【文档说明】2022-2023学年广东省惠州市博罗县高二上学期期中数学试题解析版.doc，共(15)页，1.654 MB，由小喜鸽上传

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第1页共15页2022-2023学年广东省惠州市博罗县高二上学期期中数学试题一、单选题1．已知向量()3,2,5a=−，()1,5,1b=−，则3ab−=（）A．8,11(),14−B．9,3(),15−C．10,1(),16−D．(0

,13,2)【答案】C【分析】由空间向量的坐标运算求解【详解】()3,2,5a=−，()1,5,1b=−，则3(10,1,16)ab−=−故选：C2．已知圆的一般方程为224240xyxy−−++=，其圆心坐标是（）A．(1,2)B．(1,2)−C．(2,1)−D．(1,2)

−−【答案】C【分析】根据圆的方程即得.【详解】因为圆220xyDxEyF++++=的圆心为,22DE−−，则圆224240xyxy−−++=的圆心坐标是(2,1)−.故选：C．3．若直线yaxc=+经过第一、二、三象限，则有（）A．0,0

acB．0,0acC．0,0acD．0,0ac【答案】A【分析】根据直线所过的象限判断斜率、截距的符号即可.【详解】因为直线yaxc=+经过第一、二、三象限，所以直线的斜率0a，在y轴上的截距0c.故选：A4．已知()1,0,1a=r，(),1,2bx=，且3a

b=，则向量a与b的夹角为（）A．5π6B．2π3C．π3D．6【答案】D【分析】根据向量数量积列出方程，求出x＝1，利用向量夹角公式计算出答案.第2页共15页【详解】∵23abx=+=∴x＝1，∴()1,1,2b=，∴33cos,2

11114ababab===+++，又∵,0,πab，∴向量a与b的夹角为6故选：D.5．若直线l的方向向量为(3,1,2)a=−，平面的法向量为(6,2,4)n=−−，则（）A．l⊥B．l∥C．lD．l与斜交【答案】A【分析】根据平面的法向

量与直线的方向向量平行，从而得到直线与平面垂直.【详解】由题意得：2na=−，则//na，l⊥.故选：A6．设x，yR，向量(),1,1ax=，(1,,1)by=，(2,4,2)c=−且ab⊥，//bc，则||ab+=（）A．22B．10C．3D．

4【答案】C【分析】根据ab⊥，//bc，解得x，y，然后由空间向量的模公式求解.【详解】因为向量(),1,1ax=，(1,,1)by=，(2,4,2)c=−且由ab⊥得10xy++=，由//bc，得124y=−解得2,1yx=−=，所以向量()1,1,1a

=，(1,2,1)b=−，所以()2,1,2ab+=−，所以()222||2123ab+=+−+=故选：C7．已知()0,2A，()2,1B，过点()1,0C且斜率为k的直线l与线段AB有公共点，则k的取值范围是（）A．2,1−B．()(),21,−−+C．()2,

1−D．(),21,−−+第3页共15页【答案】D【分析】画出图形，由图可知，BCkk或ACkk，从而可求得答案【详解】因为过点()1,0C且斜率为k的直线l与线段AB有公共点，所以由图可知，BCkk或ACkk，因为10121BCk−==−或

20201ACk−==−−，所以1k或2k−，故选：D8．直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为（）A．2x＋3y－12＝0B．2x＋3y＋12＝0C．3x－2y－6＝0D．2x＋3y＋6＝0【答案】B【分析】先求出定点M的坐标，再设出与

直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程，利用点到直线距离公式求出答案.【详解】由ax＋y＋3a－1＝0得()()310xay++−=，由3010xy+=−=，得31xy=−=，∴M（－3，1

）．设直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为()2306xyCC++=−，∴636634949C−+−−++=++，解得:C＝12或C＝－6（舍去），∴直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为2x＋3y＋12＝0．故选：B．第4页共15页二、多选题9．已知向量()(

)4,2,4,6,3,2ab=−−=−，则下列结论不正确的是（）A．()10,5,2ab+=−−B．()2,1,6ab−=−C．10ab=D．6a=【答案】BC【分析】利用向量坐标运算法则直接求解．【详解】解：向量(4,2,4),

(6,3,2)ab=−−=−，(10ab+=，5−，2)−，故A正确；(2ab−=−，1，6)−，故B错误；246822ab=+−=，故C错误；||164166a=++=，故D正确．故选：BC．10．已知直线12:210,:(1)10lmxylxmy++=

+++=，则下列结论正确的是（）A．若12ll∥，则2m=−B．若12ll∥，则1m=或2m=−C．若12ll⊥，则23m=−D．若12ll⊥，则23m=【答案】AC【分析】根据两直线平行列出方程，求出1m=或2m=−，经检验，1m=不合要求；再根据

两直线垂直列出方程，求出23m=−.【详解】令(1)20mm+−=，解得：1m=或2m=−．当1m=时，1l与2l重合；当2m=−时，12ll∥．A正确，B错误．若12ll⊥，则2(1)0mm++=，解得23m=−，C正确，D错误．故选：AC11．下列说法正确的是（）

A．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率B．直线1yx=+与直线2yx=+的距离为1C．直线20xy−−=与两坐标轴围成的三角形的面积是2D．经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为20xy+−=【答案】AC第5页共15

页【分析】对于A，当直线与x轴垂直时没有斜率；对于B，两平行线之间的距离公式可以判断；对于C，直线20xy−−=与两坐标轴交点为(0,2)−，(2,0)，由此能判断；对于D，经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为0xy−=，20xy+−=．【详解】对于A，任意一条直线都有倾

斜角，但当直线与x轴垂直时没有斜率，故A正确；对于B，直线1yx=+与直线2yx=+的距离为21222−=，故B错误；对于C，直线20xy−−=与两坐标轴交点为(0,2)−，(2,0)，直线20xy−−=与两坐标轴围成的三角形的面积是12222S==，故C正确；对于D，当直线在x

轴上截距0a=时，直线在y轴上截距0b=，此时直线过点(0,0)，(1,1)，直线方程为11yx=，即0xy−=，当直线在x轴上截距0a时，直线在y轴上截距ba=，设直线方程为1xyaa+=，把(1,1)代

入得111aa+=，解得2a=，直线方程为221xy+=，即20xy+−=，经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为0xy−=，20xy+−=，故D错误．故选：AC．12．如图，在长方体1111ABCDABCD−中，13

33ABADAA===，点P是线段1AC上的动点，则下列结论正确的是（）A．当112ACAP=时，B、P、1D三点共线B．当1APAC⊥时，1APDP⊥C．当113ACAP=时，1//DP平面1BDCD．当115ACAP=时，1AC⊥平面1DAP【答案】ACD第

6页共15页【分析】如图，以D为原点，1DADCDD，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系Dxyz−，设11ACkAP=，表示出11,,APAPDP的坐标，再逐个分析判断即可.【详解】解：如图，以D为原点，1DADCDD，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系Dxyz−：则1(0,0,0)(0,3,0)

(0,0,1)DCD，，，11(1,0,0)(1,0,1)(1,3,0)(0,3,1)AABC，，，，设11ACkAP=，1(1,3,1)AC=−−，则1131,,APkkk=−−，可得1

1111311,,DPDAAPkkk=+=−−，11131,,1APAAAPkkk=+=−−，对于A：当112ACAP=时，则点P为对角线1AC的中点，根据长方体性质可得1,,BPD三点共线，故A正确；对于B：当1APAC⊥时，∴113110APACkkk

=++−=，解得5k=，所以134,,555AP=−，1431,,555DP=−则1134431434,,,,0555555252525APDP=−−=−+−，第7页共15页因此1APDP⊥不正确，故B

错误；对于C：当113ACAP=时，1231,,333DP=−，设平面1BDC的法向量为(,,)nxyz=，1(1,3,0),(0,3,1)DBDC==，∴30nDBxy=+=，130nDCyz=+

=，当1y=−时，3x=，3z=，故(3,1,3)n=−，∴1231330333nDP=−−=，∴1nDP⊥，又1DP平面1BDC，∴1//DP平面1BDC，故C正确；对于D：当115ACAP=时，可

得134,,555AP=−，1(1,01)DA=−，设平面1DAP的法向量为(,,)mabc=，则1340555mAPabc=−++=，10mDAac=−=，取1a=−，则31bc==−，，∴(1,3,1)m=−−，而1(1,3,1)

AC=−−，∴1//ACm，∴1AC⊥平面1DAP，故D正确．故选：ACD三、填空题13．直线34120xy++=的斜率为______．【答案】34−##0.75−【分析】化直线方程为斜截式，可得出所求直线的斜率.【详解】化直线方程为斜截式得334yx=−−，故直线34120xy+

+=的斜率为34−.故答案为：34−.14．我国近代数学家苏步青主要从事微分几何学和计算几何学等方面的研究，在仿射微分几何学和射影微分几何学等研究方面取得了出色成果．他的主要成就之一是发现了四次代数锥面：对于空间中的点P（x，y，z），若其坐标满足关于x，y，z的四次代数方程式，称点P的轨迹为四

次代数曲第8页共15页面．若点K（1，k，0）是四次曲面：4329xyz++=上的一点，则k＝___．【答案】2【分析】由题意得319k+=，从而可求出k的值【详解】因为点K（1，k，0）是四次曲面：4329xyz++=上的一点，所以4319k+=，得38k=，解得2k=，故

答案为：215．过直线230xy+−=和直线210xy−+=的交点，且斜率为-1的直线的一般式方程为______.【答案】20xy+−=【详解】解析过程略四、双空题16．如图所示，已知平行六面体1111ABCDABCD−中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱1AA

的长为2，11120AABAAD==.若11ACxAByADzAA=++，则xyz++=______；则1AC的长为______.【答案】32【解析】根据条件可得111ACABBCCCABADAA=++=++,再结合条件利用向量相等求出x,

y,z的值;结合条件直接由11||||ACABADAA=++,求出1||AC即可.【详解】解:由题意,知在平行六面体1111ABCDABCD−中BCAD=,11CCAA=,则111ACABBCCCABADAA=++=++,因为11ACxAByADzAA=++,所以1xyz===,所以3xyz++=

.因为底面ABCD是边长为1的正方形,侧棱1AA的长为2,11120AABAAD==,所以11||||ACABADAA=++第9页共15页222111222ABADAAABADABAAADAA=+++++11429041204120cos

coscos=+++++2=.故答案为:3;2.【点睛】本题考查了利用向量相等求参数,向量的数量积和向量的模,考查了方程思想,属中档题.五、解答题17．已知平面直角坐标系内两点A（4，0），B（0，3）.(1)求直线AB的方程；(2)若直线l平行于直线AB，且到直线AB的距离为2，求直线l的

方程.【答案】(1)34120xy+−=(2)3420xy+−=或34220xy+−=【分析】（1）由直线方程的两点式可求解；（2）根据直线的平行关系及平行直线之间的距离公式可求解.【详解】（1）∵A（4，0），B（0，3）由两点式可得直线AB的方程为043

004yx−−=−−，即34120xy+−=.（2）由（1）可设直线l：340xyC++=，∴2212234C+=+，解得2C=−或22C=−.∴直线l的方程为3420xy+−=或34220xy+−=.18．根

据下列条件求圆的方程：(1)圆心在点O（0，0），半径r＝3；(2)圆心在点O（0，0），且经过点M（3，4）；(3)以点A（2，5）、B（4，1）为直径．【答案】(1)229xy+=(2)2225xy+=(3)()()22335−+

−=xy【分析】（1）根据题意，直接可得答案；第10页共15页（2）求出圆的半径，代入圆的标准方程，可得答案；（3）根据题意，求出圆心的坐标和半径，将其代入圆的标准方程，可得答案．【详解】（1）根据题意，圆心为点O（0，0），半径r＝3，则圆的方程为x2+y2＝

9；（2）圆心在点O（0，0），且经过点M（3，4），所以圆的半径r916=+=5，圆的方程为x2+y2＝25；（3）圆的圆心为AB的中点，其坐标为（3，3），半径r12=|AB|141652=+=，所以圆的方程为（x﹣3）2+（y

﹣3）2＝5．19．已知(1,4,2),(2,2,4)ab=−=−．(1)若()(3)kabab+⊥−，求实数k的值；(2)若12cb=，求cos,ac的值．【答案】(1)7427(2)1442−【分析】（1）根据已知向量垂直有()(3)0kabab+−=，

应用空间向量数量积的坐标表示列方程，求k的值.（2）由题设得()1,1,2c=−，应用空间向量夹角的坐标表示求cos,ac即可【详解】（1）()(1,4,2)(2,2,4)2,42,24kabkkkk+=−+−=−+−+，()3(1,4,2)3(2,2,4)7,2,14ab−=

−−−=−−，由()(3)kabab+⊥−，即()(3)0kabab+−=，∴7(2)2(42)14(24)0kkk−−+−−+=，解得:7427k=；（2）由已知得：()11,1,22cb==−，()1,4,2a=

−，()()114122114cos,====421164114216acacac−++−−−++++.20．如图，在正方体1111ABCDABCD−中，棱长为2，M、N分别为1AB、AC的

中点．第11页共15页(1)证明：//MN平面11BCCB；(2)求1AB与平面11ABCD所成角的大小．【答案】(1)证明见解析(2)30°【分析】（1）以点D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，1DD为z轴建立空间直角坐标系，求出MN和平面11B

CCB的法向量，利用空间向量证明即可，（2）求出平面11ABCD的法向量，利用空间向量求解即可.【详解】（1）如图，以点D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，1DD为z轴建立空间直角坐标系．则()2,0,0A，()0,2,0C，()12,0,2A，(2,2,0)B，()12,2

,2B，()2,1,1M，()1,1,0N．所以()1,0,1MN=−−，因为DC⊥平面11BCCB,第12页共15页所以平面11BCCB的一个法向量为(0,2,0)DC=，因为0MNDC=，所以MNDC

⊥，因为MN平面11BCCB，所以//MN平面11BCCB（2）()0,2,0DC=，()12,0,2DA=，()10,2,2AB=−．设平面11ABCD的一个法向量为(),,nxyz=则122020DAnxzDCny=+===，令1z=，则=1x−，0y=，

所以()1,0,1n=−设1AB与平面11ABCD所成角为，则11121sincos,2222ABnABnABn−====．因为0180，所以1AB与平面11ABCD所成角为30°．21．如图，在正四棱柱111

1ABCDABCD−中，已知2ABAD==，15AA=，E，F分别为1DD，1BB上的点，且11DEBF==．(1)求证：BE⊥平面ACF：(2)求点B到平面ACF的距离．【答案】(1)证明见详解.(2)43.第13页共15页【

分析】（1）以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，1DD为z轴建立空间直角坐标系通过证明BE与平面ACF的一个法向量重合来证明BE⊥平面ACF.（2）利用点面距离公式即可计算出点B到平面ACF的距离.【详解】（1）以D为坐标原点，DA

为x轴，DC为y轴，1DD为z轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则()()()()()2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,1,2,2,4ABCEF,设面ACF的一个法向量为()=,,nxyz，()()=2,2,0,

0,2,4ACAF−=，可得00nACnAF==，即220240xyyz−+=+=，不妨令1z=则()=2,2,1nBE−−=,BE⊥平面ACF.（2）()=0,2,0AB，则点B到平面ACF的距离为43ABnn=.22．如图，在四棱锥PABMN−中，PNM△是边

长为2的正三角形，ANNP⊥，ANBM∥，3AN=，1BM=，22AB=，C，D分别是线段AB，NP的中点.(1)求证：平面ANMB⊥平面NMP；第14页共15页(2)求直线CD与平面ABP所成角的正

弦值.【答案】(1)证明见详解.(2)3620【分析】（1）过B作BEMN∥交AN于E，利用勾股定理证得AEBE⊥，进而得到ANNM⊥，进而证得AN⊥平面NMP，故平面ANMB⊥平面NMP；（2）以D为原点建立空间直角坐标系，求出平面ABP的法向量n，再代入sincos

,CDnCDnCDn==算得结果.【详解】（1）如图，在四边形ABMN中，过B作BEMN∥交AN于E，在AEB△中，得2AE=，2,22BEAB==，则222ABAEBE=+，得AEBE⊥，,BEMN

ANNM⊥∥，又由已知条件,,,ANNPNMNPNNMNP⊥=平面NMP，故AN⊥平面NMP，又AN平面,ANMB平面ANMB⊥平面NMP.（2）PMN为等腰三角形，DMNP⊥，又因为AN⊥平面MNP，以D为原点建立空间直角坐标系，如图：可得()()()

()()()0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,3,0,1,0,3,0,3,1DPNMAB−−，13,,222C−，设平面ABP的法向量为()()(),,,1,3,2,2,0,3nxyzABAP==−=−，根据00

nABnAP==，得320230xyzxz+−=−=，令3x=，则3,23yz==，得33,,23n=，第15页共15页又13,,222DC=−，设直线CD与平面ABP所成角为，则3

143622sincos,2023053CDnCDnCDn−++====，故直线CD与平面ABP所成角的正弦值36sin20=.