【文档说明】2022-2023学年福建省德化一中永安一中漳平一中三校协作高二上学期12月联考数学试题解析版.doc，共(14)页，1.479 MB，由小喜鸽上传

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第1页共14页2022-2023学年福建省德化一中、永安一中、漳平一中三校协作高二上学期12月联考数学试题一、单选题1．直线2310xy−−=的一个方向向量是（）A．(2,3)B．(2,3)−C．(3,2)D．(3,2)−【答案】C【分析】由直线方

程得法向量，从而可得法向量．【详解】由题意直线的一个法向量是(2,3)−，因此(3,2)是它的一个方向向量，其它都不是方向向量．故选：C．2．抛物线24yx=的焦点坐标是A．()0,1B．()0,2C

．10,8D．10,16【答案】D【详解】解：抛物线的标准方程为：214xy=，据此可知，抛物线的焦点坐标为：10,16.本题选择D选项.点睛：求抛物线的焦点坐标时，首先要把抛物线方程化为标准方程.抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，2p

等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．3．已知双曲线2221(0)2xybb−=的两个焦点分别为12(6,0),(6,0)FF−，则双曲线的渐近线方程为（）A．2yx=B．2yx=C．

3yx=D．5yx=【答案】A【分析】由焦点坐标求得b值后可得渐近线方程．【详解】由题意226b+=，2b=，双曲线方程为22024xy−=，渐近线方程为22024xy−=，即2yx=．故选：A．4．若直线l的一个方向向量=(2,2,2)a−r，平面的一个法向量

=(1,1,1)b−r，则（）A．l⊥B．//lC．lD．A、B、C都有可能第2页共14页【答案】A【分析】直线l的一个方向向量(2,2,2)a=−r，平面的一个法向量为(1,1,1)b=−r，可得2ab=rr，即可判断出结论．【详解】解：Q直线l的一个方向向量(2,2,2)a=−r，平

面的一个法向量为(1,1,1)b=−r，则2ab=rr，故//abrrl⊥．故选：A．5．等差数列na的前n项和nS，3113,66aS==，则9S=（）A．9B．12C．30D．45【答案】D【分析】由等差数列的通项公式与

前n项和公式求得na，然后再由前n项和公式结合等差数列的性质计算．【详解】{}na是等差数列，∴1161166Sa==，66a=，63163aad−==−，3(3)1nann=+−=，55a=，9599545Sa===．故选：D．6

．在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，P为棱11AB中点，异面直线BP与1CD所成的角的余弦值是（）A．1010B．31010C．510D．3510【答案】B【分析】如图建立空间直角坐标系，然后利用空

间向量求解即可.【详解】如图，以D为原点，以1,,DADCDD所在的直线分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，则11(1,1,0),(0,1,0),(1,,1),(0,0,1)2BCPD，所以11(0,,1)

,(0,1,1)2BPCD=−=−uuuruuuur，第3页共14页设异面直线BP与1CD所成的角为，则11133102coscos,1011114BPCDBPCDBPCD====++uuuruuuuruuuruuuuruuuruuuur，故选：B.7．数列

na的前n项和25nSnn=−，则当nS取最小值时n是（）A．2或3B．2C．3D．3或4【答案】A【分析】把25nSnn=−看成一个二次函数，定义域为正整数集，研究其最小值即可.【详解】将25nSnn=−看成一个二次函数，其

顶点横坐标为52n=，又离对称轴最近的正整数为2,3n=；()23minnSSS=或故选：A8．已知椭圆2214xy+=，点P是椭圆第一象限上的点，直线l是椭圆在点P处的切线，直线l分别交两坐标轴于点,MN．则OMNV面积的最小值是（）A．2B．4C．22D．42【答案】A【分析】设(,

0)Mm，(0,)Nn，0,0mn，得直线MN方程为1xymn+=，由直线与椭圆相切可得,mn的关系，由基本不等式求得2214mn的最小值，即得面积12mn的最小值．【详解】设(,0)Mm，(0,)Nn，0,0mn，直线MN方程为1xymn+=，第4页共14页由22141xyx

ymn+=+=，得2222212()104nnxxnmm+−+−=，∵直线MN与椭圆相切，所以42222414()(1)04nnnmm=−+−=，化简得22241nmn=−，由椭圆方程知1n，422222221111(1)22244111nmnnnnnn==++=−

+++=−−−，当且仅当22111nn−=−，即2n=时等号成立．所以12OMNSmn=!取得最小值2.故选：A．二、多选题9．在四面体OABC中，OAa,OBb,OCc===uuurruuurruuurr，点M在OA上，2OMMA=且，N为BC的中点，则下列

四个选项中正确的有（）A．22bcON=+rruuurB．()12ANabc=++uuurrrrC．2223bcMNa=+−rruuuurrD．1223bcMNa=+−rruuuurr【答案】AC【分析】由空间向量的线性运算求解判断．【详解】N是B

C中点，则1()222bcONOBOC=+=+rruuuruuuruuur，A正确；22bcANONOAa=−=+−rruuuruuuruuurr，B错误；2223bcMNONOMa=−=+−rruuuuruuuruuuurr，C正确D错误．故选：AC．10．直线0

xym−+=与圆22210xyx+−−=有两个不同交点的一个充分不必要条件是（）A．01mB．10m−C．1mD．31m−【答案】AB【分析】求出当直线与圆相交时实数m的取值范围，利用充分不必要条件的定义可得结果.【详解

】圆的标准方程为()2212xy−+=，圆心坐标为()1,0，半径长为2，若直线0xym−+=与圆22210xyx+−−=有两个不同交点，则122m+，解得31m−.故选：AB.第5页共14页11．在等差数列na中，公差0d，12100aaa+++=L，则下列一定成立的是

（）A．10aB．560aa+=C．2110aa+D．2110aa+【答案】ABC【分析】由等差数列的公差大于0得数列为递增数列，从而得10a，再由等差数列的性质得110560aaaa+=+=，然后计算211aa+后可得结论．【详解】0d，则{}n

a是递增数列，因此由12100aaa+++=L得10a，100a，1210110565()5()0aaaaaaa+++=+=+=L，560aa+=，1100aa+=，又21111020aaaad+=++，故选：ABC12．已知抛物线22(0)ypxp=的焦点F，过点F的直线l交抛物线于点,

AB，连接AO并延长交抛物线的准线于点C，且113OCOA==，则（）A．90AOB=B．2217p=C．3AFFB=uuuruuurD．916AOFABCSS=!!【答案】BCD【分析】由C在准线上，113OCOA==得A点横坐标，不妨设A在第一象限，可得A点纵坐标，由此得直线AB方程，

从而求得B点坐标，再求得C点坐标，得出//BCx轴可判断A，由1OC=计算出p值判断B，利用坐标可得3AFBF=判断C，由相似形得面积比判断D．【详解】113OCOA==，C在准线上，2Cpx=−，∴32Apx=，不妨设A在第一象限，则223232Apypp==，3Ayp=，即3(,32pAp）

，又(,0)2pF，∴303322ABpkpp−==−，所以直线AB方程为3()2pyx=−，由23()22pyxypx=−=得233022yypp−−=，3p是此方程的一个解，因此另一解y满足32332pypp=−，33yp=−，即33Byp=−，23()326Bppxp−

==，3(,)63pBp−，于是OA方程为233yx=，从而233()323Cpyp=−=−，第6页共14页∴33()341326ABOAOBABppyykkpxxp−===−−，90AOB，A错；

223()()123pOCp=−+−=，2217p=，B正确；3ABAFyBFy==，∴3AFFB=uuuruuur，C正确；AOFACBVV，2222()92216()3AOFABCpOFSSBCp===!

!，D正确．故选：BCD．【点睛】结论点睛：抛物线焦点弦性质：AB是抛物线22ypx=的焦点弦，则11(,)Axy，22(,)Bxy，则（1）2124pxx=，212yyp=−；（2）12ABxxp=++；（3）以AB为直径

的圆与抛物线的准线相切；（4）112AFBFp+=；（5）AO的延长线与准线交于点C，则//BCx轴．三、填空题13．直线30xya−+=的倾斜角为_____.【答案】60o【分析】把直线方程化作斜截式，得到斜率，进而可求出倾斜角.【详解】由30xya−+=可得3yxa=+.设斜率为k，倾斜

角为，则tan3k==.又0180，所以=60.故答案为：60.【点睛】本题考查直线的倾斜角，是一道基础题.第7页共14页14．已知数列na满足1112,2(2)nnaana−==−，则3a等于________

__．【答案】43##113【分析】由递推公式直接计算．【详解】由已知213222a=−=，3142332a=−=．故答案为：43．15．三棱锥−PABC，PAABC⊥平面，且2PAABACBC====，则该三棱锥外接球的表面积是___________．【答案】283##283【分析

】过ABCV的中心M作平面ABC的垂线OM，MO与AP同向，OAOBOC==,取12OMPA=使得OPOA=即可证明O为该三棱锥外接球的球心，再求出球半径后可得表面积．【详解】如图，设M是ABCV中心，作OM⊥平面ABC，AM面ABC，则OMAM⊥，又PA⊥平面

ABC，所以//OMPA，取12OMPA=，在直角梯形PAMO中，可得2214OPOAAMPA==+，ABCV是正三角形,O到,,ABC三点距离相等即OAOBOC==，所以O是三棱锥−PABC的外接球的球心，23232323AM==，2

22317()2343OP=+=，所以所求球表面积为27284()33S==．故答案为：283．16．已知椭圆22221(0)xyabab+=的左右焦点分别为12,FF，点P在椭圆上，连接2PF交y轴于点Q，第8页共14页Q为2PF的

中点且点Q恰好把椭圆的短半轴三等分，则椭圆的离心率是_______．【答案】53##153【分析】由Q为2PF的中点，得1//PFy轴，从而由通径长得21bPFa=，由中位线得22bOQa=，再由点Q恰好把椭圆的短半轴三等

分得13OQb=，建立等式后可求得离心率．【详解】Q为2PF的中点，原点O为12FF的中点，则1//OQPF，即1//PFy轴，∴21bPFa=，从而22bOQa=，又点Q恰好把椭圆的短半轴三等分，∴2132bOQba==，2223baac==−，2259ca=，∴53cea=

=．故答案为：53．四、解答题17．已知等差数列na中，11a=，234212aaa++=．(1)求57aa+的值；(2)若数列nb满足：21nnba=−，证明：数列nb是等差数列．【答案】(1)12(2)证明见解析【分析】（1）由等差数列的性质易得3

3a=，由等差数列的通项公式求得公差d，再由基本量运算求得结论；（2）由（1）求得通项公式na，从而可得nb，计算1(2)nnbbn−−可得结论．【详解】（1）2432aaa+=Q，23432412aaaa++==，33a=312,1aadd=+=Q第9页共14页571210

12aaad+=+=；（2）由（1）可知nan=2121nnban=−=−1(21)[2(1)1]2(2)nnbbnnn−−=−−−−=Q，∴数列nb是等差数列，首项是1，公差是2.18．已知空间三点

，()0,2,3A，()2,1,6B−，()1,1,5C−．(1)求以,ABAC为边的平行四边形的面积；(2)若7AD=uuur，且60DABDAC==，点P是BC的中点，求DPuuur的值．【答案】(1)73；(2)702

822−.【分析】（1）写出,ABACuuuruuur的坐标，求出模长和夹角，用平行四边形的面积公式即可求解；（2）将DPuuur分解到,,ABACADuuuruuuruuur上，利用向量数量积的性质即可求解.【详解】（1）()()2,1,3,1,3,2ABAC=−−=

−uuuruuurQ，222222=2+1+3=1+3+2ABACuuuruuur，14ABAC==uuuruuur，cos,ABACABACABAC=uuuruuuruuuruuuruuuru

uur211332121414−++==，3sin,2ABAC=uuuruuur，132sin,14147322SABACABAC===uuuruuur四边形.（2）Q点P是BC的中点，1122APABAC=+uuuruuuruu

ur，1122DPAPADABACAD=−=+−uuuruuuruuuruuuruuuruuur，2DPuuur222111442ABACADABACABADACAD=+++−−uuuruuuruuuruuu

ruuuruuuruuuruuuruuur第10页共14页()()()()22211114147211332147cos442602=+++−+−+35702827224−=−=702822DP−=uuur.19．已知直线l

经过点(2,4)P−．(1)若原点到直线l的距离等于2，求直线l的方程；(2)圆C过点(2,0)PQ−与，且截直线l所得的弦长为42，圆心C在直线l上，求圆C的方程．【答案】(1)2x=−或34100xy+−=(2)

22(2)8xy+−=或22(4)(2)8xy++−=【分析】（1）分类讨论，按斜率存在与不存在分类讨论，斜率存在时，利用点到直线的距离公式求解；（2）由圆过,PQ两点得圆心在直线2y=上，从而圆心的纵坐标已知，圆心在直线l上，且截l得弦长，即为圆直径，从而得圆半径r，然后再求得

圆心横坐标a，从而得圆标准方程．【详解】（1）①当直线l的斜率不存在，即:2lx=−时，满足题意．②当直线l的斜率存在时，令():42240lykxkxyk−=+−++=即-由22421kk+=+得34k=−234100lxxy

=−+−=直线的方程是或；（2）令圆C的方程：222()()(0)xaybrr−+−=，则由圆C过点(2,0)PQ−与知圆心在直线2y=上，∴2b=，又Q圆C截直线l的弦长为42，圆心C在直线l上()22222,22rar=++=04aa==−或圆C的方程：

()()()222228428xyxy+−=++−=或20．如图，E，F分别是边长为2正方形ABCD边BC，CD的中点，PB⊥平面ABCD，且PB=1．第11页共14页(1)求证：AE⊥平面PBF；(2)求平面APF与平面PB

F夹角的余弦【答案】(1)证明见解析(2)10535【分析】（1）证明AE平面PBF上的两条相交直线分别垂直即可；（2）建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，用夹角公式；【详解】（1）证明：P

B⊥Q平面ABCDAE，平面,ABCDPBAE⊥,,RtRtABBCBECFABEBCF==QVV,90AEBBFCCBFAEBCBFBFC=+=+=AEBF⊥,PBBFBPB=Q平面,PBFBF平面PBF，

⊥AE平面PBF（2）以B为原点建立如图空间直角坐标系，则()()()()2,0,0,0,1,0,1,2,0,0,0,1AEFP()()()2,1,0,1,2,0,1,2,1AEAFPF=−=−=−uuuruuuruuurAE^Q平面PBFAEuuur，是平面PBF一条法向量令(,,

)mxyz=ur是平面PAF的一条法向量，则由0,0mAFmPF==uuurruuurr即2020xyxyz−+=+−=取1,y=则2,4xz==，()2,1,4m=r平面APF与平面PBF夹角满足第12页共14页()22222221104105coscos,352

1214mAE−++===−+++uuurr平面APF与平面PBF夹角的余弦值是1053521．已知数列na满足：222122naanan+++=L．(1)求数列na的通项公式；(2)()3212nnbnna=+令，数列nb的

前n项和为nS．对*nN恒有240nSnn−+成立，求实数的取值范围．【答案】(1)221nnan−=(2)10【分析】（1）用n1−替换已知式中的n得另一式，两式相减可得通项公式na，注意1

a是否适合；（2）由裂项相消法求得和nS后，分离参数，转化为求新数列的最大值，从而是参数范围．【详解】（1）当2n时，()()222121211naanan−+++−=−L，()222221121,nnnnannnan−=−−=−=，当1n=时，11a=满足上式．221nnan−=；（

2）由（1）可得()()()32111112121221212nnbnnnnnna===−−+−++，111022121nnSnn=−=++，对*nN恒有240nSnn−+成立，()()24421nnnnnS−=−+，令()()42

1nbnn=−+，则()()()()132342154nnbbnnnnn+−=−+−−+=−，令540n−得54n∴1234bbbbL，即数列{}nb的最大项是210b=，∴10．第13页共14页

22．已知圆22:(3)4Axy++=，点(3,0)B是圆外的一个定点，P是圆上任意一点，线段BP的垂直平分线与直线AP相交于点Q．(1)求点Q的轨迹C的方程；(2)过点B的直线l交曲线C于,MN两点，问在x轴是否存在定点D使MDBNDB=？若存在，求出定点D

坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)2218yx−=(2)存在；1,03D【分析】（1）根据双曲线的定义求轨迹方程；（2）当直线l斜率不为0时，设1122:3,(,),(,)lxkyMxyNxy=+，直线方程

代入轨迹C方程整理后应用韦达定理得1212,xxxx+，假设存在定点(,0Dm）满足题意，即0MDNDkk+=，把1212,xxxx+代入0MDNDkk+=可求得m，得定点D，验证此点对直线斜率为0时也适合．【详解】（1）Q线段BP的垂直平分线与直线AP相交于点Q．,2QBQPQA

QBQAQP=−=−=，∴点Q的轨迹是以,AB为焦点的双曲线，22a=，1a=，又3c=，则2228bca=−=，∴轨迹C的方程是2218yx−=；（2）当直线l斜率不为0时，令1122:3,(,),(,)lxkyMxyNxy=+，则由22318xkyy

x=+−=得22(81)48640kyky−++=∵直线l与双曲线有两个交点，222122122810Δ(48)464(81)048816481kkkkyykyyk−=−−+=−−=−假设存在点(,0)Dm使MDBNDB=，

则0MDNDkk+=，1212211212121212()()2(3)()0()()()()MDNDyyyxmyxmkyymyykkxmxmxmxmxmxm−+−+−++=+===−−−−−−，第14页共14页12122(3

)()0,kyymyy+−+=即2226448(3)08181kkmkk−+−=−−，26448(3)0,kkm−−=即13m=，x轴上存在点1(,0)3D，使得MDBNDB=，当直线l斜率为0时，点1(,0)3D使得0MDBNDB==，综上，x

轴上存在点1(,0)3D，使得MDBNDB=．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点、定值问题的求解方法，设直线方程为ykxb=+，设直线与圆锥曲线的交点为1122(,),(,)MxyNxy，直线方程与圆锥曲线方程联立方程

组消元后应用韦达定理得1212,xxxx+，假设定点存在，设出定点坐标，把定点满足的性质用坐标表示，代入1212,xxxx+后变形可求得定点坐标．如果是定值问题，则把1212,xxxx+代入要求定值的式子化简后可得．