【文档说明】2022-2023学年北京海淀区高三上期末数学试卷及答案.pdf，共(11)页，662.182 KB，由小喜鸽上传

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高三数学参考答案第1页（共7页）海淀区2022—2023学年第一学期期末练习高三数学参考答案一、选择题题目12345678910答案DADBCBCADB二、填空题（11）1(,0)2（12）8−（13）233（14）3yx=；(1,2]

（15）①②④三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）解：（Ⅰ）()fx的解析式为()sin(2)6fxx=+，单调递增区间为[,]()36kkk−+Z.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知1()sin(

2)62fBB=+=，因为0B，所以22666B++.所以266B+=.即3B=.由余弦定理得2222cosbacacB=+−.即2212acac=+−.即212()3acac=+−.即12363ac=−.

即8ac=.所以1sin232ABCSacB==△.高三数学参考答案第2页（共7页）（17）（本小题14分）解：（Ⅰ）取PD中点N，连接,ANMN.在PCD△中，,MN分别为,PCPD的中点，所以MNDC，1=2MNDC，因为AB

DC，1=2ABDC，所以ABMN，=ABMN.所以四边形ABMN为平行四边形，因此BMAN.又因为BM平面PAD，AN平面PAD，所以BM平面PAD.（Ⅱ）选择条件①因为PD⊥平面ABCD，,ADDC平面ABCD，所以PDA

D⊥，PDDC⊥.又因为ADDC⊥，所以建立如图空间直角坐标系Dxyz−．因为PD⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以PDBD⊥.所以在RtPBD△中，1PD=，3PB=，可得2BD=.在RtABD△中，1AD=，2BD=，所以1AB

=,又因为12ABDC=，所以2DC=.由题意得(0,0,0)D,(1,0,0)A,(1,1,0)B,(0,2,0)C,(0,0,1)P,1(0,1,)2M，所以(1,0,0)DA=，1(0,1,)2DM=，(1,1,0)DB=.设平面BDM的法向量为(,,)xyz=n，所以0,0,DM

DB==nn即10,20.yzxy+=+=令1y=−，则1,2xz==.所以平面BDM的一个法向量为(1,1,2)=−n.易知DA为平面PDM的一个法向量.所以16cos,6||||61DADADA===nnn.因为

二面角PDMB−−为钝角，所以二面角PDMB−−的余弦值为66−.NBMDCAPzyxBMDCAP高三数学参考答案第3页（共7页）选择条件②因为PD⊥平面ABCD，,ADDC平面ABCD，所以PDAD⊥，PDDC⊥，又因为ADDC⊥，所以建立如图空间直角坐标系Dxyz−．取CD的中点E

，连接BE.因为ABDC，1=2ABDC，所以ABDE，=ABDE，又因为ADDC⊥，所以四边形ABED为矩形.在BCD△中，因为BDBC⊥，所以12BEDC=.又因为12ABDC=，所以ABBE=.所以四边形ABED为正方形，即1ABAD

==，2DC=.由题意得(0,0,0)D,(1,0,0)A,(1,1,0)B,(0,2,0)C,(0,0,1)P,1(0,1,)2M，所以(1,0,0)DA=，1(0,1,)2DM=，(1,1,0)DB=.设平面BDM的法向量为(,,)xyz=n，所以0,0,DMDB==n

n即10,20.yzxy+=+=令1y=−，则1,2xz==.所以平面BDM的一个法向量为(1,1,2)=−n.易知DA为平面PDM的一个法向量.所以16cos,6||||61DADADA===nnn

.因为二面角PDMB−−为钝角，所以二面角PDMB−−的余弦值为66−.（18）（本小题14分）解：（Ⅰ）由图可知，亩产量是400kg的概率约为0.005500.25=，亩产量是450kg的概率约为0.01500.5=，亩产量是500kg的

概率约为0.005500.25=.估计H地区明年每亩冬小麦统一收购总价为1500元的概率为0.250.60.15=.（Ⅱ）X的所有可能取值为960，1080，1200，1350，1500.(960)0.250.40.1PX===，(1

080)0.50.40.2PX===，(1200)0.250.40.250.60.10.150.25PX==+=+=，(1350)0.50.60.3PX===，(1500)0.250.60.15PX===.zyxBEM

DCAP高三数学参考答案第4页（共7页）X的分布列为X9601080120013501500P0.10.20.250.30.15()9600.110800.212000.2513500.315000.151242EX=++++=.（3）建议农科所推广该项技术改良.设增产

前每亩冬小麦产量为kg，增产后每亩冬小麦产量为kg，则50.=+设增产后的每亩冬小麦总价格为Y元，由分析可知()()50(2.40.430.6)EYEX=++所以增产的50kg会产生增加的收益是50(2.40.430.6)138125+=，故建议农科所推广该项技术

改良.19.（本小题14分）（Ⅰ）解法一：0是()fx的极小值点，理由如下：当0x时，ln(1)0x+，所以()ln(1)0fxxx=+.当10x−时，011x+，可知ln(1)0x+，所以()ln(1)0fxxx=+.

而(0)0f=，由极小值点的定义知，0是()fx的极小值点.（Ⅰ）解法二：0是()fx的极小值点，理由如下：对函数求导得()ln(1)1xfxxx=+++.当0x时，ln(1)0,01xxx++，所以()0fx.当10x−

时，011x+，可知ln(1)0,01xxx++，所以()0fx.所以()fx在区间(0,)+上单调递增,在区间(1,0)−上单调递减.所以0是()fx的极小值点.（Ⅱ）证明：2()112

fxxx−+等价于ln(1)112xxx+−+，即21ln(1)20xxxx++−.记21()ln(1)(1)2gxxxxx=++−−.求导得21()111xgxxxx=+−=++.当1x−时易知()0gx，所以函数()

gx在区间(1,)−+上单调递增.又(0)0g=，可得当0x时，()(0)0gxg=，高三数学参考答案第5页（共7页）即当0x时，不等式21ln(1)02xxx++−成立.即当0x时，不等式2()112fxxx−+成立.当10x−

时，()(0)0gxg=，即当10x−时，不等式21ln(1)02xxx++−成立.即当10x−时，不等式2()112fxxx−+成立.综合上述，不等式2()112fxxx−+成立.（20）

（本小题15分）解：（Ⅰ）将点(2,1)P−，(22,0)Q坐标带入椭圆E的方程，得222411,81.aba+==解得228,2ab==.所以椭圆E的方程为22182xy+=.（Ⅱ）若直线l斜率不存在，即直线l为0x=时，A和M点重合，B和N点重合，

分别为椭圆的上下顶点(0,2),(0,2)−，此时||||(22)(22)2GMGN=−+=，符合题意.若直线l斜率存在，设直线AB的方程为2ykx=+，1122(,),(,)AxyBxy(12x−且22x−).联立方程222182ykxxy=++=

得，22(41)1680kxkx+++=.222(16)32(41)32(41)0kkk=−+=−，214k，即12k或12k−.1221641kxxk−+=+，122841xxk=+.1112PAykx−=+，所以直线PA的方程为111(2)12yyxx−=

+++，取0x=得112(1)(0,1)2yMx−++.同理可得222(1)(0,1)2yNx−++.由||||2GMGN=得12122(1)2(1)1212222yyxx−−+−+−=++，即12122(1)2(1)

11222kxkxxx++−−=++.所以21212(21)222xxkxx−=++，高三数学参考答案第6页（共7页）即2121212(21)22()4xxkxxxx−=+++.2222841(21)283244141kk

kkk+−=−+++，即22(21)1483kkk−=−+，因为12k，所以得|21|1|23|kk−=−，即1k=.经检验符合题意，此时直线l为2yx=+.综上所述，直线l的方程为0x=或2yx=+

.（21）（本小题15分）解：（Ⅰ）1,2,1和3,1.（Ⅱ）()SQ的最小值为7.首先证明()7SQ≥：由题知26nC≥得4n.①当4n=时，应有数列中各项均不相同，此时有()123410SQ+++=；②当5n=时，由于数列中各项必有不同的数，进而有()6SQ.若()6

SQ=，满足上述要求的数列中有四项为1，一项为2，此时()4TQ，不符；③当n≥6时，同②可得()SQ≥7.综上所述，有()SQ≥7.同时当Q为2,2,1,1,1时，()SQ=7，所以()SQ的最小值为7.（Ⅲ）()TQ的最大值为511566.下面分

五步证明当()TQ最大时，数列Q应满足：①存在大于1的项，否则此时有()0TQ=；②1na=，否则将na拆分成na个1后()TQ变大；③当1,2,,1tn=−时，有1ttaa+≥，否则交换1,ttaa+的顺序后()T

Q变为()1TQ+.进一步有1{0,1}ttaa+−，否则有12ttaa++≥，此时将ta改为1ta−，并在数列末尾添加一项1，此时()TQ变大；④各项只能为2或1，否则由①②③可得数列Q中存在相邻的两项13,2ttaa+==，设此时Q中有x项为2，则将ta改为2，并在数列末尾添加一项1后，()

TQ的值至少变为()TQx++1()1xTQ−=+;⑤由上可得数列Q为2,2,,2,1,1,1的形式,设其中有x项为2,有y项为1,则有22023xy+=,高三数学参考答案第7页（共7页）从而有2()(20232)22023TQxyxxxx==−=−+，由二次函数性

质可得，当且仅当5061011xy==时，()TQ最大，为511566.综上可得()TQ的最大值为511566.