【文档说明】2022-2023学年安徽省合肥市六校联盟高二上学期期中联考数学试题解析版.doc，共(23)页，13.427 MB，由小喜鸽上传

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第1页共23页2022-2023学年安徽省合肥市六校联盟高二上学期期中联考数学试题一、单选题1．过()2,3A−−，()10B,两点的直线的倾斜角是（）A．45B．60C．120D．135【答案】A【分析】首先根据两点坐标求出AB直线斜率，进而根据tanθk=求出直线AB的倾斜角.【详解

】已知()2,3A−−，()10B,，则()()12103ABk−−==−−，设直线AB的倾斜角为，则tan1ABk==，得45=o.故选：A2．如图，在四面体OABC中，OAa=uuurr，OBb=uuurr，OCc=uuurr.点M在OA上，且2OMMA=,N为BC中点，

则MNuuuur等于（）A．121232abc−+rrrB．211322abc−++rrrC．111222abc+−rrrD．221332abc+−rrr【答案】B【分析】根据向量的加法和减法的三角形法则得到.【详解】连

接ON,第2页共23页ONQ是BC的中点，1122ONOBOC=+uuuruuuruuur,22,3OMMAOMOA==uuuuruuuruuuuruuurQ,112211223322MNONOMOBOCOAabc=−=+−=−++uuuuruuu

ruuuuruuuruuuruuurrrr.故选：B3．已知方程22220xyxk+−++=表示圆，则k的取值范围是（）A．()(),13,−−+B．1,3−−C．(),1−−D．3,2−+【答案】C【分析】直接根据圆一般方程的判

断条件2240DEF+−，解不等式即可得参数k的取值范围.【详解】因为22220xyxk+−++=表示圆，所以()()22242420DEFk+−=−−+，解得1k−，得k的取值范围是(),1−−.故选：C4．椭圆222211xymm+=+()0m

的焦点为1F，2F，与y轴的一个交点为A，若122FAF=，则m=（）A．1B．2C．3D．2【答案】A【分析】首先根据椭圆的标准方程求出1c=，然后再根据椭圆的定义及等腰直角三角形的几何性质求出a的值，进而求出参数m.【详解】在椭圆222211

xymm+=+（0m）中，21am=+，bm=，222211cabmm=−=+−=，如图，第3页共23页易知12AFAFa==，又122FAF=，所以12FAFV为等腰直角三角形，即11222AFFF=，得212m+=，即1m=.故选：A5

．如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足312523APABADAE=++uuuruuuruuuruuur，则P到AB的距离为（）A．34B．45C．35D．56【答案】D【分析】以

A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由题意，计算出ABuuur和APuuur的坐标，然后根据向量法求点到直线的距离公式22APABdAPAB=−uuuruuuruuu

ruuur即可求解.【详解】如图，以A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0AB=uuur，()0,1,0AD=uuur，()0,0,1AE=uuur，第4页共23页因为312523APABADAE=++uu

uruuuruuuruuur，所以312,,523AP=uuur，35APABAB=uuuruuuruuur，222312949523900AP=++=uuur,所

以点P到AB的距离2294995900256APABdAPAB==−=−uuuruuuruuuruuur．故选：D.6．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为1，且PA与AB，AD的夹角都等于60°.若M是

PC的中点，则BM=uuuur（）A．34B．34C．33D．32【答案】D【分析】根据空间向量基本定理得到111222BMADAPAB=+−uuuuruuuruuuruuur，平方后，利用空间向量数量积公式计算出234BM=uuuur，从而求出模长.【详解】因为M是PC

的中点，所以()11111112222222BMBCBPADAPABADAPAB=+=+−=+−uuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur，所以22111222BMADAPAB=+−uuuuruuuruuuruuur222

111111444222ADAPABADAPADABABAP=+++−−uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur因为PA的长为1，且PA与AB，AD的夹角都等于60°．所以21111111cos60cos90cos60444222BMADAP

ADABABAP=+++−−uuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur311304444=+−−=，所以32BM=uuuur.故选：D第5页共23页7．已知点P在直线l：100xy+−=上，过点P的两条直线与圆O：228xy+=分别相切于A，B两点，则圆

心O到直线AB的距离的最大值为（）A．102B．5C．425D．2【答案】C【分析】设点(,)Pab，求出以OP为直径的圆的方程，进而可得直线AB的方程，再根据点到直线的距离公式，结合(,)Pab在直线l：100xy+

−=上，可得圆心O到直线AB的距离关于a的表达式，进而根据函数的最值求解即可.【详解】设点(,)Pab，圆O：228xy+=，其圆心(0,0)O，由题意知：,PAPB是圆的切线，则,PAOAPBOB⊥⊥，则点,AB在以OP为直径的圆上，又

由(0,0)O，(,)Pab，则以OP为直径的圆的方程为：()()0xxayyb−+−=，即220xyaxby+−−=，与圆O：228xy+=联立可得：8axby+=，即直线AB的方程为8axby+=.又因为点(

,)Pab在直线l：100xy+−=上，故10ba=−，所以圆心O到直线AB的距离22288(10)2(5)50daaa==+−−+，所以当5a=时，d取最大值842=550，故选：C.8．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，

内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，且两切线斜率之积等于13−，则椭圆的离心率为（）第

6页共23页A．13B．23C．33D．63【答案】D【分析】设内层椭圆方程为22221xyab+=，则外层椭圆方程为()()22221xymamb+=（1m），分别列出过,AC和,BD的切线方程，联立切线和内层椭圆，由Δ0=分别转化出2212,kk的表达式，结合221219kk

=可求a与b关系式，齐次化可求离心率.【详解】设内层椭圆方程为22221xyab+=（0ab），因为内、外层椭圆离心率相同，所以外层椭圆方程可设成()()22221xymamb+=（1m），设切线AC方程为()1ykxma=+，与22221xyab+=联立得，()222222

4222113120bakxmakxmakab+++−=，由()()()23222224222111Δ240makbakmakab=−+−=，化简得：()2212211bkam=−，设切线BD方程为2ykxmb=+，同理可求得()222221bkma=−，所以()

22242221222241113191bbbkkmamaa=−==−−=，2222222113baccaaa−==−=，所以2223ca=，因此63cea==.故选：D二、多选题第7页共23页9．下

列说法正确的是（）A．已知nr为平面的一个法向量，mr为直线l的一个方向向量，若2π,3nm=rr，则l与所成角为π6B．P、A、B、C是空间中四点，若3OAOBOCOP++=uuuruuuruuuruuur，则P、A、B、C四点共面C．过()11,xy，()22,xy两点的

直线方程为112121yyxxyyxx−−=−−D．“8ab=”的一个必要不充分条件是“直线210xay+−=与直线420bxy+−=平行”【答案】AB【分析】对于A：由线面角及,nmrr的定义可

知它们的关系；对于B：由3OAOBOCOP++=uuuruuuruuuruuur可推出PAuuur可以由,PBPCuuuruuur线性表示，即可得出结论.对于C：直线两点式方程使用的条件是直线不能与坐标轴平行；对于D：先得出两直线平行的充要条件再看它与8ab=的推

出关系.【详解】对于A：设直线与平面所成角为，,nm=rr，则与的关系为π2=−或π2=−，其中π[0,]2，所以当2π,3nm=rr时，则l与所成角为2πππ326−=，故A正确；对于B：由3OAOBOCOP++=uuuruuuru

uuruuur得0OAOPOBOPOCOP−+−+−=uuuruuuruuuruuuruuuruuurr所以0PAPBPC++=uuuruuuruuurr，所以PAPBPC=−−uuuruuuruuur，所以PAuuur可以由,PBPCuuuru

uur线性表示，所以P、A、B、C四点共面，故B正确；对于C：当21xx=或21yy=时，不能再用此方程，故C错误；对于D：直线210xay+−=与直线420bxy+−=平行得8ab=且24ab

.故8ab=时推不出两直线平行，而反之可以，所以“8ab=”的一个充分不必要条件是“直线210xay+−=与直线420bxy+−=平行”，故D错误；故选：AB10．下列说法错误的是（）A．()1,1a=−r是直线30xy+−=的一个单位方向向量B．直线2

40xy+−=与直线2410xy++=之间的距离是9510C．点()2,1A到直线l：20xy−+=的距离为32D．经过点()3,4P，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线条数共有2条【答案】ACD第8页共23页【分析】对于A：根据

单位向量模长为1判断；对于B：先把两平行直线的,xy的系数化为相同后再代入平行直线距离公式；对于C：代入点到直线距离公式计算；对于D：截距的绝对值相等的直线还包括过原点直线.【详解】对于A：()1,1a=−r的模长为2，不是单位向量，故A错误；对于B：2410xy

++=化为1202xy++=，与240xy+−=的距离为14952105+=，故B正确；对于C：点()2,1A到直线l：20xy−+=的距离为2123222−+=，故C错误；对于D：在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有斜率为1的两条，还有过原点的一条，故D错误.故选：ACD.11．已知椭

圆()2222:10xyCabab+=的左，右焦点分别为12,FF，长轴长为4，点()2,1P在椭圆C外，点Q在椭圆C上，则（）A．椭圆C的离心率的取值范围是2,12B．当椭圆C的离心率为32时，1QF的取值范围是23,23−+

C．存在点Q使得210QFQF=uuuruuuurD．1211QFQF+的最小值为2【答案】ABC【分析】根据点()2,1P在椭圆C外，即可求出b的取值范围，即可求出离心率的取值范围，从而判断A；根据离心率求出c，则1,QFacac−+，即可判断B；设上顶点A，得到120AF

AFuuuruuuur，即可判断C；根据124QFQF+=利用基本不等式判断D.【详解】由题意得2a=，又点()2,1P在椭圆C外，则22114b+，解得2b，所以椭圆C的离心率24222cbea−==，即椭圆C的离心率的取值范围是2,12

，故A正确；第9页共23页当32e=时，3c=，221bac=−=，所以1QF的取值范围是,acac−+，即23,23−+，故B正确；设椭圆的上顶点为()0,Ab，()1,0Fc−，()2,0Fc，由于222212·20AFAFbcba=−=−uu

uuruuur，所以存在点Q使得120QFQF=uuuruuuur，故C正确；()21121212112224QFQFQFQFQFQFQFQF++=+++=，当且仅当122QFQF==时，等

号成立，又124QFQF+=，所以12111QFQF+，故D不正确．故选：ABC12．如下图，正方体1111ABCDABCD−中，M为线段1CC上的动点，AM⊥平面，则下面说法正确的是（）A．直线AB与平面所成角的正弦值范围为32,32B

．已知N为1DD中点，当AMMN+的和最小时，22MCDN=−C．点M为1CC的中点时，若平面经过点B，则平面截正方体所得截面图形是等腰梯形D．点M与点1C重合时，平面截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大.【答案】ABC【分析】对于A选项，以点D为坐标原点，DA、DC、1DD所

在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Dxyz−，利用空间向量法可判断A选项的正误；对于B选项，将矩形11ACCA与矩形11CCDD延展为一个平面，利用A、M、N三点共线得知AMMN+最短，利用平行线分线段成比例定理求得MC，可判断B选项的正误.第10页共23页对于C选项，利用

空间向量法找出平面与棱11AD、11AB的交点E、F，判断四边形BDEF的形状可判断C选项的正误；对于D选项，证明出1AC⊥平面1ABD，分别取棱11AD、11AB、1BB、BC、CD、1DD的中点E、F、Q、N、G、H，比较1AB

DV和六边形EFQNGH的周长和面积的大小，可判断D选项的正误；【详解】对于A选项，设正方体的棱长为2，以点D为坐标原点，DA、DC、1DD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Dxyz−，则点()2,0,0A、()2,2,0B、设点()

()0,2,02Maa，AM⊥Q平面，则AMuuuur为平面的一个法向量，且()2,2,AMa=−uuuur，()0,2,0AB=uuur，224232cos,,32288ABAMABAMABAMaa===++uu

uruuuuruuuruuuuruuuruuuur，所以，直线AB与平面所成角的正弦值范围为32,32，A选项正确；对于B选项，将矩形11ACCA与矩形11CCDD延展为一个平面，如下图所示

：若AMMN+最短，则A、M、N三点共线，11//CCDDQ，2222222MCACDNAD===−+，B选项正确.对于C选项，设平面交棱11AD于点(),0,2Eb，点()0,2,1M，()2,2,1AM=−uuuur，第11页共23页AM⊥Q平面，DE平

面，AMDE⊥，即220AMDEb=−+=uuuuruuur，得1b=，()1,0,2E，所以，点E为棱11AD的中点，同理可知，点F为棱11AB的中点，则()2,1,2F，()1,1,0EF=uuur，而()2,2,0DB=uuur，12EFDB=u

uuruuur，//EFDB且EFDB，由空间中两点间的距离公式可得2222015DE=++=，()()()2222212205BF=−+−+−=，DEBF=，所以，四边形BDEF为等腰梯形，C选项正确；对于D选项，当M与1CC重合时，连接1AD、BD、1AB、AC，在正方体1111A

BCDABCD−中，1CC⊥平面ABCD，BDQ平面ABCD，1BDCC⊥，Q四边形ABCD是正方形，则BDAC⊥，1CCACC=QI，BD⊥平面1ACC，1ACQ平面1ACC，1ACBD⊥，同理可证11ACA

D⊥，1ADBDDQ=，1AC⊥平面1ABD，易知1ABDV是边长为22的等边三角形，其面积为()12322234ABDS==△，周长为22362=.设E、F、Q、N、G、H分别为棱11AD、11AB、1BB、BC、CD、1DD的中点，易知六边形EFQNG

H是边长为2的正六边形，且平面//EFQNGH平面1ABD，正六边形EFQNGH的周长为62，面积为()2362334=，则1ABDV的面积小于正六边形EFQNGH的面积，它们的周长相等，D选项错误；第12页共23页故选：ABC【点睛】思路点睛：涉及几何体中动点按规律移动问题，可以建立空间直角

坐标系，利用空间向量的运算解决，针对立体几何中线段长度和的最小值问题，可以通过将直线所在两个平面延展成一个平面，然后找到三点共线的位置即为取得最小值的位置.三、填空题13．已知圆()221:9Cxya+−=与圆()222:1Cxay−+=有四条公切线，写出一个

实数a的可能取值是______．【答案】4（答案不唯一）【分析】根据圆的标准方程，确定圆心和半径，由四条公切线，确定圆与圆的位置关系为外离，可得答案.【详解】圆1C的圆心()10,Ca，半径13r=，圆2C的圆心()2,0Ca，半径2

1r=，因为两圆有四条公切线，所以两圆外离，又两圆的圆心距2da=，所以231a+，解得22a−或22a，所以实数a的可能取值为4．故答案为：4（答案不唯一）14．向量()1,0,1a=r，(),1,2bx=r，且3ab=rr，则向量br在ar上的投影向量的坐标

为______．【答案】33,0,22【分析】向量br在ar上的投影向量为||||abaaarrrrr，利用公式求解.【详解】因为向量()1,0,1a=r，(),1,2bx=r，且3ab=rr，所以()()1,0,1,1,220xx=+=，解得2x

=−，所以()2,1,2b=−r，所以22223(1,0,1)333(1,0,1)(,0,)222||||1111abaaa===++rrrrr,则向量br在ar上的投影向量的坐标为33,0,22

.故答案为：33,0,22.15．已知圆22:4Cxy+=，直线:lyxb=+.若圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1，则b的值为第13页共23页______.【答案】2【分析】由题可知，圆的半径是2，圆上点到直线距离为1，该距离为半径

的一半，则要使圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1，则圆心到l的距离为1，据此即可求解．【详解】由题可知，圆的圆心为(0，0)，半径为2，故要使圆上恰有3个点到l的距离为1，则圆心到直线l的距离为1，即2121(1)bb==+−．故答案为：2．16．已知椭圆C：2

214xy+=的左､右焦点分别是1F，2F，过点1F的直线交椭圆于A，B两点，则2ABF△的内切圆面积的最大值为___________.【答案】4【分析】设直线AB的方程为3xty=−，()11,Axy，()22,Bxy，直线方程代入

椭圆方程应用韦达定理得1212,yyyy+，由2121212ABFSFFyy=−△示面积，并变形后应用基本不等式得最大值，从而可得内切圆半径最大值，即得面积最大值．【详解】解：直线AB的斜率不能为0，但可不存在.设直线AB的方程为3xty=−，()11,Axy，()22,Bx

y，由22314xtyxy=−+=，得()2242310tyty+−−=，122234tyyt+=+，12214yyt=−+，则2121212ABFSFFyy=−V()2121212342yyyy=+−2222313444ttt−=−++()2221434tt+

=+()22214313tt+=++第14页共23页()()22221431619ttt+=++++221439161tt=++++()2214392161tt+++2=（当且仅当2t=时等

号成立）.设2ABF△的内切圆半径为r，2248AFBFABa++==，则()22122AFBFABr++，12r，则2ABF△的内切圆面积的最大值为2124=.故答案为：4．四、解答题1

7．已知点()0,1A，________，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补充在横线处，并作答．(1)求直线1l的方程；(2)求直线2l：220xy-+=关于直线1l的对称直线的方程．条件①：点A关于直线1l的对称点B的坐标为()2,1-；条件②：点B的

坐标为()2,1-，直线1l过点()2,1且与直线AB垂直；条件③点C的坐标为()2,3，直线1l过点()2,1且与直线AC平行．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)10xy−−

=(2)250xy−−=【分析】（1）计算直线的斜率，根据直线的平行或垂直关系得到斜率，代入点得到直线方程.第15页共23页（2）计算直线的交点，在直线2l上取一点，求其关于1l对称的点，根据交点和对称点得到直线方程.【详解】（1）选择条件①

：因为点A关于直线1l的对称点B的坐标为()2,1-，所以1l是线段AB的垂直平分线．因为11120ABk−−==−−，所以直线1l的斜率为1，又线段AB的中点坐标为()1,0，所以直线1l的方程为1yx=−，即10xy−−

=．选择条件②：因为11120ABk−−==−−，直线1l与直线AB垂直，所以直线1l的斜率为1，又直线1l过点()2,1，所以直线1l的方程为12yx−=−，即10xy−−=．选择条件③，因为31120ACk−==−

，直线1l与直线AC平行，所以直线1l的斜率为1，又直线1l过点()2,1，所以直线1l的方程为12yx−=−，即10xy−−=．（2）10220xyxy−−=−+=，解得43xy==，故1l，2l的交点坐标为(

)4,3，因为()0,1A在直线2l：220xy-+=上，设()0,1A关于1l对称的点为(),Mxy，则1111022yxxy−=−+−−=，解得21xy==−，直线2l关于直线1l

对称的直线经过点()2,1-，()4,3，代入两点式方程得123142yx+−=+−，即250xy−−=，所以2l：220xy-+=关于直线1l的对称直线的方程为250xy−−=．18．如图，在直三棱柱111ABC

ABC-中，1,2,3ACBCACBCCC⊥===，点,DE分别在棱1AA和棱1CC上，且1,2ADCE==．(1)设F为11BC中点，求证：1//AF平面BDE；第16页共23页(2)求直线11AB与平面BDE所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析

(2)26【分析】（1）取BE中点G，连接FG、DG，即可得到1//FGAD且1FGAD=，从而得到1//AFDG，即可得证；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值；【详解】（1）证明：取BE中点G，连接FG、DG，则11////FGCCAA

，且1113222CEBBFG++===，所以1//FGAD且1FGAD=，所以四边形1ADGF为平行四边形，所以1//AFDG．又1AF平面BDE，DG平面BDE，所以1//AF平面BDE．（2）解：因为直三棱柱111

ABCABC-中ACBC⊥，所以CA、CB、1CC两两垂直．分别以CAuuur、CBuuur、1CCuuuur的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,2,0B，()()()0,0,2,2,0,1,2,0,0EDA，所以()0,2,2BE=−uuur，

()2,2,1BD=−uuur，()112,2,0ABAB==−uuuuruuur，设平面BDE法向量为(),,nxyz=r，则0nBE=ruuur，0nBD=ruuur，第17页共23页即220220yzxyz−+=−+=，令1y=，得到平面BDE的一个法向量1,

1,12n=r．设直线11AB与平面BDE所成的角为，则()11111112121022sincos,61114404ABnABnABn−++====++++uuuuruuuuru

rrrruuu，所以直线11AB与平面BDE所成角的正弦值为26．19．已知圆C的圆心为原点，且与直线34100xy+−=相切，直线l过点()1,2M.(1)若直线l与圆C相切，求直线l的方程；(2)若直线l被圆C所截得的弦长为23，求直线l的方程.【答案】(1)2

y=或43100xy+−=(2)3450xy−+=或1x=【分析】（1）首先根据圆与直线34100xy+−=相切的几何特征求解圆的方程，再分别讨论斜率存在与斜率不存在两种情况，采用待定系数法，根据圆心到直线的距离等于半径求解切线方程即可；（2）首先根据弦长求出圆心

到直线的距离d，再分别讨论斜率存在与斜率不存在两种情况，采用待定系数法，根据圆心到直线的距离求解直线方程即可.【详解】（1）圆心()0,0到直线34100xy+−=的距离2210234d−==+，第18页共23页圆C的半径为2，所以圆C的方程为224xy+=；当直线斜率不存在时，圆心到直线的距

离为1r，不相切.直线斜率存在，设直线():21lykx-=-，由2221kdk−==+，得0k=或43k=−所以切线方程为2y=，或43100xy+−=.（2）设圆心到直线的距离为d，则22223rd−=，由2r=，解得1d=.当直线斜率不存在时，直线方程为1x=，圆心()0,0到直

线l的距离1d=，即直线l被圆C所截得的弦长为23，符合题意；当直线斜率存在时，设直线():21lykx-=-，则2211kdk−==+，解得：34k=，故l的方程是()3214yx−=−，即3450xy−+=，综上所述，直线l的方程为3450xy−+=或1x=.2

0．已知椭圆()222:1204xyCbb+=，直线yx=被椭圆C截得的线段长为4105.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C的右顶点作互相垂直的两条直线12,ll.分别交椭圆C于,MN两点（点,MN不同于椭圆C的右顶点），证明：直线MN过定点.【答案】(1)2

214xy+=(2)证明见解析【分析】（1）根据直线yx=被椭圆C截得的线段长为4105可求得交点坐标后代入椭圆方程求得b值，从而得到椭圆方程.（2）设互相垂直的两条直线方程求出它们与椭圆交点,MN的坐标，写出

直线MN的方程得到直线恒过定点.【详解】（1）根据题意，设直线yx=与题意交于,PQ两点.不妨设P点在第一象限，第19页共23页又PQ长为4105，∴2525,55P，∴241515b+=∴1b

=，故C的标准方程为2214xy+=（2）显然直线12,ll的斜率存在且不为0，设121:2,:2lxmylxym=+=−+，由22214xmyxy=++=得()22440mymy++=，∴222284,44mmMmm−+−++，同理可得222284,4141mmNm

m−+++当1m时，()2541MNmkm=−，所以直线MN的方程为()222245284441mmmyxmmm−++=−++−整理得()()()22256565414141mmmyxx

mmm−=+=−−−−，所以直线当1m=时，直线MN的方程为65x=，直线也过点6,05所以直线MN过定点6,05.21．如下图，在四棱锥PABCD−中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，2A

BCBAD==，2PAAD==，1ABBC==．（1）求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值；（2）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值，利用此定义求异面直线PB与CD之间的距离．第20页共23页【答案】（1）33；（2）23【分析】（1）以,,

ABADAPuuruuruur为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，求出平面PAB和平面PCD的法向量，利用夹角公式求解即可；（2）设Q为直线PB上一点，且,0,2)(BλλQλBP==−uuuruuur，利用坐标运算求出点Q到直线CD的距离222

9122CQCDdCQλλCD•=−=++uuuruuuruuuruuur，求出最值即可.【详解】解：以,,ABADAPuuruuruur为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则各点的坐标为B（1,0,0），(1,1,0)C，(0,2,0)

D，(0,0,2)P（1）因为PA⊥平面ABCD，且AD面ABCD，PAAD⊥，又ABAD⊥，且PAABA=I，AD⊥平面PAB，所以ADuuur是平面PAB的一个法向量，(0,2,0)AD=uuur因为(1,1,2)PC=−uuur，(0,2,2)PD=−uuu

r.设平面PCD的法向量为(,,)mxyz=ur，则0mPC=uruuur，0mPDuruuur?即20220xyzyz+−=−=，令1y=，解得1z=，1x=.所以1,1,1m=ur（）是平面PCD的一个

法向量，从而3cos,3ADmADmADm==uuuvvuuuvvuuuvv，第21页共23页所以平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为33；（2）因为(1,0,2)BP=uuur-，设Q为直线PB上一点，且,0,2)(BλλQλBP==−uuur

uuur，又(1,1,0)CD=uuur-，(0,1,0)CB=−uuur则(,1,2)CQCBBQ=+=−−uuuruuuruuur，则点Q到直线CD的距离()2222cos,CQCDdCQCQCQCDCQCD•=−=−uuuruuuruuuruuuruuuruu

uruuuruuur2222191142211λλλλλ−=++−=+++∵22919144222999λλλ++=++∴23d所以异面直线PB与CD之间的距离为23.【点

睛】本题考查利用空间向量的坐标运算求二面角，求点到直线的距离，考查学生的计算能力和空间想象能力，是一道难度较大的题目.22．如图，已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左、右顶点分别是,AB，且经过点31,2−，直线:1lxty=−

恒过定点F且交椭圆于,DE两点，F为OA的中点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)记BDE△的面积为S，求S的最大值.【答案】(1)2214xy+=(2)332第22页共23页【分析】（1）由直线过定点坐标求得a，再由椭圆所过点的坐标求得b得椭圆方程；（2）设()()1122,,,

ExyDxy，直线l方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得12122223,44tyyyytt+==−++，计算弦长DE，再求得B到直线l的距离，从而求得三角形面积，由函数的性质求得最大值．【详解】（1）由题意可得，直线:1lxt

y=−恒过定点(1,0)F−，因为F为OA的中点，所以||2OA=，即2a=.因为椭圆C经过点31,2−，所以222232112b−+=，解得1b=，所以椭圆C的方程为2214xy+=.（2）设()()1122,,,

ExyDxy.由22441xyxty+==−得()224230,0tyty+−−=恒成立，则12122223,44tyyyytt+==−++，则()222222121222223413||1414444tttEDtyyyytttt++=++−=+−

−=+++又因为点B到直线l的距离231dt=+，所以22222211413363||22441tttSEDdttt+++===+++令233mt=+…，则2226366141tmtmmm+==+++，因为

1ymm=+，3m时，2110ym=−，1ymm=+在[3,)m+上单调递增，所以当3m=时，min1433mm+=时，故max332S=.即S的最大值为332.【点睛】方法点睛：本题求椭圆的标准方程，直线

与椭圆相交中三角形面积问题，计算量较大，属于难题．解题方法一般是设出交点坐标，由（设出）直线方程与椭圆方程联立方程组消元后应用韦达定理，然后由弦长公式求得弦长，再求得三角形的另一顶点到此直线的距离，从而求得三角

形的第23页共23页面积，最后利用函数的性质，基本不等式等求得最值．