【文档说明】2022-2023学年河南金太阳联考创新联盟高二上学期11月第三次联考数学试题解析版.doc，共(17)页，4.639 MB，由小喜鸽上传

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第1页共17页2022-2023学年河南金太阳联考创新联盟高二上学期11月第三次联考数学试题一、单选题1．椭圆2239xy+=的短轴长为（）A．3B．6C．3D．23【答案】D【分析】将椭圆的方程化为标准方程即可得出答案

.【详解】2239xy+=，即22193xy+=，故椭圆2239xy+=的短轴长为23．故选：D.2．圆22:9Mxy+=与圆22:430Nxyy+−+=的位置关系为（）A．相离B．外切C．内切D．相交【答案】C【分析】根据两

圆的圆心距以及圆的半径和和半径差的大小关系确定两圆的位置关系.【详解】圆M：229xy+=的圆心为()0,0M，半径为13r=.圆N：22430xyy+−+=即()2221xy+−=的圆心为()0,2N，半径为21r=.故2MN=，12MNrr=-，所以圆M与圆N内切．故选：C

.3．已知数列na的前n项和1nSn=，则3a=（）A．13B．112−C．16−D．12−【答案】C【分析】由111N2nnnananSSn+−==−，，，可得答案.【详解】因111N2nnnananSSn+−==

−，，，，则332111326aSS=−=−=−．故选：C第2页共17页4．在正四面体ABCD中，F是AC的中点，E是DF的中点，若,,DAaDBbDCc===，则BE=（）A．1144abc−+B．1122abc−+C．1144abc++D．1122abc−+【答案】A【分析】利用空间

向量加减法的运算法则即可得解.【详解】依题意，结合图形可得，111()222BEBDDEDBDFDBDADC=+=−+=−++11114444DADBDCabc=−+=−+．故选：A.5．已知两条平行直线1:210

lxy−+=，2:0laxyb−+=间的距离为5，则ab−=（）A．32B．52C．3D．4【答案】B【分析】由直线的平行关系，可求出a的值，再利用平行直线的距离公式，求出b的值，即可求解ab−.【详解】因为12//ll，所以1122aa−=

−=，21:02lxyb−+=即220xyb−+=，因为直线1l与2l间的距离为22|12|512b−=+，解得3b=或2−，所以52ab−=，故选：B.6．已知数列na满足11nnaa+=+，且121,2aa==，则na的通项公式na=（）A．nB．12n−C．3

2nn−D．23n−【答案】A【分析】将121,2aa==代入11nnaa+=+求出，得到数列为等差数列，进而求出通项公式.【详解】由题意可得211aa=+，解得1=，则11nnaa+=+，第3页共17页所以na是以1为首项，

1为公差的等差数列，()111naann=+−=．故选：A7．已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=上的点到焦点的最小距离为1，且C与直线3yx=无交点，则a的取值范围是（）A．)3,+B．)1,+C．1,2D．3,2【

答案】B【分析】设点()00,Pxy，求出点P到双曲线焦点距离的最小值为1ca−=，再利用直线3yx=与双曲线C无公共点可得出2222340baca−=−，可得出关于a的不等式，结合0a可得出a的取值范围.【详解】设双曲线C上一点

()00,Pxy，设点双曲线C的右焦点为F，若PF取最小值，则点P在双曲线C的右支上，则0xa，则()2222222222000000002222bxcxcPFxcyxcxcbxcxaaaaa=−+=−++−=−+=−1ca−=，当且仅当0xa=时，等号成立，联

立222231yxxyab=−=可得()222223baxab−=，因为C与直线3yx=无交点，则2230ba−，即()222224143210caaaaa−=+−=−++，因为0a，解得

1a.故选：B.8．如图，圆锥的轴截面SAB是正三角形，O为底面圆的圆心，D为SO的中点，点C在底面圆的圆周上，且ABC是等腰直角三角形，则直线CD与AS所成角的余弦值为（）第4页共17页A．74B．23C．3714D．13314【答案】C

【分析】作OA中点E，则直线CD与AS所成角为CDE，由几何关系求出三边长，结合余弦定理得解.【详解】如图，作OA中点E，连接,DEEC，因为D为SO的中点，E为OA中点，所以//DESA，则线CD与AS所成角等价于CD与DE所成

角，设2SBABa==，则3,3,22aOESOaDOa===，COa=，2252CECOOEa=+=，2272CDCOODa=+=，12DESAa==，则2222227544c4os2327172aaaCDDECECDECD

DEaa+−+−===，所以直线CD与AS所成角的余弦值为3714.故选：C9．已知直线10yx−+=与圆221xy+=相交于点A，B，点P为圆上一动点，则ABP面积的最大值是（）第5页共17页A．212+B．212+C．2D．12【答案】A【分析】先利用点线距离公

式算得圆心到直线的距离，从而利用弦长公式求得AB，再利用圆上动点到直线的距离的最值求法求得点P到直线的最大距离，由此可求得ABP面积的最大值.【详解】因为圆221xy+=，所以圆心为()0,0，半径为1r=，如图，所以圆心到直线10y

x−+=的距离0012211d−+==+，则2212ABd=−=，又点P到直线10yx−+=的距离的最大值为212dr+=+，所以ABP面积的最大值122121222S+=+=．故选：A..10．已知12

,FF分别是双曲线22144xyC−=的左、右焦点，P是C上位于第一象限的一点，且210PFPF=，则12PFF△的面积为（）A．2B．4C．22D．23【答案】B【分析】利用勾股定理、双曲线定义求出12PFPF，再利用三角形的面积公式计算可得答案.【详解】

因为120PFPF=，所以222121232PFPFFF+==，由双曲线的定义可得124PFPF−=，所以()2221212122PFPFPFPFPFPF=+−−，解得128PFPF=，故12PFF△的面积为12142PFPF=．第6页共17页故选：B.11．已知抛物线

2:4Cyx=的焦点为F，N为C上一点，且N在第一象限，直线FN与C的准线交于点M，过点M且与x轴平行的直线与C交于点P，若2MNNF=，则直线PF的斜率为（）A．1B．2C．43D．3【答案】D【分析】过N作准线的垂线，垂足为Q，根据抛物线的定义以及两直线平行内错角相等、等腰

三角形的性质可得30NMQ=，通过直线的倾斜角为πPFMMFO−−即可得结果.【详解】如图，过N作准线的垂线，垂足为Q，则||||NFNQ=．又因为||||PMPF=，所以PFMPMFMFOMNQ==

=．因为||2||MNNF=，即||2||MNNQ=所以30NMQ=，即60MNQ=．直线PF的斜率为tan(π)tan603PFMMFO−−==．故选：D.12．《瀑布》（图1）是埃舍尔为人所知的作品．画面两座高塔各有一个几何体，右塔上的几何体首次出现，后称“埃舍尔多面体”（

图2）．埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造，定义这三个正方形(1,2,3)nnnnABCDn=的顶点为“框架点”，定义两正方形的交线为“极轴”，其端点为“极点”，记为,nnPQ，将极点11,PQ分别与正方形2222ABCD的顶点连

线，取其中点记为,(1,2,3,4)mmEFm=，如图3．埃舍尔多面体可视部分是由12个四棱锥构成的，这些四棱锥顶点均为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成，为了便于理解，在图4中构造了其中两个四棱锥11122APEPE−与22131APEPF−，则直

线12QB与平面122AEP所成角的正弦值为（）第7页共17页A．63B．223C．62D．23【答案】A【分析】以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得对应点的坐标，以及平面122AEP的法向量和直线12QB的方向向量，利用向量法即可求得结果.【详解】以O为坐标原点，分别以3

21,,OPOPOP为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设11OP=，则1(0,0,1)Q−，2(1,1,0)B−，1(0,1,1)A，2111,,222E−，2(0,1,0)P，则12

(1,1,1)QB=−，12111,,222AE=−−−，12(0,0,1)AP=−．设平面122AEP的法向量为(,,)nxyz=，则121200AEnAPn==，即11102220xyzz−−−==第8页共17页令1x=，可得

(1,1,0)n=−．则12121226cos,332||QBnQBnQBn−===−，故直线12QB与平面122AEP所成角的正弦值为63．故选：A.二、填空题13．过点(3,5)P−−，且斜率为2的直

线的一般式方程为________________．【答案】210xy−+=【分析】由点斜式写出直线方程，再化为一般形式即可.【详解】因为直线过点(3,5)P−−，且斜率为2，所以直线的点斜式方程为52(3)yx+=+，所以直线的一般方程为210xy−+

=．故答案为：210xy−+=.14．在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是,BCAD的中点，则AECF=________________．【答案】12−##0.5−【分析】将AECFuuuruuur，分别用ABAC，与ADACuuuruuur，表示出

来，然后根据向量数量积的定义计算即可得到结果.【详解】111111()()224422AECFABACADACABADACADABACACAC=+−=+−−uuuruuuruuuuuruuuruuu

uruuuruuuruuuruuuruuuruuruuuruuruur()2111111cos6011cos6011cos6014222=+−−=−．故答案为:12−15．设等差数列na的前n项和为1,0n

Sa且54911aa=，当nS取最大值时，n的值为________________．【答案】9【分析】根据题意，用首项1a表示公差d，代入前n项和公式，化简得到nS为关于n开口向下的二次函数，进而求出其最大值时对应的n的值

.【详解】因为54911aa=，所以54119aa=，即()()1111493adad+=+，化简后可得1217ad=−．()22111111(1)(1)28118(9)2217171717nnndnn

aaaaSnanannn−−=+=+−=−−=−−+，由二次函数性质可知，当9n=时，nS取得最大值．第9页共17页故答案为：9.16．历史上第一位研究圆锥曲线的数学家是梅纳库莫斯（公元前375年-325年），大约100年后，阿波罗尼斯更详尽、系统地

研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质.如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线l表示与椭圆C的切线垂直且过相应切点的直线，如图乙，椭圆C的中心在坐标原点，12,FF分别为其左、右焦点，

直线l与椭圆C相切于点P（点P在第一象限），过点P且与切线l垂直的法线l与x轴交于点Q，若直线2PF的斜率为2−，2PQQF=，则椭圆C的离心率为______.【答案】32【分析】由离心率公式结合定义得出121

2FFePFPF=+，再由正弦定理的边角互化得出椭圆C的离心率.【详解】设2PFQ=，则21QPFQPF==，12PQF=，13PFQ=−，其中1tan2cos3==，，所以椭圆C的离心率为()()()1212sin2sin2sin213sinsin3sinsin3sin2

sin22cos2FFPFPF=====++−+−++.故答案为：32三、解答题17．已知抛物线C的顶点在原点，焦点坐标为()2,0F．(1)求C的标准方程；(2)若直线24yx=−与C

交于A、B两点，求线段AB的长．【答案】(1)28yx=第10页共17页(2)10AB=【分析】（1）设抛物线C的标准方程为22ypx=，根据该抛物线的焦点坐标求出p的值，即可得出抛物线C的标准方程；（2）设点()11,Axy、()22,Bxy，分析可知直线AB过抛物线C的焦点

F，将直线AB的方程与抛物线C的方程联立，列出韦达定理，利用抛物线的焦点弦长公式可求得AB的值.【详解】（1）解：设抛物线C的标准方程为22ypx=．因为C的顶点在原点，焦点坐标为()2,0，所以22p=，则4p=

，故C的标准方程为28yx=．（2）解：抛物线C的准线方程为2x=−．设()11,Axy、()22,Bxy，因为直线24yx=−过点F，所以A、B到准线的距离分别为12ApdAFx==+，22BpdBFx==+．联立

2824yxyx==−可得2640xx−+=，则26440=−，所以，126xx+=，因此，12410ABAFBFxx=+=++=.18．已知等差数列na满足36691,7aaaa+=+=．(1)求na的通项公式；(

2)求数列na的前n项和nT．【答案】(1)4nan=−(2)2*2*7,3,N22712,4,N22nnnnnTnnnn−+=−+【分析】（1）设等差数列na的公差为d，然后根据题意列出关于1,ad的方程组，解出1,ad，从而可求出通项公式；（2）根据通项公式可判断

出当3n时，0na，当4n时，0na，然后分情况讨论求解即可.第11页共17页【详解】（1）设等差数列na的公差为d，由题意可得3616912712137aaadaaad+=+=+=+=，解得131ad=−=，故1(1)4naandn=+−=−．（2）设数列n

a的前n项和为nS，则21(1)7222nnndnnSan−=+=−．当3n时，270,22nnnnnaTS=−=−+；当4n时，0na，则1234nnTaaaaa=−−−+++()33nSSS=−+−32nSS=−2

792122222nn=−−−271222nn=−+．综上，2*2*7,3,N22712,4,N22nnnnnTnnnn−+=−+.19．如图，在三棱锥ABCD−中，平面ABD⊥平面BCD，E，F，N分别为,,ABBD

BC的中点，点G在EN上，22,4BCCDABBDAD=====．(1)证明：//FG平面ACD．(2)求平面EFN与平面ABC的夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析第12页共17页(2)17【分析】（1）由中位线得到两组线线平

行，再得到线面平行，进而证明面面平行，再利用面面平行的性质证明线面平行；（2）利用空间向量计算二面角的余弦值即可.【详解】（1）证明：因为E，F，N分别为,,ABBDBC的中点，所以//,//EFADENAC，因为AD平面ACD，EN平面ACD，所以//EF平面A

CD，//EN平面ACD．因为EFENE=，EF平面EFN，EN平面EFN，所以平面//EFN平面ACD．因为FG平面EFN，所以//FG平面ACD．（2）因为平面//EFN平面ACD，所以平面EFN与平面ABC的夹角即平面ACD与平面ABC的夹角．以F为坐标原点，FC的方向为x

轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．(0,0,0),(0,0,23),(0,2,0),(2,0,0),(0,2,0)FABCD−，(2,0,23),(2,2,0),(2,2,0)ACBCCD=−=

=−设平面ABC的法向量为()111,,xnyz=．0,0,ACnBCn==得11112230,220,xzxy−=+=可取(3,3,3)n=−．设平面ACD的法向量为()222,,mxyz=．第13页共

17页0,0,ACmCDm==得22222230,220,xzxy−=−+=可取(3,3,3)m=．所以31cos,7||||2121mnmnmn===．故平面EFN与平面ABC的夹角的余弦值为17．20．已知直线:20lkxyk−+=与圆22:(1)(2

)4Cxy−+−=交于A，B两点．(1)若圆心C到直线l的距离为22，求k的值.(2)是否存在过点19,44D的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出直线l与直线l的交点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)1k=或717k=(2

)不存在，理由见解析【分析】（1）由题意可知圆心坐标，利用点到直线距离公式即可求得k的值；（2）假设存在直线l，根据垂直平分线方程和19,44D的位置即可得出矛盾，即不存在过点D的直线l.【详解】（1）由圆22:(1)(2)4

Cxy−+−=可知，圆心(1,2)C，半径2r=圆心C到直线l的距离2|22|221kkdk−+==+，化简得2172470kk−+=，解得1k=或717k=．（2）解法一：直线20kxyk−+=过定点(2,0)−．因为直线l与圆C交于A，B两点

，所以2|22|21kkrk−+=+，解得1205k．若存在直线l垂直平分弦AB，则直线l必过圆心C．因为直线CD的斜率92141314CDk−==−−，所以直线AB的斜率3k=．因为1205k，所以不存在过点D的直线垂直平分弦AB．第14页共17页解法二：直线20kxyk−+=过

定点(2,0)−．若存在直线l垂直平分弦AB，则直线l必过圆心C．因为直线CD的斜率92141314CDk−==−−，所以直线CD的方程为1(1)23yx=−−+，即370xy+−=．因为直线l垂直于直线l，所以直线l的斜率为3，直线

l的方程为360xy−+=．联立370,360,xyxy+−=−+=解得11,1027,10xy=−=所以直线l与直线l的交点为1127,1010−．而2211271221010++−>，所以点1127,1010

−不在圆C内，即不存在过点D的直线l垂直平分弦AB．21．在几何体ABCDEFGH中，底面ABCD是边长为6的正方形，EAB，FBC，GCD，HDA△均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直.P是线段GF上的动点，

FPFG=.(1)若13=，求三棱锥BEFP−的体积；(2)若平面AEH⊥平面BEP，求的值.【答案】(1)33(2)15=【分析】(1)根据锥体体积公式直接求解；(2)利用空间向量运算，根据面面垂直则法向量数量积为零的原理求解.【详解】（1）将几何体ABCDEFGH补成如

图所示的长方体.由题意可得2232EHAEAH=+=，2233AAAEAE=−=，第15页共17页则四边形EFGH是边长为32的正方形.11322322EFPSEFFP===△.三棱锥BEFP−的体积113333333EFPVSAA===

△.（2）以D为坐标原点，DA，DC，DD的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.()6,0,0A，()6,6,0B，()6,3,33E，()3,6,33F，()0,3,33G，()3,0,

33H，则()0,3,33EA=−−，()3,3,0EH=−−，()0,3,33EB=−，()3,3,0FG=−−.由(3,3,0)FPFG==−−，0,1，知(33,63,33)P−−，(33,33,0)EP=−−−

.设平面AEH的一个法向量为()111,,mxyz=，则00mEAmEH==，11113330330yzxy−−=−−=即，取13y=，则()3,3,1m=−−.设平面BEP的一个法向量为()222,,xnyz=，则00nEBnEP=

=，22223330(33)(33)0yzxy−=−−+−=即，取23y=，则33,3,31n−=+.因为平面AEH⊥平面BEP，所以0mn=，则33333301−−+−=+，解得15=.2

2．已知椭圆2222:1(0)xyMabab+=上任意一点P到椭圆M两个焦点12,FF的距离之和为4，且12FPF的最大值为120．(1)求椭圆M的标准方程；(2)设A，B分别为M的左、右顶点，过

A点作两条互相垂直的直线,ACAD分别与M交于C，D两第16页共17页点，若BCD△的面积为84125，求直线CD的方程．【答案】(1)2214xy+=(2)51060xy+=【分析】（1）根据椭圆的定义和几何关系即可得解；（2）联立直线和椭圆，证明直线CD过定点6,0

5−，根据面积证明直线的另一个参数．【详解】（1）由题意可得24a=，解得2a=．设M的上顶点为E，因为12FPF的最大值为120，所以1212120,cos2FEFbFEFa==，解得1b=．故椭圆M的标准方程为2214xy+=．（2

）设直线CD的方程为()()1122,,,,xtymCxyDxy=+．联立22,440,xtymxy=++−=整理得()2222404mttyym++−+=．由韦达定理得212122224,44mtmyyyytt−−+==++．因为(2,0),2ACAD−=，所以()

()1212220xxyy+++=，即()()1212220tymtymyy+++++=，则()()2212121(2)(2)0tyymttyym++++++=，()22222421(2)(2)044mmt

tmttmtt−−+++++=++．去分母整理得2516120mm++=，解得65m=−或2m=−（舍去）．直线CD的方程为65xty=−，直线CD过定点6,05−．()()12212212,5464,254tyytyyt+=+−=+()2212121

221683225648412425525425BCDtSyyyyyyt+=+−=+−==+△，第17页共17页解得24t=或29241t=−（舍去）．故满足条件的直线CD的方程为625xy=−，即51060xy+=．