【文档说明】2022-2023学年广东省广州市协和学校高二上学期11月月考数学试题解析版.doc，共(18)页，2.029 MB，由小喜鸽上传

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第1页共18页2022-2023学年广东省广州市协和学校高二上学期11月月考数学试题一、单选题1．已知集合R|22Axx=−，2R|430Bxxx=−+，则AB=I（）A．(2,1]−B．(2,1)−C．()2,2−D．(,2)[

3,)−+U【答案】A【分析】先化简集合，再求交集运算即可.【详解】由2R|430Bxxx=−+，可得R|(1)(3)0{R|1Bxxxxx=−−=或3}x.所以(2,1]AB=−I.故选：A2．设mR，若复数12iz=−+的虚部与

复数2izmm=+的虚部相等，则12zz=（）A．3i−+B．1i−−C．3i−D．3i−−【答案】D【分析】根据已知条件求得m的值，利用复数的乘法化简可得结果.【详解】因为复数12iz=−+的虚部与复数2izmm=+的虚部相等，则1m=，则21iz=+，因此，()()122i1

i3izz=−++=−−.故选：D.3．双曲线2213yx−=的渐近线方程为（）A．3yx=B．3yx=C．13yx=D．33yx=【答案】A【分析】令2203yx−=即可求渐近线方程.【详解】令2203yx−=得3yx=即双曲线2213yx−=的

渐近线方程为3yx=故选：A.第2页共18页4．已知1tan2=，则sincos=（）A．25B．25−C．85D．85−【答案】A【分析】由22sincosissincoscosn=+，分

子分母同除以2cos，即可求出结果.【详解】因为222sincostansincoscosinns1ta==++，又1tan2=，所以122sincos1514==+，故选：A.5．已知向量(

)3,1a=−r，()1,2b=−r，2cab=+rrr，若bc⊥rr，则实数=（）A．－2B．2C．1D．－1【答案】B【分析】由向量坐标运算求出()622c−+=−r，，根据bc⊥rr，得0bc=rr，计算可得.【详解】2cab=+rrr()()()1,

223,1226−=−+=−+−，，因为bc⊥rr，所以0bc=rr，所以()()1,26521020bc=−−+=−−=rr，，所以=2.故选：B6．已知函数()()sin0,0,2fxAxA=+„的图象如图所示.则()f=（

）A．0B．AC．2AD．2A−【答案】A【分析】由相邻零点与对称轴间的距离为周期的四分之一，求得周期，进而求得，由最低点的坐标求得的值，进而计算得解.【详解】由图象可得()fx的最小正周期74123T=−=，∴22T==，第3页共18页由7322,1

22kk+=+Z，解得2,3kk=+Z，由2„得3=，∴()sin23fxAx=+，∴()sin03ffA===，故选：A7．已知圆()22:24Cxy−+=，直线过点()1,1A交圆C于,PQ两点，则弦长PQ的取值范

围是（）A．2,2B．2,4C．2,22D．22,4【答案】D【分析】首先得到圆心坐标与半径，即可判断点A在圆内，即可求出弦长最大、最小值，即可得解.【详解】解：圆()22:24Cxy−+=的圆心()2

,0C，半径2r=，又()2212124−+=，所以点()1,1A在圆内，当直线过圆心C时，弦长PQ取最大值4，当直线lAC⊥时，圆心C到直线的距离最大，最大值为()()2221012AC=−+−=，此时弦长PQ取最小值224(2)22

−=；故选：D.8．在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，M是棱1AA的中点，点P在侧面11ABBA内，若1DPCM⊥，则PBCV的面积的最小值是()A．255B．510C．55D．5【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，利用向量的坐标

运算求得()0,1,21BPyy=−−uuur，进而结合二次函数性质求得min55BP=，利用三角形面积公式，即可求得答案.第4页共18页【详解】以点D为空间直角坐标系的原点，分别以DA，DC，1DD所在直线为x，y，z轴，建立空间直角

坐标系，则点()1,,,0,1Pyzyz，()10,0,1D，所以()11,,1DPyz=−uuuur．因为()0,1,0C，11,0,2M，所以11,1,2CM=−uuuur,因为1DPCM⊥uuuuruuuur，所以()11102yz−+−=，所以21z

y=−．因为()1,1,0B，所以()0,1,21BPyy=−−uuur，所以()()222121562BPyyyy=−+−=−+,因为01y，所以当35y=时，min55BP=．因为正方体中，BC⊥平面11ABBA，BP平面11ABB

A,故BCBP⊥，所以()min15512510PBCS==△，故选：B．二、多选题9．如图某池塘中的浮萍蔓延后的面积()2my与时间t（月）的关系：tya=（0a且1a），以下叙述中正确的是（）第5页共18页A．这个指数函数的底数是2B．

第5个月时，浮萍的面积就会超过235mC．浮萍从24m蔓延到216m需要经过2个月D．浮萍每个月增加的面积都相等【答案】AC【解析】由图像中的数据可求出函数关系式，然后逐个分析判断即可【详解】解：将点(1,2)代入t

ya=中，得2a=，所以2ty=，所以A正确，当5t=时，523235y==，所以B错误；当4y=时，2t=，当16y=时，4t=，所以浮萍从24m蔓延到216m需要经过2个月，所以C正确；由指数函数2ty=的性质可得浮萍每个月增加的面

积不相等，所以D错误，故选：AC10．ABCV的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.下面四个结论正确的是（）A．2a=，30A=，则ABCV的外接圆半径是2B．若cossinabAB=，则45A=C．若222abc+，则AB

CV一定是锐角三角形D．若AB，则sinsinAB【答案】ABD【分析】根据正余弦定理及其应用，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A：由正弦定理知42sinaRA==，所以外接圆半径是2，故A正确；对B：由正弦定理及coss

inabAB=可得，sinsin1cossinABAB==，即tan1A=，由0180A，知45A=，故B正确；对C：因为222cos02abcCab+−=，所以C为锐角，但,AB不确定，故C错误；对D：若AB，ab，所以由正弦定理得sinsinAB，故D正确.、故选：ABD.

第6页共18页11．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，(2,1,4)AB=−−uuur，(4,2,0)AD=uuur，(1,2,1)AP=−−uuur，下列结论中正确．．的是（）A．AP⊥ABB．存在实数λ，使=uuu

ruuurAPBDC．APuuur是平面ABCD的法向量D．四边形ABCD的面积为86【答案】ACD【分析】根据题意，结合线面位置关系的向量判断方法，一一判断即可．【详解】因为2240ABAP=−−+=uuuruuur，所以ABAP⊥uu

uruuur，故A正确；()2,3,4BDADAB=−=uuuruuuruuur与()1,2,1AP=−−uuur不平行，故B错误．因为4400APAD=−++=uuuruuur，2240APAB=−−+=

uuuruuur且ABuuur与ADuuur不平行，所以APuuur是平面ABCD的法向量，故C正确；由411621,164020ABAD=++==++=uuuruuur2412403cos2120521ABADAABAD−

−===uuuruuuruuuruuur故四边形ABCD的面积为2112sin221201cos8622SABADAA==−=，D正确；故选：ACD．12．已知点F为抛物线()2:20Cxpyp=的焦点，直线l过点()()0,0Dmm交抛物线C于()11,Axy，(

)22,Bxy两点，11FAy=+.设O为坐标原点，12,2xxPm+−，直线,PAPB与x轴分别交于,MN两点，则以下选项正确的是（）A．2p=B．若1m=，则0OAOB=uuuruuurC．若mp=，则OABV面

积的最小值为42D．,,,MNPF四点共圆【答案】ACD【分析】由抛物线焦半径公式可直接构造方程求得2p=，知A正确；设:lykxm=+，与抛物线方程联立可得1212,xxyy，由向量数量积的坐标运算可知B错误；由()1221122OABSODxxxx=−−V可知C正确；表

示出直线PA方程后，可求得M点坐标，进而得到1APMFkk=−，知APMF⊥，同理可得BPNF⊥，由此可知D正确.第7页共18页【详解】对于A，由抛物线焦半径公式得：1112pFAyy=+=+，解得：2p=，A正确；对于B，由题意知：直线l斜率存在，设:lykxm=+，由224xpyyykx

m===+得：2440xkxm−−=，124xxm=−；由1m=得：124xx=−，则()21212116xxyy==，12123OAOBxxyy=+=−uuuruuur，B错误；对于C，若2mp==，则1280xx=−，不妨设120xx，

则()()12212111224222OABSODxxxxxx=−=−−=V（当且仅当1222xx−==时取等号），即OABV面积的最小值为42，C正确；对于D，直线PA的斜率为211211121

2144222PAxxxymxkxxxxx−+===+−−，直线PA的方程为()1112xyyxx−=−，令0y=得：()2111124xxyxx−=−=−，点M的横坐标为12Mxx=，即1,02xM，则直线MF的斜率1110202MFkxx−==−−，1APM

Fkk=−，APMF⊥，同理可得：BPNF⊥，,,,MNPF四点共圆，D正确．故选：ACD．【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线综合应用的问题，本题D选项中，证明四点共圆的基本思路是能够通过说

明两条直线斜率乘积为1−，得到两条直线互相垂直，进而得到四边形对角互补，得到四点共圆.三、填空题第8页共18页13．斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交点的直线方程为______________．【答案】

2x＋y－4＝0【分析】设直线系方程，然后通过斜率确定参数即可.【详解】设所求直线方程为3x－y＋4＋λ(x＋y－4)＝0，即(3＋λ)x＋(λ－1)y＋4－4λ＝0，所以k＝31+−＝－2，解得λ＝5∴所求直线方程为2x＋y－4＝0．14．

已知一组数据1，2，2，x，5，10的平均数是4，则该组数据的第25百分位数为______．【答案】2【分析】根据平均数求出x，然后将这组数据按照从小到大的顺序排列，再根据第p百分位数的定义即可得出答案.【详

解】解：因为一组数据1，2，2，x，5，10的平均数是4，所以12251046x+++++=，解得4x=，将这组数据按照从小到大的顺序排列，得：1，2，2，4，5，10共6个数据，由625%1.5=，所以该组数据的第25百分位数为第2项，即2.故答案为：2.15．已知12:FF为双曲线222

2:1(0,0)xyCabab−=的两个焦点，PQ，为C上关于坐标原点对称的两点，且12||||PQFF=，若直线PQ的斜率为3，则C的离心率为______.【答案】31+##13+【分析】由题意可知四边形12PFQF为矩形，结合直线PQ的斜率为3，推得2||PFc=，1||3PF

c=，结合双曲线定义即可求得答案.【详解】不妨设点P在第一象限内，因为,PQ为C上关于坐标原点对称的两点，则线段PQ与12FF相互平分，第9页共18页所以四边形12PFQF为矩形，若直线PQ的斜率为3，且

12||||2PQFFc==，则260POF=，则2||PFc=，又12||2FFc=，故1||3PFc=，由定义可知：2132PFPFcca−=−=，可得23131cea===+−，故答案为：31+16

．在三棱柱111ABCABC-，四边形11ACCA与四边形11ABBA都是菱形160AAC=o，ABCV是等边三角形，平面11ACCA⊥平面ABC，,DE分别11,ABAC的中点，则异面直线DE与1BC所成角的余弦值是__________．【答案】154【解析】如图，取AC的中

点O，连接1,AOBO，则以O为原点，以1,,OAOBOA的方向分别为,,xyz轴的正方向，建立空间直角坐标系0xyz−，根据空间向量的数量积，由111cos,BCDEBCDEBCDE=uuuuruuuruuuuruuuruuuuruuur即可求解.【详解】如图，取AC的中点O，连接1

,AOBO．四边形11ACCA是菱形，且平面11ACCA⊥平面ABC，可得1AO⊥平面ABC，BOAC⊥，则以O为原点，以1,,OAOBOA的方向分别为,,xyz轴的正方向，建立空间直角坐标系0xyz−，第10页共18页

设2AB=，则113(0,3,0),(2,0,3),,,0,(1,0,3)22BCDE−−，从而133(2,3,3),,,322BCDE=−−=−−uuuuruuur，故111333152cos,4106BCDEBCDEBCDE++===uuuur

uuuruuuuruuuruuuuruuur，即异面直线DE与1BC所成角的余弦值是154.故答案为：154四、解答题17．已知函数()2sincossin222xxxfx=+.(1)求()fx的最小正周期；(2)求()fx在,32−上的值域.【答案】

(1)2；(2)12,12−.第11页共18页【分析】（1）利用倍角公式及辅助角公式化简函数，进而可得周期；（2）利用正弦函数的性质可得函数的值域.【详解】（1）∵()211cossincossinsin22222xxx

xfxx−=+=+()11sincos22xx=−+21sin242x=−+p，∴2T=，∴()fx的最小正周期2；（2）由,32xpp−，得7,4124xppp−−，所以21sin

42x−−，∴1221sin12242xp−−+，所以()fx在,32−上的值域为12,12−.18．已知圆C经过两点()()1,0,1,2AB−−，且圆心C在x轴上.(1)求圆C的标准方程；(2)已知直

线l与直线AB平行，且与圆C相交所得弦长为22，求直线l的方程.【答案】(1)22(1)4xy−+=(2)30xy+−=【分析】（1）根据题意设出圆的标准方程，运用待定系数法列方程组求解；（2）先用斜截式设直线

方程，然后根据点到直线距离公式，弦长公式进行求解即可.【详解】（1）设圆C的标准方程为222()xayr−+=，其中(),0Ca，半径为,0rr，Q圆C经过点(1,0),(1,2)AB−−，22222(1)(1)(2)arar−−=−

+−=解得214ar==，圆C的标准方程为22(1)4xy−+=；第12页共18页（2）由题意可得：02111ABk+==−−−，所以直线l的斜率为1−，设l的方程为0xyb++=，圆心()1,0到直线l的距离为12bd+=，直线l与圆C相交

所得弦长为222(1)222242brd+=−=−，解得1b=或3b=−经检验知，当1b=时，直线l与直线AB重合，舍去所以l的方程为30xy+−=.19．为进一步增强疫情防控期间群众的防控意识，使广大群众充分了解新冠肺炎疫情防护知识，提高预防能力，做到科学防护，科学预防.某组织通过网络进行新冠

肺炎疫情防控科普知识问答.共有100人参加了这次问答，将他们的成绩（满分100分）分成[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]这六组，制成如图所示的频率分布直方图.(1)求图中a的值，并估计这100人问答成绩的中位数和平均数；（同一组

数据用该组数据的中点值代替）(2)用分层随机抽样的方法从问答成绩在[60,80)内的人中抽取一个容量为5的样本，再从样本中任意抽取2人，求这2人的问答成绩均在[70,80)内的概率.【答案】(1)0.015a=，中位数为2203，平均数为72(2)310【分析】（1）根据频率分布直方图

的性质以及中位数和平均数的概念，进行计算即可得解；（2）根据分层抽样在[60，70）内的有2人，分别记为A，B；问答成绩在[70，80）内的有3人分别记为a，b，C，从中任意抽取2人，列出实验的样本空间，再利用概率公式，

进行计算即可得解.【详解】（1）由图可知，10(20.0050.020.0250.03)1a++++=，解得0.015a=.设中位数为x，则0.050.150.20.3(70)0.5x+++−=，所以2203x=.这100人问答成绩的平均数约为450.05550.15650.2750.

3850.25950.0572+++++=.第13页共18页（2）用分层随机抽样的方法从问答成绩在[60，80）内的人中抽取一个容量为5的样本，则问答成绩在[60，70）内的有25223=+人，分别记为A，B；问答成绩在[70，80）内的有35323

=+人分别记为a，b，C.从中任意抽取2人，则实验的样本空间={（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（B，a），（B，b），（B，c），（a，b），（a，c），（b，c）}，共有10个样本点.设事件A为2人的问答成绩均在[70，80）内的概

率，则{(,),(,),(,)}Aabacbc=，所以这2人的间答成绩均在[70，80）内的概率3()10PA=.20．已知椭圆2222:1(0)Cbbxaay+=与椭圆2214xy+=有相同的离心率，短半轴长为1.(1)求C的方程；(2)过点()2,0Q的直线l与C交于,MN两点，且MON

为钝角（O为坐标原点），求l的斜率k的取值范围.【答案】(1)2214yx+=(2)11,00,22−U【分析】（1）由条件可得32ca=、1b=，然后可得答案；（2）设()()1122,,,MxyNxy，然后联立直线与椭圆的方程消元，然后韦达定理得到2212

1222444,44kkxxxxkk−+==++，然后由MON为钝角可得0k、12120xxyy+，据此可解出答案.【详解】（1）因为椭圆2214xy+=的离心率为32，所以32ca=，因为椭圆2222:1(0)Cbbxaay+=的短半轴长为1，所以1b=，所以可得2a=，所以C的方程为

2214yx+=，（2）直线l的方程为()2ykx=−，由()22214ykxyx=−+=可得()222244440kxkxk+−+−=，第14页共18页由()()422216444448640kkkk=−+−

=−+可得243k，设()()1122,,,MxyNxy，则22121222444,44kkxxxxkk−+==++，因为MON为钝角，所以0OMONuuuuruuur，且,,MON三点不共线，所以0k，()()()()2221212121212122212

40xxyyxxkxkxkxxkxxk+=+−−=+−++所以()2222222444124044kkkkkkk−+−+++，解得214k，综上可得：k的取值范围为11,00,22−U

.21．如图，在四棱锥PABCD−中，四边形ABCD为菱形，且60ABC=，PA⊥平面ABCD，E为BC的中点，F为棱PC上一点．(1)求证：平面AEF⊥平面PAD；(2)若G为PD的中点，2AB

AP==，是否存在点F，使得直线EG与平面AEF所成角的正弦值为15？若存在，求出PFPC的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在；12PFPC=或45PFPC=【分析】（1）根据底面菱形的特

点得到AEAD⊥，再由线面垂直得到PAAE⊥，⊥AE平面PAD，进而得到面面垂直；（2）建立空间坐标系得到线面角的表达式2321sin55584ttt−==−+，求解即可.【详解】（1）证明：连接AC，因为底面AB

CD为菱形，60ABC=，所以ABCV是正三角形，EQ是BC的中点，第15页共18页AEBC⊥，又//,ADBCAEAD⊥，PA⊥Q平面ABCD，AE平面,ABCDPAAE⊥，又,PAADAAE=⊥I平面PAD，又AE

平面AEF，所以平面AEF⊥平面PAD．（2）由（1）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，直线AE，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设()01PFtPCt=uuuruuur，则()0,0,0A，()

3,0,0E，()3,1,0C，()002P,,，()0,1,1G，()3,,22Fttt−，所以()3,0,0AE=uuur，()3,,22AFttt=−uuur，()3,1,1EG=−uuur．设平面AEF的法向量()

,,nxyz=r，则0,0,nAEnAF==uuuvruuuvr即()30,3220,xtxtytz=++−=令zt=，得平面AEF的一个法向量()0,22,ntt=−r．设EG与平面AEF所成的角为，则()22222321sincos,55584522EG

ntttEGnEGntttt−+−=====−+−+uuuruuurrrruuur，解得12t=或45t=，即存在点F，使得直线EG与平面AEF所成角的正弦值为15，且12PFPC=或45PFPC

=．22．如图，空间直角坐标系中，四棱锥POABC−的底面是边长为2的正方形，底面OABC在xOy平面内，且抛物线Q：2ymx=经过O、A、C三点．点B在y轴正半轴上，PB⊥平面OABC，侧棱OP与底面所成角为45．第16页共18页(1)求m的值；(2)若()

,,0Nxy是抛物线Q上的动点，M是棱OP上的一个定点，它到平面OABC的距离为()02aa，写出M、N两点之间的距离()dx，并求()dx的最小值；(3)是否存在一个实数()02aa，使得当()dx取得最小值时，异面直线MN与OB互

相垂直？请说明理由．【答案】(1)1m=(2)()min212,024411,222aadxaaa=+−(3)不存在，理由见解析【分析】（1）根据题意，求出点A的坐标，代入抛物线方程，即可得出m的值；（2）根据题意可求得点M的坐标，根据两点间的距离公式，利用二

次函数的基本性质，即可得出函数()ydx=的最小值；（3）由（2）可知，当1,22a时，当()ydx=取得最小值时，求得2212ax−=，由异面直线MN与OB垂直时，可得0OBMN=uuuruuuur，从而可得出结论.【详解】（1）解：由四棱

锥POABC−是底面边长为2的正方形，则()1,1,0A，则1m=，所以1m=；（2）解：因为PB⊥平面OABC，所以POB即为直线PB与平面OABC所成角的平面角，即45POB=，因为点M到平面OABC的距离为()02aa

，第17页共18页则点()0,,Maa，由(),,0Nxy是抛物线Q上的动点，则2yx=，即()2,,0Nxx，则()()()2222422122dxMNxaxaxaxa==+−+=+−+，令20tx=，设()()22122fttata=+−

+，对称轴为直线212at−=，①当022102aa−时，即当102a时，函数()()22122fttata=+−+在)0,+上单调递增，则()()2min02ftfa==，此时()min2dxa=；②当022102aa−时，即当122a时，此时

函数()()22122fttata=+−+在212at−=取得最小值，即()()2222min21214412224aaaafta−−+−=−+=，此时()2min4412aadx+−=，综上()min212,024411,22

2aadxaaa=+−；（3）解：当10,2a时，此时点N与原点重合，则直线MN与OB为相交直线，不符；当1,22a时，则当()ydx=取最小值时，2212ax−=，不妨设0x，则2121,,022aaN−−，()0,2,0B，则

()21210,2,0,,,22aaOBMNaa−−==−−uuuruuuur，当异面直线MN与OB垂直时，0OBMN=uuuruuuur，即21202aa−−=，无解，第18页共18页综上所述，不存在一个实数()02aa

，使得异面直线MN与OB垂直.