【文档说明】2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区九年级上期中数学试题及答案解析.docx，共(23)页，464.305 KB，由小喜鸽上传

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第1页，共23页2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知⊙𝑂的半径为2𝑐𝑚，点

𝑃到圆心𝑂的距离为2𝑐𝑚，则点𝑃在⊙𝑂()A.外B.内C.上D.无法确定2.下列方程中，没有实数根的是()A.𝑥2=𝑥B.𝑥2+1=0C.𝑥2+2𝑥+1=0D.𝑥2+2𝑥−1=03.20名同学参加某比赛的成绩统计如表，则成绩的众数

和中位数(单位：分)分别为()成绩/分80859095人数/人2864A.85，85B.85，87.5C.85，90D.90，904.已知关于𝑥的一元二次方程(𝑚−1)𝑥2−2𝑥+𝑚2−𝑚=0有一根为0，则𝑚的值是()A.0B.1C.0或1D.0或−15

.如图，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷、等边三角形𝐴𝐸𝐹内接于同一个圆，则𝐵𝐸⏜的度数为()A.15°B.20°C.25°D.30°6.如图，在一张𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶纸片中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐵𝐶=3，𝐴𝐶=4，⊙𝑂是它的内切圆．小明用剪刀沿着⊙𝑂的切线𝐷𝐸剪下

一块三角形𝐴𝐷𝐸，则△𝐴𝐷𝐸的周长为()A.4B.5C.6D.8二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）第2页，共23页7.方程𝑥2=1的解是______．8.已知⊙𝑂的半径为10𝑐𝑚，圆

心𝑂到直线𝑙的距离为12𝑐𝑚，则直线𝑙与⊙𝑂的位置关系是______．9.书香相伴，香满校园，某校9月份借阅图书500本，11月借阅图书845本，设该校这两个月借阅图书的月均增长率为𝑥，根据题意可列方程为______，𝑥=______．10.设

𝑥1，𝑥2是一元二次方程𝑥2−3𝑥−2=0的两个根，则𝑥1𝑥2−𝑥1−𝑥2=______．11.正六边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹内接于⊙𝑂，⊙𝑂的半径为1，则由半径𝑂𝐴，𝑂𝐶和𝐴𝐶⏜围成的扇形的面积为______．12.若一组数据𝑥1，𝑥2，𝑥3，𝑥4，

𝑥5的平均数是𝑎，另一组数据𝑥1+2，𝑥2+3，𝑥3−5，𝑥4−2，𝑥5+1的平均数是𝑏，则𝑎______𝑏(填写“>”、“<”或“=”)．13.将半径为3𝑐𝑚面积为3𝜋𝑐𝑚2的扇

形纸片围成一个无底盖的圆锥(接缝处忽略不计)，该圆锥的底面半径为______𝑐𝑚．14.如图，圆的内接五边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸满足𝐶𝐷=𝐸𝐷，𝐶𝐷//𝐴𝐸，∠𝐴𝐵𝐶=140°，则∠𝐷=______．15.已知𝑚是方程𝑥

2−3𝑥−1=0的一个根，则𝑚3−10𝑚=______．16.如图，在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，⊙𝑂的半径是1.过⊙𝑂上一点𝑃作等边三角形𝑃𝐷𝐸，使点𝐷，𝐸分别落在𝑥轴、𝑦轴上，则𝑃

𝐷的取值范围是______．三、解答题（本大题共11小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题8.0分)解下列方程：(1)4𝑥(2𝑥−1)=3(2𝑥−1)；(2)𝑥2+6𝑥+3=0．第3页，共23页18.(本小题8.0分)如图，四边形𝐴�

�𝐶𝐷内接于一圆，𝐶𝐸是边𝐵𝐶的延长线．(1)求证∠𝐷𝐴𝐵=∠𝐷𝐶𝐸；(2)若∠𝐷𝐴𝐵=60°，∠𝐴𝐶𝐵=70°，求∠𝐴𝐵𝐷的度数．19.(本小题7.0分)一部电影的评分越高，说明这部电影越受欢迎，电影的评分是由这部电影的“

星级”评价(5星、4星、3星、2星、1星)计算得来．已知电影𝐴，𝐵的星级评价统计如下：约定5星为10分，4星为8分，3星为6分，2星为4分，1星为2分．通过计算电影的评分，比较电影𝐴，𝐵哪部更受欢迎．20.(本小题8.0分)如图，一

座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面𝐴𝐵宽度为6米，拱高𝐶𝐷(弧的中点到水面的距离)为1米．(1)求主桥拱所在圆的半径；(2)若水面下降1米，求此时水面的宽度．第4页，共23页21.(本小题8.0分)如图，已知∠𝐴�

�𝐵=45°，𝑀是射线𝑂𝐵上一点，𝑂𝑀=√2.以点𝑀为圆心、𝑟为半径画⊙𝑀．(1)当⊙𝑀与射线𝑂𝐴相切时，求𝑟的值；(2)写出⊙𝑀与射线𝑂𝐴的公共点的个数及对应的𝑟的取值范围．22.(本小题8

.0分)如图，𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，射线𝐴𝐶交⊙𝑂于点𝐶．(1)尺规作图：求作𝐵𝐶⏜的中点𝐷.(保留作图痕迹)(2)过点𝐷画𝐷𝐸⊥𝐴𝐶垂足为𝐸.求证：𝐷𝐸是⊙𝑂的切线．23.(本小题8.0分)某商品的进价为每件40元，当售价为

每件60元时，每天可卖出300件．经过市场调研发现，在一定范围内调整售价：①每涨价1元，每天要少卖出10件；②每降价1元，每天可多卖出20件．如果只能调整一次售价，如何调整使每天的利润为6250元？第5页，共23页24.(本小题8.0分)解新类型的方程(组

)时，可以通过去分母、换元等方法转化求解．原方程𝑥−2𝑥=1𝑥4−𝑥2−2=0①转化𝑥2−𝑥−2=0设𝑥2=𝑡，则______②求解𝑥1=2，𝑥2=−1𝑡=______③检验−1，2都是原方程的解…④结论𝑥1=2，𝑥2=−1(1)请按要求填写如表．(2)解方程组：{

𝑥2+2𝑥𝑦+𝑦2=16𝑥𝑦=3．25.(本小题8.0分)已知关于𝑥的方程(𝑥−2)(𝑥−3)−𝑘2=0．(1)证明：无论𝑘取何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)设方程的两根分别为𝑥1，𝑥2，且𝑥1>𝑥2，证明：𝑥1+2𝑥2≤7．26.(本小题

8.0分)构造合适的图形，可以用线段的长表示一元二次方程的正根．(1)如图，𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶的两直角边分别为𝑚2和𝑛，在斜边𝐴𝐵上截取𝐵𝐷=𝑚2，请说明𝐴𝐷的长为关于𝑥的方程𝑥2+𝑚𝑥=𝑛2的一个根．(2)已知关于𝑥

的方程𝑥2−𝑚𝑥−𝑛2=0(𝑚>2𝑛>0)，请构造合适的图形表示该方程的正根．(要求有必要的文字说明，并在图中作必要标注)27.(本小题9.0分)以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？第6页，共23页Ⅰ.若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共

圆(图1、2)；Ⅱ.若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆(图3)；Ⅲ.若线段同侧两点与线段两端，点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆(图4)．(1)在图1、2中，取𝐴𝐶的中点𝑂，根据______得𝑂𝐴=𝑂𝐵=𝑂𝐶=𝑂𝐷，即𝐴，𝐵，𝐶，�

�共圆；(2)在图3中，画⊙𝑂经过点𝐴，𝐵，𝐷(图5).假设点𝐶落在⊙𝑂外，𝐵𝐶交⊙𝑂于点𝐸，连接𝐷𝐸，可得______=180°，所以∠𝐵𝐸𝐷=______，得出矛盾；同理点𝐶也不会落在⊙𝑂

内，即𝐴，𝐵，𝐶，𝐷共圆．结论Ⅲ同理可证．(3)利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点．已知：如图6，锐角三角形𝐴𝐵𝐶的高𝐵𝐷，𝐶𝐸相交于点𝐻，射线𝐴𝐻交𝐵𝐶于点𝐹．求证：

𝐴𝐹是△𝐴𝐵𝐶的高．(补全以下证明框图，并在图上作必要标注)(4)如图7，点𝑃是△𝐴𝐵𝐶外部一点，过𝑃作直线𝐴𝐵，𝐵𝐶，𝐶𝐴的垂线，垂足分别为𝐸，𝐹，𝐷，且点𝐷，𝐸，𝐹在同一条直线上．求证：点𝑃在△𝐴𝐵𝐶的外

接圆上．第7页，共23页答案和解析1.【答案】𝐶【解析】解：∵⊙𝑂的半径为2𝑐𝑚，点𝑃与圆心𝑂的距离为2𝑐𝑚，2𝑐𝑚=4𝑐𝑚，∴点𝑃在圆上．故选：𝐶．直接根据点与圆的位置关系进行解答即可．本题考查的是点与

圆的位置关系，熟知设⊙𝑂的半径为𝑟，点𝑃到圆心的距离𝑂𝑃=𝑑，当𝑑<𝑟时，点𝑃在圆内是解答此题的关键．2.【答案】𝐵【解析】解：𝐴、方程整理得𝑥2−𝑥=0，则𝛥=𝑏2−4𝑎

𝑐=(−1)2−4×1×0=1>0，方程有两个不相等的实数根，所以𝐴选项不合题意；B、𝑥2+1=0，则𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐=02−4×1×1=−4<0，方程没有实数根，所以𝐵选项符合题意；C、𝑥2+2𝑥

+1=0，则𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐=22−4×1×1=0，方程有两个相等的实数根，所以𝐶选项不合题意；D、𝑥2+2𝑥−1=0，则𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐=22−4×1×(−1)=8>0，方程有两个不相等的实

数根，所以𝐷选项不合题意．故选：𝐵．分别计算四个方程的判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断．本题考查了根的判别式：一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0)的根与𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐有如下关系

：当𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐>0时，方程有两个不相等的实数根；当𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐=0时，方程有两个相等的实数根；当𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐<0时，方程无实数根．3.【答案】𝐵【解析】解：在这一组数据中85是出现

次数最多的，故众数是85；在这20个数中，处于中间位置的第10个和第11个数据，所以中位数是两数的平均数：(85+90)÷2=87.5．第8页，共23页故选：𝐵．利用众数的定义和中位数的定义分别分析得出答案．本

题考查了众数与中位数．中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数．4.【答案】

𝐴【解析】解：根据题意得：𝑚2−𝑚=0且𝑚−1≠0，解得𝑚=0．故选：𝐴．根据题意，把𝑥=0代入方程，即可得出关于𝑚的方程，又根据一元二次方程的定义得到𝑚−1≠0，即可求出𝑚的值．本题主要考查了一元二次方程的解和定义，注意求出𝑚的值应同时使方程有

意义．5.【答案】𝐷【解析】解：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，△𝐴𝐸𝐹是等边三角形，∴∠𝐵𝐴𝐷=90°，∠𝐸𝐴𝐹=60°，∵已知图形是以正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线𝐴𝐶所在直线为对称轴的轴对称图形，∴∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐷𝐴𝐹

=12×(90°−60°)=15°，∵∠𝐵𝐴𝐸是𝐵𝐸⏜所对的圆周角，∴𝐵𝐸⏜所对的圆心角等于2×15°=30°，∴𝐵𝐸⏜的度数为30°，故选：𝐷．由∠𝐵𝐴𝐷=90°，∠𝐸𝐴𝐹=60°，已知图形是以正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线𝐴𝐶所在直线为对称轴的轴对称图形，

求得∠𝐵𝐴𝐸=15°，则𝐵𝐸⏜所对的圆心角等于30°，所以𝐵𝐸⏜的度数为30°．此题重点考查正多边形与圆、正方形及等边三角形的性质、圆周角定理、弧的度数等知识，根据圆周角定理求出𝐵𝐸⏜所对的圆心角的度数是解题的关键．第9页，共23

页6.【答案】𝐶【解析】解：如图，设△𝐴𝐵𝐶的内切圆切三边于点𝐹，𝐻，𝐺，连接𝑂𝐹，𝑂𝐻，𝑂𝐺，∴四边形𝑂𝐻𝐶𝐺是正方形，由切线长定理可知：𝐴𝐹=𝐴𝐺，∵𝐷𝐸是⊙𝑂的切线，∴𝑀𝐷

=𝑀𝐹，𝐸𝑀=𝐸𝐺，∵∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐵𝐶=3，𝐴𝐶=4，∴𝐴𝐵=√𝐴𝐶2+𝐵𝐶2=5，∵⊙𝑂是△𝐴𝐵𝐶的内切圆，∴内切圆的半径=12(𝐴𝐶+𝐵𝐶−𝐴𝐵)=1，∴𝐶𝐺=1，∴𝐴𝐺=𝐴𝐶−𝐶𝐺=4−1=3，∴

△𝐴𝐷𝐸的周长=𝐴𝐷+𝐷𝐸+𝐴𝐸=𝐴𝐷+𝐷𝐹+𝐸𝐺+𝐴𝐸=𝐴𝐹+𝐴𝐺=2𝐴𝐺=6．故选：𝐶．设△𝐴𝐵𝐶的内切圆切三边于点𝐹，𝐻，𝐺，连接𝑂𝐹，𝑂𝐻，𝑂𝐺，得四边形𝑂𝐻𝐶𝐺是正方形，由切线长定

理可知：𝐴𝐹=𝐴𝐺，根据𝐷𝐸是⊙𝑂的切线，可得𝑀𝐷=𝑀𝐹，𝐸𝑀=𝐸𝐺，根据勾股定理可得𝐴𝐵=5，再求出内切圆的半径=12(𝐴𝐶+𝐵𝐶−𝐴𝐵)=1，进而可得△𝐴𝐷𝐸的周长．本题考查

了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．7.【答案】±1【解析】解：∵𝑥2=1∴𝑥=±1．因为𝑥2=1，从而把问题转化为求1的平方根．第10页，共23页解决本题

的关键是理解平方根的定义，注意一个正数的平方根有两个，这两个数互为相反数．8.【答案】相离【解析】解：∵⊙𝑂的半径为10𝑐𝑚，圆心𝑂到直线𝑙的距离为12𝑐𝑚，∴12𝑐𝑚>10𝑐𝑚，∵圆心𝑂到直线𝑙的距离大于⊙𝑂的半

径，∴直线𝑙与⊙𝑂相离，故答案为：相离．由⊙𝑂的半径为10𝑐𝑚，圆心𝑂到直线𝑙的距离为12𝑐𝑚，可知圆心𝑂到直线𝑙的距离大于⊙𝑂的半径，可判断直线𝑙与⊙𝑂相离．此题重点考查直线与圆的位置关系，根据已知条件判断出圆心到直线𝑙的距离与⊙𝑂的半径之

间的大小关系是解题的关键．9.【答案】500(1+𝑥)2=84530%【解析】解：设该校这两个月借阅图书的月均增长率是𝑥，依题意，得：500(1+𝑥)2=845，解得：𝑥1=0.3=30%，𝑥2=−2.3(不合题意，舍去)．故答案为：500(1+𝑥)2=845；3

0%．该校这两个月借阅图书的月均增长率是𝑥，根据该校9月份及11月份借阅图书数量，即可得出关于𝑥的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10.【答案】−5【解析】解：

∵𝑥1、𝑥2是一元二次方程𝑥2−3𝑥−2=0的两个根，∴𝑥1+𝑥2=3，𝑥1𝑥2=−2，∴𝑥1𝑥2−𝑥1−𝑥2=𝑥1𝑥2−(𝑥1+𝑥2)=−2−3=−5．故答案为：−5．第11页，共23页利用根与系数的关系可求得𝑥1+𝑥2和𝑥

1𝑥2的值，代入求值即可．本题主要考查根与系数的关系，一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0)的根与系数的关系为：𝑥1+𝑥2=−𝑏𝑎，𝑥1⋅𝑥2=𝑐𝑎．11.【答案】𝜋6【解析】解

：∵正六边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹内接于⊙𝑂，∴∠𝐴𝑂𝐶=360°6=60°，∴由半径𝑂𝐴，𝑂𝐶和𝐴𝐶⏜围成的扇形的面积为60⋅𝜋×12360=𝜋6，故答案为：𝜋6．根据扇形的面积公式即可得到结论．本题考查了正多边形与圆，扇形面积的计算，熟练掌握扇形

的面积公式是解题的关键．12.【答案】>【解析】解：∵数据𝑥1、𝑥2、𝑥3、𝑥4、𝑥5的平均数为𝑎，∴数据𝑥1+𝑥2+𝑥3+𝑥4+𝑥5=5𝑎，∵𝑥1+2，𝑥2+3，𝑥3−5，𝑥4−2，𝑥5+1的平均数是𝑏，∴𝑥1+2+𝑥2+3+�

�3−5+𝑥4−2+𝑥5+1=5𝑏，∴𝑥1+𝑥2+𝑥3+𝑥4+𝑥5=5𝑏+1，∴5𝑎=5𝑏+1，∴𝑎−𝑏=15>0，∴𝑎>𝑏．故答案为：>．根据平均数的定义得𝑥1+𝑥2+𝑥3+𝑥4+𝑥5=5

𝑎，𝑥1+2+𝑥2+3+𝑥3−5+𝑥4−2+𝑥5+1=5𝑏，所以5𝑎=5𝑏+1，即𝑎−𝑏=15，即可求出答案．本题考查的是算术平均数．解决本题的关键是用一组数据的平均数表示另一组数据的平均数

．13.【答案】1第12页，共23页【解析】解：设该圆锥的底面半径为𝑟𝑐𝑚，根据题意得12×2𝜋𝑟×3=3𝜋，解得𝑟=1，即该圆锥的底面半径为1𝑐𝑚．故答案为：1．设该圆锥的底面半径为𝑟𝑐𝑚，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，则根据扇

形的面积公式得到12×2𝜋𝑟×3=3𝜋，然后解方程即可．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．14.【答案】100°【解析】解：如图，连接𝐶𝐸，∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐸是圆内

接四边形，∴∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐴𝐸𝐶=180°，又∵∠𝐴𝐵𝐶=140°，∴∠𝐴𝐸𝐶=180°−140°=40°，∵𝐶𝐷//𝐴𝐸，∴∠𝐴𝐸𝐶=∠𝐷𝐶𝐸=40°，∵𝐶𝐷

=𝐸𝐷，∴∠𝐶𝐷𝐸=∠𝐶𝐸𝐷=40°，∴∠𝐷=180°−40°−40°=100°，故答案为：100°．利用圆内接四边形的性质求出∠𝐴𝐸𝐶，再根据平行线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算即可．本题考查圆周角定理，

平行线的性质，掌握圆内接四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理是正确解答的前提．15.【答案】3第13页，共23页【解析】解：∵𝑚是方程𝑥2−3𝑥−1=0的一个根，∴𝑚2−3𝑚−1=0，∴𝑚2−3𝑚

=1，∴𝑚3−10𝑚=𝑚(𝑚2−3𝑚)+3𝑚2−10𝑚=𝑚+3𝑚2−10𝑚=3𝑚2−9𝑚=3(𝑚2−3𝑚)=3×1=3．故答案为：3．根据一元二次方程的解的定义，将𝑥=𝑚代入已知方程求得𝑚2−3𝑚

=1；然后将所求的代数式转化为含有𝑚2−3𝑚的代数式，并代入求值即可．本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．16.【答案】27√7≤𝑃𝐷≤2【解析】解：如图，当𝐷𝑃⊥𝑥轴时，𝐷𝑃的长最小，连接𝑂𝑃，设𝐷𝑃=𝐷𝐸=𝑎

，∵△𝑃𝐷𝐸为等边三角形，∴∠𝑃𝐷𝐸=60°，∵𝐷𝑃⊥𝑥轴，即∠𝑃𝐷𝑂=90°，∴∠𝐸𝐷𝑂=30°，∴𝑂𝐸=12𝐷𝐸=12𝑎，第14页，共23页根据勾股定理得𝐷𝑂=√𝐷𝐸2−𝑂𝐸2

=√𝑎2−14𝑎2=√32𝑎，在𝑅𝑡三角形𝑃𝐷𝑂中，𝑃𝐷=𝑎，𝑂𝑃=1，𝑂𝐷=√32𝑎，∴𝑂𝐷2+𝑃𝐷2=𝑂𝑃2，即(√32𝑎)2+𝑎2=12，解得：𝑎=27√7或−27√7(舍去)，∴𝑃𝐷的长最小为27√7；如

图，由于直径是圆中最长的弦，当𝑃𝐷时直径时，𝑃𝐷的长最大，此时，𝑃𝐷=2；综上，𝑃𝐷的取值范围为：27√7≤𝑃𝐷≤2．故答案为：27√7≤𝑃𝐷≤2．找到最大值与最小值的位置，分别求出取值范围

的临界值即可解答．本题主要考查等边三角形的性质、勾股定理，找准临界点位置是解题关键．17.【答案】解：(1)4𝑥(2𝑥−1)=3(2𝑥−1)，4𝑥(2𝑥−1)−3(2𝑥−1)=0，(2𝑥−1)(4𝑥−3)=0

，2𝑥−1=0或4𝑥−3=0，所以𝑥1=12，𝑥2=34；(2)𝑥2+6𝑥+3=0，𝑥2+6𝑥=−3，𝑥2+6𝑥+9=6，(𝑥+3)2=6，第15页，共23页𝑥+3=±√6，所以𝑥1=−3+√6，

𝑥2=−3−√6．【解析】(1)先移项得到4𝑥(2𝑥−1)−3(2𝑥−1)=0，再利用因式分解法把方程转化为2𝑥−1=0或4𝑥−3=0，然后解一次方程即可；(2)利用配方法得到(𝑥+3)2=6，然后利用直接开平方法解方程．本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因

式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．18.【答案】(1)证明：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷内接于圆，∴∠𝐷𝐴𝐵+∠𝐷𝐶𝐵=180°，∵∠𝐷𝐶𝐸+∠𝐷𝐶𝐵=180°，∴∠

𝐷𝐴𝐵=∠𝐷𝐶𝐸；(2)解：∵∠𝐴𝐶𝐵=70°，∴∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐴𝐶𝐵=70°，∴∠𝐴𝐵𝐷=180°−60°−70°=50°．【解析】(1)根据圆内接四边形的性质得到∠𝐷𝐴𝐵+∠𝐷𝐶𝐵=180°，根据同角的补角相等证明结论

；(2)根据圆周角定理得到∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐴𝐶𝐵=70°，根据三角形内角和定理计算即可．本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．19.【答案】解：电影

𝐴的平均得分为10×15%+8×35%+6×45%+4×5%+2×0%=7.2(分)，电影𝐵的平均得分为10×20%+8×30%+6×40%+4×5%+2×5%=7.1(分)，∵7.2>7.1，∴电影𝐴

更受欢迎．【解析】分别计算两部电影的平均得分即可比较出答案．本题考查了加权平均数，正确计算和理解加权平均数的意义是关键．20.【答案】解：(1)∵点𝐷是𝐴𝐵⏜的中点，𝐷𝐶⊥𝐴𝐵，∴𝐴𝐶=𝐵𝐶=12𝐴𝐵=3，�

�𝐶经过圆心，第16页，共23页设拱桥的桥拱弧𝐴𝐵所在圆的圆心为𝑂，连接𝑂𝐴，𝑂𝐶，联结𝑂𝐴，设半径𝑂𝐴=𝑂𝐷=𝑅，𝑂𝐶=𝑂𝐷−𝐷𝐶=𝑅−1，在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝑂中，∵𝑂𝐴2=𝐴𝐶2+𝑂𝐶2，∴𝑅2=(𝑅−1)2+32，解得

𝑅=5．答：主桥拱所在圆的半径长为5米；(2)设𝑂𝐷与𝐸𝐹相交于点𝐺，连接𝑂𝐹，∵𝐸𝐹//𝐴𝐵，𝑂𝐷⊥𝐴𝐵，∴𝑂𝐷⊥𝐸𝐹，∴∠𝑂𝐺𝐹=90°，在𝑅𝑡△𝑂𝐺𝐹中，𝑂𝐺=5−1−1=3，𝑂𝐹

=5，∴𝐹𝐺=√52−32=4，∴𝐸𝐹=2𝐹𝐺=8，答：此时水面的宽度为8米．【解析】(1)连接𝑂𝐴，𝑂𝐶，设半径𝑂𝐴=𝑂𝐷=𝑅，𝑂𝐶=𝑂𝐷−𝐷𝐶=𝑅−1，在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝑂

中，利用勾股定理构建方程求解即可；(2)根据勾股定理列式可得𝐹𝐺的长，最后由垂径定理可得结论．本题考查了垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．第17页，共23页21.【答案】解：(1)作𝑀𝑁⊥

𝑂𝐴于𝑁，如图所示：∵∠𝐴𝑂𝐵=45°，∴𝑀𝑁=√22𝑂𝑀=1，∴当⊙𝑀与射线𝑂𝐴相切时，求𝑟的值为1；(2)由(1)可知，根据直线与圆的关系得到：当𝑟=1时，⊙𝑀与射线𝑂𝐴相切，只有一个公共点；当0<𝑟<1时，⊙𝑀与射线𝑂𝐴相离，没有

公共点；当1<𝑟≤√2时，⊙𝑀与射线𝑂𝐴相交，有两个公共点，当𝑟>√2时，⊙𝑀与射线𝑂𝐴只有一个公共点．【解析】(1)作𝑀𝑁⊥𝑂𝐴于𝑁，根据等腰直角三角形三边的关系得到𝑀�

�=√22𝑂𝑀=1，然后根据直线与圆的关系得到当𝑟=1时，⊙𝑀与射线𝑂𝐴相切；(2)根据直线与圆的关系得到当𝑟=1时，⊙𝑀与射线𝑂𝐴相切，只有一个公共点；当0<𝑟<1时，⊙𝑀与射线𝑂𝐴相离，没有公

共点；当1<𝑟≤√2时，⊙𝑀与射线𝑂𝐴有两个公共点，而当𝑟>√2时，⊙𝑀与射线𝑂𝐴只有一个公共点．本题考查了直线和圆的位置关系、含45°角的直角三角形的性质；设⊙𝑂的半径为𝑟，圆心𝑂到直线𝑙的距离为𝑑.若直线𝑙和⊙𝑂相交⇔𝑑<𝑟；直线𝑙和⊙𝑂相切⇔𝑑=𝑟

；直线𝑙和⊙𝑂相离⇔𝑑>𝑟．第18页，共23页22.【答案】(1)解：如图，点𝐷为所作．(2)证明：连接𝑂𝐷交𝐵𝐶于𝐹，如图，∵点𝐷为𝐵𝐶⏜的中点，∴𝑂𝐷⊥𝐵𝐶，∵𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，∴∠𝐴𝐶𝐵=90°，∴

𝐵𝐶⊥𝐴𝐷，∴𝐴𝐷//𝑂𝐷，∴𝐷𝐸⊥𝐴𝐷，∴𝐷𝐸⊥𝑂𝐷，∵𝑂𝐷为⊙𝑂的半径，∴𝐷𝐸是⊙𝑂的切线．【解析】(1)作𝐵𝐶的垂直平分线交⊙𝑂于点𝐷，则点𝐷为𝐵𝐶⏜的中点；(2)连接𝑂𝐷交𝐵𝐶于𝐹，如图，先利用垂径定

理的推论得到𝑂𝐷⊥𝐵𝐶，再根据圆周角定理得到∠𝐴𝐶𝐵=90°，则𝐴𝐷//𝑂𝐷，接着证明𝐷𝐸⊥𝑂𝐷，然后根据切线的性质得到结论．本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质

，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了垂径定理、圆周角定理和切线的判定．23.【答案】解：设涨价𝑎元，每天的利润为6250元，根据题意得(60−40+𝑎)(300−10𝑎)=6250，解得𝑎=5；②设降价

𝑏元，每天的利润为𝑊2元，则(60−40−𝑏)(300+20𝑏)=6250，整理得，2𝑏2−10𝑏+25=0，第19页，共23页∵𝛥=100−200<0，∴此方程无实数根，∴涨价5元，使每天的利润为62

50元．【解析】分两种情况探讨：涨价和降价，列出方程，解方程即可得到结论．本题考查了一元二次方程的应用，正确地列出方程是解题的关键．24.【答案】𝑡2−𝑡−2=02或−1𝑥1=√2，𝑥2=−√2【解析】解：(1)𝑥4−𝑥2−2=0，设𝑥2=𝑡，则方程变形得：𝑡2−𝑡−2

=0，分解因式得：(𝑡−2)(𝑡+1)=0，所以𝑡−2=0或𝑡+1=0，解得：𝑡=2或𝑡=−1，所以𝑥2=2或𝑥2=−1(无解)，解得：𝑥1=√2，𝑥2=−√2．填表如下：原方程𝑥−2𝑥=1𝑥4−𝑥2−2=0①转

化𝑥2−𝑥−2=0设𝑥2=𝑡，则𝑡2−𝑡−2=0②求解𝑥1=2，𝑥2=−1𝑡=2或−1③检验−1，2都是原方程的解…④结论𝑥1=2，𝑥2=−1𝑥1=√2，𝑥2=−√2故答案为：�

�2−𝑡−2=0，2或−1，𝑥1=√2，𝑥2=−√2；(2){𝑥2+2𝑥𝑦+𝑦2=16①𝑥𝑦=3②，由①，得(𝑥+𝑦)2=16，∴𝑥+𝑦=±4．Ⅰ)当𝑥+𝑦=4时，∵𝑥𝑦=3，∴𝑥、𝑦是一元二次方程𝑡2−4𝑡+3=0的两个根，第20页

，共23页解得𝑡=3或𝑡=1，∴{𝑥1=1𝑦1=3，{𝑥2=3𝑦2=1；Ⅱ)当𝑥+𝑦=−4时，∵𝑥𝑦=3，∴𝑥、𝑦是一元二次方程𝑡2+4𝑡+3=0的两个根，解得𝑡=−3或𝑡=−1，∴{𝑥3=−1𝑦3=−3，{𝑥4=−3𝑦4=−

1．综上所述，这个方程组的解为{𝑥1=1𝑦1=3，{𝑥2=3𝑦2=1，{𝑥3=−1𝑦3=−3，{𝑥4=−3𝑦4=−1．(1)利用换元法解方程即可；(2)利用完全平方公式将第一个方程变形为(𝑥+𝑦)2=16，则𝑥+𝑦=±4，分别与第二个方程结合，再利用根与系数的关系解

方程即可．本题考查了转化思想在高次方程、分式方程和二元二次方程组中的应用，明确如何转化及一元二次方程的基本解法，是解题的关键．25.【答案】证明：(1)(𝑥−3)(𝑥−2)−𝑘2=0，即𝑥2−5𝑥+6−𝑘2=0，∴𝛥=(−5)2−4×1×

(6−𝑘2)=25−24+4𝑘2=1+4𝑘2，∵无论𝑘取何值时，总有4𝑘2≥0，∴1+4𝑘2>0，∴无论𝑘取何值时，方程总有两个不相等的实数根；(2)∵𝑥1+𝑥2=5，∴𝑥1+2𝑥2=𝑥1+𝑥2+𝑥2=5+𝑥2，∵𝑥1>𝑥2，

∴𝑥2=5−√4𝑘2+12，∵4𝑘2+1≥1，∴√4𝑘2+1≥1，∴5−√4𝑘2+12≤2，即𝑥2≤2，第21页，共23页∴5+𝑥2≤7，即𝑥1+2𝑥2≤7．【解析】(1)化成一般形式，求根的判别式，当𝛥>0时，方程总有两个不相等的实数根；(2)根据根

与系的关系求出两根和，再把𝑥1+2𝑥2化为5+𝑥2，再根据求根公式求出𝑥2，并判断出𝑥2≤2即可．本题考查了抛物线与𝑥轴的关系，根的判别式和根与系数的关系，关键是掌握根与系数的关系．26.【答案】解：(1)解关于𝑥的方程𝑥2+𝑚𝑥=𝑛2，得�

�1=−𝑚−√𝑚2+4𝑛22，𝑥2=−𝑚+√𝑚2+4𝑛22，∵𝐴𝐶=𝑛，𝐵𝐶=𝑚2，∠𝐴𝐶𝐵=90°，∴𝐴𝐵=√𝑛2+(𝑚2)2=√4𝑛2+𝑚22，∵𝐵𝐷=𝐵𝐶=𝑚2，∴𝐴𝐷=�

�𝐵−𝐵𝐶=√4𝑛2+𝑚22−𝑚2=−𝑚+√4𝑛2+𝑚22=𝑥2，∴𝐴𝐷的长为关于𝑥的方程𝑥2+𝑚𝑥=𝑛2的一个根；(2)如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝑚2，𝐴𝐶=𝑛，以𝐵为圆心，𝐴𝐵为半径画半圆，与直线�

�𝐶相交于𝐷，𝐸两点，则𝐶𝐷、𝐶𝐸的长为关于𝑥的方程𝑥2−𝑚𝑥−𝑛2=0(𝑚>2𝑛≥0)的两个根．【解析】(1)先求出方程𝑥2+𝑚𝑥=𝑛2的根，再根据勾股定理求出𝐴𝐷的长即可；(2)在𝑅�

�△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝑚2，𝐴𝐶=𝑛，以𝐵为圆心，𝐴𝐵为半径画半圆，与直线𝐵𝐶相交于𝐷，𝐸两点，则𝐶𝐷、𝐶𝐸的长为关于𝑥的方程𝑥2−𝑚𝑥−𝑛2=0(𝑚>2𝑛≥0)的两个根．本题考查一元二次方程的应用，关键是利用数形结合的思想构建几何模型．2

7.【答案】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半∠𝐵𝐸𝐷+∠𝐴180°−∠𝐴第22页，共23页【解析】解：(1)在图1、2中，取𝐴𝐶的中点𝑂，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得𝑂𝐴

=𝑂𝐵=𝑂𝐶=𝑂𝐷，即𝐴，𝐵，𝐶，𝐷共圆；故答案为：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；(2)在图3中，画⊙𝑂经过点𝐴，𝐵，𝐷(图5).假设点𝐶落在⊙𝑂外，𝐵𝐶交⊙𝑂于点𝐸，连接𝐷𝐸，可得∠𝐵𝐸𝐷+∠𝐴=1

80°，∴∠𝐵𝐸𝐷=180°−∠𝐴，得出矛盾；同理点𝐶也不会落在⊙𝑂内，即𝐴，𝐵，𝐶，𝐷共圆．结论Ⅲ同理可证．故答案为：∠𝐵𝐸𝐷+∠𝐴；180°−∠𝐴；(3)如图6，连接𝐷𝐸，由点𝐵、𝐶、𝐷、𝐸四点共圆得∠

𝐵𝐷𝐸=∠𝐸𝐶𝐵，由点𝐴、𝐷、𝐻、𝐸四点共圆得∠𝐵𝐷𝐸=∠𝐵𝐴𝐹，∴∠𝐸𝐶𝐵=∠𝐵𝐴𝐹，∵∠𝐵𝐸𝐶=90°，∴∠𝐸𝐶𝐵+∠𝐴𝐵𝐹=90°，∴∠𝐵𝐴𝐹+∠𝐴𝐵𝐹=90°，∴∠𝐵𝐹𝐴=90°，∴𝐴𝐹为△�

�𝐵𝐶的边𝐵𝐶上的高．(4)如图7，连接𝐵𝑃和𝐶𝑃，由点𝐴，𝐸，𝑃，𝐹四点共圆可得∠𝐵𝐸𝐹=∠𝐵𝑃𝐹，第23页，共23页由点𝐶，𝑃，𝐷，𝐹四点共圆可得∠𝐶𝐷𝐹=∠𝐶𝑃𝐹，∵∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐶𝐷𝐹，∴∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐶�

�𝐹，∵∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐵𝐸𝐹+∠𝐴𝐷𝐸，∠𝐵𝑃𝐶=∠𝐵𝑃𝐹+∠𝐶𝑃𝐹，∴∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐵𝑃𝐶，∴点𝐴，𝐵，𝐶，𝑃四点共圆，即点𝑃在△𝐴𝐵𝐶的外接圆上．(1)根据直角三角形斜边中线的性质可得结论；(2)由圆周角的性质可得∠𝐵𝐸𝐷+

∠𝐴=180°，再结合题干条件，得出矛盾，由此可得出结论；(3)如图，连接𝐷𝐸，由点𝐵、𝐶、𝐷、𝐸四点共圆得∠𝐵𝐷𝐸=∠𝐸𝐶𝐵，由点𝐴、𝐷、𝐻、𝐸四点共圆得∠𝐵𝐷𝐸

=∠𝐵𝐴𝐹，从而证明∠𝐵𝐴𝐹+∠𝐴𝐵𝐹=90°即可；(4)连接𝐵𝑃和𝐶𝑃，由点𝐴，𝐸，𝑃，𝐹四点共圆可得，∠𝐵𝐸𝐹=∠𝐵𝑃𝐹，由点𝐶，𝑃，𝐷，𝐹四点共圆可得∠𝐶𝐷𝐹=∠�

�𝑃𝐹，再由外角的性质及角的和差可得∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐵𝑃𝐶，由此可得点𝐴，𝐵，𝐶，𝑃四点共圆，即点𝑃在△𝐴𝐵𝐶的外接圆上．本题考查了圆的定义，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，圆内接四边形对角互补，圆周角定理，内心的定义．第(3)

(4)题解题关键是选取适当的四点证明共圆，再利用圆周角定理证明角相等．