【文档说明】2022-2023学年江西省高二上学期12月统一调研测试数学试题解析版.doc，共(18)页，1.964 MB，由小喜鸽上传

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第1页共18页2022-2023学年江西省高二上学期12月统一调研测试数学试题一、单选题1．抛物线212yx=−的焦点坐标为（）A．()1,0−B．1,02−C．()0,1−D．10,2−

【答案】D【分析】把抛物线化为标准方程即可求解【详解】把抛物线212yx=−化为标准方程得22xy=−，所以焦点坐标为10,2−，故选：D2．过点(2,3)且一个方向向量为(1,1)−的直线方程为（）A

．50xy+−=B．10xy+−=C．10xy−+=D．50xy−−=【答案】A【分析】根据方向向量求得斜率为1k=−，然后点斜式求解即可.【详解】由题知，直线的方向向量为(1,1)−，所以斜率为1k=−，因为过点(2,3)，所以直线方程为3(2)yx−=−−，即5

0xy+−=，故选：A3．已知点P为ABCV所在平面内一点，O为平面ABC外一点，若2OPmOAnOBOC=++uuuruuuruuuruuur则mn+的值为（）A．1B．1−C．2D．2−【答案】B【分析】根据空间向量的四点共面定理即可求解.【详解】因为2OPmOAnOBOC=

++uuuruuuruuuruuur，且,,,ABCP四点共面，所以21mn++=，所以1mn+=−，故选:B.4．为了深入贯彻党中央“动态清零”的疫情防控要求，更好地开展常态化疫情防控核酸检测服务工作，第2页共18页现选

派5名党员志愿者参加星期一至星期五(每人一天)的值日，协助免费采样工作.根据大家的时间安排，志愿者中的A必须排在B前面值日，则不同的安排方法种数为（）A．36B．60C．118D．120【答案】B【分析】先5人全排列，再根据,AB相对顺序等可能性求解即可.【详解】5人随机安排星期一至星期五

(每人一天)的值日，共有55A120=种安排方法，其中A排在B前面值日与A排在B后面值日机会均等，所以A必须排在B前面值日的安排方法有1120=602种，故选：B5．已知圆221:4Oxy+=和圆()()222:1

1Oxya−++=的公共弦所在直线经过原点，则实数a的值为（）A．6B．4C．6−D．4−【答案】A【分析】将两圆方程对应相减可得两圆公共弦所在直线方程，再结合公共弦所在直线经过原点即可求解.【详解】两圆方程对应相减可得两圆公共弦所在直线方程为：()(

)2222114xyxya+−−−+=−，即2260xya−−+=，因为公共弦所在直线经过原点，所以60a−+=，即6a=.故选：A.6．已知直线):sincoR(s2lxy+=与圆22:16Oxy+=相交于A，B两点，则AOBV的

面积为（）A．2B．23C．43D．与有关的不确定值【答案】C【分析】计算圆心O到直线l的距离2d=，43AB=，再计算面积得到答案.【详解】圆心O到直线l的距离2222sincosd==+，222216443AB

rd=−=−=.1432AOBSABd==△.故选：C7．如图，在长方体1111ABCDABCD−中，12ABBCAA==，当11ACAP=uuuruuur时，有1//DP平面1BDC，第3页共18页则实

数的值为（）A．1B．2C．3D．52【答案】C【分析】根据题意可知，以A点为坐标原点，1,,ABADAA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用共线定理和线面平行的向量解法可确定实数的值.【详解】如下图所示：以A

点为坐标原点，1,,ABADAA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系；设11AA=，则111(0,0,1),(2,0,0),(2,2,0),(2,2,1),(0,2,0),(0,2,1)ABCCDD，设(,,)Pxyz即1(2,2,1)AC=−uuur，1(,,1)APxyz=−uuu

r，由11ACAP=uuuruuur得11(2,2,1)(,,)ACAPxyz=−==−uuuruuur即221,,1xyz===−，所以221(,,1)P−则1221(,2,)DP=−−uuuur设平面1BDC的一个法向量为111(,,)mxyz=ur，1

(0,2,1),(2,2,0)BCBD==−uuuuruuur，所以11111·20·220mBCyzmBDxy=+==−+=uuuurruuurr令11y=，则111,2xz==−；所以(1,1,2)m=−ur由1//DP平面

1BDC可知，10mDP=uruuuurg,即620−=.所以3=.第4页共18页故选：C8．已知点()()0,2222,0AB，，点P为圆22522120xyxy+−++=上一点，则PAPB−的最小值为（）A．2B．4C．455D．855【答案】D【分析】A，B为两个定

点，问题可转化为以A，B为焦点的双曲线与圆有交点，由此求PAPB−的最小值.【详解】圆C：22522120xyxy+−++=，化成标准方程为22522122xy−++=，圆心522,22C−，半径为

1.点()()0,2222,0AB，，如图所示：由1ABBCkk==−，所以A，B，C三点共线，有AB4=，1BC=.问题可以转化为：已知点()()2,02,0AB−，，点P为圆()221:3xCy−+=上一点，求PAPB−的最小值，如图所示：设()20PAP

Baa−=，则点P轨迹为以A，B为焦点的双曲线的右支，双曲线方程为222214xyaa−=−，由点P在圆()221:3xCy−+=上，所以双曲线与圆有交点，第5页共18页由()2222221431xyaaxy−=

−−+=，消去y，得22424640xaxaa−++=，()()224242Δ616420640aaaaa=−−+=−，解得455a，则8525PAPBa−=，所以PAPB−的最小值855.故选：D【点睛】1.求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确

定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．2.解答曲线与曲线相交的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建

立有关参变量的等量关系，要强化联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．二、多选题9．已知平面的一个法向量为(3,,)mxx=−r，平面的一个法向量为(

2,,5)nx=r，若⊥，则实数x的值可能为（）A．1B．2C．3D．4【答案】BC【分析】利用两个向量互相垂直的充要条件列出关于实数x的方程，解之即可求得实数x的值【详解】平面的一个法向量为(3,,)mxx=−r，平面的一个法向量为(2,,5)nx=r，若⊥，则mn

⊥rr，则0mn=rr，则23250xx+−=，解之得12x=或23x=故选：BC10．对于曲线22:182xyCkk−=−−，下列说法正确的有（）A．曲线C不可能是圆B．曲线C可以表示焦点在y轴上的双曲线C．若8k，则曲线C为椭圆D．若曲线C为

双曲线，则28k【答案】AD【分析】A选项，令82kk−=−，无解，得到结论；B选项，令2080kk−−，无解，故B错误；C选项，当8k时，80,20kk−−，不表示椭圆；第6页共18页D选项，根据曲线C为双曲线，列出不等式，求出28k.【详解】2

2182xykk−=−−变形为22182xykk+=−−，令82kk−=−，无解，故曲线C不可能是圆，A正确；22182xykk−=−−变形为22128yxkk−=−−，令2080kk−−，解得：，故曲线

C不能表示焦点在y轴上的双曲线，B错误；22182xykk−=−−变形为22182xykk+=−−，当8k时，80,20kk−−，不表示椭圆，故C错误；若曲线C为双曲线，则()()820kk−−，解得：28k，D正确.故选：AD11．已知空间四边形OA

BC的各边及对角线AC，OB的长度均相等，E，F分别为OA，BC的中点，则（）A．//OFBEB．OABC⊥uuuruuurC．2EFOBOCOA=+−uuuruuuruuuruuurD．3cos,3CEBF=uuuruuur【答案】BC【分析】画出正

四面体连接相关的点，根据空间线面之间的判定关系以及向量的分解定理容易得到答案.【详解】如图，OC中点为G，连接,EGFG,根据中位线和中线的性质容易得到：,,BEOACEOABECEEOA⊥⊥=⊥平面,BCEBCQ平面,,B

CEOABC⊥B对；F平面,BCEO平面,BCEBE与OF异面，A错；222,EFEGGFACOBOCOBOA=+=+=+−uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurC对；π,π,2CEBFBCE=−uuuruuurD错.故选：BC12．如

图，椭圆()2222:10xyCabab+=的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，且AB⊥BF，则C的离心率为（）第7页共18页A．BFAFB．22||||ABAFC．2||AFBFABD．512−【答案】ABD【分析】由已知解得a、c的关系式，再依次代入各项计算判断其是否正确；【

详解】由题意知，(,0)Aa−，(0,)Bb，(c,0)F，则(,)ABab=uuur，(,)BFcb=−uuur，∵ABBF⊥，∴0ABBF=uuuruuur，即：20acb−=，①又∵222bac=−，②∴由①②得：220caca+−

=，即：210ee+−=，又∵01e，∴512e−=，故D项正确；∴512ca−=，∴2222225151()22bacaaa−−=−=−=，∴||151||2515122BFaaeAFacaa−=====

+−++，故A项正确；∴2222222251||512||()251()2aaABabeAFacaa−++−====+−+，故B项正确；∴2222251()||||()21||512aaaAFBFacaeABabaa−++===+−+，

故C项错误；第8页共18页故选：ABD.三、填空题13．已知直线20xmy+−=在两坐标轴上的截距相等，则实数m的值为_________.【答案】1【分析】根据直线在两坐标轴上的截距相等得到关于m的方程，解出即

可.【详解】因为直线20xmy+−=在两坐标轴上的截距相等，当0m=时，直线方程为：2x=，与y轴平行，不符合题意；当0m时，令0x=得：2ym=，令0y=得：2x=，则22m=，解得：1m=，综上

：实数m的值为1，故答案为：1.14．已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=的焦距为4，焦点到C的一条渐近线的距离为1，则C的渐近线方程为______【答案】33yx=【分析】由双曲线对称性得一个焦点到两条渐近线的距离相等，不妨设渐近线为byxa=，由点线距离及abc、、的关系可

得方程组求解.【详解】由双曲线对称性得，一个焦点到两条渐近线的距离相等，不妨取渐近线为byxa=，即0bxay−=，焦点为(),0c，则焦点到渐近线的距离221bcbcdbcab====+，由焦距为4得2c=，故223acb=−=，故C的渐近线方程为33yx=.故答案为：33yx=

.15．设n∈N+，且202219n+能被6整除，则n的值可以为_________.(写出一个满足条件的n的值即可)【答案】5（答案不唯一）第9页共18页【分析】先利用二项展开式将202219n+变形，进而即可求得n的可能取值【详解】20222022

19(181)nn+=++02022120212022202112022020222022202220222022C18C18C18C18C18rrn−=+++++++LL()0202112020202120212022202220222022C18C18C18C18

1rrn−=+++++++LL()0202112020202120212022202220222022C18C18C18C18rr−+++++LL被6整除，由202219n+能被6整除，可得1n+能被6整除，则n的值可以为5，或11，或17

等，答案不唯一故答案为：5（答案不唯一）16．“双减”政策实施以来，各地中小学纷纷开展丰富的课后活动.某校积极开展各种棋类益智活动，某项单人跳棋游戏的规则如下：如图所示，棋子的初始位置为①处，玩家每掷出一枚骰子，朝上一面的点数即为棋子

沿棋盘实线顺时针方向前进的格子数，即玩家掷出的点数为()1,2,,6ii=L，则棋子就按顺时针方向前进i个格子、一直循环下去，现在已知小明同学抛掷3次骰子后棋子恰好又回到起点①处，则其不同的走法数为_________.(用数字作答)【答案】27【

分析】根据题意得到3次投掷骰子的点数之和为8，3次投掷的点数可以为1，1，6；1，2，5；1，3，4；2，2，4；2，3，3；4，6，6；5，5，6；然后分情况求走法数即可.【详解】根据题意可知抛掷3次骰子后恰好回

到起点①处需要8步或16步，所以3次投掷骰子的点数之和为8或16，则3次投掷的点数可以为1，1，6；1，2，5；1，3，4；2，2，4；2，3，3；4，6，6；5，5，6；当点数为1，1，6；2，2，4；2，3，3；4，6，6；5，5，6时，有1

3515=C种情况；当点数为1，2，5；1，3，4时，有332A12=种情况；综上可得不同的走法数为12+15=27.故答案为：27.第10页共18页四、解答题17．已知椭圆221123xy+=的左、右焦点分别为F₁，F₂，动点M满足||MF₁|-|MF₂||=4.(1)求动

点M的轨迹C的方程：(2)已知点A(-2，0)，B(2，0)，当点M与A，B不重合时，设直线MA，MB的斜率分别为k₁，k₂，证明:12kk为定值.【答案】(1)22145xy−=(2)54【分析】（1）由椭圆方程得出焦点坐标，由已知分析动点M满足的条件，根据定义利用待定系数法设方程，

求出相关的量即可；（2）设设000(,)(2)Mxyx，代入方程中化简得20y的表达式，利用斜率公式写出12kk的表达式，化简即可【详解】（1）由椭圆221123xy+=知：2222212,31239abcab===−=−=所以左、右焦点分别为12(3,0),(3,0)F

F−因为动点M满足||MF₁|-|MF₂||=412FF所以动点M在以12,FF为焦点的双曲线上，设动点M设方程为：2222111xyab−=由双曲线的定义得：1124,226acc===所以222111945bca=

−=−=所以动点M设方程为：22145xy−=（2）设000(,)(2)Mxyx则22220000151454xyxy−==−第11页共18页由001000(2)2MAyykkxx−===−−+00200022MByykkxx−===−−所

以00120022yykkxx=+−2020220051444xyxx−−=−=()20205444xx−−=54=所以12kk54=.18．已知二项式()*naxnNx+的展开式中，.给出下列条件：①第二项与第三项的二项式系数之比是1：4；②各项系

数之和为512；③第7项为常数项.在上面三个条件中选择两个合适的条件分别补充在上面的横线上，并完成下列问题.(1)求实数a的值和展开式中二项式系数最大的项；(2)求()1naxxxx−+的展开式中的常数项.【答案】(1)1a=，二项式系数最大的项为321

26x或3126x(2)48−【分析】(1)先看条件①②③分别可以得到什么结果，然后分别选取求解即可;(2)根据第一小问得出的未知数的值，得到第二问的二项式，然后将前面括号打开，分别求常数项计算即可.【详解】（1）由①可知12C1C4nn=，解得9n=；由②得令1x=得()15

12na+=；由③得6666663CnnnnaxCaxx−−−=，要使该项为常数，则9n=；所以条件①与③得到的是同一结果，所以只有选择条件①与②和条件②与③；该两种组合都会得到9n=，所以()91512a+=，解得1a=；第12页共1

8页所以二项式系数最大的项为5354291C126xxx=或445391C126xxx=（2）由（1）可知9n=，1a=，所以有()()99911111naxxxxxxxxxxxxxx

−+−+++−==所以常数项为3399992222999911CCCCmkmkmkmmkkmkxxxxxxx+−−−−−−−=−令390,90222mkmk+−−=−−=，解得7,

6mk==；所以常数项为7699CC48−=−.19．如图，在四棱锥ABCDE−中，底面BCDE是边长为2的菱形，ADEV是等边三角形，60BED=o，平面ADE⊥平面BCDE，点F为AE的中点.(1)证明

：//AC平面BDF；(2)求平面ADE与平面ABC所成角的大小.【答案】(1)证明见解析(2)π4【分析】（1）连接CE，交BD于点G，由三角形中位线性质可得//FGAC，由线面平行的判定可证得结论；（2）取DE中点O，由面面垂直性质可证得AO⊥平面BCDE，由等腰三角形三线合一性质可得BO

DE⊥，则以O为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法可求得结果.【详解】（1）连接CE，交BD于点G，连接FG，第13页共18页Q四边形BCDE为菱形，G为BD中点，又F为AE中点，//F

GAC，FGQ平面BDF，AC平面BDF，//AC平面BDF.（2）取DE中点O，连接,OAOB，ADEQV为等边三角形，AODE⊥，Q平面ADE⊥平面BCDE，平面ADEI平面BCDEDE=，AO平面ADE，AO⊥平面BCDE；Q四边形BCDE为菱形，60BED=o，

BEDV为等边三角形，BODE⊥；则以O为坐标原点，,,OEOBOAuuuruuuruuur正方向为,,xyz轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则()003A,,，()0,3,0B，()2,3,0C−，()0,3,3AB=−uuur，()2,0,0BC=−uuur；设平面ABC的法向量(

),,nxyz=r，33020ABnyzBCnx=+==−=uuurruuurr，令1y=，解得：0x=，1z=−，()0,1,1n=−r；yQ轴⊥平面ADE，平面ADE的一个法向量()

0,1,0m=ur；12cos,22mnmnmn===urrurrurr，平面ADE与平面ABC所成角为π4.20．古希腊时期与欧几里得、阿基米德齐名的著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距第14页共18页离之比为定值λ(λ>0且λ≠1)的点

所形成的图形是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知点A(0，6)，B(0，3)、动点M满足12MAMB=，记动点M的轨迹为曲线C(1)求曲线C的方程；(2)过点N(0、4)的直线l与曲线C交于P，Q

两点，若P为线段NQ的中点，求直线l的方程.【答案】(1)()2274xy+−=(2)1543yx=+【分析】（1）根据点点距离公式，代入等量关系中化简即可求解方程，（2）联立直线与圆的方程，根据中点坐标公式以及根与系数的关系即可求解.【详解】（1）设(),

Mxy，由点A(0，6)，B(0，3)、动点M满足12MAMB=得()()22226123xyxy+−=+−，两边平方化简得：2214450xyy+−+=，故曲线C的方程()2274xy+−=（2）当直线l无斜率时；此时直线与圆相交P，Q两点，则()()0,5,0,9PQ

或者()()0,5,0,9QP,均不符合P为线段NQ的中点，当直线l有斜率时；设l：4ykx=+，联立直线与圆的方程()22474ykxxy=++−=，化简得()221650kxkx+−+=，()222=3620116200kkk−+=−，故254k设()()112

2,,,PxyQxy，则2121226511kxxxxkk+==++，-①若P为线段NQ的中点，则21210242xxyy+=+=，所以212xx=，将其代入①中得：()2112225121kxxkk==++，，进而得()2222

2551321kkkk==++，满足254k，所以153k=，因此l的方程为1543yx=+21．在斜三棱柱111ABCABC-中，点1B在底面ABC的射影为边BC的中点，ABCV为正三角形，侧第1

5页共18页面11AABB与底面ABC所成角的正切值为2，(1)证明:11ABAC⊥；(2)求直线1AC与平面1ABC所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)105.【分析】（1）取BC的中点O，连接1,OB

OA，由题意可得1,,OCOAOB两垂直，故建立以O为原点，1,,OCOAOB所在直线分别为x轴，y轴，z轴的空间坐标系，求出1ABuuur，1ACuuur的坐标即可证明；（2）求得平面1ABC的法向量(3,1,1)n=r，即可得答

案.【详解】（1）证明：取BC的中点O，连接1,OBOA，由题意知：1OB⊥面ABC，,BCOA面ABC，则1OBBC⊥，1OBOA⊥，又底面ABC为正三角形，所以OABC⊥，故1,,OBBCOA两

两垂直，以O为原点，1,,OCOAOB所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间坐标系：设正三角形ABCV的边长为2，1||OBm=，过O作OEAB⊥于E，连接1EB，第16页共18页由AB平面ABC，所以1OB⊥AB，又OEAB⊥，1OEOBO=，1,OEOB面1OBE，所以

AB⊥面1OBE，又1EB平面1OBE，所以1ABEB⊥，综上，1BEO为侧面11AABB与底面ABC所成角的平面角，在RtOBEV中，3||||sin602EOOB==，又11||tan2||OBBEOOE==，所以1||2||

3BOOE==，即3m=，所以2211||||||2BBOBOB=+=，则1||2AA=，则(0,3,0)A，1(1,3,3)A，(1,0,0)C，1(0,0,3)B，所以1(0,3,3)AB=−uuur，1(0,3,3)AC=

−−uuur，所以1110330ABAC=+−=uuuruuuur，即111ABAC⊥uuuruuuur，故11ABAC⊥；（2）解：因为1(0,3,3)AB=−uuur，(1,3,0)AC=−uuur，设平面1ABC

的法向量为(,,)nxyz=r，则有33030yzxy−+=−=，所以3yzxy==，令1y=，则(3,1,1)n=r，设直线1AC与面1ABC所成角为，则111210sin|cos,|||5||||5ACnACnACn=

===uuurruuurruuurr.22．已知椭圆()2222:10xyCabab+=的左、右焦点分别为12,FF，点P是椭圆C上任意一点，且1PF的最大值为3，2PF的最小值为1.第17页共18页(1)求椭圆C的方程；(2)过点(3,0)M的直线l交椭圆C于,AB

两点，过点M且与直线l垂直的直线与y轴交于点N，当ABMN取得最大值时，求直线l的方程.【答案】(1)22143xy+=(2)34290xy−−=或34290xy+−=【分析】（1）根据13PFac=+=，21PFac=−=，即可求出,,abc，进而可得椭圆的方程；（2）过点M的直

线l可设为：3xmy=+，0m，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求出AB，再根据题意求出MN，列出ABMN，最后利用换元法和基本不等式求出ABMN的最大值，进而求出满足此条件下的直线l的方程.【详解】（1）设焦距为2c，则13PF

ac=+=，21PFac=−=，解得2a=，1c=，3b=，椭圆C的方程为：22143xy+=.（2）由已知得，过点M的直线l可设为：3xmy=+，0m，联立得，223143xmyxy=++=，整理得，22(43)18150mymy

+++=，则22(18)60(43)0mm=−+，解得253m，设11(,)Axy，22(,)Bxy，得1221843myym+=−+，1221543yym=+，2212121()4ABmyyyy

=++−22222(18)601(43)43mmmm=+−++222114424043mmm+−=+设过点M且与直线l垂直的直线为:3ylxm=−+，得(0,3)Nm，又(3,0)M，得229931M

Nmm=+=+，222214424043351293(34)ABmmMNmm−−==++，令235tm=−，253m，0t则243432393(9)93()ABtMNttt==++，当且仅当9tt=，即3t=时，等号成立，

第18页共18页此时2353m−=，解得2143m=，可得423m=，故所求直线l为：4233xy=+或4233xy=−+