦长公式求出直线l斜率即可.【详解】（1）∵圆C过()0,2M，()0

,6Q，故圆C的圆心在y=4上，MN的中点为(1，3)，42=12MNk−=，故MN的中垂线为：y－3＝－(x－1)，即y＝－x＋4，令40yx==，故圆心()0,4C，半径2rCM==，∴圆C的标准方程为

：22(4)4xy+−=；（2）设l斜率为k，则l为：()1ykx=−，即kxyk0−−=，||23AB=Q，圆心C到直线l的距离24(3)1d=−=，即2|4|11kk−−=+，解得158k=−，得直线l的方程为158

150xy+−=．19．已知圆C的圆心在直线20xy−=上，且与y轴相切于点()0,1.（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若圆C与直线l：0xym−+=交于A，B两点，_____________，求m的值.从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答

：条件①：120ACB=；条件②：23AB=.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.【答案】（Ⅰ）()()22214xy−+−=；（Ⅱ）答案见解析.【分析】（Ⅰ）设圆心(),Cab，易知2ab=，由圆C与y轴相切于点()0,1，可求,ab以及r，写出圆C的方程即可.

（Ⅱ）所给的两个条件，均可得C到直线l的距离1d=，结合点线距离公式即可求m的值.【详解】（Ⅰ）设圆心坐标为(),Cab，半径为r.由圆C的圆心在直线20xy−=上，知：2ab=.又∵圆C与y轴相切于点()0

,1，第11页共16页∴1b=，2a=，则02ra=−=.∴圆C的圆心坐标为()2,1，则圆C的方程为()()22214xy−+−=.（Ⅱ）如果选择条件①：120ACB=，而2CACB==，∴圆心

C到直线l的距离1d=，则21111md−+==+，解得21m=−或21−−.如果选择条件②：23AB=，而2CACB==，∴圆心C到直线l的距离1d=，则21111md−+==+，解得21m=−或21−−.20．在正四棱柱1111ABCDA

BCD−中，122AAAB==，E为1DD的中点，F为1BD上靠近B的三等分点．(1)求异面直线CF与1CE所成角的余弦值；(2)求直线CF与平面11ACE所成角的正弦值．【答案】(1)26(2)39【分析】（1）根据空间向量的数量积计算求解；（2）

根据线面角的正弦等于线法角余弦的绝对值求解．【详解】（1）解：以D为原点，分别以1,,DADCDDuuuruuuruuuur方向为,,xyz轴，建立如下所示的空间坐标系，第12页共16页则由题意可知：(0,

0,0)D，(0,1,0)C，(0,0,1)E，1(1,0,2)A，1(0,1,2)C，(1,1,0)B，1(0,0,2)D，∴1(1,1,2)DB=−uuuur，1(0,1,1)CE=−−uuuur，设(,,)

Fxyz，则1(,,2)DFxyz=−uuuur，∵F为1BD上靠近B的三等分点，∴1123DFDB=uuuuruuuur，2224(,,2)(1,1,2)(,,)3333xyz−=−=−，222,,333xyz==

=，222(,,)333F，212(,,)333CF=−uuur，113CECF=−uuuuruuur，设异面直线CF与1CE所成角为且π(0,]2，则1112cos6321CECFCECF===uuuuruuur

uuuuruuur．（2）解：由（1）可求得：1(1,0,1)EA=uuur，1(0,1,1)EC=uuuur，212(,,)333CF=−uuur，设(1,,)nyz=r为平面11EAC的法向量，则1100nEAnEC==uuurruuuurr，第13页共16页即0

0xzyz+=+=，解得：1,1,1xyz===−，(1,1,1)n=−r，21213333nCF=−−=−ruuur，设直线CF与平面11ACE所成角为，则13sincos,9331nCFnCF

nCF====ruuurruuurruuur．21．如图所示正四棱锥,2,2SABCDSASBSCSDAB−=====，P为侧棱SD上的点，且3SPPD=uuruuur．(1)求证：ACSD

⊥；(2)求直线SC与平面ACP所成角的正弦值；(3)侧棱SC上是否存在一点E，使得//BE平面PAC，若存在，求SEEC的值；若不存在，试说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)34(3)2【分析】（1）利用正四棱锥的定义可得SO⊥

面ABCD，即SOAC⊥，从而利用线面垂直的判定定理可得AC⊥面SBD，由此得ACSD⊥；（2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，利用题设中的条件与平面几何的知识求得各线段的长度，从而得到各点的坐标，再求出SCuuur与平面

ACP的一个法向量为nr，利用向量的数量积运算即可求得直线SC与平面ACP所成角的正弦值；（3）假设存在，且ECSC=uuuruuur，由此求得()1,1,3BE=−−uuur，再由//BE平面PAC得0BEn=uuurr，从而求

得，由此可得SEEC的值.第14页共16页【详解】（1）连结BDACO=，连结SO，如图，因为四棱锥SABCD−是正四棱锥，所以SO⊥面ABCD，又AC面ABCD，所以SOAC⊥，在正方形ABCD中，BDAC⊥，又,SOBDOSOBD=、面SBD，所以AC

⊥面SBD，因为SD面SBD，所以ACSD⊥.（2）由（1）知,,BDACSO两两垂直，以O为坐标原点，以,,OBOCOS为,,xyz轴建立空间直角坐标系，则由平面几何知识易知，2211122OAOBOCODBDABBC=====+=，223SOSBOB=−=，所以()()()()()0,

0,3,1,0,0,0,1,0,0,1,0,1,0,0SBCAD−−，则()0,2,0AC=uuur，()0,1,3SC=−uuur，因为3SPPD=uuruuur，所以()11131,0,3,0,4444PDSD==−−=−−uuuruuur，故()1333,

0,1,1,0,1,4444PCPDDC=+=−−+=−uuuruuuruuur，设平面ACP的一个法向量为(),,nxyz=r，则00ACnPCn==uuurruuurr，即203304

4yxyz=+−=，令1x=，则0,3yz==，故()1,0,3n=r，设直线SC与平面ACP所成角为，则0033sincos,41313SCnSCnSCn+−====++uuurruuurruuurr，所以直线SC与平

面ACP所成角的正弦值为34.（3）假设SC上存在点E满足题意，不妨设ECSC=uuuruuur，则()()()1,1,00,1,31,1,3BEBCECBCSC=−=−=−−−=−−uuuruuuruuuruuu

ruuur，因为//BE平面PAC，所以0BEn=uuurr，即1030−++=，故13=，所以13ECSC=uuuruuur，则23SESCECSC=−=uuruuuruuuruuur，所以23213SCSESEECECSC===uuuruuruuuruuur.第15页

共16页22．已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的右焦点(4,0)F到渐近线的距离为23．(1)求双曲线C的方程．(2)过点F的直线与双曲线C的右支交于,AB两点，在x轴上是否存在点P，使得点F到直线,PAPB的距离相等?若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由．【答案

】(1)221412xy−=(2)存在()1,0P．【分析】（1）利用点线距离公式及222cab=+即可求得23b=，从而求得双曲线C的方程；（2）假设存在点(),0Pn，据题意设():40ABxmym=+

，联立方程得到12yy+，12yy，再由点F到直线,PAPB的距离相等可得0PAPBkk+=，由此代入式子即可求得1n=，故存在()1,0P.【详解】（1）由题意得，4c=，故22216abc+==，又因为双曲线2222:1xyCab−=的渐近线为byxa=

，故0bxay+=是双曲线C的一条渐近线，所以右焦点(4,0)F到渐近线的距离为224023bab+=+，解得23b=，所以212b=，22164ab=−=，所以双曲线C的标准方程为221412xy−=．（2）假设存在(),0Pn，设()11,Axy

，()22,Bxy，由题意知，直线斜率不为0，设直线():40ABxmym=+，联立2241412xmyxy=+−=，消去x，得()223124360mymy−++=，第16页共16页则2310m−，()()()222244363114410mmm=−−=

+，且1222431myym+=−−，1223631yym=−，因为使得点F到直线PA，PB的距离相等，所以PF是APB的角平分线，则0PAPBkk+=，即12120yyxnxn+=−−，则()()1221440ymynymyn+−++−=

，整理得()()1212240myynyy+−+=，故()2242423603131nmmmm−−=−−，即()340mmn−−=，因为0m，所以1n=，故存在()1,0P．