【文档说明】2022-2023学年北京市门头沟区大峪中学九年级上期中数学试题及答案解析.docx，共(26)页，605.255 KB，由小喜鸽上传

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第1页，共26页2022-2023学年北京市门头沟区大峪中学九年级（上）期中数学试卷1.若𝑥𝑦=23，则𝑥+𝑦𝑥−𝑦等于()A.−5B.5C.−13D.132.把抛物线𝑦=𝑥2+1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线()A.

𝑦=(𝑥+3)2−1B.𝑦=(𝑥+3)2+3C.𝑦=(𝑥−3)2−1D.𝑦=(𝑥−3)2+33.在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90°，𝑠𝑖𝑛𝐴=45，则𝑡𝑎𝑛𝐵的值为()A.43B.34C.35D.454.如图

，𝐷是△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐵上一点，那么下面四个命题中错误的是()A.如果∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐴𝐶𝐵，那么△𝐴𝐶𝐷∽△𝐴𝐵𝐶B.如果∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐵，那么△𝐴𝐶𝐷∽△𝐴𝐵𝐶C.如果𝐴𝐶𝐴𝐵=𝐴𝐷𝐴𝐶，那么△𝐴

𝐶𝐷∽△𝐴𝐵𝐶D.如果𝐴𝐶𝐴𝐷=𝐴𝐵𝐵𝐶，那么△𝐴𝐶𝐷∽△𝐴𝐵𝐶5.一抛物线的形状、开口方向与抛物线𝑦=12𝑥2−2𝑥+3相同，顶点为(−2,1)，则此抛物线的解析式为()A.𝑦=12

(𝑥−2)2+1B.𝑦=12(𝑥+2)2−1C.𝑦=12(𝑥+2)2+1D.𝑦=12(𝑥−2)2−16.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点𝐷.若𝐵𝐶

=24，𝑐𝑜𝑠𝐵=1213，则𝐴𝐷的长为()第2页，共26页A.12B.10C.6D.57.如图，𝐷，𝐸为△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐵，𝐴𝐶上的点，𝐷𝐸//𝐵𝐶，若𝐴𝐷：𝐷𝐵=1：3

，𝐴𝐸=2，则𝐴𝐶的长是()A.10B.8C.6D.48.若点𝐴(1,𝑦1)，𝐵(2,𝑦2)在抛物线𝑦=𝑎(𝑥+1)2+2(𝑎<0)上，则下列结论正确的是()A.2>𝑦1>𝑦2B.2

>𝑦2>𝑦1C.𝑦1>𝑦2>2D.𝑦2>𝑦1>29.若对于一切实数𝑥，不等式𝑚𝑥2−𝑚𝑥−1<0恒成立，则𝑚的取值范围是()A.𝑚<−4或𝑚>0B.𝑚<−4或𝑚≥0C.−

4<𝑚<0D.−4<𝑚≤010.下表是小红填写的实践活动报告的部分内容：题目测量铁塔顶端到地面的高度测量目标示意图相关数据𝐶𝐷=10𝑚，𝛼=45°，𝛽=50°设铁塔顶端到地面的高度𝐹𝐸为𝑥𝑚，根据以上条

件，可以列出的方程为()第3页，共26页A.𝑥=(𝑥−10)tan50°B.𝑥=(𝑥−10)𝑐𝑜𝑠50°C.𝑥−10=𝑥tan50°D.𝑥=(𝑥+10)sin50°11.如图是抛物线𝑦1=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)图

象的一部分，抛物线的顶点坐标𝐴(1,3)，与𝑥轴的一个交点𝐵(4,0)，直线𝑦2=𝑚𝑥+𝑛(𝑚≠0)与抛物线交于𝐴，𝐵两点，下列结论：①2𝑎+𝑏=0；②𝑎𝑏𝑐>0；③方程𝑎𝑥2+

𝑏𝑥+𝑐=3有两个相等的实数根；④抛物线与𝑥轴的另一个交点是(−1,0)；⑤当1<𝑥<4时，有𝑦2<𝑦1，其中正确的是()A.①②③B.①③④C.①③⑤D.②④⑤12.如图，四边形𝐴𝐵

𝐶𝐷中，已知𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐴𝐵与𝐶𝐷之间的距离为4，𝐴𝐷=5，𝐶𝐷=3，∠𝐴𝐵𝐶=45°，点𝑃，𝑄同时由𝐴点出发，分别沿边𝐴𝐵，折线𝐴𝐷𝐶𝐵向终点𝐵方向移动，在移动

过程中始终保持𝑃𝑄⊥𝐴𝐵，已知点𝑃的移动速度为每秒1个单位长度，设点𝑃的移动时间为𝑥秒，△𝐴𝑃𝑄的面积为𝑦，则能反映𝑦与𝑥之间函数关系的图象是()第4页，共26页A.B.C.D.13.反比例函数𝑦=2−𝑘𝑥的图象，当𝑥>0时，𝑦随𝑥的增大而减小，则𝑘的

取值范围是______．14.如图，直线𝑦=𝑘𝑥+𝑏与抛物线𝑦=−𝑥2+2𝑥+3交于点𝐴，𝐵，且点𝐴在𝑦轴上，点𝐵在𝑥轴上，则不等式−𝑥2+2𝑥+3<𝑘𝑎+𝑏的解集为______．15.如图是小孔成像原理的示意图，根据

图中标注的尺寸，如果物体𝐴𝐵的高度为18𝑐𝑚，那么它在暗盒中所成的像𝐶𝐷的高度应为______𝑐𝑚．16.如图，点𝐴在双曲线𝑦=1𝑥上，点𝐵在双曲线𝑦=3𝑥上，且𝐴𝐵//𝑥轴，𝐶，𝐷在𝑥轴上．若四边形𝐴𝐵�

�𝐷为矩形，则它的面积为________．第5页，共26页17.若二次函数𝑦=𝑎𝑥2−2𝑎𝑥+𝑐与𝑥轴的一个交点坐标为(3,0)，则关于𝑥的方程𝑎𝑥2−2𝑎𝑥+𝑐=0的实数根是______．1

8.如图，已知正方形𝑂𝐵𝐶𝐷的三个顶点坐标分别为𝐵(1,0)，𝐶(1,1)，𝐷(0,1).若抛物线𝑦=(𝑥−ℎ)2与正方形𝑂𝐵𝐶𝐷的边共有3个公共点，则ℎ的取值范围是______．19.如图，等边△𝐴�

�𝐶中，𝐴𝐵=4，点𝐷在𝐵𝐶上，𝐵𝐷=1，𝐸是线段𝐴𝐵上的一个动点(点𝐸不与𝐵点重合)，𝐹在射线𝐶𝐴上，且∠𝐸𝐷𝐹=∠𝐵.设𝐵𝐸=𝑥，𝐶𝐹=𝑦，则自变量𝑥的取值范围是______，𝑦关于𝑥

的函数关系式为______．20.设𝑃(𝑥,𝑦1)，𝑄(𝑥,𝑦2)分别是函数𝐶1，𝐶2图象上的点，当𝑎≤𝑥≤𝑏，总有−1≤𝑦1−𝑦2≤1恒成立，则称函数𝐶1，𝐶2在𝑎≤𝑥≤𝑏上是“逼近函数”，𝑎≤𝑥≤𝑏

为“逼近区间”.则下列结论：①函数𝑦1=𝑥−5，𝑦2=3𝑥+2在1≤𝑥≤2上是“逼近函数”；②函数𝑦1=𝑥−5，𝑦2=𝑥2−4𝑥在3≤𝑥≤4上是“逼近函数”；③0≤𝑥≤1是函数𝑦1=𝑥2−1

，𝑦2=2𝑥2−𝑥的“逼近区间”；④2≤𝑥≤3是函数𝑦1=𝑥−5，𝑦2=𝑥2−4𝑥的“逼近区间”其中，正确的结论序号为______．21.解不等式：−2𝑥2−3𝑥+9>0．22.先化简，再求值(1

+𝑦2𝑥2−𝑦2)⋅𝑥−𝑦𝑥，其中𝑥𝑦=3．23.计算4𝑠𝑖𝑛30°−√2𝑐𝑜𝑠45°+tan260°+(13)−1．24.如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷//𝐵𝐶，𝐴𝐵=𝐴𝐶，点𝐸，𝐹分别在𝐴𝐵，𝐵𝐶上，且∠𝐸𝐹𝐵

=∠𝐷．(1)求证：△𝐸𝐹𝐵∽△𝐶𝐷𝐴；(2)若𝐴𝐵=20，𝐴𝐷=5，𝐵𝐹=4，求𝐵𝐸的长．第6页，共26页25.某校九年级数学兴趣小组的同学进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量某塔的高度，他们先在点𝐷用高1.5米

的测角仪𝐷𝐴测得塔顶𝑀的仰角为30°，然后沿𝐷𝐹方向前行40𝑚到达点𝐸处，在𝐸处测得塔顶𝑀的仰角为60°.请根据他们的测量数据求此塔𝑀𝐹的高．(结果精确到0.1𝑚，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√6≈2.45)26.如图，一次函数𝑦=𝑘𝑥+2

(𝑘≠0)的图象与反比例函数𝑦=𝑚𝑥(𝑚≠0,𝑥>0)的图象交于点𝐴(2,𝑛)，与𝑦轴交于点𝐵，与𝑥轴交于点𝐶(−4,0)．(1)求𝑘与𝑚的值；(2)𝑃(𝑎,0)为𝑥轴上的一动点，当△𝐴𝑃𝐵的面积为72时，求𝑎的值．第7页，共2

6页27.如图，以𝐷为顶点的抛物线𝑦=−12𝑥2+𝑏𝑥+𝑐交𝑥轴于𝐴、𝐵两点，交𝑦轴于点𝐶，直线𝐵𝐶的表达式为𝑦=−𝑥+6．(1)求抛物线的表达式；(2)在直线𝐵𝐶上有一点𝑃，使𝑃𝑂+𝑃𝐴的值最小，求

点𝑃的坐标；(3)在轴上是否存在一点𝑄，使得以𝐴、𝐶、𝑄为顶点的三角形与△𝐵𝐶𝐷相似？若存在，请求出点𝑄的坐标；若不存在，请说明理由．28.定义：对于平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦上的点𝑃(

𝑎,𝑏)和抛物线𝑦=𝑥2+𝑎𝑥+𝑏，我们称𝑃(𝑎,𝑏)是抛物线𝑦=𝑥2+𝑎𝑥+𝑏的相伴点，抛物线𝑦=𝑥2+𝑎𝑥+𝑏是点𝑃(𝑎,𝑏)的相伴抛物线．如图，已知点𝐴(−2,−2)，𝐵(4,

−2)，𝐶(1,4)．(1)点𝐴的相伴抛物线的解析式为______；过𝐴，𝐵两点的抛物线𝑦=𝑥2+𝑎𝑥+𝑏的相伴点坐标为______；(2)设点𝑃(𝑎,𝑏)在直线𝐴𝐶上运动：①点𝑃(𝑎,𝑏)的相伴抛物线的顶点都在同一条抛物线𝛺上

，求抛物线𝛺的解析式；②当点𝑃(𝑎,𝑏)的相伴抛物线的顶点落在△𝐴𝐵𝐶内部时，请直接写出𝑎的取值范围．第8页，共26页第9页，共26页答案和解析1.【答案】𝐴【解析】解：∵𝑥𝑦=23，∴𝑥

=23𝑦，∴𝑥+𝑦𝑥−𝑦=23𝑦+𝑦23𝑦−𝑦=−5．故选：𝐴．由𝑥𝑦=23，得𝑥=23𝑦，再代入所求的式子化简即可．此题考查了比例的性质，找出𝑥、𝑦的关系，代入所求式进行约分．2.【答案】𝐶【解析】解：由题意得原抛物线的顶点为

(0,1)，∴平移后抛物线的顶点为(3,−1)，∴新抛物线解析式为𝑦=(𝑥−3)2−1，故选：𝐶．易得原抛物线的顶点及平移后抛物线的顶点，根据平移不改变抛物线的二次项系数可得新的抛物线解析式．考查二次函数的几何变换；用

到的知识点为：二次函数的平移不改变二次项的系数；得到新抛物线的顶点是解决本题的突破点．3.【答案】𝐵【解析】【分析】本题利用了勾股定理和锐角三角函数的定义．通过设参数的方法求三角函数值．本题可以利用锐角三角函数的定义

求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解．【解答】解：由题意，设𝐵𝐶=4𝑥，则𝐴𝐵=5𝑥，𝐴𝐶=√𝐴𝐵2−𝐵𝐶2=3𝑥，第10页，共26页∴𝑡𝑎𝑛𝐵=𝐴𝐶𝐵𝐶=3𝑥4𝑥=34．故选：𝐵．4.【答案】𝐷【解析】解：如果∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐴�

�𝐵，又∠𝐴=∠𝐴，则△𝐴𝐶𝐷∽△𝐴𝐵𝐶，故选项A正确，不符合题意；如果∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐵，又∠𝐴=∠𝐴，则△𝐴𝐶𝐷∽△𝐴𝐵𝐶，故选项B正确，不符合题意；如果𝐴𝐶𝐴𝐵=𝐴𝐷𝐴𝐶，又∠𝐴=∠𝐴，则△𝐴𝐶𝐷∽

△𝐴𝐵𝐶，故选项C正确，不符合题意；由𝐴𝐶𝐴𝐷=𝐴𝐵𝐵𝐶，不能得到△𝐴𝐶𝐷∽△𝐴𝐵𝐶，故选项D错误，符合题意；故选：𝐷．根据三角形相似的判定定理逐项判断即可．本题考查命题与定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．5.【答案】𝐶【解析】解：∵抛物线的形状、

开口方向与抛物线𝑦=12𝑥2−2𝑥+3相同，∴𝑎=12，∵顶点为(−2,1)，∴抛物线解析式为𝑦=12(𝑥+2)2+1．故选：𝐶．首先确定𝑎的值，再利用顶点式即可解决问题．本题考查了待

定系数法求二次函数的解析式，再解答时运用抛物线的性质求出𝑎值是关键．6.【答案】𝐷【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质得出𝐵𝐷=12𝐵𝐶=12，再解直角△𝐴𝐵𝐷，求出𝐴𝐵，然后利用勾股定理求出𝐴𝐷．本题考查了解直角三角形，等腰三

角形的性质以及勾股定理，求出𝐵𝐷与𝐴𝐵的长是解题的关键．【解答】第11页，共26页解：∵在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点𝐷，∴𝐵𝐷=12𝐵𝐶=12．在直角△𝐴𝐵𝐷中，∵𝑐𝑜𝑠

𝐵=𝐵𝐷𝐴𝐵=1213，∴𝐴𝐵=13，∴𝐴𝐷=√𝐴𝐵2−𝐵𝐷2=√132−122=5．故选：𝐷．7.【答案】𝐵【解析】【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟记定理并准确识图准确确定出对应相等是解题的关

键．根据平行线分线段成比例定理可得𝐴𝐸𝐴𝐶=𝐴𝐷𝐴𝐵，然后求解即可．【解答】解：∵𝐷𝐸//𝐵𝐶，∴𝐴𝐸𝐴𝐶=𝐴𝐷𝐴𝐵=13+1=14．∵𝐴𝐸=2，∴𝐴𝐶=8．故选B．8.【答案】𝐴【解析】解：抛物线𝑦=𝑎(𝑥+1)2+

2(𝑎<0)的对称轴为直线𝑥=−1，而𝐴(1,𝑦1)到直线𝑥=−1的距离比点𝐵(2,𝑦2)到直线𝑥=−1的距离小，所以2>𝑦1>𝑦2．故选：𝐴．先求出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质，通过比较𝐴、𝐵点到对称轴的距离大小可得到𝑦1，

𝑦2的大小关系．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：熟练掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．9.【答案】𝐷第12页，共26页【解析】解：若𝑚=0，则−1<0，显然成立，若

𝑚≠0，若不等式𝑚𝑥2−𝑚𝑥−1<0的解是一切实数，则抛物线𝑦=𝑚𝑥2−𝑚𝑥−1的开口向下，与𝑥轴无交点，∴{𝑚<0𝛥=(−𝑚)2+4𝑚<0，解得：−4<𝑚<0，综上，𝑚的取值范围是−4<𝑚≤

0．故选：𝐷．分𝑚=0和𝑚≠0两种情况分类讨论，若𝑚≠0，根据二次函数的性质解决问题．本题主要考查了抛物线与𝑥轴的交点，一元二次不等式与二次函数的关系，注意分类讨论是正确解答的关键．10.【答案】𝐴【解析】解：过𝐷作𝐷𝐻⊥𝐸

𝐹于𝐻，则四边形𝐷𝐶𝐸𝐻是矩形，∴𝐻𝐸=𝐶𝐷=10𝑚，𝐶𝐸=𝐷𝐻，∴𝐹𝐻=(𝑥−10)𝑚，∵∠𝐹𝐷𝐻=𝛼=45°，∴𝐷𝐻=𝐹𝐻=(𝑥−10)𝑚，∴𝐶𝐸

=(𝑥−10)𝑚，∵𝑡𝑎𝑛𝛽=𝑡𝑎𝑛50°=𝐸𝐹𝐶𝐸=𝑥𝑥−10，∴𝑥=(𝑥−10)tan50°，故选：𝐴．过𝐷作𝐷𝐻⊥𝐸𝐹于𝐻，则四边形𝐷𝐶𝐸𝐻是矩形，根据矩形的性质得到𝐻𝐸=𝐶𝐷=10�

�，𝐶𝐸=𝐷𝐻，求得𝐹𝐻=(𝑥−10)𝑚，得到𝐶𝐸=(𝑥−10)𝑚，根据锐角三角函数的定义列方程即可得到结论．本题考查了解直角三角形的应用，由实际问题抽象出一元一次方程，正确的识别图形是解题的关键．11.【答案】�

�【解析】第13页，共26页【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：对于二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)，二次项系数𝑎决定抛物线的开口方向和大小：当𝑎>0时，抛物线开口向上；当𝑎<0时，抛物线开口向下；一次项系数𝑏和二次项系

数𝑎共同决定对称轴的位置：当𝑎与𝑏同号时(即𝑎𝑏>0)，对称轴在𝑦轴左侧；当𝑎与𝑏异号时(即𝑎𝑏<0)，对称轴在𝑦轴右侧．(简称：左同右异)；常数项𝑐决定抛物线与𝑦轴交点：抛物线与𝑦轴交于(0,𝑐)；抛物线与𝑥轴交点

个数由𝛥决定：𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐>0时，抛物线与𝑥轴有2个交点；𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐=0时，抛物线与𝑥轴有1个交点；𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐<0时，抛物线与𝑥轴没有交点．根据抛物线对称轴方程对①进行判断；由抛物线开口方向得到𝑎<0，由对称轴位置可得𝑏>0，由抛物线与𝑦

轴的交点位置可得𝑐>0，于是可对②进行判断；根据顶点坐标对③进行判断；根据抛物线的对称性对④进行判断；根据函数图象得当1<𝑥<4时，一次函数图象在抛物线下方，则可对⑤进行判断．【解答】解：∵抛物线的顶点坐标𝐴(1,3)，∴抛物线的对称轴为直线𝑥=−𝑏2𝑎=1

，∴2𝑎+𝑏=0，所以①正确；∵抛物线开口向下，∴𝑎<0，∴𝑏=−2𝑎>0，∵抛物线与𝑦轴的交点在𝑥轴上方，∴𝑐>0，∴𝑎𝑏𝑐<0，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标𝐴(1,3)，∴𝑥=1时，二次函数有最大值，∴方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+�

�=3有两个相等的实数根，所以③正确；∵抛物线与𝑥轴的一个交点为(4,0)而抛物线的对称轴为直线𝑥=1，∴抛物线与𝑥轴的另一个交点为(−2,0)，所以④错误；∵抛物线𝑦1=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐与直线𝑦2=𝑚𝑥+�

�(𝑚≠0)交于𝐴(1,3)，𝐵点(4,0)第14页，共26页∴当1<𝑥<4时，𝑦2<𝑦1，所以⑤正确．故选C．12.【答案】𝐵【解析】【分析】本题考查了动点问题的函数图象，三角形的面积公式，求出各段的函数关系式是解题的关键．分点𝑄在线段𝐴𝐷上，

点𝑄在线段𝐶𝐷上，点𝑄在线段𝐵𝐶上，三种情况讨论，由三角形面积公式可求解析式，即可求解．【解答】解：如图，过点𝐷作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于𝐸，过点𝐶作𝐶𝐹⊥𝐴𝐵于𝐹，∴𝐷𝐸=𝐶𝐹=4，𝐷𝐸//𝐶�

�，∠𝐶𝐹𝐴=90°，∴四边形𝐷𝐸𝐹𝐶是矩形，∴𝐷𝐶=𝐸𝐹=3，∵𝐴𝐷=5，𝐷𝐸=4，∴𝐴𝐸=√𝐴𝐷2−𝐷𝐸2=√25−16=3，∵∠𝐴𝐵𝐶=45°，∴∠𝐹𝐶𝐵=∠𝐴𝐵

𝐶=45°，∴𝐶𝐹=𝐵𝐹=4，∴𝐴𝐵=𝐴𝐸+𝐸𝐹+𝐵𝐹=10，𝐴𝐹=𝐴𝐸+𝐸𝐹=6，①当点𝑄在线段𝐴𝐷上时，0≤𝑥≤3，∵𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，𝑃𝑄⊥𝐴𝐵，∴𝐷𝐸//𝑃𝑄，∴△𝐴

𝑃𝑄∽△𝐴𝐸𝐷，∴𝐴𝑃𝐴𝐸=𝑃𝑄𝐸𝐷，即𝑥3=𝑃𝑄4，则𝑃𝑄=43𝑥，∴𝑦=12𝑥·43𝑥=23𝑥2，∵0≤𝑥≤3，第15页，共26页∴此段图象是开口向上且在对称轴右侧的抛物线；

②当点𝑄在线段𝐶𝐷上时，3<𝑥≤6，𝑦=12·𝑥·4=2𝑥，此段图象是从左到右上升的线段；③当点𝑄在线段𝐵𝐶上，则6<𝑥≤10，如图，∵𝐴𝑃=𝑥，𝐴𝐵=10，∴𝐵𝑃=10−𝑥，∵∠�

�𝐵𝐶=45°，𝑄𝑃⊥𝐴𝐵，∴∠𝑃𝐵𝑄=∠𝑃𝑄𝐵=45°，∴𝑃𝑄=𝑃𝐵=10−𝑥，∴𝑦=12·𝑥(10−𝑥)=−12𝑥2+5𝑥=−12(𝑥−5)2+252，∵6<𝑥≤10，∴此段图象是开口向下且在对

称轴右侧的抛物线；综上可知，符合三个阶段的函数图象的是𝐵选项．13.【答案】𝑘<2【解析】解：∵反比例函数𝑦=2−𝑘𝑥的图象，当𝑥>0时，𝑦随𝑥的增大而减小，∴2−𝑘>0，解得𝑘<2．故答案为：𝑘<2．先根据当𝑥>0时，𝑦随𝑥的增大而减小得出关于𝑘的不等式，求出𝑘

的取值范围即可．本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数𝑦=𝑘𝑥(𝑘≠0)中，当𝑘>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内𝑦随𝑥的增大而减小是解答此题的关键．14.【答案】𝑥<0或𝑥>3【解析】解：∵抛物线𝑦=−𝑥2+2𝑥+3交𝑦轴于点𝐴，交𝑥

轴正半轴于点𝐵，∴点𝐴(0,3)，第16页，共26页当𝑦=0时，0=−𝑥2+2𝑥+3，∴𝑥1=3，𝑥2=−1，∴点𝐵(3,0)，∴不等式−𝑥2+2𝑥+3<𝑘𝑥+𝑏的解集为𝑥<0或𝑥>3，故答案为：𝑥<0或𝑥>3．先求出点𝐴，点𝐵坐标，结合

图象可求解．本题考查了二次函数与不等式的应用，利用数形结合思想解决问题是本题的关键．15.【答案】8【解析】解：∵△𝐴𝐵𝑂∽△𝐶𝐷𝑂∴𝐴𝐵𝐶𝐷=4520，又∵𝐴𝐵=18𝑐𝑚，∴𝐶𝐷=8．故答案为：8

．正确理解小孔成像的原理，因为𝐴𝐵//𝐶𝐷所以△𝐴𝐵𝑂∽△𝐶𝐷𝑂，则有𝐴𝐵𝐶𝐷=4520而𝐴𝐵的值已知，所以可求出𝐶𝐷．此题主要考查了相似三角形的应用，相似比等于对应高之比

在相似中用得比较广泛．16.【答案】2【解析】解：过𝐴点作𝐴𝐸⊥𝑦轴，垂足为𝐸，∵点𝐴在双曲线𝑦=1𝑥上，∴四边形𝐴𝐸𝑂𝐷的面积为1，∵点𝐵在双曲线𝑦=3𝑥上，且𝐴𝐵//𝑥轴，∴四边形𝐵𝐸

𝑂𝐶的面积为3，∴矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为3−1=2．故答案为：2．根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积𝑆的关系𝑆=|𝑘|即可判断．第17页，共26页本题主要考查了反比

例函数𝑦=𝑘𝑥中𝑘的几何意义，即过双曲线上任意一点引𝑥轴、𝑦轴垂线，所得矩形面积为|𝑘|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解𝑘的几何意义．17.【答案】−1或3【解析】解：∵二次函数�

�=𝑎𝑥2−2𝑎𝑥+𝑐与𝑥轴的一个交点坐标为(3,0)，∴9𝑎−6𝑎+𝑐=0，解得：𝑐=−3𝑎，∴方程𝑎𝑥2−2𝑎𝑥+𝑐=0可转化为𝑎𝑥2−2𝑎𝑥−3𝑎=0，即𝑥2−2𝑥−3=0，解得：𝑥1=−1，𝑥

2=3，∴方程𝑎𝑥2−2𝑎𝑥+𝑐=0的实数根是−1或3，故答案为：−1或3．根据抛物线与𝑥轴的交点坐标求出𝑐=−3𝑎，再把𝑐=−3𝑎代入方程𝑎𝑥2−2𝑎𝑥+𝑐=0得到方程的解．本题主要考查了抛物线与𝑥轴的交点，二次函数的性质，解

题的关键是求得抛物线与𝑥轴的两个交点坐标．18.【答案】0<ℎ<1【解析】解：∵函数𝑦=(𝑥−ℎ)2的图象为开口向上，顶点在𝑥轴上的抛物线，∴其图象与正方形𝑂𝐵𝐶𝐷的边共有3个公共点为点𝑂和点𝐵，把点𝑂坐标代入𝑦=(𝑥−ℎ)2，得0=(0−ℎ

)2∴ℎ=0；把点𝐵坐标代入𝑦=(𝑥−ℎ)2，得0=(1−ℎ)2∴ℎ=1．抛物线𝑦=(𝑥−ℎ)2与正方形𝑂𝐵𝐶𝐷的边共有3个公共点，则ℎ的取值范围是0<ℎ<1．故答案为：0<ℎ<1．第18

页，共26页由于函数𝑦=(𝑥−ℎ)2的图象为开口向上，顶点在𝑥轴上的抛物线，因为𝑂、𝐵点为抛物线与与正方形𝐴𝐵𝐶𝐷有有3个公共点的临界点，代入求出即可得解．本题考查二次函数图象与正方形交点的问题，需要先判断抛物线的开口方向，顶点位

置及抛物线与正方形二者的临界交点，需要明确临界位置及其求法．19.【答案】0<𝑥≤4𝑦=3𝑥【解析】解：∵点𝐸是线段𝐴𝐵上的一个动点(点𝐸不与𝐵点重合)，𝐵𝐸=𝑥，𝐴𝐵=4，∴自变量𝑥的取值范围是0<𝑥≤4，∵等边△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=4，𝐵�

�=1，∴𝐵𝐶=𝐴𝐵=4，∠𝐵=∠𝐶=60°，∴𝐶𝐷=4−1=3，∵∠𝐸𝐷𝐹=∠𝐵，∠𝐸𝐷𝐹+∠𝐹𝐷𝐶=∠𝐵+∠𝐵𝐸𝐷，∴∠𝐹𝐷𝐶=∠𝐵𝐸𝐷，∴△𝐵𝐸𝐷∽△𝐶𝐷𝐹，∴𝐵𝐷𝐵𝐸=𝐶𝐹𝐶

𝐷，即1𝑥=𝑦3，∴𝑦关于𝑥的函数关系式为𝑦=3𝑥．根据点𝐸是线段𝐴𝐵上的一个动点(点𝐸不与𝐵点重合)，即可得出自变量𝑥的取值范围；证明△𝐵𝐸𝐷∽△𝐶𝐷𝐹，利用相似三角形对应边成比例即可得出𝑦关于𝑥的函数关系式．本题考查等边三角形的性质，相似三角形的判

定和性质，解题的关键是构造𝑥，𝑦所在的两个三角形相似．20.【答案】②③【解析】解：①𝑦1−𝑦2=−2𝑥−7，在1≤𝑥≤2上，当𝑥=1时，𝑦1−𝑦2最大值为−9，当𝑥=2时，𝑦1−𝑦2最小值为

−11，即−11≤𝑦1−𝑦2≤−9，故函数𝑦=𝑥−5，𝑦=3𝑥+2在1≤𝑥≤2上是“逼近函数”不正确；②𝑦1−𝑦2=−𝑥2+5𝑥−5，在3≤𝑥≤4上，当𝑥=3时，𝑦1−𝑦2最大值为1，当𝑥=4时，𝑦1−𝑦2最小值为−1，即

−1≤𝑦1−𝑦2≤1，故函数𝑦=𝑥−5，𝑦=𝑥2−4𝑥在3≤𝑥≤4上是“逼近函数”正确；第19页，共26页③𝑦1−𝑦2=−𝑥2+𝑥−1，在0≤𝑥≤1上，当𝑥=12时，𝑦1−𝑦2最大值为−34，当𝑥=0或𝑥=1时

，𝑦1−𝑦2最小值为−1，即−1≤𝑦1−𝑦2≤−34，当然−1≤𝑦1−𝑦2≤1也成立，故0≤𝑥≤1是函数𝑦=𝑥2−1，𝑦=2𝑥2−𝑥的“逼近区间”正确；④𝑦1−𝑦2=−𝑥2+5𝑥−

5，在2≤𝑥≤3上，当𝑥=时，𝑦1−𝑦2最大值为54，当𝑥=2或𝑥=3时，𝑦1−𝑦2最小值为1，即1≤𝑦1−𝑦2≤54，故2≤𝑥≤3是函数𝑦=𝑥−5，𝑦=𝑥2−4𝑥的“逼近区间”不正确；∴正确的有②③，故答案为

：②③．根据当𝑎≤𝑥≤𝑏时，总有−1≤𝑦1−𝑦2≤1恒成立，则称函数𝐶1，𝐶2在𝑎≤𝑥≤𝑏上是“逼近函数”，𝑎≤𝑥≤𝑏为“逼近区间”，逐项进行判断即可．本题考查一次函数、二次函数的综合应用，解题

的关键是读懂“逼近函数”和“逼近区间”的含义，会求函数在某个范围内的最大、最小值．21.【答案】解：令𝑦=−2𝑥2−3𝑥+9，当𝑦=0时，−2𝑥2−3𝑥+9=0解得：𝑥1=32，𝑥2=−3．∴抛

物线𝑦=−2𝑥2−3𝑥+9与𝑥轴的交点为𝐴(−3,0)，𝐵(32,0)，如图所示．∴当−3<𝑥<32时，𝑦>0即−2𝑥2−3𝑥+9>0．∴不等式−2𝑥2−3𝑥+9>0的解集为−3<𝑥<32．【解析】可将该不等式转化为

二次函数，利用二次函数的图象来解．本题考查了不等式组的解法、二次函数图象的应用等知识，考查了转化的思想以及数形结合的思想，其中将一元二次不等式转化为二次函数是解决本题的关键．第20页，共26页22.【答案】解：原式=(𝑥2−�

�2𝑥2−𝑦2+𝑦2𝑥2−𝑦2)⋅𝑥−𝑦𝑥=𝑥2(𝑥+𝑦)(𝑥−𝑦)⋅𝑥−𝑦𝑥=𝑥𝑥+𝑦，∵𝑥𝑦=3，∴𝑥=3𝑦，∴原式=3𝑦3𝑦+𝑦=34．【解析】先把括号内的通分相加，然后因式分解再约分即

可将所求式子化简，再将𝑥=3𝑦代入化简后的式子计算即可．本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确题意分式混合运算的运算法则和运算顺序．23.【答案】解：原式=4×12−√2×√22+√32+3=2−1+3+3=7．【解析】先将特殊角三角函数

值代入，然后先算乘方，再算乘除，最后算加减．本题考查特殊角三角函数值，二次根式的混合运算，掌握特殊角三角函数值以及二次根式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．24.【答案】解：(1)∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，∴∠𝐵=∠𝐴𝐶𝐵，∵𝐴𝐷//𝐵𝐶，∴∠�

�𝐴𝐶=∠𝐴𝐶𝐵，∴∠𝐵=∠𝐷𝐴𝐶，∵∠𝐸𝐹𝐵=∠𝐷，∴△𝐸𝐹𝐵∽△𝐶𝐷𝐴；(2)∵△𝐸𝐹𝐵∽△𝐶𝐷𝐴，∴𝐵𝐸𝐴𝐶=𝐵𝐹𝐴𝐷，∵𝐴𝐵=𝐴

𝐶=20，𝐴𝐷=5，𝐵𝐹=4，第21页，共26页∴𝐵𝐸20=45，∴𝐵𝐸=20×45=16．【解析】(1)先根据等腰三角形的性质得出：∠𝐵=∠𝐴𝐶𝐵，再根据平行线的性质得出：∠𝐷𝐴𝐶=∠

𝐴𝐶𝐵，最后根据相似三角形的判定即可求出答案．(2)根据△𝐸𝐹𝐵∽△𝐶𝐷𝐴，利用相似三角形的性质即可求出𝐵𝐸的长度．本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练

运用相似三角形的性质与判定．25.【答案】解：由题意：𝐴𝐵=40，𝐶𝐹=1.5，∠𝑀𝐴𝐶=30°，∠𝑀𝐵𝐶=60°，∵∠𝑀𝐴𝐶=30°，∠𝑀𝐵𝐶=60°，∴∠𝐴𝑀𝐵=30°

∴∠𝐴𝑀𝐵=∠𝑀𝐴𝐵∴𝐴𝐵=𝑀𝐵=40，在𝑅𝑡△𝐵𝐶𝑀中，∵∠𝑀𝐶𝐵=90°，∠𝑀𝐵𝐶=60°，∴∠𝐵𝑀𝐶=30°．∴𝐵𝐶=12𝐵𝑀=20(米)，∴𝑀𝐶=√𝑀𝐵2−𝐵𝐶2=20√3(米)

，∴𝑀𝐶≈34.64(米)，∴𝑀𝐹=𝐶𝐹+𝐶𝑀=36.14≈36.1(米)．【解析】首先证明𝐴𝐵=𝐵𝑀=40，在𝑅𝑡△𝐵𝐶𝑀中，利用勾股定理求出𝐶𝑀即可解决问题；本题考

查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，本题的突破点是证明𝐴𝐵=𝐵𝑀=40，属于中考常考题型．第22页，共26页26.【答案】解：(1)把𝐶(−4,0)代入𝑦=𝑘𝑥+2，得𝑘=12，∴𝑦=12𝑥+2，把𝐴(2,𝑛)代入

𝑦=12𝑥+2，得𝑛=3，∴𝐴(2,3)，把𝐴(2,3)代入𝑦=𝑚𝑥，得𝑚=6，∴𝑘=12，𝑚=6；(2)当𝑥=0时，𝑦=2，∴𝐵(0,2)，∵𝑃(𝑎,0)为𝑥轴上的动点，∴𝑃𝐶=|𝑎+4|，∴�

�△𝐶𝐵𝑃=12⋅𝑃𝐶⋅𝑂𝐵=12×|𝑎+4|×2=|𝑎+4|，𝑆△𝐶𝐴𝑃=12𝑃𝐶⋅𝑦𝐴=12×|𝑎+4|×3，∵𝑆△𝐶𝐴𝑃=𝑆△𝐴𝐵𝑃+𝑆△𝐶𝐵

𝑃，∴32|𝑎+4|=72+|𝑎+4|，∴𝑎=3或−11．【解析】(1)把点𝐶的坐标代入一次函数的解析式求出𝑘，再求出点𝐴的坐标，把点𝐴的坐标代入反比例函数的解析式中，可得结论；(2)根据𝑆△𝐶𝐴𝑃=

𝑆△𝐴𝐵𝑃+𝑆△𝐶𝐵𝑃，构建方程求解即可．本题考查反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用参数构建方程解决问题．27.【答案】解：(1)把𝑥=0代入𝑦=−𝑥+6，得：𝑦=6，∴𝐶(0,6)，把𝑦=0代入𝑦=

−𝑥+6得：𝑥=6，∴𝐵(6,0)，将𝐶(0,6)、𝐵(6,0)代入𝑦=−12𝑥2+𝑏𝑥+𝑐得：第23页，共26页{−12×36+6𝑏+𝑐=0𝑐=6，解得{𝑏=2𝑐=6∴抛物线的解析式为𝑦=−12𝑥2+2𝑥+6

；(2)如图1所示：作点𝑂关于𝐵𝐶的对称点𝑂′，则𝑂′(6,6)，∵𝑂′与𝑂关于𝐵𝐶对称，∴𝑃𝑂=𝑃𝑂′．∴𝑃𝑂+𝐴𝑃=𝑃𝑂′+𝐴𝑃．∴当𝐴、𝑃、𝑂′在一条直线上时，𝑂𝑃+𝐴𝑃有最小值．∵𝑦=−12𝑥2+2𝑥+6，

当𝑦=0时，−12𝑥2+2𝑥+6=0，解得：𝑥1=−2，𝑥2=6，∴𝐴(−2,0)，设𝐴𝑃的解析式为𝑦=𝑚𝑥+𝑛，把𝐴(−2,0)、𝑂′(6,6)代入得：{−2𝑚+𝑛=0

6𝑚+𝑛=6，解得：{𝑚=34𝑛=32，∴𝐴𝑃的解析式为𝑦=34𝑥+32将𝑦=34𝑥+32与𝑦=−𝑥+6联立{𝑦=34𝑥+32𝑦=−𝑥+6，第24页，共26页解得：{𝑥=187𝑦=247，∴点𝑃的坐标为(187,247)；(3)如图2，∵𝑦=−12𝑥2+

2𝑥+6=−12(𝑥−2)2+8，∴𝐷(2,8)，又∵𝐶(0,6)、𝐵(6,0)，∴𝐶𝐷=2√2，𝐵𝐶=6√2，𝐵𝐷=4√5．∴𝐶𝐷2+𝐵𝐶2=𝐵𝐷2，∴△𝐵𝐶𝐷是直角三角形，∴tan∠

𝐵𝐷𝐶=𝐵𝐶𝐶𝐷=3，∵𝐴(−2,0)，𝐶(0,6)，∴𝑂𝐴=2，𝑂𝐶=6，𝐴𝐶=2√10∴tan∠𝐶𝐴𝑂=𝑂𝐶𝑂𝐴=3，∴∠𝐵𝐷𝐶=∠𝐶𝐴𝑂．当△𝐴𝐶𝑄∽△𝐷𝐶𝐵时，有𝐴𝐶𝐷𝐶=𝐴𝑄𝐷𝐵，即2√102√

2=𝐴𝑄4√5，解得𝐴𝑄=20，∴𝑄(18,0)；当△𝐴𝐶𝑄∽△𝐷𝐵𝐶时，有𝐴𝐶𝐷𝐵=𝐴𝑄𝐷𝐶，即2√104√5=𝐴𝑄2√2，解得𝐴𝑄=2，第25页，共26页∴𝑄

(0,0)；综上所述，当𝑄的坐标为(0,0)或(18,0)时，以𝐴、𝐶、𝑄为顶点的三角形与△𝐵𝐶𝐷相似．【解析】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理逆定理，锐角三角函数等知识，熟练掌握相似三角形

的判定与性质是解本题的关键．(1)先求出点𝐵，𝐶坐标，再用待定系数法即可得出结论；(2)作点𝑂关于𝐵𝐶的对称点𝑂′，则𝑂′(6,6)，则𝑂𝑃+𝐴𝑃的最小值为𝐴𝑂′的长，然后求得𝐴𝑃的解析式，联立直线𝐴𝑃和

𝐵𝐶的解析式可求得点𝑃的坐标；(3)先判断出△𝐵𝐶𝐷是直角三角形，求出tan∠𝐵𝐷𝐶=𝐵𝐶𝐶𝐷=3，tan∠𝐶𝐴𝑂=𝑂𝐶𝑂𝐴=3，得出∠𝐵𝐷𝐶=∠𝐶𝐴𝑂.分两种情况由相似三角形的性质可得出比例线段，求出𝐴𝑄的长，则

可得出答案．28.【答案】𝑦=𝑥2−2𝑥−2(−2,−10)【解析】解：(1)𝑎=𝑏=−2，故抛物线的表达式为：𝑦=𝑥2−2𝑥−2，故答案为：𝑦=𝑥2−2𝑥−2；将点𝐴、𝐵坐标代入𝑦=𝑥2+𝑎

𝑥+𝑏并解得：𝑎=−2，𝑏=−10，故答案为：(−2,−10)；(2)①由点𝐴、𝐶的坐标得，直线𝐴𝐶的表达式为：𝑦=2𝑥+2，设点𝑃(𝑚,2𝑚+2)，则抛物线的表达式为：𝑦=𝑥2+𝑚𝑥+2𝑚+2，顶点为：(−12𝑚

,−14𝑚2+2𝑚+2)，令𝑥=−12𝑚，则𝑚=−2𝑥，则𝑦=−14𝑚2+2𝑚+2=−𝑥2−4𝑥+2，即抛物线𝛺的解析式为：𝑦=−𝑥2−4𝑥+2；②如图所示，𝛺抛物线落在△𝐴𝐵𝐶内部为𝐸𝐹段，第26页，共2

6页抛物线与直线𝐴𝐶的交点为点𝐸(0,2)；当𝑦=−2时，即𝑦=−𝑥2−4𝑥+2=−2，解得：𝑥=−2±2√2，故点𝐹(−2+2√2,−2)；故0<𝑥<−2+2√2，由①知：𝑎=𝑚=−2𝑥，故：4−4√2<𝑎<0．(1)𝑎=𝑏=−2，故抛物线的表达式

为：𝑦=𝑥2−2𝑥−2，故答案为：𝑦=𝑥2−2𝑥−2；将点𝐴、𝐵坐标代入𝑦=𝑥2+𝑎𝑥+𝑏并解得：𝑎=−2，𝑏=−10；(2)①直线𝐴𝐶的表达式为：𝑦=2𝑥+2，设点𝑃

(𝑚,2𝑚+2)，则抛物线的表达式为：𝑦=𝑥2+𝑚𝑥+2𝑚+2，顶点为：(−12𝑚,−14𝑚2+2𝑚+2)，即可求解；②如图所示，𝛺抛物线落在△𝐴𝐵𝐶内部为𝐸𝐹段，即可求解．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解

不等式等，这种新定义类题目，通常按照题设的顺序逐次求解．