【文档说明】2022-2023学年江西省赣州市九年级上期中数学试题及答案解析.docx，共(19)页，380.154 KB，由小喜鸽上传

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第1页，共19页2022-2023学年江西省赣州市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A.B.C.D.2.二次函数𝑦=(𝑥−1)2+3图象的顶点坐标是()A.

(1,3)B.(1,−3)C.(−1,3)D.(−1,−3)3.已知(−3,𝑦1)，(−2,𝑦2)，(1,𝑦3)是抛物线𝑦=4𝑥2上的点，则()A.𝑦1<𝑦2<𝑦3B.𝑦3<𝑦1<𝑦2C.𝑦3<𝑦2<𝑦1D.𝑦2<𝑦3<

𝑦14.一元二次方程𝑥2−8𝑥−2=0，配方后变形为()A.(𝑥−4)2=18B.(𝑥−4)2=14C.(𝑥−8)2=64D.(𝑥−4)2=15.如图，将△𝐴𝐵𝐶绕点𝐴逆时针旋转110°，得到△𝐴𝐷𝐸，若点𝐷落在线段𝐵𝐶的延长线上，则∠𝐵大小为()A.30°

B.35°C.40°D.45°6.已知二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)的图象如图所示，并且关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐−𝑚=0有两个不相等的实数根，下列结论：①𝑏2−4𝑎𝑐

<0；②𝑎𝑏𝑐>0；③𝑎−𝑏+𝑐<0；④𝑚>−2，其中，正确的个数有()A.1B.2C.3D.4二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）7.点𝑃(−1,3)关于原点对称的点的坐标是______．第2页，共19页8.将抛物线𝑦=2𝑥2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长

度，所得到的抛物线解析式为______．9.已知𝑥1，𝑥2是一元二次方程𝑥2−7𝑥+9=0的两个根，则𝑥1+𝑥2的值为______．10.如图，在⊙𝑂中，弦𝐴𝐶//半径𝑂𝐵，∠𝐵𝑂𝐶=40°，则∠𝐴𝑂𝐶的度数为．11.如图是二次函数𝑦=

𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐图象的一部分，其对称轴为直线𝑥=1，若它与𝑥轴一交点为𝐴(3,0)，则由图象可知，当函数值𝑦<0时，𝑥取值范围是______．12.如图，正方形𝑂𝐴𝐵𝐶的两边𝑂𝐴、𝑂𝐶分别在𝑥轴、𝑦轴上，点𝐷(5,3)在边𝐴𝐵上，以𝐶为中心，把

△𝐶𝐷𝐵旋转90°，则旋转后点𝐷的对应点𝐷′的坐标是___________．三、解答题（本大题共11小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）13.(本小题6.0分)解方程：(1)𝑥2−4𝑥=0；(2)𝑥2+4𝑥+3=0

．第3页，共19页14.(本小题6.0分)已知关于𝑥的方程𝑥2+2𝑥+𝑎−2=0．(1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数𝑎的取值范围；(2)当该方程的一个根为1时，求方程的另一个根．15.(本小题6.0分)有一块方角形的钢板如图所示，请你用一条直线将其分为面积相等的两

个部分(不写作法，保留作图痕迹，在图中直接画出两种方法)．16.(本小题6.0分)如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点𝑂为圆心的圆的一部分，若𝑀是⊙𝑂中弦𝐶𝐷的中点，𝐸𝑀经过圆心𝑂交⊙𝑂于点𝐸，并且𝐶𝐷=8𝑚，�

�𝑀=8𝑚，求⊙𝑂的半径．17.(本小题6.0分)2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱．随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．据统计，该店2021年10月的销量为2万件，20

21年12月的销量为2.42万件．第4页，共19页(1)求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；(2)假设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率保持不变，求2022年1月“冰墩墩”的销量．18.(本小题8.0分)如图，直线𝑦=𝑥+𝑚和抛物线𝑦=𝑥2+𝑏𝑥+𝑐都经过点

𝐴(1,0)，𝐵(3,2)．(1)求𝑚的值和抛物线的关系式；(2)求不等式𝑥2+𝑏𝑥+𝑐>𝑥+𝑚的解集(直接写出答案)．19.(本小题8.0分)如图，在平面直角坐标中，𝐴(1,1)

，△𝐴𝐵𝐶的顶点均在格点上．(1)点𝐶绕𝑂点逆时针方向旋转90°后所对应𝐶′的坐标______；(2)若△𝐴𝐵𝐶和△𝐴1𝐵1𝐶1关于原点𝑂成中心对称图形，画出△𝐴1𝐵1𝐶1．(3)求△𝐴1𝐵1𝐶1的面积．第5页，共1

9页20.(本小题8.0分)如图，点𝑂是等边三角形𝐴𝐵𝐶内的一点，∠𝐵𝑂𝐶=150°，将△𝐵𝑂𝐶绕点𝐶按顺时针旋转得到△𝐴𝐷𝐶，连接𝑂𝐷，𝑂𝐴．(1)求∠𝑂𝐷𝐶的度数；(2)若𝑂𝐵=2，𝑂𝐶=3，求𝐴�

�的长．21.(本小题9.0分)某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件．市场调查反映：如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件．(1)求出每天所得的销售利润𝑤(元)与每件涨价𝑥(元)之间的函数关系式

；(2)当销售单价为多少时，该商品每天的利润为2090元？(3)求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大？22.(本小题9.0分)如图，已知抛物线𝑦=𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图象与𝑥轴的一个交点为𝐵(5,0)，另一个交点

为𝐴，且与𝑦轴交于点𝐶(0,5)．(1)求直线𝐵𝐶与抛物线的解析式；第6页，共19页(2)若点𝑀是抛物线在𝑥轴下方图象上的一动点，过点𝑀作𝑀𝑁//𝑙2轴交直线𝐵𝐶于点𝑁，求𝑀𝑁的最大值．23.(本小题12.0分)如图，抛物线𝑦=�

�𝑥2+𝑏𝑥+𝑐经过𝐴(−1,0)、𝐵(3,0)、𝐶(0,3)三点，直线𝑙是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式：______；(2)设点𝑃是直线𝑙上的一个动点，当△𝑃𝐴𝐶的周长最小时，求点𝑃的坐标______；(3)在直线𝑙上是

否存在点𝑀，使△𝑀𝐴𝐶为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点𝑀的坐标；若不存在，请说明理由；(4)若点𝐸在𝑥轴上，点𝐹在抛物线上，是否存在以𝐵，𝐶，𝐸，𝐹为顶点且以𝐵𝐶为一边的平行四边形？若存在，求点𝐹的坐标；若不存在，请说明理

由．第7页，共19页答案和解析1.【答案】𝐷【解析】解：𝐴、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确．故选：𝐷．直接利

用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．此题主要考查了中心对称与轴对称的概念：轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．2.【答案】𝐴【解析】【分析】本题主要考

查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在𝑦=𝑎(𝑥−ℎ)2+𝑘中，对称轴为𝑥=ℎ，顶点坐标为(ℎ,𝑘).由抛物线顶点式可求得答案．【解答】解：∵𝑦=(𝑥−1)2+3，∴顶点坐标为(1,3)，故选A．3.【答案

】𝐶【解析】解：∵𝑦=4𝑥2，∴抛物线的对称轴为𝑦轴，开口向上，而点(−3,𝑦1)离对称轴最远，点(1,𝑦3)离对称轴最近，∴𝑦3<𝑦2<𝑦1，故选：𝐶．先确定抛物线的对称轴，根据二次函数的性

质，然后利用抛物线开口向上时，离对称轴越远，函数值越大求解．第8页，共19页本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．4.【答案】𝐴【解析】解：∵𝑥2−8𝑥−2=0，∴𝑥2−8𝑥=2，则𝑥2−8𝑥+16=2+16，即(𝑥−4)

2=18，故选：𝐴．将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．本题主要考查解一元二次方程−配方法．5.【答案】𝐵【解析】解：∵△𝐴𝐵𝐶绕点𝐴逆时针旋转110°，得到△𝐴𝐷𝐸∴𝐴𝐵=𝐴𝐷，∠�

�𝐴𝐷=110°由三角形内角和∠𝐵=180°−∠𝐵𝐴𝐷2=180°−110°2=35°故选：𝐵．由旋转可知，𝐴𝐵=𝐴𝐷且∠𝐵𝐴𝐷=110°，则有三角形内角和可以计算∠𝐵本题是几何图形旋转问题，考查了图形旋转的性质、三角形内角和

以及等腰三角形的性质．6.【答案】𝐵【解析】【分析】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，正确把握二次函数与方程之间的关系是解题关键．直接利用抛物线与𝑥轴交点个数以及抛物线与方程之间的关系、函数图象

与各系数之间关系分析得出答案．【解答】第9页，共19页解：如图所示：图象与𝑥轴有两个交点，则𝑏2−4𝑎𝑐>0，故①错误；∵图象开口向上，∴𝑎>0，∵对称轴在𝑦轴右侧，∴𝑎，𝑏异号，∴𝑏<0，∵图象与�

�轴交于𝑥轴下方，∴𝑐<0，∴𝑎𝑏𝑐>0，故②正确；当𝑥=−1时，𝑎−𝑏+𝑐>0，故③错误；∵二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的顶点纵坐标为：−2，故二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥

+𝑐向上平移小于2个单位，则平移后解析式𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐−𝑚与𝑥轴有两个交点，此时关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐−𝑚=0有两个不相等的实数根，故−𝑚<2，解得：𝑚>−2，故④正确．∴正确的个数有2个．故选B．7.【答案】(1,−3)【解

析】解：点关于原点的对称点，可以通过作图知道(𝑥,𝑦)关于原点的对称点是(−𝑥,−𝑦)，因此点𝑃(−1,3)关于原点对称的点的坐标是(1,−3)．关于原点对称的点，横、纵坐标都互为相反数．本题主要是通过作图总结坐标变化规律，记住，然后应用．8.【

答案】𝑦=2(𝑥−2)2+3第10页，共19页【解析】解：将抛物线𝑦=2𝑥2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为𝑦=2(𝑥−2)2+3，故答案为𝑦=2(𝑥−2)2+3．本题考查的是二次函数的图象与几何变换．根据“左加右减

、上加下减”的原则进行解答即可．9.【答案】7【解析】解：∵𝑥1，𝑥2是一元二次方程𝑥2−7𝑥+9=0的两个根，∴𝑥1+𝑥2=7．故答案为：7．根据一元二次方程根与系数的关系求解．此题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程

根与系数的关系：𝑥1+𝑥2=−𝑏𝑎，𝑥1𝑥2=𝑐𝑎．10.【答案】100°【解析】【分析】先根据平行线的性质得到∠𝑂𝐶𝐴=∠𝐵𝑂𝐶=40°，然后根据圆半径都相等，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算∠𝐴𝑂𝐶的度数．本题考查了三角形内角和：三角形内角和是180

°.也考查了等腰三角形的性质和圆的认识．【解答】解：∵𝐴𝐶//𝑂𝐵，∴∠𝑂𝐶𝐴=∠𝐵𝑂𝐶=40°，∵𝑂𝐴=𝑂𝐶，∴∠𝑂𝐴𝐶=∠𝑂𝐶𝐴=40°，∴∠𝐴𝑂𝐶=1

80°−∠𝑂𝐴𝐶−∠𝑂𝐶𝐴=180°−40°−40°=100°．故答案为：100°．11.【答案】−1<𝑥<3第11页，共19页【解析】解：∵𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的对称轴为直线𝑥=1，与𝑥轴的一个交点为(3,0)，∴抛物线

与𝑥轴的另一个交点为(−1,0)，∴当−1<𝑥<3时，𝑦<0．故答案为：−1<𝑥<3．根据抛物线的对称性确定抛物线与𝑥轴的另一个交点为(3,0)，然后观察函数图象，找出抛物线在𝑥轴下方的部分所对应的自变量的范围即可．本题考查了二次函数与不等式，利用轴对称性求出另一个和𝑥轴交点的坐标

是解题的关键．12.【答案】(−2,0)或(2,10)【解析】解：因为点𝐷(5,3)在边𝐴𝐵上，所以𝐴𝐵=𝐵𝐶=5，𝐵𝐷=5−3=2；(1)若把△𝐶𝐷𝐵顺时针旋转90°，则点𝐷′在𝑥轴上，𝑂𝐷′=2，所以𝐷′(−2,0)；(2)若把△𝐶𝐷𝐵逆时针旋

转90°，则点𝐷′到𝑥轴的距离为10，到𝑦轴的距离为2，所以𝐷′(2,10)，综上，旋转后点𝐷的对应点𝐷′的坐标为(−2,0)或(2,10)．故答案为：(−2,0)或(2,10)．根据题意，分顺时针旋转和逆时

针旋转两种情况，求出点𝐷′到𝑥轴、𝑦轴的距离，即可判断出旋转后点𝐷的对应点𝐷′的坐标是多少．此题主要考查了坐标与图形变化−旋转，考查了分类讨论思想的应用，解答此题的关键是要注意分顺时针旋转和逆时针旋转两

种情况．13.【答案】解：(1)∵𝑥2−4𝑥=0，∴𝑥(𝑥−4)=0，∴𝑥=0或𝑥−4=0，∴𝑥1=0，𝑥2=4；(2)∵𝑥2+4𝑥+3=0，∴(𝑥+1)(𝑥+3)=0，第12页，共19页∴𝑥+1=0，𝑥+3=0，∴𝑥1=−1，𝑥2

=−3．【解析】(1)根据因式分解法解一元二次方程即可；(2)根据因式分解法解一元二次方程即可．本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题的关键．14.【答案】解：(1)∵𝑏2−4𝑎𝑐=(2)2−4

×1×(𝑎−2)=12−4𝑎>0，解得：𝑎<3．∴𝑎的取值范围是𝑎<3；(2)设方程的另一根为𝑥1，由根与系数的关系得：{1+𝑥1=−21⋅𝑥1=𝑎−2，解得：{𝑎=−1𝑥1=−3，则该方程的另一根为

−3．【解析】(1)关于𝑥的方程𝑥2−2𝑥+𝑎−2=0有两个不相等的实数根，即判别式𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐>0.即可得到关于𝑎的不等式，从而求得𝑎的范围．(2)设方程的另一根为𝑥1，根据根与系数的关系列出方程组，求出𝑎的值和方程的另一

根．本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系是解题的关键．15.【答案】解：如图①，图②，图③．【解析】①②：先将图形分割成两个矩形，找出各自的对称中心，过两个对称中

心作直线即可；③：先将图形补充成一个大矩形，分别找出图中两个矩形各自的对称中心，过两个对称中心作直线即可．本题考查了矩形的性质，掌握矩形的性质，中心对称是解题的关键．第13页，共19页16.【答案】解：连接𝑂𝐶

，如图所示：∵𝑀是⊙𝑂弦𝐶𝐷的中点，𝐶𝐷=8𝑚，∴𝐸𝑀⊥𝐶𝐷，𝐶𝑀=𝐷𝑀=12𝐶𝐷=4𝑚，设⊙𝑂的半径为𝑥𝑚，在𝑅𝑡△𝐶𝑂𝑀中，由勾股定理得：𝑂𝐶2=𝐶𝑀2+𝑂𝑀2，即𝑥2=

42+(8−𝑥)2，解得：𝑥=5，即⊙𝑂的半径为5𝑚．【解析】根据垂径定理得𝐸𝑀⊥𝐶𝐷，求出𝐶𝑀=𝐷𝑀=4，在𝑅𝑡△𝐶𝑂𝑀中，由勾股定理得𝑂𝐶2=𝐶𝑀2+𝑂𝑀2，进而可

求得半径𝑂𝐶．此题考查了垂径定理，勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．17.【答案】解：(1)设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为𝑥，依题意得：2(1+𝑥)2=2.42，解得：𝑥1=0.1=10%，𝑥2=−2.1(不合

题意，舍去)．答：该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为10%．(2)2.42×(1+10%)=2.42×1.1=2.662(万件)．答：2022年1月“冰墩墩”的销量为2.662万件．【解析】(1)设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为𝑥，利用2021年12月的销量=2021年10月的销量×(1

+月平均增长率)2，列出一元二次方程，解之取其正值即可；(2)利用2022年1月的销量=2021年12月的销量×(1+月平均增长率)，即可求出2022年1月“冰墩墩”的销量．本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一

元二次方程；(2)根据各数量之间的关系，列式计算．第14页，共19页18.【答案】解：(1)将点𝐴(1,0)、𝐵(3,2)代入抛物线解析式得：{1+𝑏+𝑐=09+3𝑏+𝑐=2，解得：𝑏=−3，𝑐=2，则函数解析式为𝑦=𝑥2−3𝑥+2；将点𝐴(1

,0)代入𝑦=𝑥+𝑚可得1+𝑚=0，解得：𝑚=−1；(2)𝑥<1或𝑥>3．【解析】解：(1)见答案；(2)由图象可知，抛物线𝑦=𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图象在直线𝑦=𝑥+𝑚的图象

上方时，𝑥<1或𝑥>3，所以不等式𝑥2+𝑏𝑥+𝑐>𝑥+𝑚的解集为𝑥<1或𝑥>3．(1)将点𝐴、𝐵的坐标代入二次函数解析式求得𝑏、𝑐的值即可得，将点𝐴坐标代入𝑦=𝑥+𝑚可得𝑚的值；(2)由函数图象中抛物线在直线上方时𝑥的范围可得．本题主要考查二次函

数与一元二次不等式的关系及待定系数法求函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式．19.【答案】(−1,5)【解析】解：(1)如图，𝐶′点的坐标为(−1,5)，故答案为(−1,5)；(2)如图

，△𝐴1𝐵1𝐶1为所作：第15页，共19页(3)△𝐴1𝐵1𝐶1的面积为：12×4×3=6．(1)利用网格特点和旋转的性质画出𝐶点的对应点𝐶′，从而得到𝐶′点的坐标；(2)利用关于原点对称的点的坐标特征写出𝐴1、𝐵1、𝐶1的坐标，然后描点

即可；(3)根据三角形的面积公式求解即可．本题考查了作图−旋转变换，掌握旋转的性质，中心对称作图和三角形的面积是解题的关键．20.【答案】解：(1)由旋转的性质得，𝐶𝐷=𝐶𝑂，∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐵𝐶𝑂，∵∠𝐴𝐶𝐵=60°，∴∠𝐷𝐶𝑂=60°，∴△𝑂𝐶𝐷为等边三

角形，∴∠𝑂𝐷𝐶=60°；(2)由旋转的性质得，𝐴𝐷=𝑂𝐵=2，∵△𝑂𝐶𝐷为等边三角形，∴𝑂𝐷=𝑂𝐶=3，∵∠𝐵𝑂𝐶=150°=∠𝐴𝐷𝐶，∠𝑂𝐷𝐶=60°，∴∠𝐴𝐷𝑂=

90°，在𝑅𝑡△𝐴𝑂𝐷中，由勾股定理得：𝐴𝑂=√𝐴𝐷2+𝑂𝐷2=√13．【解析】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，正确求得𝐴𝑂的长是解题的关键．(1)根据旋转的性质得到三角形𝑂𝐷𝐶为等边三

角形即可求解；(2)先证明出△𝐴𝑂𝐷为直角三角形，在𝑅𝑡△𝐴𝑂𝐷中，由勾股定理即可求得𝐴𝑂的长．第16页，共19页21.【答案】解：(1)依题意得，𝑤=(25+𝑥−20)(250−10𝑥)=−10𝑥2+200𝑥+1250；(2)由题意得：−10𝑥2+200

𝑥+1250=2090，解得：𝑥1=14，𝑥2=6，此时销售单价为39或31元；(3)由题意得：𝑤=−10𝑥2+200𝑥+1250=−10(𝑥−10)2+2250，∵−10<0，∴当𝑥=10元时，𝑤有最大值，为2250，此时销售单价为

10+25=35元．【解析】(1)根据销售利润等于单件利润乘以销售量即可求解；(2)根据(1)列出一元二次方程；(3)根据(1)的关系式结合二次函数的性质求得最大值即可求解．本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出

函数关系式与方程是解题的关键．22.【答案】解：(1)设直线𝐵𝐶的解析式为𝑦=𝑚𝑥+𝑛，将𝐵(5,0)，𝐶(0,5)两点的坐标代入，得{5𝑚+𝑛=0𝑛=5，解得{𝑚=−1𝑛=5，∴直线𝐵𝐶的解析式为𝑦=−𝑥+5；将𝐵(5,

0)，𝐶(0,5)两点的坐标代入𝑦=𝑥2+𝑏𝑥+𝑐，得{25+5𝑏+𝑐=0𝑐=−5，解得{𝑏=−6𝑐=5，∴抛物线的解析式为𝑦=𝑥2−6𝑥+5；(2)设𝑀(𝑥,𝑥2−6𝑥+5)(1<𝑥<5)，则𝑁(𝑥,−𝑥+5)

，∵𝑀𝑁=(−𝑥+5)−(𝑥2−6𝑥+5)=−𝑥2+5𝑥=−(𝑥−52)2+254，∴当𝑥=52时，𝑀𝑁有最大值254．【解析】(1)直接利用待定系数法求函数解析式即可；(2)设𝑀(𝑥,𝑥2−6𝑥+5)(1<𝑥<5)，则𝑁(𝑥,−𝑥+5)，再表

示出𝑀𝑁的长度，通过配方法求最值即可．第17页，共19页本题考查了待定系数法求函数解析式，二次根式求最值，熟练掌握知识点是解题的根据．23.【答案】𝑦=−𝑥2+2𝑥+3(1,2)【解析】解：(1)由抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐经

过𝐴(−1,0)，𝐵(3,0)两点，∴设抛物线的解析式为𝑦=𝑎(𝑥+1)(𝑥−3)，又∵抛物线过点𝐶(0,3)，∴3=−3𝑎，∴𝑎=−1，∴𝑦=−(𝑥+1)(𝑥−3)，即𝑦=−𝑥2

+2𝑥+3．故答案为：𝑦=−𝑥2+2𝑥+3．(2)连接𝐵𝐶，则直线𝐵𝐶与直线的交点即为使△𝑃𝐴𝐶的周长最小的点𝑃．设直线𝐵𝐶的解析式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏，将𝐵(3,0)，𝐶(0,3)代入，得{𝑘=−1𝑏=3，∴直线

𝐵𝐶的函数关系式𝑦=−𝑥+3，∵对称轴为直线𝑥=1，∴当𝑥=1时，𝑦=2，即点𝑃的坐标为(1,2)．故答案为：(1,2)．(3)由于△𝑀𝐴𝐶的腰和底没有明确，因此要分三种情况讨论：①𝑀𝐴=𝑀𝐶，②𝑀𝐴=𝐴𝐶

，③𝐴𝐶=𝑀𝐶．∵抛物线的对称轴为𝑥=1，设𝑀(1,𝑚)，∵𝐴(−1,0)，𝐶(0,3)，∴𝐴𝑀2=𝑚2+4，𝐶𝑀2=𝑚2−6𝑚+10，𝐴𝐶2=10．①若𝑀𝐴=𝑀𝐶，则𝐴𝑀2=𝐶𝑀2，∴𝑚2+4=𝑚2−

6𝑚+10，∴𝑚=1．第18页，共19页②若𝑀𝐴=𝐴𝐶，则𝐴𝑀2=𝐴𝐶2，∴𝑚2+4=10，∴𝑚=±√6，③若𝑀𝐶=𝐴𝐶，则𝐶𝑀2=𝐴𝐶2，∴𝑚2−6𝑚+10=10，∴𝑚=0或𝑚=6，当

𝑚=6时，𝑀、𝐴、𝐶三点共线，构不成在角形(舍去)，综上可知：存在符合条件的点𝑀，且坐标为(1,√6)或(1,−√6)或(1,1)或(1,0)．(4)存在以𝐵，𝐶，𝐸，𝐹为顶点且以𝐵𝐶为一边的平行四边形，设点𝐹坐标为(𝑥,𝑦)，①𝐵𝐸为平行四

边形的一边，即当𝐶𝐹//𝐵𝐸时，由平行四边形的性质得：𝑦=3，又点𝐹在抛物线上，有−𝑥2+2𝑥+3=3，解得：𝑥1=2或𝑥2=0(舍去)，此时点𝐹坐标为(2,3)，②𝐵𝐸为平行四边形的对角线，即当𝐵�

�//𝐸𝐹时，由平行四边形的性质得：𝑦=−3，又点𝐹在抛物线上，有−𝑥2+2𝑥+3=−3，解得：𝑥1=√7+1或𝑥2=−√7+1，此时点𝐹坐标为(√7+1,−3)或(−√7+1,−3)．

综上所述：存在，点𝐹的坐标为(2,3)或(√7+1,−3)或(−√7+1,−3)．(1)用待定系数法，直接将𝐴，𝐵，𝐶三点坐标代入抛物线的解析式中求出系数即可；(2)由图知：𝐴，𝐵点关于抛

物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接𝐵𝐶，那么𝐵𝐶与直线𝑙的交点即为符合条件的𝑃点；(3)由于△𝑀𝐴𝐶的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①𝑀𝐴=𝑀𝐶，②𝑀𝐴=𝐴𝐶

，③𝐴𝐶=𝑀𝐶；可先设出𝑀点的坐标，然后用𝑀点纵坐标表示△𝑀𝐴𝐶的三边长，再按上面的三种情况列式求解；(4)由于以𝐵𝐶为一边的平行四边形的另外一边不确定，因此需要分两种情况讨论：①𝐵𝐸为平行四边形的一边，②𝐵𝐸为平行四边形的对角线，根据平行四边形的性质确定点𝐹的纵坐

标，再解方程求出点𝐹的横坐标，从而得出点𝐹的坐标．第19页，共19页本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，轴对称—最短路线问题，二次函数中特殊三角形和特殊四边形综合问题，解题关键是求出二次函数解析式，熟练运用二

次函数性质，掌握等腰三角形和平行四边形性质．