【文档说明】2022-2023学年广东省惠州市华罗庚中学高二上学期12月月考数学试题解析版.doc，共(15)页，1.609 MB，由小喜鸽上传

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第1页共15页2022-2023学年广东省惠州市华罗庚中学高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．如图，在三棱柱111ABCABC-中，M为11AC的中点，若→→=ABa，BCb→→=，1AAc→→=，则BM→可表示为（）

A．1122abc→→→−++B．1122abc→→→++C．1122abc→→→−−+D．1122abc→→→−+【答案】A【分析】结合已知条件，利用空间向量的线性运算即可求解.【详解】由题意可知，1111111122BMBCCCCMBCAACABCAACA→→→→→→→→→→=++=++=++

，因为CAABBC→→→=−−，→→=ABa，BCb→→=，1AAc→→=，所以111()222BMbcababc→→→→→→→→=++−−=−++.故选：A.2．若直线l的方向向量(1,2,1)a=−v

，平面的一个法向量()2,4,mk=−−uv，若l⊥，则实数k=A．2B．10−C．2−D．10【答案】A【解析】根据l⊥，可知l的方向向量与平面的法向量共线，从而得到k的值.【详解】l⊥Ql的方向向量

()1,2,1a=−v与平面的法向量()2,4,mk=−−uv共线.am=vuv，即12241k=−=−−=，解得122k=−=，故选A项.第2页共15页【点睛】本题考查空间向量的位置关系，通过向量共线求参数的值，属于简单题

.3．直线1l的斜率是134k=，直线2l经过点()12A，，()13Ba−，，12ll//，则a的值为（）A．3−B．1C．103D．74【答案】C【解析】求出2l的斜率，根据直线平行可得斜率相等即可求出.【详解】Q直线2l经过点()12A，，()1

3Ba−，，212ka=−，12//llQ，1324a=−，解得103a=.故选：C.4．已知直线l1：2x﹣y﹣2=0与直线l2：3x+y﹣8=0的交点为P，则点P到直线l：y=﹣2x5+的距离为（）A．45B．3055

−C．6555−D．655−【答案】C【分析】将两直线方程联立求出交点p，再由点到直线的距离公式即可求解.【详解】联立220380xyxy−−=+−=，得P（2，2），∴点P（2，2）到直线l：y=﹣2x5+的距离6565555d

−−==．故选：C【点睛】本题考查了解二元一次方程组、点到直线的距离公式，属于基础题.5．方程22222210xyaxayaa+++++−=表示圆，则a的取值范围是（）A．1aB．203a−C．20a−D．223a−【答案】A【分析】将一般式转化为标准式，然后利用20r

列不等式，解不等式即可.【详解】方程22222210xyaxayaa+++++−=，即为()()221xayaa+++=−，第3页共15页若它表示圆，需满足10a−，故1a.故选：A．6．已知直线240xy

−+=经过椭圆22221(0)xyabab+=的顶点和焦点，则椭圆的标准方程为（）A．2212016xy+=B．221204xy+=C．2211612xy+=D．221164xy+=【答案】B【分析】根据椭圆的标准方程以及焦点与顶点的

定义，利用直线的方程求出点的坐标，进而求出,,abc，可得答案.【详解】由240xy−+=，令=0x，解得=2y；令=0y，4x=−，由22221(0)xyabab+=，则该椭圆的一个焦点为()4,0−，一

个顶点为()0,2，故=4c，=2b，则222=+=20acb，即椭圆的标准方程为221204xy+=.故选：B.7．已知点O为坐标原点，点3,02F为抛物线C：22ypx=的焦点，动直线0xmyn−−=与抛物线C交于A，B两点，若OAOB⊥，则

（）A．6m=B．6n=C．6mn=D．6nm=【答案】B【分析】由抛物线的焦点可得p，抛物线的方程，联立直线方程和抛物线的方程，消去x，可得y的二次方程，运用韦达定理和两直线垂直的条件，化简整理可得结论．【详解】解：3(,0)2F为抛物线2:2Cypx=的焦点，可得3

22p=，即3p=，抛物线的方程为26yx=，联立26xmynyx=+=可得2660ymyn−−=，设21(6yA，1)y，22(6yB，2)y，则236240mn=+，126yym+=，126yyn=−，由OAOB⊥可得1222121236166yyyyyy==−，即为636n=

，可得6n=，故选：B．【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数第4页共15页的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦

点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．8．已知双曲线2214yx−=的左、右顶点为A、B，焦点在y轴上的椭圆以A、B为顶点，且离心率为32，过A作斜率为k的直线l交双曲线于另一点M，交椭圆于

另一点N，若ANNM=uuuruuuur，则k的值为（）A．233B．1C．33D．223【答案】A【分析】求出椭圆的方程，设点()00,Nxy，可得出()0021,2Mxy+，由点N在椭圆上，点M在双曲线上，可得出关于0x、0y的方程组，求出

0x、0y的值，利用斜率公式可求得k的值.【详解】设所求椭圆的标准方程为()222210yxabab+=，半焦距为()22ccab=−，双曲线2214yx−=的左顶点为()1,0A−，右顶点为()1,0B，由于椭圆22221y

xab+=以A、B为顶点，则1b=，该椭圆的离心率为32cea==，所以，22132bcabac===−，解得213abc===，所以，椭圆的方程为2214yx+=，设点()00,Nxy，由于ANNM=uuuruuuur，则N为AM的中点，则点()0021,2M

xy+，由于点N在椭圆上，点M在双曲线上，所以，()220022001442114yxyx+=+−=，解得00123xy==，所以，002313ykx==+.故选：A.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于分析出点N为AM的中点，结合点N在椭圆上，点M

在双曲线上列方程组求出点N的坐标，进而利用斜率公式求解.二、多选题9．已知空间向量()211a=−−r，，，()345b=r，，，则下列结论正确的是（）第5页共15页A．()56aab⊥+rrrB．53ab=rrC．()2//aba+r

rrD．ar在br上的投影向量为3211052−−−，，【答案】ABD【分析】根据向量平行、垂直的坐标表示可判断AC；直接求向量的模可判断B；分别求出ar在br上的投影和与br同向的单位向量，然后根据投影向量的定义计

算可判断D.【详解】因为56(10,5,5)(18,24,30)(8,19,35)ab+=−−+=rr所以(56)(2,1,1)(8,19,35)1619350aab+=−−=−−+=rrr，所以(56)aab⊥+rrr，A正确；因为5541156

a=++=r，339162556b=++=r，所以B正确；2(1,2,7)ab+=−rr，因为211127−−−，所以2ab+rr与ar不平行，故C错误；ar在br上的投影6452252abb−−+==−rrr，与br同向的单位向量为345525252bb=

rr，，，所以ar在br上的投影向量为2345321(,,)(,,)21052525252−=−−−，D正确.故选：ABD10．下列说法正确的是（）A．直线32(R)yaxaa=−+必过定点()3,2B．过()11,xy，()22,xy两点的直

线方程为112121yyxxyyxx−−=−−C．直线310xy++=的倾斜角为60D．直线40xy−−=与两坐标轴围成的三角形的面积是8【答案】AD【分析】对于A，根据直线过定点的求法即可判断；对于B，利用两点

式方程判断；对于C，求出直线的斜率，从而求出直线的倾斜角即可判断；对于D，求出三角形的面积即可判断．【详解】对于A，因为直线32yaxa=−+可以化为：()23yax−=−，令x－3＝0，则y－2＝0，解得x＝3，y＝2，所以直线过定点(3，2)，故A正确；第6页共

15页对于B，当1212,xxyy时，过()11,xy，()22,xy两点的直线方程为112121yyxxyyxx−−=−−，故B不正确；对于C，直线310xy++=的斜率3k=−，所以倾斜角为120，故C不正确；对于D，直线x－y－4＝0与两坐标轴的交点分别为(0

，－4)，(4，0)，所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积是：12448=，故D正确．故选：AD．11．若方程22131xytt+=−−所表示的曲线为C，则下面四个说法中错误的是（）A．若13t，则C为椭圆B．若C为椭圆，且焦点在y轴上，则23tC．曲线C可能是圆D．

若C为双曲线，则1t【答案】AD【解析】根据题意依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，当2t=时，曲线为C表示圆，故不正确；对于B选项，当曲线C为焦点在y轴上的椭圆时，则130tt−−，解得23t，故正确；对于C

选项，当2t=时，曲线为C表示圆的方程，故正确；对于D选项，当曲线C为双曲线时，则()()310tt−−，解得1t或3t，故错误；综上，错误的是AD.故选：AD.【点睛】本题考查椭圆，双曲线的方程，考查运算能力，是基础题.12．已知双曲线22:13yCx−=，则下

列说法正确的是（）A．双曲线C的顶点到其渐近线的距离为2B．若F为C的左焦点，点P在C上，则满足2FMMP=uuuuruuur的点M的轨迹方程为22(32)34xy+−=C．若A，B在C上，线段AB的中点为()2,2，则线段AB的方程为340xy−−=D．若P为双曲线上任意一点，点P到点()

2,0和到直线12x=的距离之比恒为2【答案】BCD【分析】根据点到直线距离公式求顶点到其渐近线的距离，判断A，根据曲线轨迹方程的求法求出点M的轨迹方程，判断B，由点差法判断C，根据两点距离公式和点到直线的距离公式计算点P到第7页共15页点()2,0和到直线12x=的距离由此判断D.【详

解】双曲线22:13yCx−=的顶点为(1,0)−，(1,0)，渐近线方程为30xy=，顶点(1,0)−到渐近线30xy=的距离33231d−==+，顶点(1,0)到渐近线30xy=的距离33231d−==+，A错，双曲线22:13yCx−=的左焦点F的坐标

为(2,0)−，设(,)Mxy，(,)Pxy，∵2FMMP=uuuuruuur，∴(2,)2(,)xyxxyy+=−−，∴322xx+=，32yy=，又(,)Pxy在双曲线C上，∴2233+22123yx−=，∴22(

32)34xy+−=，B对，设11(,)Axy，22(,)Bxy，∵线段AB的中点为()2,2，∴12124,4xxyy+=+=，由已知可得221122221313yxyx−=−=，所以12121

2123-()(-)xxxxyyyy++()()-=0，∴1212-3-yyxx=，∴直线AB的斜率为3，∴线段AB的方程为23(2)yx−=−，即340xy−−=，联立340xy−−=与双曲线C的方程可得223(3-2)3xx−=，化简得261

270xx−+=，方程261270xx−+=有两解，所以直线340xy−−=与双曲线相交，满足要求，C对，设00(,)Pxy，点P到点()2,0的距离222200000(2)4433dxyxxx=−+=

−++−，∴21000441=|21|dxxx=−+−，又点P到到直线12x=的距离201||2dx=−，∴点P到点()2,0和到直线12x=的距离之比恒为2，D对，故选：BCD.第8页共15页三、填空题13．直线1yx=+与圆2

2230xyy++−=交于AB，两点，则AB=________．【答案】22【分析】方法一：先将圆的方程化成标准方程，求出圆心，半径，再根据点到直线的距离公式以及弦长公式即可求出．【详解】［方法一］：【通性通法】【最优解】弦长公式的应用根据题意，圆的方程可

化为22(1)4xy++=，所以圆的圆心为(0,1)−，且半径是2，弦心距2201121(1)d++==+−，所以24222AB=−=．故答案为：22.［方法二］：距离公式的应用由221230yxxyy=+++−=解得：

01xy==或21xy=−=−，不妨设(0,1),(2,1)AB−−，所以22(02)(11)22AB=+++=．故答案为：22.［方法三］：参数方程的应用直线1yx=+的参数方程为202212xtyt=+=+，将其代入

22230xyy++−=，可得2212212130222ttt++++−=，化简得2220tt+=，从而120,22tt==−，所以1222ABtt=−=．故答案为：22.【整体点评】方法一：利用圆的弦长

公式直接求解，是本题的通性通法，也是最优解；方法二：直接求出弦的端点坐标，再根据两点间的距离公式求出，是求解一般弦长的通性通法，有时计算偏麻烦；方法三：直线参数方程中弦长公式的应用．14．已知点P是椭圆22221(0)xyabab

+=上的一点，12,FF分别为椭圆的左、右焦点，已知12FPF=120°，且12||3||PFPF=，则椭圆的离心率为___________.第9页共15页【答案】134【详解】设21,3,24PFxPFxax===

，由余弦定理知22(2)13cx=，所以134ca=，故填134.15．已知O为坐标原点，向量()211，，a=−r，点()()3,1,4,2,2,2AB−−−−若点E在直线AB上，且aOE⊥uuurr，则点E的坐

标为__________．【答案】6142,,555−−【分析】利用点E在直线AB上，可得(3,1,42)OEttt=−+−−−uuur，然后利用0OEOEaa⊥=uuuruuurrr，即可求解E的坐标.【详解】由题意可得：()1,1,2AB=−−uuur，∵点E

在直线AB上，∴OEOAAEOAtAB=+=+uuuruuruuuruuruuur(3,1,4)(1,1,2)t=−−+−−(3,1,42)ttt=−+−−−，又∵aOE⊥uuurr，则()()()23111420OEattt=−−++−−+−=uuurr，∴9

5t=，故点E的坐标为6142(,,)555−−.故答案为：6142(,,).555−−四、双空题16．已知椭圆22218xya+=的左、右焦点分别为1F，2F，其离心率13e=.若P是椭圆上任意一点，A是椭圆的右顶点，则1

2PFF△的周长为______，1PFPAuuuruuur的最大值为______.【答案】812【分析】由椭圆的离心率公式可求得椭圆a，b，c，再根据椭圆的定义可求得12PFF△的周长，由向量的数量积的坐标运算表示1PFPAuuuruuur，由二次函数的性质和椭圆的几何

性质可求得1PFPAuuuruuur的最大值.【详解】解：因为椭圆22218xya+=的离心率13e=，所以13ca=，又28b=，即22b=，所以3a=，1c=.所以22198xy+=，()110F−，，()30A，，122+28aFFcP==V，设椭圆上的

一点(),Pxy，则()()()12113499PFPAxyxyx=−−−−=−−−uuuruuur，，，第10页共15页所以当3x=−时，1PFPAuuuruuur取得最大值12，故答案为：8；12.五、解答题17．已知空间

中三点(0,2,3),(2,1,6),(1,1,5)ABC−−，设aAB=ruuur，bAC=ruuur．(1)求向量ar与向量br的夹角；(2)若kab+rr与2kab−rr互相垂直，求实数k的值．【答案】(1)60o(2)1334k+=或1334k−=.【分

析】（1）先求出向量ar与向量br的坐标，然后利用夹角公式求解即可，（2）求出kab+rr与2kab−rr的坐标，由kab+rr与2kab−rr互相垂直，可得()(2)0kabkab+−=rrrr，从而可求出实数k的值.【详解】（1）∵空间中三点(0,2,3)

,(2,1,6),(1,1,5)ABC−−，∴(2,1,3),(1,3,2)aABbAC=−−==−=urruuurruu，设向量ar与向量br的夹角为，∴23671cos1421414baab−++====rrrr，又[0,180]oo，∴60=o，即

向量ar与向量br的夹角为60o.（2）∵()21,3,32kabkkk+=−+−−+rr，()222,6,34kabkkk−=−−−+−rr且()(2)kabkab+⊥−rrrr，∴()()()()()()22634210332kkk

kkk−−−−++−−+−++=，即2240kk−−=∴1334k+=或1334k−=.18．平面直角坐标系中，已知ABC三个顶点的坐标分别为(1,2)A−，(3,4)B−，(0,6)C.（1）求BC边上的高所在的直线方程；（2）求ABC的面积.【答案】（1）3210xy+−=

；（2）5第11页共15页【分析】（1）写出BC边所在的直线的斜率，即可求出BC边上高的斜率，根据点斜式写出方程；（2）利用点到直线的距离求三角形的高，再根据两点间的距离求三角形的底BC，即可得解.【详解】（1）直线BC的斜率6420(3)3BCk−==−−，则BC边上高所

在直线斜率32k=−，则BC边上的高所在的直线方程为32(1)2yx−=−+，即3210xy+−=.（2）BC的方程为263yx=+，23180xy−+=.点A到直线BC的距离22|2(1)3218|10131332d−−+==+，22||(03)(64)13BC=++

−=，则ABC的面积111013||1352213SBCd===【点睛】本题主要考查了直线方程的点斜式，垂直直线斜率间的关系，点到直线的距离，属于中档题.19．（1）求与椭圆22195xy+=有共同焦点且过点()

3,2的双曲线的标准方程；（2）已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点()3,Mm−到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程和m的值．【答案】（1）2213xy−=；（2）28yx=−，26m=．【详解】（1）由题意得可得椭圆的焦点坐

标为()2,0和()2,0−，设出双曲线的方程：22221xyab−=，得224ab+=，又双曲线过点()3,2，可得22921ab−=，从而求解,ab的值，得到双曲线的方程；（2）设抛物线的方程为22ypx=−，根据抛物线的定义点到焦点的距离等

于5等于点到准线的距离为5，即352p+=，求解p的值，得到抛物线的方程，从而求解实数m的值．（1）椭圆22195xy+=的焦点为()2,0，()2,0−，设双曲线的标准方程为22221xyab−=（0a

，0b），则224ab+=．又Q双曲线过点()3,2，22921ab−=．综上，得23a=，21b=，所求双曲线的标准方程为2213xy−=．（2）设抛物线方程为22ypx=−（0p），则焦点F,02p−，准线方程为2px=，第12页共15页根据抛物线

的定义，点到焦点的距离等于5，也就是到准线的距离为5，则352p+=，4p=，因此，抛物线方程为28yx=−，又点()3,m−在抛物线上，于是224m=，26m=．20．在棱长为a的正方体1111ABCDABCD−中，E、F分别是11CD与AB的中点.

(1)求11AB与截面1AECF所成角的正弦值；(2)求点B到截面1AECF的距离．【答案】(1)63；(2)66a.【分析】(1)以D为原点，DA、DC、1DD分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解；(2)根据(1)中空间直角坐标系，利用向量法

即可求解.【详解】（1）以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz−，则(Fa，2a，0)，(Ba，a，0)，(0C，a，0)，1(Aa，0，)a，(0E，2a，)a，1(Ba，a，)a，则1(AEa−uuuv＝，2a，0)，1(0AFuuuuv＝，2a，)a−，11(

0AB=uuuur，a，0)，第13页共15页设平面1AECF的一个法向量为(nx=r，y，)z，则1100nAEnAF==uuuvruuuuvr，即2020xyyz−=−=，取1

x=，则(1n=r，2，1)，设11AB与截面1AECF所成角为，则11111126sin,36nABacosnABanABuuuuvruuuuvruuuuvr＝＜＞＝＝＝，∴11AB与截面1AECF所成角正弦值为63．（2）由(1)知(0

FBuuuv＝，2a，0)，平面1AECF的一个法向量为(1n=r，2，1)，∴点B到截面1AECF的距离||||66||141nFBadan===++ruuurr．21．已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3).（1）求|MQ|的最大值和最小

值；（2）求32yx−+的最大值和最小值.【答案】（1）最大值为62，最小值为22；（2）最大值为2＋3，最小值为2－3.【分析】（1）求出圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝22，即得解；（2）可知32yx−+表示直线MQ的斜率k.

直线MQ的方程kx－y＋2k＋3＝0，解不等式2|2723|1kkk−+++≤22即得解.【详解】（1）由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，∴圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝22.又|QC|＝22(22)(73)42++

−=，∴|MQ|max＝42＋22＝62，|MQ|min＝42－22＝22.（2）可知32yx−+表示直线MQ的斜率k.设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.∵直线MQ与圆C有交点，∴2|2723|1kkk−+++≤22，可得2－3≤k≤2＋3，

第14页共15页∴32yx−+的最大值为2＋3，最小值为2－3.22．平面直角坐标系xOy中，椭圆C：()222210xyabab+=＞＞的离心率是32，抛物线E：22xy=的焦点F是C的一个顶点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交

与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．（i）求证：点M在定直线上;（ii）直线l与y轴交于点G，记PFG△的面积为1S，PDM△的面积为2S，求12SS的最大值及取得

最大值时点P的坐标．【答案】（Ⅰ）2241xy+=;（Ⅱ）（ⅰ）见解析；（ⅱ）12SS的最大值为94，此时点P的坐标为21(,)24【详解】试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的离心率和焦点求方程；（Ⅱ）（ⅰ）由

点P的坐标和斜率设出直线l的方程和抛物线联立，进而判断点M在定直线上；（ⅱ）分别列出1S，2S面积的表达式，根据二次函数求最值和此时点P的坐标．试题解析：（Ⅰ）由题意知：2232aba−=，解得2ab=．因为抛物线的焦点为10,2F

，所以11,2ab==，所以椭圆的方程为2241xy+=．（Ⅱ）（1）设2,(0)2mmPm，由22xy=可得yx=，所以直线l的斜率为m，其直线方程为2()2mymxm−=−，即22mymx=−．第15页共15页设()()()112200,,

,,,AxyBxyDxy，联立方程组2222mymxxy=−=消去y并整理可得()223441410mxmxm+−+−=，故由其判别式0可得025m+且3122441mxxm+=+，故312022241xxmxm+==+,代入22mymx=−

可得()202241mym=−+，因为0014yxm=−，所以直线OD的方程为14yxm=−．联立14yxmxm=−=可得点的纵坐标为14y=−，即点M在定直线14y=−上．（2）由（1）知直线l的方程为22mymx=−，令0x=得22my=−，所以20,2mG−，又()2

322212,,,0,,2241241mmmPmFDmm−++，所以()2111||124SGFmmm==+，()()22202211||2841mmSPMmxm+=−=+，所以()()()2

21222241121mmSSm++=+，令221tm=+，则1222(21)(1)112SttSttt−+==−++，因此当112t=，即2t=时，12SS最大，其最大值为94，此时22m=满足0，所以点P的坐标为

21,24，因此12SS的最大值为94，此时点P的坐标为21,24．【解析】椭圆方程；直线和抛物线的关系；二次函数求最值；运算求解能力．