【文档说明】2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市香坊区第六中学校高二上学期期中数学试题解析版.doc，共(14)页，1.304 MB，由小喜鸽上传

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第1页共14页2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市香坊区第六中学校高二上学期期中数学试题一、单选题1．两直线20xy+=和4250xy+−=之间的距离为（）A．52B．5C．2D．54【答案】A【分析】

把两个方程中对应项系数化为相同，然后由平行间距离公式计算．【详解】方程20xy+=化为420xy+=，所求距离为22505242d−−==+．故选：A．2．若直线1axby+=与圆221xy+=有两个公共点，则点(),Pab与圆的位置关系是（）A．点P在圆上B．点P

在圆外C．点P在圆内D．以上都有可能【答案】B【分析】由题意可得圆心(0,0)到直线1axby+=的距离小于半径1，从而可得221ab+，进而可得结论【详解】因为直线1axby+=与圆221xy+=有两个公共点，所以圆心(0,0)到直线1axby+=的距离小于半径1，即2211dab−

=+，所以221ab+，所以221ab+，所以点(),Pab与圆221xy+=外，故选：B3．随机变量X的分布列是.若()1EX=，则()DX=（）X-212Pab12第2页共14页A．0B．2C

．3D．4【答案】B【分析】利用分布列的概率之和为1，利用期望的性质和方差公式求解.【详解】由题意可知，112211abab++=−++=，解得1613ab==，所以()()()222111()2111212632DX=−−+−+−=.故选：B.4．设P

是椭圆C：2217xym+=上一点，()13,0F−，()23,0F分别是C的左、右焦点13PF=，则2PF=（）A．5B．1033−C．4D．2583−【答案】A【分析】根据题意得到椭圆的焦点的位置，3c=，27b=，再利用椭圆的

定义求解.【详解】依题意得椭圆C：2217xym+=焦点在x轴，且3c=，27b=，因为222abc=+，所以27316m=+=，即4a=，又13PF=，1228PFPFa+==，所以25PF=，故选：A．5．流感是流行性感冒的简称，是由流感病毒引起的一种呼吸道传染病.接种疫苗是预防流

感的主要措施.某医疗研究所为了检验某流感疫苗预防感冒的作用，把500名使用疫苗的人与另外500名末使用疫苗的人一年中的感冒记录作比较，提出假设0:H“注射此种疫苗对预防流感无关”，利用22列联表计算得26.789X，经查临界值表知()26.6350.01PX….则下列结论正确的是（）A．

若某人未使用该疫苗，那么他在一年中有99%的可能性得感冒B．在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“注射此种疫苗对预防流感有关”C．这种疫苗预防感冒的有效率为99%D．这种疫苗预防感冒的有效率为1%【答案】B第3页共14页【分析】根据独立性检验的性质判断

即可【详解】根据独立性检验，可以得到B正确，其余的理解均不正确.故选：B6．甲､乙､丙三人相约一起去做核酸检测，到达检测点后，发现有,AB两支正在等待检测的队伍，则甲､乙､丙三人不同的排队方案共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种【答案】C【分

析】对该问题进行分类，分成以下情况①3人到A队伍检测，②2人到A队伍检测，③1人到A队伍检测，④0人到A队伍检测；然后，逐个计算后再相加即可求解；注意计算时要考虑排队时的顺序问题.【详解】先进行分类：

①3人到A队伍检测，考虑三人在A队的排队顺序，此时有33A6=种方案；②2人到A队伍检测，同样要考虑两人在A队的排队顺序，此时有23A6=种方案；③1人到A队伍检测，要考虑两人在B队的排队顺序，此时有23A6=种方案；④0人到A队伍检测，要考

虑两人在B队的排队顺序，此时有33A6=种方案；所以，甲､乙､丙三人不同的排队方案共有24种.故选：C7．已知3AB=，A、B分别在x轴和y轴上运动，O为原点，1233OPOAOB=+，则点P的轨迹方程为（）A．2214yx+=B．2214xy+=C．2219

xy+=D．2219yx+=【答案】A【分析】设点(),Pxy、(),0Aa、()0,Bb，利用平面向量的坐标运算可得出332axby==，再利用3AB=化简可得出点P的轨迹方程.【详解】设点(),Pxy、(),

0Aa、()0,Bb，由1233OPOAOB=+可得()()()1212,,00,,3333xyabab=+=，所以，1323xayb==，解得332axby==，所以

，22229934yABabx=+=+=，化简可得2214yx+=.第4页共14页因此，点P的轨迹方程为2214yx+=.故选：A.8．平面直角坐标系中，(0,1)A，(0,2)B，若动点C在直线yx=上，圆M过A，B，C三点，则圆的半径最小值为（）A．22B．63C．12D．1【答

案】A【分析】先判断出C点需在第一象限内.可设(),,0Caaa.设圆心3,2Mm，半径为r，由BMMCr==，得到22322aama−+=，利用基本不等式求出22r=，圆M的面积最小.【详解】为使圆M的面积尽可能小，则C点需在第一象限内.可设(),,0Caaa.因为(0,1

)A，(0,2)B，所以线段AB的垂直平分线方程为32y=.所以圆心在直线32y=上.设圆心3,2Mm，半径为r，则BMMCr==，所以()2222233222rmaam=−+−=+−，所以22232amaa=−+，所以2232131312

2222aamaaaaa−+==+−−=（当且仅当1aa=，即1a=时等号成立）.所以()222min1312222r=+−=.此时22r=，圆M的面积最小.故选：A二、多选题第5页共14页9．下列

说法中，正确的是（）A．直线53yx=−在y轴上的截距为3B．直线310xy−+=的一个方向向量为()3,3−−C．()1,3A，()2,5B，()2,3C−−三点共线D．过点()3,4且在x，y轴上的截距相等的直线方程为70xy+−=【答案】BC【分析】结合直线截距的意义、直线

方向向量的定义以及平面共线向量的运算依次判断选项即可.【详解】A：直线53yx=−在y轴上的截距为-3，故A错误；B：由题意，点(3,4),(0,1)AB在直线上，故直线的一个方向向量为(3,3)AB=−−，故B正确；C：由(13)(25)(23)AB

C−−，、，、，可得(12)(48)ABBC==−−，，，，所以14ABBC=−，A、B、C三点共线，故C正确；D：斜率为1−，以及过原点的直线在在x、y轴截距都相等，故过点(34)，且在x、y轴截距相等的直线方程为70xy+−=或43yx=

，故D错误.故选：BC10．已知5234560123456(2)(12)xxaaxaxaxaxaxax+−=++++++，则（）A．0a的值为2B．5a的值为16C．123456aaaaaa+++++的值为﹣5D．135a

aa++的值为120【答案】ABC【分析】利用赋值法判断A、C、D；利用通项公式判断B.【详解】令x＝0，得02a=，故A正确；5544552(2)(2)16CC−+−=，故516a=，B正确；令x＝1，得01234563a

aaaaaa++++++=−①，又02a=，∴1234565aaaaaa+++++=−，故C正确；令x＝﹣1，得0123456243aaaaaaa−+−+−+=②，由①②得：135123aaa++=−，D错误．故选：A

BC第6页共14页【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式，以及赋值法的应用，属于基础题,11．假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下表：品牌甲乙其他市场占有率50%30%20%优质率80%90%70%在该市场中任意买一部智能手机，用1A，2A，3A分别表示买到的智能

手机为甲品牌､乙品牌､其他品牌，B表示买到的是优质品，则（）A．()230%PA=B．()370%PBA=C．()180%PBA=D．()81%PB=【答案】ACD【分析】根据表中数据，结合条件概率公式、全概率公式逐一判断即可.【详解】因为乙品牌市场占有率为30%，所

以()230%PA=，因此选项A正确；因为()333()()20%70%14%PBAPAPBA===，所以选项B不正确；因为()180%PBA=，所以选项C正确；因为()112233()()()()()

()50%80%30%90%20%70%81%,PBPAPBAPAPBAPAPBA=++=++=所以选项D正确，故选：ACD12．已知椭圆22:198xyC+=的左､右焦点分别为12,FF，点P为椭圆C的一个动点，点

()1,1M−，则下列结论正确的是（）A．存在点P，使得12PFPF⊥B．12PFF△的面积最大值为22C．点P到直线210xy+−=距离的最大值为23D．1PMPF+的最大值为7【答案】BCD第7页共14页【分析】利用椭圆的定义及几何性质可判断ABD，利用三角函数可判断C.【详解】对于

A，当P为椭圆短轴顶点时，12FPF为最大，此时222212112129947cos022339PFPFFFFPFPFPF+−+−===，即12FPF为锐角，所以不存在点P使得120PFPF=，故A错误；对于B

，当P为椭圆短轴顶点时，12PFF△的面积最大，且最大面积为：1222222S==，故B正确；对于C，由椭圆22:198xyC+=，令3cos22sinxy==，则()3cos22sin

P，在椭圆上，则()3cos22sinP，到直线210xy+−=的距离为()3cos222sin15sin1123d+−+−==+，当()sin1+=−时，max51233d−−==，

故C正确；对于D，由椭圆22:198xyC+=，所以()21,0F，又()1,1M−，所以()()22211011MF=−++=，所以12226667PMPFPMPFPMPFMF+=+−=+−+=，故D正确.故选：BCD.三、填空题13．若随机变量服从正态分布()2,N，且()()

280.15pp==，则()25p=_________.【答案】0.35##720【分析】由已知可得：5=，从而计算出()()()2812810.150.150.70PPP=−−=−−=，再利用对称性，即可计算出.【详解】由随机变量服从正态分布()2,N，且()

()280.15pp==，可得：5=，且()()()2812810.150.150.70PPP=−−=−−=，第8页共14页又()()2558PP=，所以()0.702

5=0.352P=.故答案为：0.3514．设随机变量ξ~B(2，p)，若P(ξ≥1)=59，则D(ξ)的值为_________.【答案】49【分析】由二项分布的特征，先求出13p=，套公式即可求出D(ξ).【详解】因为随机变量ξ~B(2，p)，且P(ξ≥1)=

59，所以P(ξ≥1)=()11P−=()10P−==()25119p−−=.解得：13p=.所以D(ξ)()12412339npp=−==.故答案为：4915．已知直线:0−+=lkxyk，若直线l

与圆:C222430xxyy−+−+=在第一象限内的部分有公共点，则k的取值范围是__________.【答案】)23,3−【分析】根据题意画出图像，观察图像得到直线l与圆在第一象限内的部分有公共点时，其临

界直线分别为直线,PAPB，求出对应的斜率可写出k的取值范围.【详解】如图所示，由直线:0−+=lkxyk得()1ykx=+直线l过点()1,0P−，由题意得圆:C()()22122xy−+−=，圆心为()1,2，半径为2r=，令0x=得1y=或3，所以圆C与y轴的交点为()()

0,1,0,3DA，第9页共14页所以直线PA的斜率为()30301PAk−==−−，当直线l与圆相切时，有2221kkk−+=+，整理得2410kk−+=，解得23k=，其中切线PB的斜率为23PBk=−，若直线l与圆C在第一象限内的

部分有公共点，则直线l斜率的取值范围为233k−.故答案为：)23,3−.16．已知椭圆22221(0)xyabab+=的左、右焦点分别为1F，2F，点P为椭圆上一点，线段1FP与y轴交于点Q，若1||2PQQF=，且12PFF

△为等腰三角形，则椭圆的离心率为____________.【答案】312−【分析】由线段1FP与y轴交于点Q，得P点横坐标，代入椭圆方程得P点纵坐标，由12PFF△为等腰三角形，得122FFPF=，用,,abc表示此等式转化为离心率e的方程，解之可

得．【详解】1(,0)Fc−，线段1FP与y轴交于点Q，1||2PQQF=，P在y右侧，则2Pxc=，222241cyab+=，22224(1)cyba=−，12PFF△为等腰三角形，则122FFPF=，所以22224(2)(1)2cccbca−+−=，2222244bc

aca−=，整理得424810ee−+=，2312e=−，312e−=，故答案为：312−．四、解答题17．已知圆221:(6)(7)25Cxy−+−=及其上一点()2,4A.(1)设平行于OA的直线l与圆1C相交于,BC两点，且BCOA=，求直线l的方程；

(2)设圆2C与圆1C外切于点A，且经过点()3,1P，求圆2C的方程.【答案】(1)250xy−+=或2150xy−−=(2)22(2)(1)25xy++−=第10页共14页【分析】（1）由题意可设

直线l的方程为2yxb=+，再由根据弦长结合点到直线的距离与勾股定理求解即可；（2）由题意可知圆心2C在直线1AC上也在在AP的中垂线上，先求出这两条直线，再联立可得圆心坐标，进而可得半径，即可求解【详解】（1）因为直线lOA∥，所以直线l的斜率为40220−

=−.设直线l的方程为2yxb=+，则圆心1C到直线l的距离222+112755bbd−++==.则()2225252255bBCd+=−=−，又25BCOA==∣，所以()25225255b+−=，解得5b=或15b=−，即直线l的方程为：25

0xy−+=或2150xy−−=.（2）因为圆2C与圆1C外切于点A，所以圆心2C在直线1AC上由两点式427462yx−−=−−得直线1AC方程为34100xy−+=又因为圆2C经过点A和P，所以圆心2C在AP的中垂线上，AP中点为55,,322APk=−所以

AP中垂线方程为515232yx−=−，即350xy−+=由34100350xyxy−+=−+=解得圆心坐标为()22,1C−，半径2235rCP==−−=所以圆2C的方程为22(2)(1)25xy++−=1

8．2022年2月22日，中央一号文件发布，提出大力推进数字乡村建设，推进智慧农业发展．某乡村合作社借助互联网直播平台，对本乡村的农产品进行销售，在众多的网红直播中，随机抽取了第11页共14页10名网红直播的观看人次和农产品销售量的数据，如下表所示：观看人次

x（万次）76827287937889668176销售量y（百件）808775861007993688577参考数据：()()10102211600,768,80iiiixxyyx==−=−==．(1)已知观看人次x与销售量y线性相关，且计

算得相关系数11216r=，求回归直线方程ybxa=+$$$；(2)规定：观看人次大于等于80（万次）为金牌主播，在金牌主播中销售量大于等于90（百件）为优秀，小于90（百件）为不优秀，对优秀赋分2，对不优秀赋分1．从金牌主㨨中随机抽取3

名，若用X表示这3名主播赋分的和，求随机变量X的分布列和数学期望．（附：()()()121,niiiniixxyyaybxxxb==−−==−−，相关系数()()()()12211niiinniiiixxyyrxxyy===−−

=−−）【答案】(1)11510yx=−(2)答案见解析【分析】（1）由相关系数11216r=求出()()101660iiixxyy=−−=，进而可得,ba，即可求出回归直线方程；（2）X的可能取值为3，4，5，求出对应的概率，得到分布列，然后求

出期望即可．【详解】（1）因为()()()()12211niiinniiiixxyyrxxyy===−−=−−，所以()()10111216600768iiixxyy=−−=所以()()101660iiixxyy=−−=，

所以()()()10110216601160010iiiiixxyybxx==−−===−，()18087778310y=+++=，118380510aybx=−=−=−，所以回归直线方程为11510yx=−．（2）金牌主播有5人，2人赋分为2，3人赋

分为1，则随机变量X的可能取值为3，4，5，第12页共14页()3335C13C10PX===，()122335CC34C5PX===，()212335CC35C10PX===，所以X的分布列为：X345P11035310所以()13

321345105105EX=++=．19．已知平面上动点(),Mxy与定点()1,0的距离和M到定直线2x=的距离的比是常数22，动点M的轨迹为曲线C.直线l与曲线C交于()()1122,,,PxyQxy两个不同的点.(1)若直线l的方程为22yx=+，求OPQ△的面积；(2)若OPQ

△的面积为22，证明：2212xx+和2212yy+均为定值.【答案】(1)2109(2)证明见解析.【分析】（1）由题知曲线C的方程为2212xy+=，进而直线l的方程与椭圆方程联立结合弦长公式得1029P

Q=，原点到直线22yx=+的距离为255d=，再计算面积即可；（2）先考虑直线斜率存在时的情况，设其方程为ykxm=+，进而与椭圆方程联立，结合弦长公式得2212mk=+，再计算2212xx+，2212yy+即

可证明.【详解】（1）解：动点(),Mxy与定点()1,0F的距离为()221MFxy=−+，M到定直线2x=的距离为2x−，所以()221222xyx−+=−，化简得2212xy+=，所以，曲线C的方程为2212xy+=；所以，联立方程221222xyyx

+==+得291660xx++=，400=第13页共14页所以，1212162,93xxxx+=−=，所以，原点到直线22yx=+的距离为2225521d==+，()()221212256810212

458139PQxxxx=+−=−=+，所以，OPQ△的面积112510221022599SdPQ===所以，OPQ△的面积为2109（2）解：由（1）曲线C的方程为2212xy+=，因为直线l的斜率存在，设其方程为ykxm=+，

与椭圆方程联立2212ykxmxy=++=得()222124220kxkmxm+++−=，()()()2222244122216880=−+−=−+kmkmkm，2121222422,1212kmmxxxxk

k−−+==++，原点到直线ykxm=+的距离为21mdk=+，()()()()22221212121241=+=−−++−PQxxyyxxxxk()()()2222222222488168811121212−−−+

−++=+++=kmmkmkkkkk，所以OPQ△的面积为()()22222211222211168812−++=+=+mkkkkPmdQ，化简得224224844144−+=++kmmm

kk，即()222210−−=mk，2212mk=+，()222221212221212444212+=+−=−−−=++kmxxxxxxmkk()()()()2222224422222221116442218168222212121212++−+

+−+=−===++++kkkkkkkkkkk，所以22122xx+=为定值.所以，()()()()222222121221222122kxmkxmkyxxkmxmyx=+++=+++++第14页共14页()()2222222222212821242221212kkkmmkkmkkm

mkk+−++−=++=++()()()()2222222222222128211121224121211222kkkkkkkkkkkk+−+++−++=+++=+所以，22121yy+=为定值.当斜率不存在时，设其方程为()0022xxx=−

，与椭圆方程联立02212xxxy=+=得2012xy=−，所以，200200,,1122,PxQxxx−−−所以，20212xPQ=−，所以，OPQ△的面积为220000122112222xxxx−=−=，解得0

1x=，所以，02122222xxx+==，2222012011222xyyx+−=−==综上，22122xx+=为定值，22121yy+=为定值.