【文档说明】2022-2023学年福建省泉州实验中学九年级上期中数学试题及答案解析.docx，共(26)页，606.527 KB，由小喜鸽上传

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第1页，共26页2022-2023学年福建省泉州实验中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90°

，则𝑠𝑖𝑛𝐴等于()A.𝐴𝐶𝐴𝐵B.𝐵𝐶𝐴𝐵C.𝐴𝐶𝐵𝐶D.𝐵𝐶𝐴𝐶2.若二次函数𝑦=(𝑚−2)𝑥2+2𝑥−1的图象有最低点，则𝑚的取值范围是()A.𝑚≥2B.𝑚≤2C.𝑚>2D.𝑚<

23.若二次函数𝑦=𝑥2+2𝑥−𝑘的图象与𝑥轴有两个交点，则𝑘的取值范围是()A.𝑘<−1B.𝑘>−1C.𝑘<1D.𝑘>14.为了调查市一中学生的视力情况，在全校的2700名学生中随机抽取了100名学生，下列说法正确

的是()A.此次调查属于全面调查B.样本容量是100C.2700名学生是总体D.被抽取的每一名学生称为个体5.如图，在平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，点𝐸，𝐹，𝐺分别为𝐴𝐵，𝐵𝐷，𝐴𝐷的中点，则△𝐴𝐸𝐺与▱𝐴𝐵𝐶𝐷的面积之比为()

第2页，共26页A.1：2B.1：4C.1：8D.1：166.二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(其中𝑎，𝑏，𝑐是常数，𝑎≠0)的图象如图所示，则下列判断正确的是()A.𝑏>0，𝑐>0B.𝑏>0，𝑐<0C.𝑏<0，𝑐<0D.𝑏<0，𝑐>07.三角函数𝑠𝑖�

�70°，𝑐𝑜𝑠70°，𝑡𝑎𝑛70°的大小关系是()A.𝑠𝑖𝑛70°>𝑐𝑜𝑠70°>𝑡𝑎𝑛70°B.𝑡𝑎𝑛70°>𝑐𝑜𝑠70°>𝑠𝑖𝑛70°C.𝑡𝑎�

�70°>𝑠𝑖𝑛70°>𝑐𝑜𝑠70°D.𝑐𝑜𝑠70°>𝑡𝑎𝑛70°>𝑠𝑖𝑛70°8.西周数学家商高总练了用“矩”(如图1)测量物高的方法：把矩的两边放置成如图2的位置，从矩的一端𝐴(人眼)望点𝐸，使视线通过点𝐶，记人站立的位置为点𝐵，

量出𝐵𝐺长，即可算得物高𝐸𝐺.令𝐺=𝑥(𝑚)，𝐸𝐺=𝑦(𝑚)，若𝑎=30𝑐𝑚，𝑏=60𝑐𝑚，𝐴𝐵=1.6𝑚，则𝑦关于𝑥的函数表达式为()A.𝑦=12𝑥B.𝑦=12𝑥+

1.6C.𝑦=2𝑥+1.6D.𝑦=180𝑥+1.6第3页，共26页9.如图，在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐸为边𝐴𝐷上的中点，点𝐹在边𝐶𝐷上，且∠𝐵𝐸𝐹=90°，若𝐴𝐵=4，延长𝐸𝐹交𝐵𝐶的延长线于点𝐺，则𝐶𝐺的长

为()A.4.5B.5C.5.5D.610.已知抛物线𝑦=𝑎𝑥2−2𝑎𝑚𝑥+𝑐(𝑎<0)经过𝑃(−1,𝑦1)，𝑄(3,𝑦2)，𝑀(𝑚,𝑦3)三点，若−1<𝑚<1，则𝑦1，𝑦2，𝑦3的大小关系是()A

.𝑦1<𝑦2<𝑦3B.𝑦1<𝑦3<𝑦2C.𝑦2<𝑦1<𝑦3D.𝑦3<𝑦2<𝑦1二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.二次函数𝑦=34(𝑥−3)2+4的顶点坐标是______．12.如图，把△𝐴𝑂𝐵缩小后得到△𝐶𝑂𝐷

，则△𝐴𝑂𝐵与△𝐶𝑂𝐷的相似比为______．13.已知一组数据2，𝑎，4，5的众数是5，则这组数据的方差为______．14.如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶=90°，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点𝐷，𝐴𝐷=3，𝑡𝑎𝑛𝐵=34，则𝐷𝐶的值

为______．第4页，共26页15.如图，将函数𝑦=12(𝑥−2)2+4的图象沿𝑦轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点𝐴(1,𝑚)，𝐵(4,𝑛)平移后的对应点分别为点𝐴______、𝐵______.若曲线段𝐴𝐵扫过的面积为9(圈中

的阴影部分)，则新图象的函数表达式是______．16.如图，▱𝐴𝐵𝐶𝐷中，对角线𝐴𝐶与𝐵𝐷相交于点𝑂，∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐴𝐶𝐵，𝐺是线段𝑂𝐷上一点，且∠𝐷𝐺𝐶−∠𝐷𝐶𝐺=90°，①当𝐴�

�⊥𝐵𝐷时，𝑂𝐺𝐺𝐷的值为______，②当tan∠𝐶𝐷𝐵=√24时，𝑂𝐺𝐺𝐷的值为______．三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题8.0分)计算：sin218+c

os218°+𝑐𝑜𝑠30°⋅𝑠𝑖𝑛60°−tan245°．18.(本小题8.0分)如图，𝐸是△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶上的点，已知∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐶𝐴𝐷，𝐴𝐶𝐴𝐷=65，𝐴𝐵=18，𝐴𝐸=15.求证：△𝐴𝐵𝐶∽△𝐴𝐸𝐷．第5页，共26页19

.(本小题8.0分)已知二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图象经过𝐴(1,0)、𝐵(3,0)、𝐶(0,3)．(1)求二次函数的表达式；(2)画出该二次函数的图象；(3)若𝑦>0，请写出𝑥的取值范围______．20.(本小题8.0分)某学校第二课堂要创办“足球特

色班”，大量的热爱足球的同学踊跃报名参加，但由于名额有限，所以需要考核选拔，考核的最终评价成绩由足球知识、身体素质、足球技能三项成绩构成的，下面表中是小张和小王两位同学的成绩记录：第6页，共26页足球知识身体素质足球技能小张709080小王907590(1)若按三项

成绩的平均分记为最终评价成绩，请通过计算，说明小张、小王谁将获胜？(2)根据实际情况，学校决定足球知识、身体贵质、足球技能三项成绩按1：4：5的权重来确定最终评价成绩，请你通过计算，说明小张、小王谁将获胜？21.(本小题8.0分)如图，为了测量某建筑物𝐵𝐶的高度，小颖采用了如下

的方法：先从与建筑物底端𝐵在同一水平线上的𝐴点出发，沿斜坡𝐴𝐷行走130米至坡顶𝐷处，再从𝐷处沿水平方向继续前行若干米后至点𝐸处，在𝐸点测得该建筑物顶端𝐶的仰角为60°，建筑物底端𝐵的俯角为45°，点𝐴、𝐵、

𝐶、𝐷、𝐸在同一平面内，斜校𝐴𝐷的坡度𝑖=1：2.4.根据小颖的测量数据，求建筑物𝐵𝐶的高度．(结果保留根号)22.(本小题10.0分)若△𝐴𝐵𝐶绕点𝐴逆时针旋转𝛼后，与△𝐴𝐷𝐸构成位似图形，则我们称△𝐴𝐵𝐶与△𝐴

𝐷𝐸互为“旋转位似图形”．(1)知识理解：如图①，△𝐴𝐵𝐶与△𝐴𝐷𝐸互为“旋转位似图形”．①若𝛼=25°，∠𝐷=100°，∠𝐶=25°，则∠𝐵𝐴𝐸=______；②若𝐴�

�=6，𝐷𝐸=9，𝐴𝐵=4，则𝐵𝐶=______；(2)知识运用：如图②，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴𝐷𝐶=90°，𝐴𝐸⊥𝐵𝐷于点𝐸，∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐷𝐵𝐶，求证：①𝑂𝐴⋅𝑂𝐶=𝑂𝐵⋅�

�𝐷；②△𝐴𝐶𝐷与△𝐴𝐵𝐸互为“旋转位似图形”．第7页，共26页23.(本小题10.0分)如图，下面是某同学在平面直角坐标系中设计的一动画示意图，点𝐴、𝑁在𝑥轴上，在𝑂𝑁上方有五个水平台阶𝑇1～𝑇5(

各拐角均为90°)，每个台阶的高、宽分别是1和1.5，台阶𝑇1到𝑥轴的距离为10.从点𝐴处向右上方沿抛物线𝑦=−𝑥2+4𝑥+12发出一个带光的点𝑃．(1)点𝑃恰好落在台阶𝑇4上，求此时落点𝑃的坐标；(2)当点𝑃落到台阶𝑇4上后立

即向右弹起，又形成了另一条与原抛物线形状相同的新抛物线𝑦2，且最大高度为11，求新抛物线𝑦2的表达式；(3)如果摆放一个底面半径为0.5𝑚，高1𝑚的圆柱形筐，且筐的最左端距离原点12𝑚，若沿抛物线𝑦2下落的点𝑃必须

落在筐里，需将筐沿𝑥轴向左移动𝑏𝑚，直接写出𝑏的取值范围．24.(本小题12.0分)如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，对角线𝐴𝐶与𝐵𝐷相交于点𝐸，𝐴𝐷=𝐶𝐷，∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐴𝐵𝐷=45°，𝐴𝐺平分∠�

�𝐴𝐵，交𝐷𝐵于点𝐺．(1)如图①，求证：𝐷𝐴=𝐷𝐺；第8页，共26页(2)如图①，求证：𝐴𝐶2=2𝐷𝐸⋅𝐷𝐵；(3)如图②，过点𝐶作𝐶𝐹⊥𝐴𝐺，垂足为𝐹，若∠𝐴𝐵

𝐶=90°，𝐴𝐹𝐴𝐵=2√53，求𝐵𝐻𝐶𝐻的值______．25.(本小题14.0分)已知抛物线𝑦=𝑎𝑥2+2𝑥+𝑐与𝑥轴交于𝐴(−1,0)，𝐵(3,0)两点，直线𝑙：𝑦=𝑘𝑥+𝑏与抛物线交于𝐶、𝐷(�

�,𝑛)两点．(1)求抛物线的解析式；(2)当𝑚=2时，点𝐶为直线𝐴𝐷上方抛物线上的点，𝐴𝐷与𝐵𝐶相交于𝐸，探究𝐸𝐶𝐸𝐵是否有最大值，若存在，请求出此时𝐶点的坐标，若不存在，请说明理由；(3)若𝑘=−2𝑚+2，直线𝑙与抛物线的对称轴相交于点𝑀，点𝑃

在对称轴上．当𝑃𝑀=𝑃𝐷时，求点𝑃的坐标．第9页，共26页答案和解析1.【答案】𝐵【解析】解：在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90°，𝑠𝑖𝑛𝐴=𝐵𝐶𝐴𝐵．故选：𝐵．根据正弦值的定义解决此题．本题主要考查三角函数的正弦值，熟练掌握正弦值的定义是解决本题的关键．2.【答案】

𝐶【解析】解：已知二次函数𝑦=𝑦=(𝑚−2)𝑥2+2𝑥−1的图象有最低点，∴𝑚−2>0，∴𝑚>2，故选：𝐶．根据题意，函数图象的开口方向可得𝑚−2>0，据此求出𝑚的取值范围即可．本题主要考查二次函数的相关知识，解题的关键是掌握二次函数的性质．3.【答案】𝐵【解

析】解：∵二次函数𝑦=𝑥2+2𝑥−𝑘的图象与𝑥轴有两个交点，∴𝛥=22−4×1×(−𝑘)>0，解得：𝑘>−1，故选：𝐵．根据二次函数𝑦=−𝑥2+2𝑥+𝑘的图象与𝑥轴有两个交点，可知判别式𝛥>0，列出

不等式并解之即可求出𝑘的取值范围．本题考查二次函数的判别式、解一元一次不等式，熟记二次函数的图象与判别式的三种对应关系并熟练运用是解答的关键．4.【答案】𝐵【解析】解：𝐴、此次调查属于抽样调查，

故此选项不合题意；B、样本容量是100，故此选项符合题意；第10页，共26页C、2700名学生的视力情况是总体，故此选项不合题意；D、被抽取的每一名学生的视力情况称为个体，故此选项不合题意．故选：𝐵．总体是指考查的对象的全体，个体是总体

中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体．此题主要考查了总体、个体、样本．正确理解总体、个体、样本的概念是解决本题的关键．5.【答案】𝐶【解析】解：∵点𝐸，𝐹，𝐺分别为𝐴𝐵，𝐵𝐷，𝐴𝐷的中点，

∴𝐸𝐹，𝐹𝐺，𝐸𝐺分别是△𝐸𝐹𝐺的中位线，∴𝐸𝐺//𝐷𝐵，∴△𝐸𝐺𝐴∽△𝐷𝐵𝐴，相似比为1：2，∴𝑆△𝐴𝐸𝐺=14𝑆𝐴𝐵𝐷，而四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为平行四边形

，∴𝑆𝐴𝐵𝐷=12𝑆平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷，∴𝑆△𝐴𝐸𝐺=18𝑆平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷．则△𝐴𝐸𝐺与▱𝐴𝐵𝐶𝐷的面积之比为1：8．故选：𝐶．首先根据中点得到中位

线，然后利用中位线的性质得到△𝐸𝐺𝐴∽△𝐴𝐷𝐵，最后利用相似三角形的性质和平行四边形的性质解决问题．本题主要考查了相似三角形的性质与判定，也利用了平行四边形的性质和中位线的性质，有一定的综合性．6.【答案】𝐷【解析】解：∵开口向下，∴𝑎<

0，∵对称轴在𝑦轴左侧，∴−𝑏2𝑎<0，第11页，共26页∴𝑏<0，∵抛物线与𝑦轴交于正半轴，∴𝑐>0，故选：𝐷．由抛物线的开口方向判断𝑎与0的关系，由抛物线与𝑦轴的交点判断𝑐与0的关系，然后根据对称轴判定𝑏与0的关系．本题主要考查了二次函数图象与系数

的关系，关键是熟练掌握①二次项系数𝑎决定抛物线的开口方向，当𝑎>0时，抛物线向上开口；当𝑎<0时，抛物线向下开口；②一次项系数𝑏和二次项系数𝑎共同决定对称轴的位置：当𝑎与𝑏同号时(即𝑎𝑏>0)，对称轴在𝑦轴左；当𝑎与𝑏异号时(即𝑎𝑏<0)，对称轴在�

�轴右．(简称：左同右异)③常数项𝑐决定抛物线与𝑦轴交点，抛物线与𝑦轴交于(0,𝑐)．7.【答案】𝐶【解析】解：∵𝑐𝑜𝑠70°=sin(90°−70°)=𝑠𝑖𝑛20°，𝑠𝑖𝑛70°>𝑠�

�𝑛20°，∴1>𝑠𝑖𝑛70°>𝑐𝑜𝑠70°，又∵𝑡𝑎𝑛70°>𝑡𝑎𝑛45°=1，∴𝑡𝑎𝑛70°>1>𝑠𝑖𝑛70°>𝑐𝑜𝑠70°，故选：𝐶．将𝑐𝑜𝑠70°化为𝑠𝑖𝑛20°，再根据正弦值随角

度的增大而大可得𝑠𝑖𝑛70°>𝑠𝑖𝑛20°，由于70°是锐角，因此𝑠𝑖𝑛70°<1，再根据一个锐角的正切值随着角度的增大而增大可得𝑡𝑎𝑛70°>𝑡𝑎𝑛45°，而𝑡𝑎𝑛45°=1，进而得出𝑡𝑎𝑛7

0°>1，从得出𝑠𝑖𝑛70°，𝑐𝑜𝑠70°，𝑡𝑎𝑛70°的大小关系．本题考查同角三角函数的关系以及锐角三角函数的增减性，掌握同角三角函数的关系以及锐角三角函数的增减性是正确解答的前提．8.【答案】

𝐵【解析】解：由图2可得，𝐴𝐹=𝐵𝐺=𝑥𝑚，𝐸𝐹=𝐸𝐺−𝐹𝐺，𝐹𝐺=𝐴𝐵=1.6𝑚，𝐸𝐺=𝑦𝑚，∴𝐸𝐹=(𝑦−1.6)𝑚，∵𝐶𝐷⊥𝐴𝐹，𝐸𝐹⊥𝐴𝐹，∴𝐶𝐷//𝐸𝐹，∴△𝐴

𝐷𝐶∽△𝐴𝐹𝐸，第12页，共26页∴𝐶𝐷𝐸𝐹=𝐴𝐷𝐴𝐹，即30𝐸𝐹=60𝐴𝐹，∴30𝑦−1.6=60𝑥，化简，得𝑦=12𝑥+1.6，故选：𝐵．根据题意和图形，可以得到𝐴𝐹=𝐵𝐺=𝑥𝑚，𝐸𝐹=𝐸𝐺−𝐹𝐺，𝐹𝐺=

𝐴𝐵=1.6𝑚，𝐸𝐺=𝑦𝑚，然后根据相似三角形的性质，可以得到𝑦与𝑥的函数关系式．本题考查一次函数的应用、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．9.【答案】𝐷【解析】解：∵𝐴𝐵=𝐴𝐷=4，𝐸为𝐴

𝐷的中点，∴𝐴𝐸=𝐷𝐸=2，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐸中，𝐵𝐸=√𝐴𝐸2+𝐴𝐵2=√22+42=2√5，∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为正方形，且∠𝐵𝐸𝐺=90°，∴∠𝐴=∠𝐵𝐸𝐺，∵∠𝐴𝐵𝐸+∠𝐸𝐵𝐺=90°，∠𝐺+∠𝐸𝐵𝐺=90°

，∴∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐺，∴△𝐴𝐵𝐸∽△𝐸𝐺𝐵，𝐴𝐸𝐸𝐵=𝐵𝐸𝐺𝐵，即：22√5=2√5𝐺𝐵，∴𝐵𝐺=10，∴𝐶𝐺=𝐵𝐺−𝐵𝐶=10−4=6，故选：𝐷．根据𝐴𝐵=𝐴𝐷=4，𝐸为𝐴𝐷的中点，知𝐴𝐸=𝐷𝐸=2，𝐵𝐸=

√𝐴𝐸2+𝐴𝐵2=√22+42=2√5，证明△𝐴𝐵𝐸∽△𝐸𝐺𝐵可得22√5=2√5𝐺𝐵，故BG=10，从而𝐶𝐺=𝐵𝐺−𝐵𝐶=10−4=6，本题考查了相似三角形的判定

与性质、正方形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定得出比例式是解题的关键．第13页，共26页10.【答案】𝐶【解析】解：∵抛物线𝑦=𝑎𝑥2−2𝑎𝑚𝑥+𝑐(𝑎<0)，∴抛物线开口向下，对称轴为直线𝑥=−−2𝑎𝑚2𝑎=𝑚

，∵抛物线𝑦=𝑎𝑥2−2𝑎𝑚𝑥+𝑐(𝑎<0)经过𝑃(−1,𝑦1)，𝑄(3,𝑦2)，𝑀(𝑚,𝑦3)三点，−1<𝑚<1，∴点𝑄(3,𝑦2)到对称轴的距离最大，点𝑀(𝑚,𝑦3)在对称轴上，∴𝑦2<𝑦1<𝑦3．故选：𝐶．根据解析式求得开口向下，

对称轴直线𝑥=𝑚<1，然后根据抛物线的性质，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越小，即可得到答案．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．解题时，需熟悉抛物线的有关性质：抛物线的开口向下，则抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越小．11.【答案】(3,4)【

解析】解：∵𝑦=34(𝑥−3)2+4，∴顶点坐标为(3,4)，故答案为：(3,4)．由抛物线解析式可求得答案．本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在𝑦=𝑎(𝑥−ℎ)2+𝑘中，对称轴为𝑥=ℎ，顶点坐标为(ℎ,𝑘)．12.【答案】5：2【解

析】解：由平面直角坐标系可知：𝑂𝐷=2，𝑂𝐵=5，∴△𝐴𝑂𝐵与△𝐶𝑂𝐷的相似比为：𝑂𝐵𝑂𝐷=52，故答案为：5：2．根据题意求出𝑂𝐷=2，𝑂𝐵=5，根据位似图形的概念解答即可．本题考查的是位似变换，熟记位似图形对应边的比是位似比是解题的关键．

13.【答案】1.5第14页，共26页【解析】解：∵2，𝑎，4，5的众数是5，∴𝑎=5，∴这组数据的平均数是(2+5+4+5)÷4=4，则方差为14×[(2−4)2+(5−4)2+(4−4)2+(5−4

)2]=1.5，故答案为：1.5．先根据众数的定义求出𝑎的值，再求出平均数，继而根据方差公式计算可得．本题主要考查方差，根据众数定义求得𝑎的值，掌握方差的计算公式是解题的关键．14.【答案】94【解析】解：∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶

，∴∠𝐴𝐷𝐵=90°，∴∠𝐵+∠𝐵𝐴𝐷=90°，∵∠𝐵𝐴𝐶=90°，∴∠𝐵𝐴𝐷+∠𝐷𝐴𝐶=90°，∴∠𝐵=∠𝐷𝐴𝐶，∴𝑡𝑎𝑛𝐵=tan∠𝐷𝐴𝐶=34，∴

𝐶𝐷𝐴𝐷=34，∵𝐴𝐷=3，∴𝐶𝐷3=34，∴𝐶𝐷=94，故答案为：94．先根据已知求出∠𝐵=∠𝐷𝐴𝐶，然后利用𝑡𝑎𝑛𝐵=34列式求出𝐷𝐶即可解答．本题考查了解直角三角形，锐角三角函数等知识

，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15.【答案】(1,152)、(4,11)𝑦=12(𝑥−2)2+7第15页，共26页【解析】解：把点𝐴(1,𝑚)，𝐵(4,𝑛)分别代入𝑦=12(𝑥−2)2+4得𝐴(1,92)，𝐵(4,8)，∵曲线段𝐴𝐵扫过的面积=(�

�𝐵−𝑥𝐴)×𝐴𝐴′=3𝐴𝐴′=9，则𝐴𝐴′=3，故抛物线向上平移3个单位，∴平移后的对应点分别为点𝐴(1,152)、𝐵(4,11)，新图象的函数表达式是𝑦=12(𝑥−2)2+7，故答案为：(1,152)、(4,11)，𝑦=12(𝑥−2)2+7．曲线段�

�𝐵扫过的面积=(𝑥𝐵−𝑥𝐴)×𝐴𝐴′=3𝐴𝐴′=9，则𝐴𝐴′=3，然后根据平移规律即可求解．本题考查了二次函数的图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知识，根据已知得出𝐴𝐴′是解题关键．16.【答案】√22√7+13【解析】解：①∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷

是平行四边形，𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，∴四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形，∴∠𝐵𝑂𝐶=90°，∴∠𝐴𝐶𝐵+∠𝑂𝐵𝐶=90°，∵∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐴𝐶𝐵，∴∠𝐴𝐵𝐷+∠𝑂𝐵𝐶=90°，即∠𝐴𝐵𝐶=90°，∴四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为正方形，∴∠𝐶𝐷𝑂

=45°．∴𝑂𝐶𝐶𝐷=1√2=√22．∵∠𝐷𝐺𝐶−∠𝐷𝐶𝐺=90°，∠𝐷𝐺𝐶−∠𝑂𝐶𝐺=90°，∴∠𝐷𝐶𝐺=∠𝑂𝐶𝐺，∴𝑂𝐺𝐺𝐷=𝑂𝐶𝐶𝐷=√22，故答案为：√22；②过点𝐶作𝐶𝐸⊥�

�𝐷于点𝐸，过点𝐺作𝐺𝐹⊥𝐶𝐷于点𝐹，如图，第16页，共26页∵𝐶𝐸⊥𝑂𝐷，∴∠𝐶𝐸𝐷=90°，∵∠𝐷𝐺𝐶−∠𝐷𝐶𝐺=90°，∠𝐷𝐺𝐶−∠𝑂𝐶𝐺=90°，∴∠𝐷𝐶𝐺=∠𝑂𝐶𝐺，

∵𝐸𝐺⊥𝐶𝐸，𝐺𝐹⊥𝐶𝐷，∴𝐺𝐸=𝐺𝐹，在𝑅𝑡△𝐶𝐸𝐺和𝑅𝑡△𝐶𝐹𝐺中，{𝐺𝐸=𝐺𝐹𝐶𝐺=𝐶𝐺，∴𝑅𝑡△𝐶𝐸𝐺≌𝑅𝑡△𝐶𝐹𝐺(𝐻𝐿)，∴𝐶𝐸=𝐶𝐹．∵tan∠𝐶𝐷𝐵

=√24，𝐺𝐹⊥𝐶𝐷，𝐸𝐺⊥𝐶𝐸，∴𝐺𝐹𝐷𝐹=√24，𝐶𝐸𝐷𝐸=√24．设𝐺𝐹=√2𝑘，则𝐷𝐹=4𝑘，𝐺𝐸=𝐺𝐹=√2𝑘，∴𝐷𝐺=√𝐺𝐹2+𝐷𝐹2=3√2𝑘，∴𝐷𝐸=𝐸𝐺+𝐷𝐺=4√2𝑘，∴𝐶𝐸4√2�

�=√24，∴𝐶𝐸=2𝑘，∴𝐶𝐹=2𝑘，∴𝐶𝐷=𝐶𝐹+𝐷𝐹=6𝑘．∵𝐴𝐵//𝐶𝐷，∴∠𝐴𝐵𝐷=∠𝑂𝐷𝐶，∵∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐴𝐶𝐵，∴∠𝑂𝐷𝐶=∠𝐴𝐶�

�．∵𝐴𝐷//𝐵𝐶，∴∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐷𝐴𝐶，第17页，共26页∴∠𝑂𝐷𝐶=∠𝐷𝐴𝐶，∵∠𝑂𝐶𝐷=∠𝐷𝐶𝐴，∴△𝐶𝑂𝐷∽△𝐶𝐷𝐴，∴𝑂𝐶𝐶𝐷

=𝐶𝐷𝐴𝐶．∴𝐶𝐷2=𝑂𝐶⋅𝐴𝐶．∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形，∴𝑂𝐴=𝑂𝐶，∴𝐴𝐶=2𝑂𝐶，∴𝐶𝐷2=2𝑂𝐶2，∴𝑂𝐶=√12𝐶𝐷2=3√2𝑘.∴𝑂𝐸=√𝑂𝐶

2−𝐶𝐸2=√14𝑘，∴𝑂𝐺=𝑂𝐸+𝐸𝐺=(√14+√2)𝑘，∴𝑂𝐺𝐺𝐷=(√14+√2)𝑘3√2𝑘=√7+13．故答案为：√7+13．①利用平行四边形的性质，正方形的判定与性质和角平分线的性质定理解答即可；②过点𝐶作𝐶𝐸⊥𝑂𝐷于点𝐸，过点𝐺

作𝐺𝐹⊥𝐶𝐷于点𝐹，利用全等三角形的判定与性质和直角三角形的边角关系定理，设𝐺𝐹=√2𝑘，则𝐷𝐹=4𝑘，𝐺𝐸=𝐺𝐹=√2𝑘，𝐷𝐺=√𝐺𝐹2+𝐷𝐹2=3√2𝑘，𝐷𝐸=𝐸𝐺+𝐷

𝐺=4√2𝑘，𝐶𝐹=2𝑘，𝐶𝐷=𝐶𝐹+𝐷𝐹=6𝑘，再利用平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质求得𝑂𝐶，再进一步求得𝑂𝐸，则𝑂𝐺=𝑂𝐸+𝐸𝐺，则结论可求．本题主要考查了平行四边形的性质，正方形的判定与性质，角平分线的性质定理，勾股定理，相似三角

形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．17.【答案】解：原式=1+√32×√32−1=34．【解析】根据sin2𝛼+cos2𝛼=1以及特殊锐角三角函数值进行计算即可．本题考

查同角三角函数的关系，特殊锐角三角函数值，掌握sin2𝛼+cos2𝛼=1以及特殊锐角三角第18页，共26页函数值是正确解答的前提．18.【答案】证明：∵𝐴𝐶𝐴𝐷=65，𝐴𝐵=18，𝐴𝐸=15，∴𝐴𝐶𝐴𝐷=𝐴𝐵𝐴𝐸=65，∵

∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐶𝐴𝐷，∴∠𝐵𝐴𝐸+∠𝐸𝐴𝐶=∠𝐶𝐴𝐷+∠𝐸𝐴𝐶，即∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐸𝐴𝐷，∴△𝐴𝐵𝐶∽△𝐴𝐸𝐷．【解析】求出𝐴𝐶𝐴𝐷=𝐴𝐵𝐴𝐸=65，

根据∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐶𝐴𝐷求出∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐸𝐴𝐷，再根据相似三角形的判定定理证明即可．本题考查了相似三角形的判定定理，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键，①有两角对应相等的两三角形相似，②有三边

对应成比例的两三角形相似，③有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似．19.【答案】当𝑥>3或𝑥<1【解析】解：(1)设抛物线的解析式为𝑦=𝑎(𝑥−1)(𝑥−3)，把𝐶点的坐标代入得，3=𝑎((0−1)(0−3),解得𝑎=1．故抛物

线的解析式为𝑦=(𝑥−1)(𝑥−3)=𝑥2−4𝑥+3；(2)∵𝑦=𝑥2−4𝑥+3=(𝑥−2)2−1，∴二次函数的顶点坐标为(2,−1)，如图所示：第19页，共26页(3)由图象可得，当𝑥>3或𝑥<1时，𝑦>0．故答案为：当𝑥>3或𝑥<1．(1)设抛物线的解析式

为𝑦=𝑎(𝑥−1)(𝑥−3)，把𝐶点的坐标代入即可求得𝑎的值；(2)用五点法画出函数图象，(3)根据图象即可求得𝑥的取值．本题考查了抛物线与𝑥轴的交点，关键是用待定系数法求函数解析式．20.【答案】解：(1)小张的期末评价成

绩为70+90+803=80(分)；小王的期末评价成绩为90+75+903=85(分)；∵80<85，∴小王将获胜；(2)小张的最终评价成绩为70+90×4+80×51+4+5=83(分)，小王的最终评价成绩为90+75×4+90×51+4+5=84(

分)；则小王将获胜．【解析】(1)利用算术平均数的定义求出小张和小王各自的成绩，再进行比较，即可得出答案；(2)根据加权平均数的定义列式算式，求出小张和小王各自的成绩，再进行比较，即可得出答案．第20页，共26页本题考查的知识点是算术平均数和加权平均数，掌握定义是解决问题的关键．21

.【答案】解：如图，过𝐷作𝐷𝐻⊥𝐴𝐵于𝐻，延长𝐷𝐸交𝐵𝐶于𝐹．则四边形𝐷𝐻𝐵𝐹是矩形，∴𝐵𝐹=𝐷𝐻，在𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐻中，𝐴𝐷=130米，𝐷𝐻：𝐴𝐻

=1：2.4，∴𝐷𝐻=50(米)，∴𝐵𝐹=𝐷𝐻=50(米)，在𝑅𝑡△𝐸𝐹𝐵中，∠𝐵𝐸𝐹=45°，∴△𝐸𝐹𝐵是等腰直角三角形，∴𝐸𝐹=𝐵𝐹=50(米)，在𝑅𝑡△𝐸𝐹𝐶中，∠𝐶𝐸𝐹=60°，tan∠𝐶𝐸𝐹=𝑡𝑎𝑛60

°=𝐶𝐹𝐸𝐹=√3，∴𝐶𝐹=√3𝐸𝐹=50√3≈86.6(米)，∴𝐵𝐶=𝐵𝐹+𝐶𝐹=136.6(米)．即建筑物𝐵𝐶的高度约为136.6米．【解析】过𝐷作𝐷𝐻⊥𝐴𝐵于𝐻，延长𝐷

𝐸交𝐵𝐶于𝐹.则四边形𝐷𝐻𝐵𝐹是矩形，得𝐵𝐹=𝐷𝐻，在𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐻中求出𝐷𝐻，再解直角三角形求出𝐸𝐹、𝐶𝐹的长，即可解决问题．本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、坡度坡角问题，解题的关键是学

会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．22.【答案】30°6【解析】(1)解：①∵△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸互为“旋转位似图形”，∴△𝐴𝐵𝐶∽△𝐴𝐷𝐸，∴∠𝐷=∠𝐵=100°，又∵𝛼=25°，∠𝐶=∠�

�=25°，∴∠𝐵𝐴𝐸=180°−100°−25°−25°=30°；②∵△𝐴𝐵𝐶∽△𝐴𝐷𝐸，∴𝐵𝐶𝐷𝐸=𝐴𝐵𝐴𝐷，第21页，共26页∵𝐴𝐷=6，𝐷𝐸=7，𝐴𝐵=4

，∴𝐵𝐶9=46，∴𝐵𝐶=6，故答案为：30°；6；(2)证明：①∵∠𝐷𝑂𝐴=∠𝐶𝑂𝐵，∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐷𝐵𝐶，∴△𝐷𝑂𝐴∽△𝐶𝑂𝐵，∴𝐴𝑂𝐵𝑂=𝐷𝑂𝐶𝑂，∴𝐴𝑂⋅𝑂𝐶

=𝑂𝐵⋅𝑂𝐷；②∵𝐴𝑂𝐵𝑂=𝐷𝑂𝐶𝑂，∴𝐴𝑂𝐷𝑂=𝐵𝑂𝐶𝑂，又∵∠𝐷𝑂𝐶=∠𝐴𝑂𝐵，∴△𝐴𝑂𝐵∽△𝐷𝑂𝐶，∴∠𝐷𝐶𝐴=∠𝐸𝐵𝐴，又∵∠𝐴

𝐷𝐶=90°，𝐴𝐸⊥𝐵𝐷，∴∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐴𝐸𝐵=90°，∴△𝐴𝐵𝐸∽△𝐴𝐶𝐷，∴∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐸𝐴𝐵，∴△𝐴𝐸𝐵绕点𝐴逆时针旋转∠𝐷𝐴𝐸的度数后与△𝐴𝐷𝐶构成位似图形，∴△𝐴𝐶𝐷和△𝐴𝐵𝐸互

为“旋转位似图形”；(1)①依据△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸互为“旋转位似图形”，可得△𝐴𝐵𝐶∽△𝐴𝐷𝐸，依据相似三角形的对应角相等，即可得到∠𝐵𝐴𝐸=180°−100°−25°−25°=30°；②依据△𝐴𝐵𝐶∽△𝐴𝐷𝐸，可得𝐵𝐶𝐷𝐸=𝐴𝐵𝐴𝐷

，根据𝐴𝐷=6，𝐷𝐸=9，𝐴𝐵=4，即可得出𝐵𝐶=6；(2)①通过证明△𝐴𝑂𝐷∽△𝐵𝑂𝐶，即可得到𝐴𝑂𝐵𝑂=𝐷𝑂𝐶𝑂，可得结论；②通过证明△𝐴𝑂𝐵∽△𝐷𝑂𝐶，可得∠𝐷𝐶𝐴=∠𝐸𝐵

𝐴，通过证明△𝐴𝐵𝐸∽△𝐴𝐶𝐷，进而得出△𝐴𝐶𝐷和△𝐴𝐵𝐸互为“旋转位似图形”；本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，理解旋转位似图形的定义并运用是解题的关键．第22页，共26页23.【答案】解：(1)由题意，台阶

𝑇4的纵坐标为10−1×3=7，当𝑦=7时，7=−𝑥2+4𝑥+12，解得𝑥1=−1(舍去)或𝑥2=5，∴落点𝑃的坐标为(5,7)；(2)由题意抛物线𝑦2=−𝑥2+𝑏𝑥+𝑐，经过𝑅(5,7)，最高点的纵坐标为1

1，则{−4𝑐−𝑏2−4=11−25+5𝑏+𝑐=7，解得：{𝑏=14𝑐=−38或{𝑏=6𝑐=2，当{𝑏=6𝑐=2时，顶点坐标为(3,11)，不符合题意，舍去，∴新抛物线的解析式为𝑦2=−𝑥2+14𝑥−38；(3)令𝑦2=−𝑥2+14𝑥−38=1，解得

𝑥=7+√10或𝑥=7−√10(舍)，∴若沿抛物线𝑦2下落的点𝑃必须落在筐里，则12−𝑏<7+√10<12+1−𝑏，解得：5−√10<𝑏<6−√10．【解析】(1)由题意台阶𝑇4的纵坐标为7，代入求出𝑥的值即可；(2)由题意抛物线𝑦2=−�

�2+𝑏𝑥+𝑐，经过𝑅(5,7)，最高点的纵坐标为11，构建方程组求出𝑏，𝑐，可得结论；(3)先令线𝑦2=−𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=1，求出此时𝑥的值，再根据点𝑃必须落入框中，可得出关于𝑏的不等式组，解之即可．本题考查了二次函数应用，解题关

键是熟练利用待定系数法求出二次函数解析式，利用二次函数的性质求解．24.【答案】35【解析】(1)证明：∵𝐴𝐺平分∠𝐶𝐴𝐵，∴∠𝐸𝐴𝐺=∠𝐵𝐴𝐺，∵∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐴𝐵𝐷=45°，∴∠𝐷𝐴𝐺=4

5°+∠𝐸𝐴𝐺，∠𝐴𝐺𝐸=45°+∠𝐵𝐴𝐺，∴∠𝐷𝐴𝐺=∠𝐴𝐺𝐸，∴𝐷𝐴=𝐷𝐺；(2)证明：∵𝐴𝐷=𝐶𝐷，∠𝐷𝐴𝐶=45°，第23页，共26页∴∠𝐷𝐶𝐴=45°，∴∠𝐴𝐷𝐶=90°，∴𝐴�

�2=2𝐴𝐷2，∵∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐴𝐵𝐷，∴△𝐷𝐴𝐸∽△𝐷𝐵𝐴，∴𝐴𝐷𝐵𝐷=𝐷𝐸𝐴𝐷，∴𝐴𝐷2=𝐷𝐸⋅𝐷𝐵，∴𝐴𝐶2=2𝐷𝐸⋅𝐷𝐵；(3)解：连接𝐶𝐺，∵𝐶�

�⊥𝐴𝐺，∴∠𝐹=90°，∵𝐴𝐺平分∠𝐶𝐴𝐵，∴∠𝐵𝐴𝐹=∠𝐶𝐴𝐹，∴△𝐴𝐵𝐻∽△𝐴𝐹𝐶，∴𝐶𝐹𝐵𝐻=𝐴𝐹𝐴𝐵=2√53，设𝐵𝐻=3𝑚，，则𝐶𝐹=2√5𝑚，∵𝐴𝐷=𝐶�

�=𝐴𝐵，∴∠𝐷𝐴𝐺=∠𝐴𝐺𝐷，∠𝐷𝐺𝐶=∠𝐷𝐶𝐺，∵∠𝐴𝐷𝐶+2∠𝐷𝐺𝐴+∠2∠𝐷𝐺𝐶=360°，∴∠𝐷𝐺𝐴+∠𝐷𝐺𝐶=135°，∴∠𝐶𝐺𝐹=45°，∴𝐺𝐹=2√5𝑚，∴𝐶𝐺=2√10𝑚，∵∠𝐴𝐵𝐷=∠�

�𝐺𝐻=45°，∠𝐴𝐵𝐶=90°，∴∠𝐺𝐵𝐶=45°，∴△𝐶𝐺𝐻∽△𝐶𝐵𝐺，∴𝐶𝐺𝐵𝐶=𝐶𝐻𝐶𝐺，即2√10𝑚3𝑚+𝐶𝐻=𝐶𝐻2√10𝑚，解得𝐶𝐻=5𝑚，第24页，共26页∴𝐵𝐻𝐶𝐻=3

5，故答案为：35．(1)利用角平分线的定义，通过等量代换求出∠𝐷𝐴𝐺=∠𝐴𝐺𝐸，即可证明；(2)先求出∠𝐴𝐷𝐶=90°，由勾股定理得到𝐴𝐶2=2𝐴𝐷2，再证明△𝐷𝐴𝐸∽△𝐷𝐵𝐴，得到

𝐴𝐷2=𝐷𝐸⋅𝐷𝐵，即可证明𝐴𝐶2=2𝐷𝐸⋅𝐷𝐵；(3)连接𝐶𝐺，先证明△𝐴𝐵𝐻∽△𝐴𝐹𝐶，可得𝐶𝐹𝐵𝐻=𝐴𝐹𝐴𝐵=2√53，设𝐵𝐻=3𝑚，，则𝐶𝐹=2√5𝑚，再推导出∠𝐶𝐺𝐹=45°

，可求𝐺𝐹=𝐶𝐺=2√10𝑚，然后证明△𝐶𝐺𝐻∽△𝐶𝐵𝐺，得到2√10𝑚3𝑚+𝐶𝐻=𝐶𝐻2√10𝑚，求出𝐶𝐻=5𝑚，即可求出𝐵𝐻𝐶𝐻=35．本题考查四边形的综合

应用，熟练掌握等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定及性质，勾股定理是解题的关键．25.【答案】解：(1)将𝐴(−1,0)，𝐵(3,0)代入𝑦=𝑎𝑥2+2𝑥+𝑐，则{𝑎−2+𝑐=09�

�+6+𝑐=0，解得：{𝑎=−1𝑏=2，∴𝑦=−𝑥2+2𝑥+3；(2)存在，理由：当𝑥=2时，𝑦=−𝑥2+2𝑥+3=3，即点𝐷(2,3)，过点𝐵、𝐶分别作𝑦轴的平行线分别交𝐴𝐷于点𝑁、𝐻，则𝐶𝐻//𝐵𝑁，由𝐴、𝐷的坐标得，直线𝐴𝐷得表达式为𝑦

=𝑥+1，当𝑥=3时，𝑦=𝑥+1=4，即𝐵𝑁=4，设点𝐶的坐标为(𝑡,−𝑡2+2𝑡+3)，则点𝐻(𝑡,𝑡+1)，则𝐶𝐻=(−𝑡2+2𝑡+3)−(𝑡+1)=−𝑡2+𝑡+2，第25页，共

26页∵𝐶𝐻//𝐵𝑁，∴𝐸𝐶𝐸𝐵=𝐶𝐻𝐵𝑁=14𝐶𝐻=14(−𝑡2+𝑡+2)，∵−14<0，故𝐸𝐶𝐸𝐵最大值，当𝑡=12时，点𝐶的坐标为(12,154)；(3)∵𝐷(𝑚,𝑛)在直线𝑦=𝑘𝑥+𝑏上，

∴𝑛=(−2𝑚+2)𝑚+𝑏，∵点𝐷在抛物线上，∴𝑛=−𝑚2+2𝑚+3，∴𝑏=𝑚2+3，∴直线𝑙为𝑦=(−2𝑚+2)𝑥+𝑚2+3，∵直线𝑙与抛物线的对称轴相交于点𝑀，∴𝑀的横坐标为1，∴𝑦=−2𝑚+2+𝑚2+3=8−(

−𝑚2+2𝑚+3)=8−𝑛，∴𝑀(1,8−𝑛)，设：𝑃(1,𝑝)，而𝑀(1,8−𝑛)，𝐷(𝑚,𝑛)，∵𝑃𝑀=𝑃𝐷，∴(8−𝑛−𝑝)2=(𝑝−𝑛)2+(𝑚−1)2，∴(8−𝑛−𝑝)2−(𝑝−𝑛)2=(𝑚−1)2，∴(8−2𝑛)(8−

2𝑝)=𝑚2−2𝑚+1，∴2(4−𝑛)(8−2𝑝)=4−𝑛，∴𝑚≠1，∴𝑛≠4，∴4−𝑛≠0，∴2(8−2𝑝)=1，∴𝑝=154，∴点𝑃的坐标为(1,154).第26页，共26页【解

析】(1)用待定系数法即可求解；(2)由𝐶𝐻//𝐵𝑁，得到𝐸𝐶𝐸𝐵=𝐶𝐻𝐵𝑁=14𝐶𝐻=14(−𝑡2+𝑡+2)，即可求解；(3)由𝑃𝑀=𝑃𝐷，得到(8−𝑛−𝑝)2=(𝑝−𝑛)2

+(𝑚−1)2，化简得到：2(8−2𝑝)=1，即可求解．本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，勾股定理及逆定理，数形结合，分类讨论是解题的关键．