【文档说明】2022-2023学年福建省泉州市永春五中片区九年级上期中数学试题及答案解析.docx，共(22)页，469.396 KB，由小喜鸽上传

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第1页，共22页2022-2023学年福建省泉州市永春五中片区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列式子中属于最简二次根式的是()A.√17B.√8C.√21D.√0.22.下列计算正确的是()A.2+√6=2√2

B.√6−√2=2C.√2×√6=2√3D.√6÷√2=33.若𝑥=1是关于𝑥的一元二次方程𝑥2+𝑎𝑥+2𝑏=0的解，则𝑎+2𝑏=()A.−2B.−1C.−3D.−64.用配方法解方程𝑥2+4𝑥+1=0时，配方

结果正确的是()A.(𝑥−1)2=5B.(𝑥−2)2=3C.(𝑥+2)2=5D.(𝑥+2)2=35.如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各

与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为𝑥米，则根据题意可列方程为()A.22×17−17𝑥−22𝑥=300B.22×17−17𝑥−22𝑥−𝑥2=300C.(22−𝑥)(17−𝑥)=300D.(22+𝑥

)(17+𝑥)=3006.下列各组线段中，能成比例的是()A.2𝑐𝑚，3𝑐𝑚，5𝑐𝑚，6𝑐𝑚B.3𝑐𝑚，12𝑐𝑚，0.8𝑐𝑚，2𝑐𝑚C.0.1𝑐𝑚，0.2𝑐𝑚，0.5𝑐𝑚，0.4𝑐𝑚D.1𝑐𝑚，2𝑐𝑚，4𝑐𝑚，2𝑐𝑚7.如图，把

矩形𝑂𝐴𝐵𝐶放在直角坐标系中，𝑂𝐶在𝑥轴上，𝑂𝐴在𝑦轴上，且𝑂𝐶=2，𝑂𝐴=4，把矩形𝑂𝐴𝐵𝐶绕着原点顺时针旋转90°得到矩形𝑂𝐴′𝐵′𝐶′，则点𝐵′的坐标为()第

2页，共22页A.(2,3)B.(−2,4)C.(4,2)D.(2,−4)8.如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与图中△𝐴𝐵𝐶相似的是()A.B.C.D.9.如图，在平面直角坐标系中，直线𝑦=12

𝑥+2与𝑥轴负半轴交于点𝐴，与𝑦轴正半轴交于点𝐵，与函数𝑦=𝑘𝑥(𝑘>0,𝑥>0)的图象交于点𝐶.若𝐴𝐵=2𝐵𝐶，则𝑘的值为()A.6B.4C.3D.210.如图，已知在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶<90°，𝐴𝐵≠

𝐵𝐶，𝐵𝐸是𝐴𝐶边上的中线．按下列步骤作图：①分别以点𝐵，𝐶为圆心，大于线段𝐵𝐶长度一半的长为半径作弧，相交于点𝑀，𝑁；②过点𝑀，𝑁作直线𝑀𝑁，分别交𝐵𝐶，𝐵𝐸于点𝐷，𝑂；③连结𝐶𝑂，𝐷𝐸．则下列结论错误的是()第3页

，共22页A.𝑂𝐵=𝑂𝐶B.𝐷𝐸//𝐴𝐵C.𝐷𝐵=𝐷𝐸D.𝑆△𝐵𝐷𝐸=14𝑆△𝐴𝐵𝐶二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.如果式子√𝑥−4有意义，那么

𝑥的取值范围是．12.方程2𝑥2=𝑥的根是______．13.如图，已知直线𝑎//𝑏//𝑐，直线𝑚，𝑛与直线𝑎，𝑏，𝑐分别交于点𝐴，𝐶，𝐸，𝐵，𝐷，𝐹，若𝐴𝐶=4，𝐶𝐸=8，𝐵𝐷

=3，则𝐷𝐹的值是______．14.如图，点𝐷、𝐸分别是△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶、𝐴𝐶中点，𝐴𝐷、𝐵𝐸相交于𝐹，则𝐴𝐹𝐹𝐷等于______．15.《九章算术》中记载了一

种测量井深的方法．如图，在井口𝐵处立一根垂直于井口的木杆𝐵𝐷，从木杆的顶端𝐷观察井水水岸𝐶，视线𝐷𝐶与井口的直径𝐴𝐵交于点𝐸，如果测得𝐴𝐸=1.3米，𝐵𝐷=1.2米、𝐵𝐸=0.2米，那么𝐴𝐶

=______米．16.如图，平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，对角线𝐴𝐶，𝐵𝐷交于点𝑂，𝐵𝐷=2𝐴𝐷，𝐸，𝐹，𝐺分别是𝑂𝐶，𝑂𝐷，𝐴𝐵的中点．下列结论正确的是______.(填序号)①𝐸𝐺=𝐸𝐹；②△

𝐸𝐹𝐺≌△𝐺𝐵𝐸；③𝐸𝐴平分∠𝐺𝐸𝐹；④𝐹𝐵平分∠𝐸𝐹𝐺；⑤四边形𝐵𝐸𝐹𝐺是菱形．第4页，共22页三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题8.0分)计算：(1)√18−4√12+√24÷√3；(2)(−

1)2022+√(−2)2−√8÷√2．18.(本小题8.0分)先化简，再求值：𝑥−2𝑥+2−𝑥−1𝑥2−4÷1𝑥−2，其中𝑥=√5−2．19.(本小题8.0分)解方程：(1)𝑥2−3𝑥+1=0；(2)3𝑥(𝑥−2)=2(2−𝑥)．20.

(本小题8.0分)关于𝑥的方程14𝑥2−(𝑚−1)𝑥−2𝑚+1=0．(1)求证无论𝑚为何值时，原方程总有两个实数根．(2)若方程的两根之积是两根之和的2倍，求𝑚的值．21.(本小题8.0分)如图，在边长为1个单位长度的小

正方形组成的网格中，给出格点△𝐴𝐵𝐶及点𝑂．(1)以点𝑂为位似中心，在网格范围内画出△𝐴′𝐵′𝐶′，使得△𝐴′𝐵′𝐶′与△𝐴𝐵𝐶位似，且相似比为2．(2)填空：𝑆△𝐴′𝐵

′𝐶′：𝑆△𝐴𝐵𝐶=______．第5页，共22页22.(本小题10.0分)某店销售𝐴产品，每千克售价为100元．(1)若连续两次降低售价后，每千克81元，求这两次降价的平均百分率？(2)若按现价销售，每千克可以盈利20元，每天可以售出12

0千克．调查发现，在进价不变的情况下，每千克𝐴产品的售价每涨价2元，日销售量就减少10千克．该店希望每天𝐴产品盈利2340元，设每千克𝐴产品涨价𝑥元(𝑥>0)，求𝑥的值．23.(本小题10.0分)如图，等

边三角形△𝐴𝐶𝐵的边长为3，点𝑃为𝐵𝐶上的一点，点𝐷为𝐴𝐶上的一点，连接𝐴𝑃、𝑃𝐷，∠𝐴𝑃𝐷=60°．(1)求证：△𝐴𝐵𝑃∽△𝑃𝐶𝐷；(2)若𝑃𝐶=2，求𝐶𝐷的长．24

.(本小题13.0分)[初步尝试](1)如图①，在三角形纸片𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，将△𝐴𝐵𝐶折叠，使点𝐵与点𝐶重合，折痕为𝑀𝑁，则𝐴𝑀与𝐵𝑀的数量关系为______；[思考说理]第6页，共22页(2)如图②，在三角形纸片𝐴𝐵𝐶中

，𝐴𝐶=𝐵𝐶=6，𝐴𝐵=10，将△𝐴𝐵𝐶折叠，使点𝐵与点𝐶重合，折痕为𝑀𝑁，求𝐴𝑀𝐵𝑀的值；[拓展延伸](3)如图③，在三角形纸片𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=9，𝐵𝐶=6，∠𝐴𝐶𝐵=2∠𝐴，将△𝐴𝐵𝐶沿过顶点𝐶的直线折叠，使点𝐵落在边�

�𝐶上的点𝐵′处，折痕为𝐶𝑀．①求线段𝐴𝐶的长；②若点𝑂是边𝐴𝐶的中点，点𝑃为线段𝑂𝐵′上的一个动点，将△𝐴𝑃𝑀沿𝑃𝑀折叠得到△𝐴′𝑃𝑀，点𝐴的对应点为点𝐴′，𝐴′𝑀与𝐶𝑃交于点𝐹，求𝑃𝐹𝑀𝐹的取值范围．25.(本小题13.0分)

已知矩形𝐴𝐵𝐶𝐷与矩形𝐵𝐸𝐹𝐺，其中𝐴𝐵=𝑎，𝐵𝐶=𝑏，𝐸𝐹=𝑚，𝐵𝐸=𝑛．(1)若𝑎=𝑏=2，𝑚=𝑛=1，①如图1，点𝐸在𝐴𝐵边上，求𝐴𝐺；②如图2，四边形𝐵𝐸𝐹𝐺绕点𝐵

逆时针旋转(旋转角度不超过90°)，当𝐴、𝐸，𝐺三点共线时，求𝐶𝐸；(2)如图3，若𝑎=6，𝑏=8，𝑚=3，𝑛=4，探索𝐴𝐸和𝐶𝐺的数量关系．第7页，共22页答案和解析1.【答案】𝐶【解析】解：𝐴．√17的被开方数

中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；B.√8的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；C.√21是最简二次根式，故本选项不符合题意；D.√0.2的被开方数中

的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；故选：𝐶．根据最简二次根式的定义逐个判断即可．本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．2.【答案】𝐶【解析】解：𝐴、2+√6，无法计算，故此选项错误；

B、√6−√2，无法计算，故此选项错误；C、√2×√6=2√3，正确；D、√6÷√2=√3，无法计算，故此选项错误；故选：𝐶．直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．3.【答案】𝐵【解析】解：把𝑥

=1代入方程𝑥2+𝑎𝑥+2𝑏=0得1+𝑎+2𝑏=0，所以𝑎+2𝑏=−1．故选：𝐵．把𝑥=1代入方程𝑥2+𝑎𝑥+2𝑏=0可得𝑎+2𝑏的值．本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次

方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．第8页，共22页4.【答案】𝐷【解析】解：方程𝑥2+4𝑥+1=0，整理得：𝑥2+4𝑥=−1，配方得：(𝑥+2)2=3．故选：𝐷．方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．此题考查了

解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．5.【答案】𝐶【解析】解：设道路的宽应为𝑥米，由题意有(22−𝑥)(17−𝑥)=300，故选：𝐶．把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．此题主要考查了由实际问题

抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．6.【答案】𝐷【解析】解：𝐴、由于2×6≠3×5，所以不成比例，不符合题意；B、由于12×0.8≠3×2，所以不成比例，不符合题意；C、由于

0.1×0.5≠0.2×0.4，所以不成比例，不符合题意；D、由于1×4=2×2，所以成比例，符合题意．故选：𝐷．四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例．此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的数

相乘，另外两个数相乘，看它们的积是否相等．7.【答案】𝐶第9页，共22页【解析】解：矩形的对边相等，𝐵′𝐶′=𝑂𝐴=4，𝐴′𝐵′=𝑂𝐶=2，∴点𝐵′的坐标为(4,2)故选C．根据矩形的特点和旋转的性质来解决．需注意旋转前后线段的长

度不变，第一象限内点的符号为(+,+)．8.【答案】𝐵【解析】【分析】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．根据网格中的数据求出𝐴𝐵，𝐴𝐶，𝐵𝐶的长，求出

三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．【解答】解：由勾股定理得：𝐴𝐵=√32+12=√10，𝐵𝐶=2，𝐴𝐶=√12+12=√2，∴𝐴𝐶：𝐵𝐶：𝐴𝐵=1：√2：√5，A、三边之比为1：√5：2√2，图中的三角形(阴影部分)与△𝐴

𝐵𝐶不相似；B、三边之比：1：√2：√5，图中的三角形(阴影部分)与△𝐴𝐵𝐶相似；C、三边之比为√2：√5：3，图中的三角形(阴影部分)与△𝐴𝐵𝐶不相似；D、三边之比为2：√5：√13，图中的三角形(阴

影部分)与△𝐴𝐵𝐶不相似．故选：𝐵．9.【答案】𝐴【解析】解：如图，过点𝐶作𝐶𝐷⊥𝑥轴于点𝐷，∴𝑂𝐵//𝐶𝐷，∴𝐴𝐵：𝐴𝐶=𝑂𝐵：𝐶𝐷=𝑂𝐴：𝐴𝐷，第10页，共22页∵𝐴𝐵=2𝐵𝐶，∴𝐴𝐵：𝐴𝐶=2：3，∴𝑂�

�：𝐶𝐷=𝑂𝐴：𝐴𝐷=2：3，∵直线𝑦=12𝑥+2与𝑥轴负半轴交于点𝐴，与𝑦轴正半轴交于点𝐵，∴𝐴(−4,0)，𝐵(0,2)，∴𝑂𝐴=4，𝑂𝐵=2，∴𝐴𝐷=6，𝐶𝐷=3，∴𝑂𝐷=2，∴

𝐶(2,3)．∵点𝐶在函数𝑦=𝑘𝑥(𝑘>0,𝑥>0)的图象上，∴𝑘=2×3=6．故选：𝐴．过点𝐶作𝐶𝐷⊥𝑥轴于点𝐷，所以𝑂𝐵//𝐶𝐷，所以𝐴𝐵：𝐴𝐶=𝑂𝐵：�

�𝐷=𝑂𝐴：𝐴𝐷=2：3.由直线𝑦=12𝑥+2与𝑥轴负半轴交于点𝐴，与𝑦轴正半轴交于点𝐵，可知𝐴(−4,0)，𝐵(0,2)，所以𝑂𝐴=4，𝑂𝐵=2，所以𝐴𝐷=6，𝐶𝐷=3，则

𝑂𝐷=2，由此可得𝐶(2,3).根据反比例函数上点的坐标特点可得出结论．本题考查一次函数和反比例函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，平行线分线段成比例等相关内容，作出辅助线，得出比例求出点𝐶的坐标是解题关键．10.【答案】𝐶【解析】解：由作法得𝑀𝑁垂直平分𝐵𝐶

，∴𝑂𝐵=𝑂𝐶，𝐵𝐷=𝐶𝐷，所以𝐴选项不符合题意；∵𝐵𝐸是𝐴𝐶边上的中线，∴𝐴𝐸=𝐶𝐸，∴𝐷𝐸为△𝐴𝐵𝐶的中位线，∴𝐷𝐸//𝐴𝐵，𝐷𝐸=12𝐴𝐵，所以�

�选项不符合题意；∵𝐴𝐵≠𝐵𝐶，∴𝐷𝐸≠𝐷𝐵，所以𝐶选项符合题意；∵𝑆△𝐵𝐷𝐸=12𝑆△𝐵𝐶𝐸，𝑆△𝐵𝐶𝐸=12𝑆△𝐴𝐵𝐶，第11页，共22页∴𝑆△𝐵𝐷𝐸=14𝑆△𝐴𝐵𝐶，所以𝐷选项不符合题意．故选：𝐶．利用

基本作图得到𝑀𝑁垂直平分𝐵𝐶，根据线段垂直平分线的性质得到𝑂𝐵=𝑂𝐶，𝐵𝐷=𝐶𝐷，再证明𝐷𝐸为△𝐴𝐵𝐶的中位线得到𝐷𝐸//𝐴𝐵，𝐷𝐸=12𝐴𝐵，由于𝐴𝐵≠𝐵𝐶，则

𝐷𝐸≠𝐷𝐵；利用三角形面积公式得到𝑆△𝐵𝐷𝐸=12𝑆△𝐵𝐶𝐸，𝑆△𝐵𝐶𝐸=12𝑆△𝐴𝐵𝐶，所以𝑆△𝐵𝐷𝐸=14𝑆△𝐴𝐵𝐶．本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本

几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．11.【答案】𝑥≥4【解析】解：∵𝑥−4≥0．∴𝑥≥4．故答案为：𝑥≥4．根据被开方数为非负数即可求解．本题考查二次根式的意义，关键在于利用

被开方数为非负数，建立不等式求解集．12.【答案】𝑥1=0，𝑥2=12【解析】解：2𝑥2=𝑥，2𝑥2−𝑥=0，𝑥(2𝑥−1)=0，𝑥=0，2𝑥−1=0，𝑥1=0，𝑥2=12，故答案为：𝑥1=0，𝑥2=12．移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出

方程的解即可．本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，难度适中．13.【答案】6第12页，共22页【解析】解：∵直线𝑎//𝑏//𝑐，∴𝐴𝐶𝐶𝐸=𝐵𝐷𝐷𝐹即48=

3𝐷𝐹，∴𝐷𝐹=6．故答案为6．根据平行线分线段成比例得48=3𝐷𝐹，即可得出𝐷𝐹值．本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．14.【答案】2【解析】解：∵点�

�、𝐸分别是△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶、𝐴𝐶中点，𝐴𝐷、𝐵𝐸相交于𝐹，∴点𝐹为△𝐴𝐵𝐶的重心，∴𝐴𝐹𝐹𝐷=2．故答案为：2．根据三角形的重心的定义及性质即可求解．本题考查了三角形的重心的定义

及性质，三角形的重心是三角形三边中线的交点．掌握重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解题的关键．15.【答案】7.8【解析】解：∵𝐵𝐷⊥𝐴𝐵，𝐴𝐶⊥𝐴𝐵，∴𝐵𝐷//𝐴𝐶，∴△𝐴𝐶𝐸∽△𝐵𝐷𝐸，∴𝐴𝐶𝐵𝐷=

𝐴𝐸𝐵𝐸，∵𝐴𝐸=1.3米，𝐵𝐷=1.2米、𝐵𝐸=0.2米，∴𝐴𝐶1.2=1.30.2，∴𝐴𝐶=7.8(米)，故答案为：7.8．根据平行线的判定定理得到𝐵𝐷//𝐴𝐶，于是得到△𝐴𝐶𝐸∽△𝐵𝐷𝐸，相似三角形的性质定理即可得到结论．第13页，共22页

本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．16.【答案】①②③【解析】解：令𝐺𝐹和𝐴𝐶的交点为点𝑃，如图所示：∵𝐸、𝐹分别是𝑂𝐶、𝑂𝐷的中点，∴𝐸𝐹//𝐶𝐷，且𝐸𝐹=12𝐶𝐷

，∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为平行四边形，∴𝐴𝐵//𝐶𝐷，且𝐴𝐵=𝐶𝐷，∴∠𝐹𝐸𝐺=∠𝐵𝐺𝐸(两直线平行，内错角相等)，∵点𝐺为𝐴𝐵的中点，∴𝐵𝐺=12𝐴𝐵=12𝐶𝐷=𝐹𝐸，在△𝐸𝐹𝐺和△𝐺𝐵𝐸中，{𝐵𝐺=𝐹𝐸∠𝐹𝐸�

�=∠𝐵𝐺𝐸𝐺𝐸=𝐸𝐺，∴△𝐸𝐹𝐺≌△𝐺𝐵𝐸(𝑆𝐴𝑆)，即②成立，∴∠𝐸𝐺𝐹=∠𝐺𝐸𝐵，∴𝐺𝐹//𝐵𝐸(内错角相等，两直线平行)，∵𝐵𝐷=2𝐵𝐶，点𝑂为平行四边形对角线交点，∴𝐵�

�=12𝐵𝐷=𝐵𝐶，∵𝐸为𝑂𝐶中点，∴𝐵𝐸⊥𝑂𝐶，∴𝐺𝑃⊥𝐴𝐶，∴∠𝐴𝑃𝐺=∠𝐸𝑃𝐺=90°∵𝐺𝑃//𝐵𝐸，𝐺为𝐴𝐵中点，∴𝑃为𝐴𝐸中点，即𝐴𝑃=𝑃𝐸，且𝐺𝑃=12𝐵𝐸，在△𝐴�

�𝐺和△𝐸𝐺𝑃中，第14页，共22页{𝐴𝑃=𝐸𝑃∠𝐴𝑃𝐺=∠𝐸𝑃𝐺𝐺𝑃=𝐺𝑃，∴△𝐴𝑃𝐺≌△𝐸𝑃𝐺(𝑆𝐴𝑆)，∴𝐴𝐺=𝐸𝐺=12𝐴𝐵，∴𝐸𝐺=𝐸𝐹，即①成立，∵𝐸𝐹//

𝐵𝐺，𝐺𝐹//𝐵𝐸，∴四边形𝐵𝐺𝐹𝐸为平行四边形，∴𝐺𝐹=𝐵𝐸，∵𝐺𝑃=12𝐵𝐸=12𝐺𝐹，∴𝐺𝑃=𝐹𝑃，∵𝐺𝐹⊥𝐴𝐶，∴∠𝐺𝑃𝐸=∠𝐹𝑃𝐸=90°在△𝐺𝑃𝐸和△𝐹𝑃𝐸中，{𝐺𝑃=�

�𝑃∠𝐺𝑃𝐸=∠𝐹𝑃𝐸𝐸𝑃=𝐸𝑃，∴△𝐺𝑃𝐸≌△𝐹𝑃𝐸(𝑆𝐴𝑆)，∴∠𝐺𝐸𝑃=∠𝐹𝐸𝑃，∴𝐸𝐴平分∠𝐺𝐸𝐹，即③成立．故答案为：①②③．由中点的性质可得出𝐸𝐹//𝐶𝐷，且𝐸𝐹=12𝐶𝐷=𝐵𝐺，

结合平行即可证得②结论成立，由𝐵𝐷=2𝐵𝐶得出𝐵𝑂=𝐵𝐶，即而得出𝐵𝐸⊥𝐴𝐶，由中线的性质可知𝐺𝑃//𝐵𝐸，且𝐺𝑃=12𝐵𝐸，𝐴𝑂=𝐸𝑂，通过证△𝐴𝑃𝐺≌△𝐸𝑃𝐺得出𝐴𝐺=𝐸𝐺=𝐸𝐹得出①成立，再证△𝐺

𝑃𝐸≌△𝐹𝑃𝐸得出③成立，此题得解．本题考查了全等三角形的判定与性质、中位线定理以及平行线的性质定理，解题的关键是利用中位线，寻找等量关系，借助于证明全等三角形找到边角相等．17.【答案】解：(1)原式=3√2−2√2+√24÷3=3√2−2√2

+2√2=3√2；第15页，共22页(2)原式=1+2−√8÷2=1+2−2=1．【解析】(1)先进行二次根式的除法运算，再把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；(2)先利用乘法的意义、二次根式的性质和除法法则运算，然后合并即可．本题考查了二次根式的混合运算：熟练

掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．18.【答案】解：原式=𝑥−2𝑥+2−𝑥−1(𝑥+2)(𝑥−2)⋅(𝑥−2)=𝑥−2𝑥+2−𝑥−1𝑥+2=−1𝑥+2，当𝑥=

√5−2时，原式=−1√5−2+2=−√55．【解析】根据分式的除法法则、减法法则把原式化简，把𝑥的值代入计算即可．本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．19.【答案】解：(1)𝑥2−3𝑥+1=0，∵𝑎=1，𝑏=−3，𝑐=1，

∴𝛥=(−3)2−4×1×1=5>0，∴𝑥=3±√52，∴𝑥1=3+√52，𝑥2=3−√52；(2)3𝑥(𝑥−2)=2(2−𝑥)，3𝑥(𝑥−2)+2(𝑥−2)=0，∴(𝑥−2)(3𝑥+2)=0，∴𝑥−2=0或3𝑥+2=0，∴𝑥1=2，

𝑥2=−23．【解析】(1)利用公式法求解即可；(2)利用因式分解法求解即可．第16页，共22页本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．20.【答案】(1)证明：𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐=[−(𝑚−1)]2−4×14(−2𝑚+1)=𝑚2−2𝑚+1+2�

�−1=𝑚2≥0，∴原方程总有两个实数根．(2)解：由根与系数的关系得：𝑥1+𝑥2=4(𝑚−1)，𝑥1+𝑥2=4(−2𝑚+1)，∵方程的两根之积是两根之和的2倍，∴4(−2𝑚+1)=2×4(𝑚−1)，即𝑚+1=0，解得：𝑚=34．故𝑚的值为34．【解析

】(1)由根的判别式可知𝑏2−4𝑎𝑐=𝑚2，结合2次方的非负性即可证出结论；(2)由根与系数的关系可得出𝑥1+𝑥2=4(𝑚−1)，𝑥1+𝑥2=4(−2𝑚+1)，由两根之积是两根之和的2倍即可得出关于𝑚的一元一次方程，解方程即可得出结论．本题考查了根与系数的关系、根的判别

式以及解一元一次方程，解题的关键是：(1)找出𝑏2−4𝑎𝑐=𝑚2；(2)得出关于𝑚的一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键．21.【答案】4【解析】解：(1)如图

，△𝐴′𝐵′𝐶′即为所求；(2)𝑆△𝐴′𝐵′𝐶′：𝑆△𝐴𝐵𝐶=22=4，故答案为：4．(1)作图见解析部分；第17页，共22页(2)利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，求解即可．本题考查作图−位似变换，相

似变换等知识，解题的关键是掌握相似变换的性质，属于中考常考题型．22.【答案】解：(1)设这两次降价的平均百分率为𝑎，依题意得：100(1−𝑎)2=81，解得：𝑎1=0.1=10%，𝑎2=1.9(不符合题意，舍去)．答：这两次降价的平均百分率为10%．(2)∵每千克𝐴产品

涨价𝑥元(𝑥>0)，∴每千克可以盈利(20+𝑥)元，每天可以售出120−𝑥2×10=(120−5𝑥)千克．依题意得：(20+𝑥)(120−5𝑥)=2340，依题意得：𝑥2−4𝑥−12=0，解得：𝑥1=6，𝑥2=−2(不

符合题意，舍去)．答：𝑥的值为6．【解析】(1)设这两次降价的平均百分率为𝑎，利用经过两次降价后的价格=原价×(1−这两次降价的平均百分率)2，即可得出关于𝑎的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；(2)当每千克𝐴

产品涨价𝑥元(𝑥>0)时，每千克可以盈利(20+𝑥)元，每天可以售出(120−5𝑥)千克，利用总利润=每千克的销售利润×日销售量，即可得出关于𝑥的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．23.【答案】

(1)证明：①在等边三角形△𝐴𝐶𝐵中，∠𝐵=∠𝐶=60°，∵∠𝐴𝑃𝐷=60°，∠𝐴𝑃𝐶=∠𝑃𝐴𝐵+∠𝐵，∴∠𝐷𝑃𝐶=∠𝑃𝐴𝐵，∴△𝐴𝐵𝑃∽△𝑃𝐶𝐷；(2)解：∵△𝐴𝐵𝑃∽△𝑃𝐶𝐷，𝐴𝐵=𝐴𝐶=

3，∴𝐴𝐵𝑃𝐶=𝐵𝑃𝐶𝐷，∴𝐶𝐷=𝐵𝑃⋅𝑃𝐶𝐴𝐵=2×13=23，第18页，共22页∴𝐴𝐷=3−23=73，∵等边三角形△𝐴𝐶𝐵的边长为3，𝑃𝐶=2，𝐴𝑃2=𝐴𝐷⋅𝐴𝐶，∴𝐴𝐵=3，𝐵𝑃=1，∴𝐴𝑃=√7，∴𝐶𝐷=23．【解

析】(1)由△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，易得∠𝐵=∠𝐶=60°，又∠𝐴𝑃𝐷=60°，由外角性质可得∠𝐷𝑃𝐶=∠𝑃𝐴𝐵，利用相似三角形的判定定理(𝐴𝐴)可得△𝐴𝐵𝑃∽△𝑃𝐶𝐷；(2)利用相似三角形的性质可得𝐴𝐵𝑃𝐶=𝐵𝑃𝐶

𝐷，易得𝐶𝐷，可得𝐴𝐷，再利用𝐴𝑃2=𝐴𝐷⋅𝐴𝐶，可得𝐴𝑃，从而可得答案．本题主要考查了相似三角形的性质及判定，由条件证得△𝐴𝐵𝑃∽△𝑃𝐶𝐷，△𝐴𝐷𝑃∽△𝐴𝑃𝐶是解答此题的关键．24.【

答案】解：(1)𝐴𝑀=𝐵𝑀．(2)如图②中，∵𝐶𝐴=𝐶𝐵=6，∴∠𝐴=∠𝐵，由题意𝑀𝑁垂直平分线段𝐵𝐶，∴𝐵𝑀=𝐶𝑀，∴∠𝐵=∠𝐵𝐶𝑀，∴∠𝐵𝐶𝑀=∠𝐴，∵∠𝐵=∠𝐵，∴△𝐵𝐶𝑀∽△𝐵𝐴

𝐶，∴𝐵𝐶𝐵𝐴=𝐵𝑀𝐵𝐶，∴610=𝐵𝑀6，第19页，共22页∴𝐵𝑀=185，∴𝐴𝑀=𝐴𝐵−𝐵𝑀=10−185=325，∴𝐴𝑀𝐵𝑀=325185=169．(3)①如图③中，由折叠的性质可知，𝐶𝐵=𝐶𝐵′=6，∠𝐵𝐶𝑀=∠𝐴𝐶𝑀，∵

∠𝐴𝐶𝐵=2∠𝐴，∴∠𝐵𝐶𝑀=∠𝐴，∵∠𝐵=∠𝐵，∴△𝐵𝐶𝑀∽△𝐵𝐴𝐶，∴𝐵𝐶𝐴𝐵=𝐵𝑀𝐵𝐶=𝐶𝑀𝐴𝐶∴69=𝐵𝑀6，∴𝐵𝑀=4，∵∠𝐵𝐶𝑀

=∠𝐴𝐶𝑀，∴𝐴𝑀=𝐶𝑀=9−4=5，∴69=5𝐴𝐶，∴𝐴𝐶=152．②如图③−1中，第20页，共22页∵∠𝐴=∠𝐴′=∠𝑀𝐶𝐹，∠𝑃𝐹𝐴′=∠𝑀𝐹𝐶，𝑃𝐴=

𝑃𝐴′，∴△𝑃𝐹𝐴′∽△𝑀𝐹𝐶，∴𝑃𝐹𝑀𝐹=𝑃𝐴′𝐶𝑀，∵𝐶𝑀=5，∴𝑃𝐹𝑀𝐹=𝑃𝐴′5，∵点𝑃在线段𝑂𝐵′上运动，𝑂𝐴=𝑂𝐶=154，𝐴𝐵′=152−

6=32，∴32≤𝑃𝐴′≤154，∴310≤𝑃𝐹𝑀𝐹≤34．【解析】(1)如图①中，∵△𝐴𝐵𝐶折叠，使点𝐵与点𝐶重合，折痕为𝑀𝑁，∴𝑀𝑁垂直平分线段𝐵𝐶，∴𝐶𝑁=𝐵𝑁，∵∠𝑀𝑁𝐵=∠𝐴𝐶𝐵=90°，∴𝑀𝑁//𝐴𝐶，∵𝐶

𝑁=𝐵𝑁，∴𝐴𝑀=𝐵𝑀．故答案为𝐴𝑀=𝐵𝑀．第21页，共22页(2)见答案．(3)见答案．本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．(1)利用线段垂直平分线的性质即可解决问题；(2)利用相似三角形的性质求出�

�𝑀，𝐴𝑀即可；(3)①证明△𝐵𝐶𝑀∽△𝐵𝐴𝐶，推出𝐵𝐶𝐴𝐵=𝐵𝑀𝐵𝐶=𝐶𝑀𝐴𝐶，由此即可解决问题；②证明△𝑃𝐹𝐴′∽△𝑀𝐹𝐶，推出𝑃𝐹𝐹𝑀=𝑃𝐴′𝐶𝑀=𝑃𝐴′5，根据题意求出𝑃𝐴′的取值范围即

可解决问题．25.【答案】解：(1)①∵四边形𝐵𝐸𝐹𝐺是正方形，∴∠𝐸𝐵𝐺=90°，∴𝐴𝐺=√𝐴𝐵2+𝐵𝐺2=√22+12=√5；②如图1，连接𝐵𝐹，∵四边形𝐵𝐸𝐹𝐺是正方形，∴𝐵𝐹⊥𝐴𝐺，∠𝐸𝐺𝐵=∠𝐹𝐵𝐺=45

°，∴𝑂𝐺=𝑂𝐵=√22𝐵𝐺=√22，∴𝑂𝐴=√𝐴𝐵2−𝑂𝐵2=√22−(√22)2=√152，∴𝐴𝐺=𝑂𝐴+𝑂𝐺=√15+√22；(3)如图2，第22页，共22页作𝐸𝐻⊥𝐴𝐵于𝐻，作𝐺𝐾⊥𝐵𝐶，交𝐶𝐵的延长线于𝐾，∵四

边形𝐴𝐵𝐶𝐷和四边形𝐵𝐸𝐹𝐺是矩形，∴∠𝐴𝐵𝐾=∠𝐴𝐵𝐶=90°，∠𝐸𝐵𝐺=90°，∴∠𝐴𝐵𝐾=∠𝐸𝐵𝐺，∴∠𝐴𝐵𝐾−∠𝐸𝐵𝐾=∠𝐸𝐵𝐺−∠𝐸𝐵𝐾，即：∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐾𝐵𝐺，设∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐾𝐵𝐺=𝛼，在�

�𝑡△𝐵𝐻𝐸中，𝐸𝐻=𝐵𝐸⋅𝑠𝑖𝑛𝛼=4𝑠𝑖𝑛𝛼，𝐵𝐻=4𝑐𝑜𝑠𝛼，∴𝐴𝐻=𝐴𝐵−𝐵𝐻=6−4𝑐𝑜𝑠𝛼，∴𝐴𝐸2=𝐸𝐻2+𝐴𝐻2=(4𝑠𝑖𝑛𝛼)2+(6−4𝑐𝑜𝑠�

�)2=52−48𝑐𝑜𝑠𝛼，同理可得：𝐶𝐺2=73+48𝑐𝑜𝑠𝛼，∴𝐴𝐸2+𝐶𝐺2=125．【解析】(1)①在直角三角形𝐴𝐵𝐺中，根据勾股定理求得结果；②连接𝐵𝐹，在直角三角形𝐵𝑂𝐺中求出𝑂𝐵和𝑂𝐺，在直角三角形𝐴𝑂𝐵中求出𝑂𝐴，

进而求得𝐶𝐸；(2)作𝐸𝐻⊥𝐴𝐵于𝐻，作𝐺𝐾⊥𝐵𝐶，交𝐵𝐶的延长线于𝐾，可推出并设∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐾𝐵𝐺=𝛼，在直角三角形𝐵𝐻𝐸中，表示出𝐸𝐻和𝐵𝐻，进而

表示出𝐴𝐻，在直角三角形𝐴𝐸𝐻中根据勾股定理表示出∴𝐴𝐸2，同理表示出𝐶𝐺2，进一步得出结果．本题考查了矩形，正方形性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是找出两个斜三角形中的角的数量关系．