【文档说明】2022-2023学年黑龙江省哈尔滨四十七中九年级上期中数学试题及答案解析.docx，共(23)页，493.067 KB，由小喜鸽上传

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第1页，共23页2022-2023学年黑龙江省哈尔滨四十七中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.−3的相反数是()A.3B.√3C.13

D.−132.下列运算中，正确的是()A.2𝑥+2𝑦=2𝑥𝑦B.(𝑥2𝑦3)2=𝑥4𝑦5C.(𝑥𝑦)4÷(𝑥𝑦)=𝑥3𝑦3D.2𝑥𝑦−3𝑦𝑥=𝑥𝑦3.如图所示的几何体是由7个大小相同的小正方体组合而成的立体图形，则它的主视图是()A.B.C.D.4

.抛物线𝑦=−2(𝑥+1)2+3向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式()A.𝑦=−2(𝑥−2)2+1B.𝑦=−2(𝑥+4)2+1C.𝑦=−2(𝑥+4)2+5D.𝑦=−2(𝑥−2)2+55.如图，点𝑃为⊙𝑂外一点，𝑃𝐴为⊙𝑂的切线，𝐴为切

点，𝑃𝑂交⊙𝑂于点𝐵，∠𝑃=30°，𝑂𝐵=3，则线段𝑂𝑃的长为()第2页，共23页A.3B.3√3C.6D.96.抛物线𝑦=𝑥2+2𝑥+2的对称轴是()A.直线𝑥=1B.直线𝑥=−1C.直线𝑦=−

1D.直线𝑦=17.如图，𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，𝐶𝐷为弦，连结𝐴𝐷、𝐴𝐶、𝐵𝐶，若∠𝐶𝐴𝐵=65°，则∠𝐷的度数为()A.65°B.40°C.25°D.35°8.已知二次函数𝑦=𝑥2−𝑥+14𝑚−1的图象与�

�轴有交点，则𝑚的取值范围是()A.𝑚≤5B.𝑚≥2C.𝑚<5D.𝑚>29.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷𝐸//𝐵𝐶，𝐷𝐹//𝐴𝐶，则下列比例式中正确的是()A.𝐵𝐷𝐴𝐷=�

�𝐹𝐴𝐶B.𝐵𝐹𝐹𝐶=𝐴𝐸𝐸𝐶C.𝐵𝐹𝐹𝐶=𝐷𝐹𝐴𝐶D.𝐵𝐹𝐹𝐶=𝐶𝐸𝐴𝐸10.A、𝐵两地相距80𝑘𝑚，甲、乙两人沿同一条路从𝐴地到𝐵地，𝑙1，𝑙2分别表示甲、乙两人离开𝐴地的距离𝑠(𝑘𝑚)与时间𝑡(ℎ)之间的关系.对

于以下说法正确的是()第3页，共23页A.乙出发1.5小时后甲才出发B.两人相遇时，他们离开𝐴地40𝑘𝑚C.甲的速度是803𝑘𝑚/ℎD.乙的速度是403𝑘𝑚/ℎ二、填空题（本大题共10小题，共30.0分

）11.小桌子风景区接待游客约2022000人，将数字2022000用科学记数法表示为______．12.在函数𝑦=𝑥𝑥+2中，自变量𝑥的取值范围是______．13.计算：3√13−3√12的结果是______．14.分解因式：3𝑎3−12𝑎�

�2=______．15.不等式组{𝑥+1≥0𝑥+2≥2𝑥−1的整数解有______个．16.二次函数𝑦=(𝑥−1)2+2的图象与𝑦轴交点坐标是______．17.某扇形的面积是20𝜋𝑐𝑚2，半径是8𝑐𝑚，则此扇形的弧

长为______𝑐𝑚．18.如图，已知𝐵𝐷是△𝐴𝐵𝐶的外接圆直径，且𝐵𝐷=13，𝑡𝑎𝑛𝐴=512，则𝐵𝐶=______．第4页，共23页19.已知正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长是4，点𝐸在直线𝐴𝐷上，𝐷𝐸=2，连接𝐵𝐸与对角线𝐴𝐶相交于点𝑀，则线

段𝐴𝑀的长是______．20.如图，已知在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，连接𝐴𝐶、𝐵𝐷，𝐴𝐵=𝐴𝐷，∠𝐴𝐵𝐷=15°，∠𝐶𝐵𝐷=30°，∠𝐵𝐷𝐶=45°，若𝐴𝐵=4，则△𝐴𝐷𝐶的面积是______．三、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应

写出文字说明，证明过程或演算步骤）21.(本小题7.0分)先化简，再求代数式(2𝑎+1−2𝑎−3𝑎2−1)÷1𝑎+1的值，其中𝑎=2𝑠𝑖𝑛60°+𝑡𝑎𝑛45°．22.(本小题7.0分)如

图，在小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段𝐴𝐵和线段𝐶𝐷，点𝐴、𝐵、𝐶、𝐷均在小正方形的顶点上．(1)在方格纸中画出以𝐴为直角顶点的直角三角形𝐴𝐵𝐸，点𝐸在小正方形的顶点上，且△𝐴𝐵𝐸的面积为5；(2

)在方格纸中画出以𝐶𝐷为一边的△𝐶𝐷𝐹，点𝐹在小正方形的顶点上，且△𝐶𝐷𝐹的面积为3，𝐶𝐹与(1)中所画线段𝐴𝐸平行，连接𝐵𝐹，请直接写出线段𝐵𝐹的长．第5页，共23

页23.(本小题8.0分)随着通信技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．47中学数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷(每人必选且只能选一种)，在全校范围内随机调查了部分学生，将统计

结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：(1)这次统计共抽查了多少名学生？(2)通过计算补全条形统计图．(3)该校共有5000名学生，请估计47中学校最喜欢用“微信”进行沟通的学生

有多少名？24.(本小题8.0分)在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=𝐴𝐷，𝐶𝐵=𝐶𝐷，𝐴𝐶与𝐵𝐷相交于𝑂点，𝑂𝐶=𝑂𝐴．(1)如图(1)求证：四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形；(2)如图(2)若𝐸是

𝐴𝐵延长线上的一点，𝐵𝐸=𝐴𝐷，连接𝐶𝐸，则在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图(2)中面积等于△𝐵𝐶𝐸面积的所有三角形(△𝐵𝐶𝐸除外)．第6页，共23页25.(本小题10.0

分)某商品经销店欲购进𝐴、𝐵两种纪念品，用360元购进的𝐴种纪念品与用450元购进的𝐵种纪念品的数量相同，每件𝐵种纪念品的进价比𝐴种纪念品的进价贵10元．(1)求𝐴、𝐵两种纪念品每件的进价分别为

多少元？(2)若该商店𝐴种纪念品每件售价50元，𝐵种纪念品每件售价65元，这两种纪念品共购进200件，这两种纪念品全部售出后总获利不低于2400元，求𝐴种纪念品最多购进多少件？26.(本小题10.0分)△𝐴𝐵�

�内接于⊙𝑂，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶交⊙𝑂于𝐷，连接𝑂𝐷交𝐵𝐶于𝐸．(1)如图1，求证：𝐵𝐶⊥𝑂𝐷；(2)如图2，延长𝐷𝑂交𝐴𝐶于𝐻，交⊙𝑂于𝐹，当𝐸𝐶=√3𝐸𝐻时，连接𝐵𝐹分别交𝐴𝐷、𝐴𝐶于�

�、𝐾两点，求∠𝐴𝐺𝐵的度数；(3)如图3，在(2)的条件下，连接𝐵𝑂交𝐴𝐷于𝑅，𝐵𝑅=5，𝐴𝐵=8，求线段𝐹𝐾的长度．27.(本小题10.0分)如图，在平面直角坐标系中，点𝑂为坐标原点，直线𝑦=𝑥+3交𝑥轴于点𝐴，𝑦轴于点𝐷，抛物

线𝑦=𝑥2+𝑏𝑥−3与𝑥轴交于𝐴，𝐵两点，交𝑦轴于点𝐶．(1)求抛物线的解析式；(2)𝑃在第三象限抛物线上，𝑃点横坐标为𝑡，连接𝐴𝑃、𝐷𝑃，△𝐴𝑃𝐷的面积为𝑠，

求𝑠关于𝑡的函数关系式；(不要求写自变量𝑡的取值范围)(3)在(2)的条件下，𝑃𝐷绕点𝑃逆时针旋转，与线段𝐴𝐷相交于点𝐸，且∠𝐸𝑃𝐷=2∠𝑃𝐷𝐶，过点𝐸第7页，共23页作𝐸𝐹⊥𝑃𝐷交𝑃𝐷于𝐺，𝑦轴于点𝐹，连接𝑃𝐹，若si

n∠𝑃𝐹𝐶=13，求线段𝑃𝐹的长．第8页，共23页答案和解析1.【答案】𝐴【解析】解：−3的相反数是−(−3)=3．故选：𝐴．直接根据相反数的定义即可得出结论．本题考查的是实数的性质，熟知在一个数的前面加上一个负号就是该数的相反数是解题的关

键．2.【答案】𝐶【解析】解：𝐴、2𝑥与2𝑦不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；B、(𝑥2𝑦3)2=𝑥4𝑦6，故B不符合题意；C、(𝑥𝑦)4÷(𝑥𝑦)=𝑥3𝑦3，故C符合题意；D、2𝑥𝑦

−3𝑦𝑥=−𝑥𝑦，故D不符合题意；故选：𝐶．利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．本题主要考查积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．3.【答案】𝐴【解析】解：该几何体的主

视图是故选：𝐴．找到从几何体的正面看所得到的图形即可．此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置．4.【答案】𝐴【解析】解：将抛物线𝑦=−2(𝑥+1)2+3向右平移3个单位，再向下平移2个

单位，所得抛物线的解析式为：𝑦=−2(𝑥+1−3)2+3−2，即𝑦=−2(𝑥−2)2+1．故选：𝐴．第9页，共23页按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式．此题考查了二次函数图象与几何变换，掌握

抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键．5.【答案】𝐶【解析】解：连接𝑂𝐴，∵𝑃𝐴为⊙𝑂的切线，∴∠𝑂𝐴𝑃=90°，∵𝑂𝐵=3，∴𝐴𝑂=𝑂𝐵=3，∵∠𝑃=30°，∴𝑂𝑃=2𝑂𝐴=6，故选：𝐶

．直接利用切线的性质得出∠𝑂𝐴𝑃=90°，进而利用直角三角形的性质得出𝑂𝑃的长．本题主要考查了切线的性质以及直角三角形的性质，连接𝑂𝐴利用切线的性质构造直角三角形是解题关键．6.【答案】�

�【解析】解：𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的对称轴为直线𝑥=−𝑏2𝑎，代入数值求得对称轴是直线𝑥=−1；故选：𝐵．利用二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的对称轴为直线𝑥=−𝑏2𝑎可求出答案．

本题考查了二次函数的性质．求抛物线的顶点坐标、对称轴及最值通常有两种方法：(1)公式法；(2)配方法．7.【答案】𝐶【解析】解：∵𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，∴∠𝐴𝐶𝐵=90°，∵∠𝐶𝐴𝐵=65°，∴∠𝐵=90°−65°=25°，第10页，共23页∴∠𝐷=∠�

�=25°．故选C．由圆周角定理得出𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶，求出∠𝐵的度数，由圆周角定理即可推出∠𝐷的度数本题主要考查了圆周角的有关定理，关键作好辅助线，构建直角三角形，找到同弧所对的圆周角8.【答案】𝐴【解析】解：由题意得：𝛥=𝑏2

−4𝑎𝑐=(−1)2−4(14𝑚−1)≥0，解得：𝑚≤5，故选：𝐴．由题意得：𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐≥0，即可求解．本题考查的是抛物线与𝑥轴的交点问题，此题的关键是利用根的判别式求解问题．9.【答案】𝐷【解析】解：𝐴、因为𝐷

𝐹//𝐴𝐶，所以𝐵𝐷𝐵𝐴=𝐷𝐹𝐴𝐶，故A选项错误；B、由𝐷𝐹//𝐴𝐶得𝐵𝐹𝐹𝐶=𝐵𝐷𝐷𝐴，由𝐷𝐸//𝐵𝐶得𝐵𝐷𝐷𝐴=𝐶𝐸𝐸𝐴，则𝐵𝐹𝐹𝐶=𝐶𝐸𝐸�

�，故B选项错误；C、由𝐷𝐹//𝐴𝐶得𝐵𝐹𝐵𝐶=𝐷𝐹𝐴𝐶，故C选项错误；D、由𝐷𝐹//𝐴𝐶得𝐵𝐹𝐹𝐶=𝐵𝐷𝐷𝐴，由𝐷𝐸//𝐵𝐶得𝐵𝐷𝐷𝐴=𝐶𝐸𝐸𝐴，则𝐵𝐹𝐹𝐶=𝐶𝐸

𝐸𝐴，故D选项正确．故选：𝐷．根据平行于三角形的一边，并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例可直接对𝐴、𝐶进行判断；利用𝐷𝐹//𝐴𝐶得𝐵𝐹�

�𝐶=𝐵𝐷𝐷𝐴，利用𝐷𝐸//𝐵𝐶得𝐵𝐷𝐷𝐴=𝐶𝐸𝐸𝐴，可对对𝐵、𝐷进行判断．本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形的一边，并且和其他两边(或两边的延长线)相交

的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．10.【答案】𝐷第11页，共23页【解析】解：由图可得，乙出发1.5小时后甲已经出发一段时间，故选项A不合题意；两人相遇时，他们离开𝐴地20𝑘𝑚，故选项B不合题意；甲的速度是(80−20)÷(3−1.5)=40(𝑘𝑚

/ℎ)，故选项C不合题意；乙的速度是40÷3=403(𝑘𝑚/ℎ)，故选项D符合题意．故选：𝐷．根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个选项的结论是否正确，从而可以解答本题．本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．11.【答案】2.0

22×106【解析】解：2022000=2.022×106．故答案为：2.022×106．科学记数法的表示形式为𝑎×10𝑛的形式，其中1≤|𝑎|<10，𝑛为整数．确定𝑛的值时，要看把原数变成𝑎

时，小数点移动了多少位，𝑛的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，𝑛是正整数；当原数的绝对值<1时，𝑛是负整数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为𝑎×10𝑛的形式

，其中1≤|𝑎|<10，𝑛为整数，表示时关键要正确确定𝑎的值以及𝑛的值．12.【答案】𝑥≠−2【解析】解：由题意得，𝑥+2≠0，解得𝑥≠−2．故答案为：𝑥≠−2．根据分母不等于0列式计算即可得解．本题考查

了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．13.【答案】−5√3第12页，共23页【解析】解：原式=3×√33−3×2√3=√3−6

√3=−5√3故答案为：−5√3先化简式子中的二次根式，再合并同类二次根式即可．本题主要考查二次根式的运算，在二次根式的运算题中关键是要先化简二次根式，再合并同类二次根式，掌握以上要点是解题的关键．14.【答案】3𝑎(𝑎+2𝑏)(�

�−2𝑏)【解析】解：原式=3𝑎(𝑎2−4𝑏2)=3𝑎(𝑎+2𝑏)(𝑎−2𝑏)，故答案为：3𝑎(𝑎+2𝑏)(𝑎−2𝑏)原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法

是解本题的关键．15.【答案】5【解析】解：解不等式𝑥+1≥0，得𝑥≥−1；解不等式𝑥+2≥2𝑥−1，得𝑥≤3，把两个不等式的解集在一条数轴上表示如下：所以不等式组的解集为−1≤𝑥≤3，不等式组的整数解有−1，0，1，2

，3，共5个，故答案为：5．分别求出不等式组中的两个不等式的解集，利用数轴找出其解集的公共部分，进而得出不等式组的解集，再得出整数解即可．本题考查一元一次不等式组的整数解，理解整数解的定义，掌握一元一次不等式组的解法是正确解答的前提．16.【答案】(0,3)【解析】解：∵𝑦=(𝑥−1)

2+2，当𝑥=0时，𝑦=1+2=3，∴二次函数𝑦=(𝑥−1)2+2的图象与𝑦轴交点坐标是(0,3)；第13页，共23页故答案为：(0,3)．求出二次函数𝑦=(𝑥−1)2+2，当𝑥=0时𝑦的值，即可得出答

案．本题考查了二次函数与坐标轴的交点，熟练掌握𝑦轴上点的坐标特征是解题的关键．17.【答案】5𝜋【解析】解：设弧长为𝑙，∵扇形的半径为8𝑐𝑚，面积是20𝜋𝑐𝑚2，∴12×8×𝑙=20𝜋，∴𝑙=5𝜋𝑐𝑚．故答案为：5𝜋．直接根据扇形的面积公式计算即可．本题考

查了扇形的面积公式：𝑆=12⋅𝑙⋅𝑅(𝑙为扇形的弧长，𝑅为半径)，熟记扇形的面积公式是解题的关键．18.【答案】5【解析】解：连接𝐶𝐷，∵𝐵𝐷是△𝐴𝐵𝐶的外接圆直径，∴∠𝐵𝐶𝐷=90°，由圆周角

定理得：∠𝐷=∠𝐴，∴𝑡𝑎𝑛𝐷=𝐵𝐶𝐶𝐷=512，设𝐵𝐶=5𝑥，则𝐶𝐷=12𝑥，在𝑅𝑡△𝐵𝐶𝐷中，𝐵𝐷2=𝐵𝐶2+𝐶𝐷2，即132=(5𝑥)2+(12𝑥)2，解得：𝑥1=1，𝑥2=−1(舍去)，则𝐵𝐶=5𝑥=5，故答案为：5

．连接𝐶𝐷，根据圆周角定理得到∠𝐵𝐶𝐷=90°，∠𝐷=∠𝐴，根据正切的定义、勾股定理计算，得到答案．本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、正切的定义是解题的关键．第14页，共23页19.【答案】4√23或12

√25【解析】解：分两种情况：①当点𝐸在线段𝐴𝐷上时，∵正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长是4，𝐷𝐸=2，∴𝐴𝐸=2，∵𝐴𝐷//𝐵𝐶，∴△𝐴𝑀𝐸∽△𝐶𝑀𝐵，∴𝐶𝑀：𝐴𝑀=𝐵𝐶：�

�𝐴=2，∴𝐶𝑀=2𝐴𝑀，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，由勾股定理得：𝐴𝐶=√𝐴𝐵2+𝐵𝐶2=√42+42=4√2，∴𝐴𝑀+𝐶𝑀=4√2，∴𝐴𝑀+2𝐴𝑀=4√2，∴𝐴𝑀=4√23；②当点𝐸在线段𝐴𝐷的延长线上时，∵正方形𝐴

𝐵𝐶𝐷的边长是4，𝐷𝐸=2，∴𝐴𝐸=6，∵𝐴𝐷//𝐵𝐶，∴△𝐴𝑀𝐸∽△𝐶𝑀𝐵，第15页，共23页∴𝐶𝑀：𝐴𝑀=𝐵𝐶：𝐸𝐴=4：6=23，∴𝐶𝑀=23𝐴𝑀，由①知𝐴𝐶=4√2，∴23𝐴𝑀+𝐴�

�=4√2，∴53𝐴𝑀=4√2，∴𝐴𝑀=12√25．综上所述，𝐴𝑀的长为4√23或12√25．故答案为：4√23或12√25．分两种情况：①当点𝐸在线段𝐴𝐷上时，②当点𝐸在线段𝐴𝐷的延长线

上时，分别画出图形，利用正方形的对边平行，得出△𝐴𝑀𝐸∽△𝐶𝑀𝐵，从而得出比例式，求得𝐶𝑀与𝐴𝑀的数量关系，再由勾股定理得出𝐴𝐶的长，则可求得𝐴𝑀的长．本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质及勾股定理等知识点，数形结合、分类讨论、熟练掌握相关性质

及定理是解题的关键．20.【答案】4√3【解析】解：以𝐵𝐷为边在𝐵𝐷的上方画等边三角形𝐸𝐵𝐷，连接𝐴𝐸，∴∠𝐸𝐵𝐷=∠𝐸𝐷𝐵=∠𝐵𝐸𝐷=60°，𝐸𝐵=𝐸𝐷=𝐵𝐷，∵𝐴𝐵=𝐴𝐷，�

�𝐸=𝐴𝐸，∴△𝐵𝐴𝐸≌△𝐷𝐴𝐸(𝑆𝑆𝑆)，∴∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐴𝐷𝐸，∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐴𝐸𝐷=30°∵𝐴𝐵=𝐴𝐷，∠𝐴𝐵𝐷=15°，∴∠𝐴𝐷𝐵=15°，∴∠𝐴𝐷𝐸=60°−15°=45°，∵∠𝐶𝐵𝐷=30°，∠𝐵

𝐷𝐶=45°，在△𝐵𝐶𝐷和△𝐴𝐸𝐷中，{∠𝐴𝐸𝐷=∠𝐶𝐵𝐷𝐵𝐷=𝐸𝐷∠𝐶𝐷𝐵=∠𝐴𝐷𝐸，第16页，共23页∴△𝐵𝐶𝐷≌△𝐸𝐴𝐷(𝐴𝑆𝐴)，∴𝐶𝐷=𝐴𝐷，而∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐴𝐷𝐵+∠𝐶

𝐷𝐵=60°，∴△𝐴𝐶𝐷为等边三角形，∵𝐴𝐵=4，∴△𝐴𝐷𝐶的面积是12×4×2√3=4√3．以𝐵𝐷为边在𝐵𝐷的上方画等边三角形𝐸𝐵𝐷，连接𝐴𝐸，首先证明△𝐵𝐴𝐸≌△�

�𝐴𝐸(𝑆𝑆𝑆)，然后利用全等三角形的性质与已知条件证明△𝐵𝐶𝐷≌△𝐸𝐴𝐷(𝐴𝑆𝐴)，从而证明△𝐴𝐶𝐷为等边三角形，接着利用等边三角形的性质即可求解．此题主要考查了等边三角形的性质，同时利用了全等三角形的性质与判定及三角形的面积公式、勾股定

理，有一定的综合性．21.【答案】解：原式=[2𝑎+1−2𝑎−3(𝑎+1)(𝑎−1)]⋅(𝑎+1)=2(𝑎−1)−2𝑎+3(𝑎+1)(𝑎−1)⋅(𝑎+1)=2𝑎−2−2𝑎+3(𝑎+1)(𝑎−1)⋅(𝑎

+1)=1(𝑎+1)(𝑎−1)⋅(𝑎+1)=1𝑎−1，当𝑎=2𝑠𝑖𝑛60°+𝑡𝑎𝑛45°=2×√32+1=√3+1时，原式=1√3+1−1=√33．【解析】先算括号里面的，再算除法，最后把𝑎的值代入进行计算

即可．本题考查的是分式的化简求值，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值．22.【答案】解：(1)满足条件的点𝐸如图所

示．(2)图中点𝐹和点𝐹′就是所求的点．𝐵𝐹=√12+32=√10或𝐵𝐹=√52+52=5√2．【解析】本题考查三角形面积的计算、学生的动手能力，灵活掌握在网格图中求三角形面积的方法是解决问题的关键，

注意一题多解．第17页，共23页(1)过点𝐴作𝐸𝐴⊥𝐴𝐵，不难找到点𝐸，满足△𝐴𝐵𝐸面积为5．(2)过点𝐶作𝐶𝐹//𝐴𝐸，根据△𝐶𝐷𝐹面积为3即可找到点𝐹(有两个)．23.【答案】解：(1)2

0÷20%=100(名)，答：这次统计共抽查100名学生．(2)喜欢“短信”沟通的人数为：100×5%=5(名)，喜欢“微信”方式的人数为：100−20−5−30−5=40(名)，补全条形统计图如下：(3)5000×40100=2000(名)，答：用橙微信进行沟通的学生有2000名．

【解析】(1)用喜欢使用电话的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；(2)根据(1)中的数据可补全条形统计图；(3)先求出喜欢用微信沟通所占百分比，再乘以该校的总人数即可．本题考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从统计图中获取数量及数量之

间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法．24.【答案】(1)证明：在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐶中，{𝐴𝐵=𝐴𝐷𝐵𝐶=𝐷𝐶𝐴𝐶=𝐴𝐶，∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐶(𝑆𝑆𝑆)，∴∠𝐵𝐶�

�=∠𝐷𝐶𝐴，∵𝐵𝐶=𝐷𝐶，∴𝑂𝐵=𝑂𝐷，又∵𝑂𝐶=𝑂𝐴，第18页，共23页∴四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形，∵𝐴𝐵=𝐴𝐷，∴四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形；(2)解：图(2)中面积等于△𝐵𝐶𝐸面积的三角形为△𝐴𝐵𝐶、

△𝐴𝐷𝐶、△𝐴𝐵𝐷、△𝐵𝐶𝐷.理由如下：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形，∴𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，∴△𝐴𝐵𝐶的面积=△𝐴𝐷𝐶的面积=△𝐴𝐵𝐷的面积=△𝐵𝐶𝐷的面积，∵𝐵𝐸=𝐴𝐷，𝐴𝐵=𝐴𝐷，∴𝐵𝐸=𝐴𝐵，∴△𝐵𝐶𝐸的面

积=△𝐴𝐵𝐶的面积，∴△𝐴𝐵𝐶的面积=△𝐴𝐷𝐶的面积=△𝐴𝐵𝐷的面积=△𝐵𝐶𝐷的面积=△𝐵𝐶𝐸的面积，∴图(2)中面积等于△𝐵𝐶𝐸面积的三角形为△𝐴𝐵𝐶、△𝐴𝐷𝐶、△𝐴𝐵𝐷、△

𝐵𝐶𝐷．【解析】(1)首先利用𝑆𝑆𝑆定理证明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐶可得∠𝐵𝐶𝐴=∠𝐷𝐶𝐴，再由等腰三角形的三线合一性质得出𝑂𝐵=𝑂𝐷，证出四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行

四边形，即可得出结论；(2)由菱形的性质得出△𝐴𝐵𝐶的面积=△𝐴𝐷𝐶的面积=△𝐴𝐵𝐷的面积=△𝐵𝐶𝐷的面积，再由已知条件得出𝐵𝐸=𝐴𝐵，得出△𝐴𝐵𝐶的面积=△𝐴

𝐷𝐶的面积=△𝐴𝐵𝐷的面积=△𝐵𝐶𝐷的面积=△𝐵𝐶𝐸的面积，即可得出结果．此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，菱形的判定与性质；熟练掌握菱形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．25.【答

案】解：(1)设𝐴种纪念品每件的进价为𝑥元，则𝐵种纪念品每件的进价为(𝑥+10)元．根据题意得：360𝑥=450𝑥+10，解得：𝑥=40，经检验，𝑥=40是原分式方程的解，且符合题意，则𝑥+10=50．答：𝐴种纪念品每件的进

价为40元，𝐵种纪念品每件的进价为50元．(2)设𝐴种纪念品购进𝑎件，则𝐵种纪念品购进(200−𝑎)件，根据题意得：(50−40)𝑎+(65−50)(200−𝑎)≥2400，第19页，共23页解得：𝑎≤120

．答：𝐴种纪念品最多购进120件．【解析】(1)设𝐴种纪念品每件的进价为𝑥元，则𝐵种纪念品每件的进价为(𝑥+10)元，由题意：用360元购进的𝐴种纪念品与用450元购进的𝐵种纪念品的数量相同，列出分式

方程，解方程即可；(2)设𝐴种纪念品购进𝑎件，则𝐵种纪念品购进(200−𝑎)件，根据总利润=单件利润×购买数量结合这两种纪念品全部售出后总获利不低于2400元，列出一元一次不等式，解之取其内的最大值即可得出结论．本题考查了

分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据数量间的关系，正确列出一元一次不等式．26.【答案】(1)证明：如图，连接𝑂𝐵，𝑂𝐶，∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐷，∵∠𝐵𝑂𝐷

=2∠𝐵𝐴𝐷，∠𝐶𝑂𝐷=2∠𝐶𝐴𝐷，∴∠𝐵𝑂𝐷=∠𝐶𝑂𝐷，∵𝑂𝐵=𝑂𝐶，∴𝑂𝐷⊥𝐵𝐶；(2)解：连接𝐵𝐷，∵𝐸𝐶=√3𝐸𝐻，∴tan∠𝐴𝐶𝐵=𝐻𝐸𝐸𝐶=√33，∴∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐴𝐶𝐵=30°，∵𝐷𝐹为直径，

∴∠𝐹𝐵𝐷=90°，∴∠𝐴𝐺𝐵=90°+30°=120°；(3)解：∵△𝐴𝑂𝐵为等边三角形，∴𝐴𝐵=𝑂𝐹=8，过点𝑅作𝑅𝑇⊥𝐴𝐵于𝑇，∴∠𝐵𝑇𝑅=90°，∵

∠𝐴𝐵𝑂=60°，第20页，共23页∴∠𝐵𝑅𝑇=30°，∴𝐵𝑇=12𝐵𝑅=52，∴𝑅𝑇=5√32，∴𝐴𝑇=𝐴𝐵−𝐵𝑇=8−52=112，∵𝐵𝐷⏜=𝐵𝐷⏜，∴

∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐹，∵𝐵𝑂=𝐹𝑂，设∠𝑂𝐵𝐹=∠𝐹=𝛼，∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝑂𝐵𝐹=∠𝐹=𝛼，𝑡𝑎𝑛𝛼=tan∠𝑅𝐴𝑇=𝑇𝑅𝐴𝑇=5√32112=5√311．解△𝐴𝐵𝑅，∴𝐴𝑅=7，𝐵𝐸=5

√3𝑎，𝐹𝐸=11𝑎，𝑂𝐸=11𝑎−8，∴82=(11𝑎−8)2+(5√3𝑎)2，解得𝑎=4449，∴𝐵𝐸=𝐸𝐶=220√349，𝐸𝐹=48449，𝐸𝐻=22049，𝐹𝐻=26449，∴△𝐾𝐹𝐻∽△𝐴𝑅𝐵，

∴𝐹𝐾=337．【解析】(1)连接𝑂𝐵，𝑂𝐶，由𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶得∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐷，根据圆周角的性质得∠𝐵𝑂𝐷=∠𝐶𝑂𝐷，即得𝐵𝐶⊥𝑂𝐷；(2)根据三角函数的定义可得∠

𝐴𝐷𝐵=∠𝐴𝐶𝐵=30°，再由圆周角定理可得答案；(3)过点𝑅作𝑅𝑇⊥𝐴𝐵于𝑇，由直角三角形的性质可得𝐵𝑇=12𝐵𝑅=52，由圆周角定理得∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐹，设∠𝑂

𝐵𝐹=∠𝐹=𝛼，根据相似三角形的性质可得答案．本题是一道圆的综合题目，考察了圆的基本性质和解直角三角形知识，利用线段比作双垂线构相第21页，共23页似是本题的突破口，大胆设参，利用勾股定理列方程，可以求得参数的值，要熟练运用

解直角三角形的知识是解决此题的基本能力．27.【答案】解：(1)∵直线𝑦=𝑥+3交𝑥轴于点𝐴，𝑦轴于点𝐷，∴𝐴(−3,0)，𝐷(0,3)，将𝐴(−3,0)代入抛物线𝑦=𝑥2+𝑏𝑥−3，∴(−3

)2−3𝑏−3=0，∴𝑏=2，∴抛物线解析式为𝑦=𝑥2+2𝑥−3，(2)连接𝑂𝑃，过点𝑃作𝑃𝐻⊥𝑥轴于𝐻，𝑃𝑁⊥𝑦轴于𝑁，∵𝑃在第三象限抛物线上，𝑃点横坐标为𝑡(𝑡

<0)，∴𝑃(𝑡,𝑡2+2𝑡−3)，∴𝑠=𝑆△𝐴𝑃𝐷=𝑆△𝑂𝐴𝐷+𝑆△𝑂𝐴𝑃−𝑆△𝑂𝑃𝐷=12𝑂𝐴⋅𝑂𝐷+12𝑂𝐴⋅𝑃𝐻−12𝑂𝐷⋅𝑃𝑁=12×3×

3+12×3×(−𝑡2−2𝑡+3)−12×3×(−𝑡)=92+32(−𝑡2−2𝑡+3)+32𝑡=−32𝑡2−32𝑡+9．(3)过𝐷作𝐷𝐻⊥𝑦轴交𝑃𝐸的延长线于𝐻，作𝑃𝑀⊥𝐷�

�于𝑀，𝑃𝑁⊥𝑦轴于𝑁，如图3，∵𝑃𝑀//𝐷𝑁，∴∠𝑃𝐷𝐶=∠𝐷𝑃𝑀，∵∠𝐸𝑃𝐷=2∠𝑃𝐷𝐶，∴∠𝐻𝑃𝑀=∠𝐷𝑃𝑀，第22页，共23页而𝑃𝑀⊥𝐷𝐻，∴𝑀𝐻

=𝑀𝐷，易得四边形𝑃𝑁𝐷𝑀为矩形，∴𝑀𝐷=𝑃𝑁，∴𝐷𝐻=2𝑃𝑁，∵𝐸𝐹⊥𝑃𝐷，∴∠𝐺𝐷𝐹+∠𝐷𝐹𝐺=90°，而∠𝑃𝐻𝐷+∠𝐻𝑃𝑀=90°，∴∠𝐷𝐹𝐺=∠𝑃𝐻𝑀，∵∠𝐴𝐷𝐹=45°，∴∠𝐻�

�𝐸=45°，∴△𝐷𝐸𝐻≌△𝐷𝐸𝐹(𝐴𝐴𝑆)，∴𝐷𝐻=𝐷𝐹，∴𝐷𝐹=2𝑀𝐷=2𝑃𝑁，在𝑅𝑡△𝑃𝐹𝑁中，∵sin∠𝑃𝐹𝐶=𝑃𝑁𝑃𝐹=13，∴𝑃�

�=3𝑃𝑁，∴𝐹𝑁=√𝑃𝐹2−𝑃𝑁2=√9𝑃𝑁2−𝑃𝑁2=2√2𝑃𝑁，∴设𝑃点坐标为(𝑡,𝑡2+2𝑡−3)，则𝐷𝐹=−2𝑡，𝐹𝑁=−2√2𝑡，∴𝑂𝑁=𝐷𝐹+𝐹𝑁−𝑂𝐷=−2𝑡−2√2�

�−3，∴−2𝑡−2√2𝑡−3=−(𝑡2+2𝑡−3)，整理得𝑡1=−√2，𝑡2=3√2(舍去)，∴𝑃𝐹=3𝑃𝑁=−3𝑡=3√2．【解析】(1)直接把𝐴点坐标代入𝑦=𝑥2+𝑏𝑥−3求出𝑏的值即可得到抛物线解析式为𝑦=𝑥2+2𝑥−3

；(2)连接𝑂𝑃，过点𝑃作𝑃𝐻⊥𝑥轴于𝐻，𝑃𝑁⊥𝑦轴于𝑁，根据𝑠=𝑆△𝐴𝑃𝐷=𝑆△𝑂𝐴𝐷+𝑆△𝑂𝐴𝑃−𝑆△𝑂𝑃𝐷可得出𝑠与𝑡的函数关系式；(3)过𝐷作𝐷𝐻⊥𝑦轴交𝑃𝐸的延长线于𝐻，作𝑃𝑀⊥𝐷�

�于𝑀，𝑃𝑁⊥𝑦轴于𝑁，如图3，利用𝑃𝑀//𝐷𝑁得到∠𝑃𝐷𝐶=∠𝐷𝑃𝑀，加上∠𝐸𝑃𝐷=2∠𝑃𝐷𝐶，则∠𝐻𝑃𝑀=∠𝐷𝑃𝑀，于是根据等腰三角形的性质可得𝑀𝐻=𝑀𝐷，接着判断四边形𝑃𝑁𝐷𝑀为矩形得到𝑀𝐷=𝑃�

�，则𝐷𝐻=2𝑃𝑁，然后证明△𝐷𝐸𝐻≌△𝐷𝐸𝐹第23页，共23页得到𝐷𝐻=𝐷𝐹，所以𝐷𝐹=2𝑀𝐷=2𝑃𝑁；再在𝑅𝑡△𝑃𝐹𝑁中利用正弦定义可得到𝑃𝐹=3𝑃𝑁，利用勾股定理得𝐹𝑁=√2𝑃𝑁，设𝑃点坐标为(𝑡,𝑡2+2𝑡−

3)，则𝐷𝐹=−2𝑡，𝐹𝑁=−2√2𝑡，于是可表示出𝑂𝑁=𝐷𝐹+𝐹𝑁−𝑂𝐷=−2𝑡−2√2𝑡−3，所以−2𝑡−2√2𝑡−3=−(𝑡2+2𝑡−3)，解方程得到得𝑡1=−√2，𝑡2=3√2(舍去)，所以𝑃𝐹=3𝑃�

�=3√2．本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和等腰三角形的性质；会应用三角形全等证明线段相等；理解锐角三角函数的定义．