【文档说明】2022-2023学年河南省洛阳市创新发展联盟高二上学期12月阶段检测数学试题解析版.doc，共(20)页，4.695 MB，由小喜鸽上传

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第1页共20页2022-2023学年河南省洛阳市创新发展联盟高二上学期12月阶段检测数学试题一、单选题1．已知双曲线22221xyab−=（0a，0b）的一条渐近线的斜率为12，则该双曲线的离心率为（）A．3B．5C．2D．52【答案】D【

分析】根据双曲线的渐近线斜率公式可知12ba=，再根据双曲线的离心率221ba+，即可求出结果.【详解】由双曲线22221xyab−=（0a，0b）的一条渐近线的斜率为12，可知12ba=，所以该双曲线的离心率为22512ba+=.故选：D.2．若直

线l：210xy−+=的倾斜角为，则()tanπ−=（）A．2B．－2C．12D．12−【答案】D【分析】根据直线方程可得tan，再利用诱导公式即可得解.【详解】解：因为直线l：210xy−+=的倾斜角为，所以1tan2=，则()1tanπtan2aa-=-=-.故选：D.3．

已知1F，2F是椭圆E：221812xy+=的两个焦点，过点1F且斜率为k的直线l与E交于M，N两点，则2MNFV的周长为（）A．8B．82C．83D．与k有关【答案】C【分析】根据椭圆E：221812xy+=可求得a，由椭圆的定义可得122MFMFa

+=，122NFNFa+=，第2页共20页并且11MNMFNF=+，进而即可求得2MNFV的周长．【详解】由椭圆E：221812xy+=，则2=12a，即=23a，又椭圆的定义可得122=43MFMFa+=，122=43NFNFa+=，且11MNMFNF=+，所以2MNFV的周长为()()2222

112=++=434383MNFCMFMNNFMFMFNFNF+++=+=V．故选：C．4．已知空间向量()1,3,2a=r，()2,1,2b=r，则ar在br的投影向量c=r（）A．()614,314,614B．()214,14,214C．()2,1,2D．()6,3

,6【答案】C【分析】根据投影向量的计算公式计算即可.【详解】解：由空间向量()1,3,2a=r，()2,1,2b=r，得ar在br的投影向量()2342,1,29abbcbbb++===rrrrrrr.故选：C.5

．若圆M：22()4xky−+=与圆N：22(1)1xy−+=相交，则k的取值范围为（）A．()2,0−B．()2,4C．()()2,02,4−UD．()2,4−【答案】C【分析】由条件求圆M与圆N的圆心和半径，

根据圆M与圆N相交，列不等式求k的取值范围.【详解】由已知，圆M：22()4xky−+=的圆心M的坐标为(),0k，半径12r=，圆N：22(1)1xy−+=的圆心N的坐标为()1,0，半径21r=，因为圆M与圆N相交，所以04MN

，所以113k−，所以11310kk−−或11310kk−−，所以20k−或24k，所以k的取值范围为()()2,02,4−U，故选：C.第3页共20页6．图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径6AB=

，深度2MO=，信号处理中心F位于焦点处，以顶点O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，若P是该拋物线上一点，点15,28Q，则PFPQ+的最小值为（）A．4B．3C．2D．1【答案】B【分析】由已知点()2,3在抛物线上，利用待定系数法求抛物线方程

，结合抛物线定义求PFPQ+的最小值.【详解】设抛物线的方程为()220ypxp=，因为6AB=，2MO=，所以点()2,3A在抛物线上，所以94p=，故94p=，所以抛物线的方程为292yx=，所以抛物线的焦点F的坐标为

9,08，准线方程为98x=−，在方程292yx=中取158x=可得2135416y=，所以点Q在抛物线内，过点P作PP与准线垂直，P为垂足，点Q作QQ与准线垂直，Q为垂足，则PFPP=，所以1593

88PFPQPPPQQQ+=+=+=，当且仅当直线PQ与准线垂直时等号成立，所以PFPQ+的最小值为3，故选：B.第4页共20页7．《几何原木》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥

为直角圆锥．如图，SAB△、SCDV是直角圆锥SO的两个轴截面，且1os3cBOC=，则异面直线SA与BC所成角的余弦值为（）A．13B．66C．64D．63【答案】B【分析】设6AB=，以点O为坐标原点，OB、OS所在直线分别为

y、z轴，平面ABC内垂直于OB的直线为x轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线SA与BC所成角的余弦值.【详解】在圆锥SO中，SO⊥平面ABC，设6AB=，以点O为坐标原点，OB、OS所在直线分别为y、z轴，平面ABC内垂直于OB

的直线为x轴建立空间直角坐标系，因为1os3cBOC=，所以()0,3,0A−、()0,3,0B、()0,0,3S、()22,1,0C−，()0,3,3SA=−−uur，()22,2,0BC=−−uuur，所以6

6cos,63223SABCSABCSABC===uuruuuruuruuuruuruuur，所以异面直线SA与BC所成角的余弦值为66．故选：B.8．双曲线22:12539yxC−=上的点P到上焦点的距离为12，则P到下焦

点的距离为（）A．22B．2C．2或22D．24【答案】A【分析】设C的上、下焦点分别为12,FF，根据双曲线的定义12||||||210PFPFa−==求出2||2PF=或第5页共20页2||22PF=，再根据1212||||||PF

PFFF+可得2||22PF=.【详解】设C的上、下焦点分别为12,FF，则112PF=．因为225a=,239=b,所以5a=，2225398cab=+=+=，则12||216FFc==，由双曲线的定义可知，12||||||210PFPFa−==，即

2|12|||10PF−=，解得2||2PF=或2||22PF=，当2||2PF=时，1212||||12214||16PFPFFF+=+==，不符合题意；当2||22PF=时，1212||||122234||16PFPFFF+=+==，符合题意.综上所述：2||22PF=.故选：A9．若

,,abcrrr构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）A．322abc−+rrr，2abc−+rrr，2ab+rrB．432abc++rrr，abc++rrr，ac−rrC．2ab+rr，abc−+rrr，2abc+−rrrD．

22abc−−rrr，ac−rr，2ab+rr【答案】D【分析】利用共面向量定理分析判断，其中选项ABD中，一个向量可以表示为另外两个向量的共线向量的和的形式，所以三个向量共面；只有选项C的向量不可以，即得解.【详解】对于A，因为()222322,abcababc

−+++=−+rrrrrrrr所以322abc−+rrr，2abc−+rrr，2ab+rr共面，A不符合题意；对于B，因为()3432,abcacabc+++−=++rrrrrrrr所以432abc++rrr，abc++rrr，a

c−rr共面，B不符合题意；对于C，22abcabcab−+++−=+rrrrrrrr，所以2ab+rr，abc−+rrr，2abc+−rrr共面，C不符合题意；假设存在实数,xy满足()()222xacyab

abc−++=−−rrrrrrr，所以(2)22xyaybxcabc++−=−−rrrrrr,所以2122xyyx+==−−=−，该方程组没有实数解.所以不存在实数,xy满足()()222xacyababc

−++=−−rrrrrrr，第6页共20页故22abc−−rrr，ac−rr，2ab+rr不共面，D符合题意.故选：D.10．如图，已知()4,0A，()0,6B，从点()2,0P射出的光线经直线AB反射后

再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程长为（）A．126513B．813013C．448113D．163013【答案】B【分析】求出P关于AB的对称点1P和它关于y轴的对称点2P，则12PP就是所求的路程长.【详解】解：直线AB的方程为146xy+=，即

32120xy+−=，设点()2,0P关于直线AB的对称点为()1,Pab，则22323212022baab=−++−=，解得62132413ab==，即16224,1313P，又点()2,0P关于y轴的对称点为()22,0P−，由光的反射

规律以及几何关系可知，光线所经过的路程长2212622481302131313PP=++=．故选：B.11．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马PABCD—中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正

方形，且2PAAB==，E，第7页共20页F分别为PD，PB的中点，则（）A．EF⊥平面PADB．ABP平面EFCC．点F到直线CD的距离为6D．点A到平面EFC的距离为41111【答案】D【分析】根据已知条件建立空间直角坐标系，

求出相关点的坐标及平面EFC的法向量，利用向量垂直条件及线面垂直的定义及线面平行的向量关系，结合点到直线的距离及点到面的距离的向量公式即可求解.【详解】以A为坐标原点，ABuuur，ADuuur，APuuur的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空直角坐标系如图所示由题意可知，()0,0,

0A，()002P,,，()2,2,0C，()0,1,1E，()1,0,1F，()0,2,0D，所以()1,1,0EF=−uuur，()0,2,0AD=uuur，()2,1,1EC=−uuur，()2,0,0AB=uuur，()1,2,1CF=−−uuur，对于选项A，因为020

2EFAD=−+=−uuuruuur，所以,EFAPuuuruuur不垂直，即,EFAD不垂直，所以直线EF与平面PAD不垂直，故A错误；对于选项B，设平面EFC的法向量为(),,mxyzr=，则第8页共20页00mEFmEC

==uuurruuurr,即020xyxyz−=+−=，令1x=，则1,3yz==，所以()1,1,3m=r．因为()2,0,0AB=uuur，所以20ABm=uuurur，所以直线AB与平

面EFC不平行，故B错误；对于C，设点F到直线CD的距离为h，()1,2,1CF=−−uuur，()2,0,0CD=−uuur，则2225CFCDhCFCD=−=uuuruuuruuuuruuur，即5h=，所以点F到直线CD的距

离为5，故C错误；设点A到平面EFC的距离为d，()2,2,0AC=uuur，则22041111119ACmdm++===++uuurrr，所以点A到平面EFC的距离为41111，故D正确.故选：D.12．已知双曲线C：()222210,0xyabab−=的左、右焦点分别为()1

,0Fc−，()2,0Fc，过点1F的直线l与双曲线C的左支交于点A，与双曲线C的其中一条渐近线在第一象限交于点B，且122FFOB=（O是坐标原点），现有下列四个结论：①22124BFcBF=−；②若12ABFA=uuuruu

ur，则双曲线C的离心率为1102+；③122BFBFa−；④12caAFca−−.其中所有正确结论的序号为（）A．①②B．②③C．①③④D．①②④【答案】D【分析】由条件证明12BFBF⊥，结合勾股定理判断①，由条件求

点A的坐标，代入双曲线方程可得,ac关系，由此可求离心率，根据双曲线定义，结合三角形三边关系判断③，由条件求1AF，结合点A的坐标范围判断④.【详解】因为122FFOB=，O为12FF的中点，所以12OFOFOB==，所以12BFBF⊥，

则|222212124BFBFFFc+==，即22124BFcBF=−，①正确.设2BOF=，则tanba=，所以cos,sinabcc==，作1AAx⊥轴，垂足为1A，1BBx⊥轴，垂足为1B，则1cos,aOBOBcac===1sin,bBBOBcbc===因为12ABFA

=uuuruuur，所以1111111113AAAFAFBBBFBF===，解得()11111,33AAbAFac==+，则()112,33Aacb−，则第9页共20页()2222112991acbab−−=，整理得11(0233)caa=−，

则1102cea+==，②正确；设直线l与C右支的交点为M，则122MFMFa−＝，因为22MBMFBF−，所以22MBMFBF−−，则121212MFMFBFMBMFBFBF−=+−−，则122BFBFa−，③不正确；设()00,Axy，则|()2222220100

00221xAFxcyxcxcba=++=+++−，所以222222210000022122bccAFxcxcbxcxaxaaaa=+++−=++=+，所以10cAFxaa=−+，由题意可知，010yBBb=，则2222200212yaxaab

=+，则02axa−−，故102ccaAFxacaa−=−−−，④正确.故选：D.二、填空题13．已知直线1l：310mxy+−=，2l：()420xmy+−+=，若12ll⊥，则m=______.【答案】3【分析】根据两直线垂直的条件列出关于

m的方程求解即可.【详解】直线1l：310mxy+−=，2l：()420xmy+−+=，若12ll⊥，则()1340+−=mm，解得3m=,故答案为：3.第10页共20页14．空间向量ar，br满足2abab+=−rrrr，且()2,1,3b=−r，则

ab=rr______.【答案】7−【分析】先由空间向量的模的坐标表示求br，把2abab+=−rrrr两边同时完全平方，化简可求abrr.【详解】由()2,1,3b=−r，可得41914b=++=r，因为2abab+=−rrrr，所以222abab+=−rrrr，所以()()222aba

b+=−rrrr，所以2222442aabbaabb++=−+rrrrrrrr，所以63140ab+=rr，所以7ab=−rr，故答案为：7−.15．笛卡尔是世界上著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父.据说在他生病卧床时，突然看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网

，受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形.在如图所示的空间直角坐标系中，1111ABCDABCD−为长方体，且11,2ABBCAA===，点P是x轴上一动点，则APPD+的最小值为___________.【答案】21【分析】

根据题意结合对称性分析运算.【详解】由图可知：()()1,1,2,0,1,2AD−−−−，A关于x轴对称的点为()1,1,2A，则()()()22210112221APPDAPPDAD+=+=−++++=.故答案为：21.16．已知直线

l：320xy++=与x，y轴的交点分别为A，B，且直线1l：310mxym−−+=与直线2l：310xmym+−−=相交于点P，则PABV面积的最大值是______.【答案】10253+【分析】由条件确定点P

的轨迹，由此可求点P到直线l的距离的最大值，结合三角形面积公式求第11页共20页PABV面积的最大值.【详解】因为()110mm+−=，所以直线1l：310mxym−−+=与直线2l：310xmym+−−=垂

直，又直线1l方程310mxym−−+=可化为()13ymx−=−，所以直线1l过点()3,1M，因为直线2l方程310xmym+−−=可化为()31myx−=−，所以直线2l过点()1,3N，所以PMPN⊥，故点P的轨迹为以MN为直径的圆，又线段MN的中点C的坐标为()2,

2，22MN=，所以点P的轨迹方程为()()22222xy−+−=，因为()2,2C到直线320xy++=的距离32221010d++==，所以点P到直线l的距离的最大值为102+，由方程320xy++=取0x=可得=2y−，取0y=可得

23x=−，所以点A的坐标为203−，，点B的坐标为()0,2−，所以4210493AB=+=，所以PABV面积的最大值为()121010223+，即10253+，故答案为：10253+.三、解答题17．如图，在直三棱柱111—ABCABC中，EFG，，

，分别为11AB，1CC，1BB的中点，分别记ABuuur，ACuuur，1AAuuur为ar，br，cr.第12页共20页(1)用ar，br，cr表示EFuuur，EGuuur；(2)若12ABACAA===，ABAC⊥，求2EFEG+uuuruu

ur.【答案】(1)1122EFabc−=−+rrruuur；1()2EGac−=ruurru.(2)14.【分析】（1）用空间向量的加减运算分别表示EFuuur，EGuuur，111111EFEAAFEAACCF+=+=+uuuruuuruu

uuruuuruuuuruuuur，11EGEBBG=+uuuruuuruuuur，再转化为ar，br，cr表示即可；（2）先把2EFEG+uuuruuur用ar，br，cr表示，然后平方，把向量的模和数量积分别代入，计算出结果后再进行开方运算

求得2EFEG+uuuruuur.【详解】（1）连结1AF.在直三棱柱111—ABCABC中，11ABABa==uuuruuurr，11ACACb==uuuruuuurr，111AABBCCc===uuuruuuruuuurr，则1111111111111

112222EFEAAFEAACCFABACCCabc===−+−=+++−+−uuuruuuruuuuruuuruuuuruuuuruuuuruuuuruuuurrrr.11111111()222EGEBBGABBBac=+=−−=uuuruuuruuuururuuuruurru.（2）如图

，在直三棱柱111—ABCABC中，1AAABC⊥底面，ABABC底面，ACABC底面，所以1AAAB⊥，1AAAC⊥，又ABAC⊥，所以10BAAAca==uuuruuurrr，10CAAAcb==uuuruuurrr，0AABaCb==uuuruuu

rrr.1113()22222abcacFGbEaEc−+−++=−=+−uuuruuurrrrrrrrr，()2222213193314912422442abcabcabacEFEGbc=+−=++

+−−=++=+uuuruuurrrrrrrrrrrrr，所以214EFEG+=uuuruuur.第13页共20页18．已知动圆P与圆M：()2231xy++=，圆N：()2239xy−+=均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C.(1)求C的方程.(2)若点Q在C

上，且MNQ△的面积为66，求直线NQ的方程.【答案】(1)()22108yxx−=(2)265660xy+−=或265660xy−−=【分析】（1）求出两圆的圆心及半径，设圆P的半径为r，根据题意可得12,MPrrNPrr=+=+，两式相减，再根

据双曲线的定义即可得出答案；（2）设()00,Qxy，根据MNQ△的面积求出Q点的坐标，再根据直线的点斜式方程即可得解.【详解】（1）解：由圆M：()2231xy++=，得圆心()3,0M−，半径11r=，由圆N：()2239xy−+=，

得圆心()3,0N，半径23r=，设圆P的半径为r，则有1,3MPrNPr=+=+，两式相减得2NPMP−=，所以圆心P的运动轨迹为以()3,0M−，()3,0N为焦点的双曲线的左支，又918−=，所以C的方程为()22108yxx−=；第1

4页共20页（2）解：设()000,,0Qxyx，则016662MNQSy==V，解得026y=，此时02x=−，所以()2,26Q−或()2,26Q−−，当()2,26Q−时，2626235NQk==−

−−，直线NQ的方程为()2635yx=−−，即265660xy+−=，当()2,26Q−−时，2626235NQk−==−−，直线NQ的方程为()2635yx=−，即265660xy−−=，所以直线

NQ的方程为265660xy+−=或265660xy−−=.19．已知半径小于10的圆C与两坐标轴相切，且()22,22P++是圆C上一点，过P的直线与圆C交于另外一点Q.(1)求C的标准方程；(2)若22PQ=，求直线PQ的方程.

【答案】(1)圆C的标准方程为()()22224xy−+−=；(2)直线PQ的方程为22y=+或22x=+.【分析】（1）设圆的标准方程，列方程求出圆心坐标和半径可得圆的标准方程；（2）结合条件求圆心到直线PQ的距离

，验证PQ的斜率不存在时满足要求，当PQ的斜率存在时，由点到直线距离公式求出直线斜率，由此可得直线方程.【详解】（1）因为圆C与两坐标轴相切，且()22,22P++是圆C上一点，且点()22,22P++在第一象限，所以圆C的

圆心在第一象限，设圆C的标准方程为()()222xaybr−+−=，010r，由已知可得abr==，()()2222222abr+−++−=，化简可得()22222aa+−=，所以()222222aa+−=，故2222aa+−=或2222aa+−=−，解得

2a=或642a=+，因为,10arr=，所以10a，故642a=+不合题意，舍去，所以2a=，所以圆C的标准方程为()()22224xy−+−=；第15页共20页（2）设圆心到直线PQ的距离为d，则22222rd−=，由

2r=，解得2d=.当直线PQ的斜率不存在时，直线PQ方程为22x=+，圆心()2,2到直线PQ的距离2d=，即直线PQ被圆C所截得的弦长为22，符合题意；当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为()2222ykx−−=−−，则22221kd

k−+==+，解得：0k=，故PQ的方程是22y=+，综上所述，直线PQ的方程为22y=+或22x=+.20．已知抛物线C：()220ypxp=的焦点为F，点()0,Pxp在抛物线C上，()1,0Q−，1FPFQ=+.(1)

求C的方程.(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与C相交于M，N两点，若l的斜率为1，求四边形AMBN的面积.【答案】(1)抛物线C的方程为28yx=；(2)四边形AMBN的面积为1283.【分析】（1）将点()0,Pxp代入抛物线方程，

求得0x，由1FPFQ=+可求得p的值，由此可得得C的方程；（2）由条件求AB的方程，联立方程组由抛物线焦点弦公式求AB，再求线段AB的垂直平分线的方程，利用设而不求法结合弦长公式求MN，由此可求四边形AMBN的面积.【详解】（1）因为点

()0,Pxp在抛物线C上，所以202ppx=，解得02px=，所以点P的坐标为,2pPp，又,02pF，()1,0Q−，所以12pFQ=+，FPp=．因为1FPFQ=+，所以112pp=++，解得

4p=，故抛物线C的方程为28yx=；（2）由(1)可知，抛物线C的焦点F的坐标为2,0（），又l的斜率为1，故l的方程为2yx=−，第16页共20页联立方程组228yxyx=−=消去x，得28160yy−−=．方程28160yy−−=的判别式64640

=+，设()11,Axy，()22,Bxy，则128yy+=，1216yy=−，12122212xxyy+=+++=，所以1262xx+=，1242yy+=，设线段AB的中点为D，故点D的坐标为()6,4．所以12416ABxx=++=，又直线MN的斜率为1−，所以M

N的方程为()416yx−=−−．即100xy+−=，联立方程组21008xyyx+−==，消去y，得2281000xx−+=．方程2281000xx−+=的判别式7844000=−，设()33,Mxy，()44,Nxy，则3428x

x+=，34100xx=，所以()()3432243411224384163xxxMNxxx=+−−=+==−，所以四边形AMBN的面积112832SABMN==.21．如图1，在平行四边形ABCD中，

24ABAD==，60DAB=，E，F分别为AB，CD的中点.将ADEV沿DE折起到1ADE△的位置，使得平面1ADE⊥平面BEDF，将BCF△沿BF折起到1BCF△的位置，使得二面角1EBFC−−的大小为1

20，连接11AC，1AF，1CE，得到如图2所示的多面体11ACBEDF.第17页共20页(1)证明：1DEAF⊥.(2)求直线1BC与平面11ACE所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)3133926−.【

分析】(1)取DE的中点O，连接1,AOFO，证明1,AODEFODE⊥⊥，由线面垂直判定定理证明DE⊥平面1AOF，由此证明1DEAF⊥；(2)由面面垂直性质定理证明1AO⊥平面BEDF，建立空间直角

坐标系，求直线1BC的方向向量与平面11ACE法向量，利用向量夹角公式求两向量夹角余弦可得结论.【详解】（1）在图1中，连接,EF因为四边形ABCD为平行四边形，E，F分别为AB，CD的中点，4AB=，所以//DFAE，2DFAE=

=，所以四边形AEFD为平行四边形，又2ADAE==，所以四边形AEFD为菱形，故AEEFFDDA===，同理可证四边形BCFE为菱形，故BCCFFEEB===，所以在图2中，连接,EF11,ADAEFDFE==，取DE的中点O，

连接1,AOFO，则1,AODEFODE⊥⊥，又1AO平面1AOF，FO平面1AOF，1AOFOO=I，所以DE⊥平面1AOF，又1AF平面1AOF，所以1DEAF⊥；第18页共20页（2）由(1)1AODE⊥，因为平面1ADE⊥平面BEDF，平面1ADEI平面BEDFDE=，1A

O平面1ADE，所以1AO⊥平面BEDF，又FO平面BEDF，所以1AOFO⊥，因为1AODE⊥，1AOFO⊥，FODE⊥，如图以点O为原点，以1,,OEOFOAuuuruuuruuur分别作为,,xyz轴的正方向，建立

空间直角坐标系，因为2AEEFFDDA====，160DAE=，所以()10,0,3A，()1,0,0E，()2,3,0B，取BF的中点M，连接1,CMEM，因为图1中BCCFFEEB===，所以图2中EBEF=，11CBCF=，所以1,CMBF

EMBF⊥⊥，所以1CME为二面角1EBFC−−的平面角，因为二面角1EBFC−−的大小为120，所以1120CME=o，过点1C作1CNEM⊥，垂足为N，则160CMN=o，在1CMNV中，160CMN=o，13CM=，19

0CNM=o，所以132CN=，32MN=，所以点1C的坐标为3331,,22，所以1331,,22BC=−uuuur，()11,0,3AE=−uuuur，13330,,22EC=uuuur，

设平面11ACE的法向量为()111,,,nnxyz=rr，因为1100nAEnEC==uuurruuuurr，所以111130333022xzyz−=+=，取13z=，则113,1xy==−，故向量()3,1,3n=−r为平面的一个法向量，第19页共

20页所以11133333322cos,213213BCnBCnBCn−−+−+===uuuurruuuurruuuurr，设直线1BC与平面11ACE所成角为，则3331339sin26213−−==，所以直线1BC与平面11ACE所成角的正弦值为3133926−.22．

已知椭圆C：()222210xyabab+=的离心率为22，61,2H是C上一点.(1)求C的方程.(2)设A，B分别为椭圆C的左、右顶点，过点()1,0D作斜率不为0的直线l，l与C交于P，Q两点，直线AP与直

线BQ交于点M，记AP的斜率为1k，BQ的斜率为2k.证明：①12kk为定值；②点M在定直线上.【答案】(1)22142xy+=；(2)①证明见解析；②证明见解析.【分析】(1)由条件列出关于,,abc的方程，解方程可得,,abc，由此可得椭圆C的方程

；(2)①联立方程组，利用设而不求法结合两点斜率公式求12kk即可证明；②求出直线AP与直线BQ方程，联立求点M的坐标，由此证明点M在定直线上.【详解】（1）由题意，椭圆的离心率为22，61,2H是椭圆C上一点，第20页共20

页所以22222222123121ceaabcab===++=，解得2224,2,2abc===，所以椭圆的方程为22142xy+=；（2）①因为过点()1,0D且斜率不为0，所以可设l的方程为1xty=+，代入椭圆方程22142xy+=得(

)222230tyty++−=，方程()222230tyty++−=的判别式()2241220tt=++，设()11,Pxy，()22,Qxy，则12222tyyt+=−+，12232yyt=−+.两式相除得121223yytyy+=，()121232tyyyy=+．因为,AB分别

为椭圆C的左、右顶点，所以点A的坐标为()2,0−，点B的坐标为()2,0，所以1111123yykxty==++，2222221yykxty==−−．从而()()()()1211211212221122313123393323yyyytykyyyykytyyyy

+−−+====++++；②由①知1231kk=，设1km=，则23km=，所以直线AP的方程为：2ymxm=+，直线BQ的方程为36ymxm=−，联立236ymxmymxm=+=−可得46xym==

，所以直线AP与直线BQ的交点M的坐标为()4,6m，所以点M在定直线4x=上.【点睛】过x轴上定点0(,0)x斜率不为0的动直线方程可设为0xtyx=+；过y轴上定点(0，y0)斜率存在的动直线方程可设

为0ykxy=+.