【文档说明】2021-2022学年河南省南阳市卧龙区八年级上期末数学试卷附解析.docx，共(23)页，107.641 KB，由小喜鸽上传

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2021-2022学年河南省南阳市卧龙区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.36的算术平方根是()A.6B.±6C.18D.±182.√7在数轴上位于相邻的两个整数之间，这两个相邻的

整数是()A.1和2B.2和3C.3和4D.4和53.下列运算正确的是()A.𝑎2⋅𝑎3=𝑎6B.𝑎2⋅𝑏2=(𝑎𝑏)4C.(𝑎4)3=𝑎7D.(−𝑚)7÷(−𝑚2)=𝑚54.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，点𝐷，𝐸分别是边𝐴𝐵，

𝐴𝐶的中点，连接𝐵𝐸，𝐶𝐷交于点𝐹，则图中共有全等三角形()A.一对B.两对C.三对D.四对5.已知等腰三角形的两条边长分别为4和8，则它的周长为()A.16B.20C.16或20D.146.用三张正方形纸片，按如图所示方式构成图

案，若要使所围成阴影部分的三角形是直角三角形，则选取的三个正方形纸片的面积不可以是()A.1，2，3B.2，2，4C.3，4，5D.2，3，57.如图，𝐸是∠𝐴𝑂𝐵平分线上的一点，𝐸𝐶⊥𝑂𝐴于点𝐶

，𝐸𝐷⊥𝑂𝐵于点𝐷，连接𝐶𝐷，若∠𝐸𝐶𝐷=25°，则∠𝐴𝑂𝐵=()A.50°B.45°C.40°D.25°8.下列命题的逆命题是真命题的是()A.若𝑎>0，𝑏>0，则𝑎+𝑏>0B.全等三角形的

对应角相等C.全等三角形的面积相等D.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等9.已知3𝑚=4，32𝑚−𝑛=2，则3𝑛=()A.2B.4C.8D.1610.如图，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长为4，点𝐸在边𝐶𝐷上，

且𝐶𝐸=1，连结𝐴𝐸，点𝐹在边𝐴𝐷上，连结𝐵𝐹，把△𝐴𝐵𝐹沿𝐵𝐹翻折，点𝐴恰好落在𝐴𝐸上的点𝐺处，下列结论：①𝐴𝐸=𝐵𝐹；②𝐴𝐷=3𝐷𝐹；③𝑆△𝐴𝐵𝐹=6；④𝐺𝐸=0.2，其中正确的

是()A.①②③④B.①③④C.①②③D.①③二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.因式分解：1−4𝑥2=______．12.用反证法证明“若|𝑎|<1，则𝑎2<1”是真命题时，第一步应该先假设______．13.一次数学单元测试

后，全班50名学生的成绩被分成5组，第1−4组的频数分别是：18，10，12，4，则第五组的频率是______．14.某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙𝐷𝐸时，梯子底端𝐴到左墙的距离𝐴𝐸为0.7𝑚，梯子顶

端𝐷到地面的距离𝐷𝐸为2.4𝑚，若梯子底端𝐴保持不动，将梯子斜靠在右墙𝐵𝐶上，梯子顶端𝐶到地面的距离𝐶𝐵为1.5𝑚，则这两面直立墙壁之间的安全通道的宽𝐵𝐸为______𝑚.15.如图，等边△𝐴𝐵𝐶的边长为12𝑐�

�，𝑀，𝑁两点分别从点𝐴，𝐵同时出发，沿△𝐴𝐵𝐶的边顺时针运动，点𝑀的速度为1𝑐𝑚/𝑠，点𝑁的速度为2𝑐𝑚/𝑠，当点𝑁第一次到达𝐵点时，𝑀，𝑁两点同时停止运动，则当𝑀，𝑁运动时间𝑡=𝑠时，△𝐴𝑀𝑁为等

腰三角形．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）16.(1)计算：√2−|1−√2|+√9−√−1253；(2)因式分解：𝑎𝑏2+2𝑎𝑏𝑐+𝑎𝑐2−𝑎．四、解答题（本大题共7小题，共65.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题8.0分)化

简求值：[𝑥2+𝑦2−(𝑥−𝑦)2+2𝑦(𝑥−𝑦)]÷4𝑦，其中𝑦=2𝑥−10．18.(本小题8.0分)在所给的格点图中，每个小正方形的边长都是1．(1)图1中有四条线段𝑎，𝑏，𝑐，𝑑，则能构成一个直角三角形三边长的三条线段是______(只填序号)；(

2)在图2中画出一个△𝐴𝐵𝐶，使其三边长分别为√5，√10，5，三个顶点都在格点上，并求出你画出的△𝐴𝐵𝐶的面积．19.(本小题9.0分)每年6月5日是世界环境日，某学校组织了保护环境知识测试，先从中随机抽取部分学生的成绩，按：𝐴.优秀，𝐵.良好，𝐶.合格，𝐷.不合格四

个等级进行统计，绘制了如下不完整的统计图表，请你根据统计图表信息，完成下列各题：(1)表中𝑎=______，𝑏=______，𝑐=______；(2)补全条形统计图；(3)若把成绩等级制成扇形统计图，则表示𝐴部分的扇形的圆心角的度数为______；(4)若该校共有2600

名学生，则成绩等级为𝐴和𝐵的共有______人．测试成绩统计表等级频数(人数)频率𝐴30𝑎𝐵𝑏0.45𝐶240.20𝐷120.10合计𝑐120.(本小题10.0分)体育课上，小明和小聪突然争论起来，他们都说自己比对方身体长的高，这时善于

思考的小慧走过来，笑着对他俩说：“你们不要争了，其实你们一样高，看看地上，你俩的影子一样长”(假设太阳光线是平行的).小明和小聪不太明白，小慧给他们讲了其中的道理．小慧说我们先对该问题进行数学抽象：如右图，直线𝑎表示地面，𝐴𝐵，𝐶𝐷分别表示你俩的身高，𝑃𝑀和𝑄𝑁表示太阳光线，是

平行的，𝐵𝑀和𝐷𝑁表示你俩身高的影长，是一样长的．然后小慧用所学的数学知识解决了该问题．下面给出了小慧解决该问题的一部分内容，请你将已知，求证补充完整，并给出证明：(1)已知：如图，𝐴𝐵⊥𝑎于点𝐵，𝐶𝐷⊥𝑎于点𝐷，______，______；(2)求证

：______；(3)证明：______．21.(本小题9.0分)如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐴𝐵=10，𝐴𝐶=8，分别以点𝐴，𝐵为圆心，以大于12𝐴𝐵的长为半径画弧，两弧交于点𝑃，𝑄，作直线�

�𝑄交𝐴𝐶于点𝐷，求𝐶𝐷的长．22.(本小题10.0分)如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐷为𝐵𝐶的中点，连接𝐴𝐷，以𝐴𝐵为腰向外作等腰直角△𝐴𝐵𝐸，使∠𝐵𝐴𝐸=90°，𝐴𝐸=𝐴𝐵，连结𝐶𝐸，交𝐴𝐷于点𝐹

，交𝐴𝐵于点𝐺，连接𝐵𝐹．(1)若∠𝐵𝐴𝐶=50°，则∠𝐴𝐸𝐶=______°；(2)求证：∠𝐴𝐸𝐶=∠𝐴𝐵𝐹；(3)若𝐴𝐵=𝑎，则𝐸𝐹2+𝐶𝐹2=______.(用含𝑎

的式子表示)(本小题11.0分)已知，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐷是直线𝐵𝐶上的一点(不与点𝐵，𝐶重合)，连接𝐴𝐷，以𝐴𝐷为一边在𝐴𝐷右侧作△𝐴𝐷𝐸，使𝐴𝐷=𝐴𝐸，∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐵𝐴𝐶，连接𝐶𝐸．(1)如图1，点𝐷在线段𝐵

𝐶上，求证：𝐵𝐷=𝐶𝐸；(2)如图2，点𝐷在线段𝐶𝐵的延长线上，求证：∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐵𝐶𝐸；(3)如图3，∠𝐵𝐴𝐶=90°，𝐵𝐶=6，当点𝐷在线段𝐵𝐶上运动时，直接写出△𝐷𝐶𝐸面积的最大值．1.【答案】𝐴【解析】解：∵62=36，∴

36的算术平方根是6．故选A．根据算术平方根的定义即可作答．本题主要考查算术平方根的定义：一个正数的正的平方根，叫做这个正数的算术平方根，0的算术平方根是0.算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．弄清概念

是解决本题的关键．2.【答案】𝐵【解析】解：∵4<7<9，∴2<√7<3，∵√7在数轴上位于相邻的两个整数之间，∴这两个相邻的整数是2和3，故选：𝐵．估算出√7的值即可解答．本题考查了实数与数轴，估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键．3.【答

案】𝐷【解析】解：𝐴.𝑎2⋅𝑎3=𝑎5，故此选项不合题意；B.𝑎2⋅𝑏2=(𝑎𝑏)2，故此选项不合题意；C.(𝑎4)3=𝑎12，故此选项不合题意；D.(−𝑚)7÷(−𝑚2)=𝑚5，故此选项符合题意；故选：𝐷．直接利用单项式乘单项式以及幂的乘方运算法则、同底数幂的除法

运算法则分别化简，进而判断得出答案．此题主要考查了单项式乘单项式以及幂的乘方运算、同底数幂的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．4.【答案】𝐶【解析】解：∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴

𝐶𝐵，∵点𝐷，𝐸分别是边𝐴𝐵，𝐴𝐶的中点，∴𝐴𝐷=𝐵𝐷=12𝐴𝐵，𝐴𝐸=𝐶𝐸=12𝐴𝐶，∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，∴𝐴𝐷=𝐵𝐷=𝐴𝐸=𝐶𝐸，在△𝐴𝐵𝐸和△𝐴𝐶𝐷中，{𝐴𝐵=𝐴𝐶∠𝐴=∠𝐴

𝐴𝐸=𝐴𝐷，∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐷(𝑆𝐴𝑆)，在△𝐶𝐵𝐸和△𝐵𝐶𝐷中，{𝐵𝐶=𝐶𝐵∠𝐵𝐶𝐸=∠𝐶𝐵𝐷𝐶𝐸=𝐵𝐷，∴△𝐶𝐵𝐸≌△𝐵𝐶𝐷(𝑆𝐴𝑆)，∴∠𝐵𝐸𝐶=∠𝐶𝐷𝐵，在△𝐵𝐷𝐹和△𝐶�

�𝐹中，{∠𝐷𝐹𝐵=∠𝐸𝐹𝐶∠𝐵𝐷𝐹=∠𝐶𝐸𝐹𝐵𝐷=𝐶𝐸，∴△𝐵𝐷𝐹≌△𝐶𝐸𝐹(𝐴𝐴𝑆)，即全等三角形共3对，故选：𝐶．根据等腰三角形的性质得出∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐵，根据点𝐷，𝐸分别是边𝐴𝐵

，𝐴𝐶的中点和𝐴𝐵=𝐴𝐶得出𝐴𝐷=𝐵𝐷=𝐴𝐸=𝐶𝐸，再根据全等三角形的判定定理推出全等即可．本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理等知识点，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有𝑆𝐴𝑆，𝐴𝑆𝐴，𝐴�

�𝑆，𝑆𝑆𝑆，两直角三角形全等还有𝐻𝐿等．5.【答案】𝐵【解析】解：若4为腰，8为底边，此时4+4=8，不能构成三角形，故4不能为腰；若4为底边，8为腰，此时三角形的三边分别为4，8，8，周长

为4+8+8=20，综上三角形的周长为20．故选：𝐵．因为等腰三角形的腰与底边不确定，故以4为底边和腰两种情况考虑：若4为腰，则另外一腰也为4，底边就为8，根据4+4=8，不符合三角形的两边之和大于第三边，即不能构成三角形；若4为底边，腰长为8，符合构成三角形的

条件，求出此时三角形的周长即可．此题考查了等腰三角形的性质，以及三条线段构成三角形的条件，利用了分类讨论的数学思想，由等腰三角形的底边与腰长不确定，故分两种情况考虑，同时根据三角形的两边之和大于第三边，舍去不能构成三角形的情况．6.【答案】𝐶【解析】解：由题

意可得，三角形各边的平方是对应的各个正方形的面积，∵所围成的三角形是直角三角形，∴斜边对应的正方形的面积=两直角边对应的正方形的面积和，又∵1+2=3，2+2=4，3+4≠5，2+3=5，∴选取的三个正方形纸

片的面积不可以是3，4，5，故选：𝐶．如果三角形的三边长𝑎，𝑏，𝑐满足𝑎2+𝑏2=𝑐2，那么这个三角形就是直角三角形．依据三角形各边的平方是对应的各个正方形的面积进行判断即可．本题考查正方形的性质，勾

股定理的逆定理，勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．7.【答案】𝐴【解析】解：∵𝑂𝐸平分∠𝐴𝑂𝐵，𝐸𝐶⊥𝑂𝐴，

𝐸𝐷⊥𝑂𝐵，∴𝐸𝐷=𝐸𝐶，∴∠𝐸𝐷𝐶=∠𝐸𝐶𝐷，∵∠𝑂𝐷𝐸=∠𝑂𝐶𝐸=90°，∴∠𝑂𝐷𝐶=∠𝑂𝐶𝐷，∴𝑂𝐶=𝑂𝐷，∵𝐸𝐷=𝐸𝐶，∴点𝑂与点𝐷都在𝐶𝐷的垂直平分线上，∴𝑂𝐸是𝐶𝐷的垂直平分线，∴∠𝐴�

�𝐸+∠𝑂𝐶𝐷=90°，∠𝑂𝐶𝐷+∠𝐷𝐶𝐸=90°，∴∠𝐴𝑂𝐸=∠𝐸𝐶𝐷=25°，∴∠𝐴𝑂𝐵=2∠𝐴𝑂𝐸=50°，故选：𝐴．证明𝑂𝐸是𝐶𝐷的垂直平分线，推出∠𝐴𝑂𝐸+∠𝑂𝐶𝐷=90°，∠𝑂𝐶𝐷+∠�

�𝐶𝐸=90°，推出∠𝐴𝑂𝐸=∠𝐸𝐶𝐷=25°，可得结论．本题考查角平分线的性质定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8.【答案】𝐷【解析】解：𝐴、逆命题为若𝑎+𝑏>0，则𝑎>0，𝑏>0，错误，是假

命题，不符合题意；B、逆命题为：对应角相等的三角形全等，错误，是假命题，不符合题意；C、逆命题为：面积相等的三角形全等，错误，是假命题，不符合题意；D、逆命题为：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确

，是真命题，符合题意．故选：𝐷．分别写出原命题的逆命题，然后判断正误即可．考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．9.【答案】𝐶【解析】解：∵32𝑚−𝑛=2，∴(3𝑚)2÷3𝑛=2，又∵3𝑚=4，∴42÷3𝑛=2，∴3𝑛=16÷2=8，故选：�

�．根据幂的乘方和同底数幂的除法运算法则对已知等式进行变形，从而求解．本题考查幂的混合运算，掌握幂的乘方(𝑎𝑚)𝑛=𝑎𝑚𝑛，同底数幂的除法(底数不变，指数相减)运算法则是解题关键．10.【答案】𝐵【解析】解：∵四边形𝐴𝐵𝐶

𝐷为正方形，∴𝐴𝐵=𝐴𝐷=𝐶𝐷=4，∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐷=90°，∵𝐶𝐸=1，∴𝐷𝐸=3，由折叠的性质可知，△𝐴𝐵𝐹≌△𝐺𝐵𝐹，𝐵𝐹垂直平分𝐴𝐺，∴𝐵𝐹⊥𝐴𝐸，𝐴𝐻=𝐺𝐻，∴∠𝐵𝐴

𝐻+∠𝐴𝐵𝐻=90°，∵∠𝐹𝐴𝐻+∠𝐵𝐴𝐻=90°，∴∠𝐴𝐵𝐻=∠𝐹𝐴𝐻，在△𝐴𝐵𝐹和△𝐷𝐴𝐸中，{∠𝐵𝐴𝐹=∠𝐷𝐴𝐵=𝐴𝐷∠𝐴𝐵𝐹=∠𝐷𝐴�

�，∴△𝐴𝐵𝐹≌△𝐷𝐴𝐸(𝐴𝑆𝐴)，∴𝐴𝐹=𝐷𝐸=3，𝐵𝐹=𝐴𝐸，故①正确；∵𝐷𝐹=𝐴𝐷−𝐴𝐹=4−3=1，∴𝐴𝐷=4𝐷𝐹，故②错误；在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐹中，∵𝐵𝐹=√𝐴𝐵2+𝐴𝐹2=√42+32=5，∴�

�△𝐴𝐵𝐹=12𝐴𝐵⋅𝐴𝐹=12×4×3=6，故③正确；∵𝑆△𝐴𝐵𝐹=12𝐴𝐵⋅𝐴𝐹=12𝐵𝐹⋅𝐴𝐻，∴4×3=5𝐴𝐻，∴𝐴𝐻=125，∴𝐴𝐺=2𝐴𝐻=245，∵𝐴𝐸=𝐵𝐹=5，∴𝐺𝐸=

𝐴𝐸−𝐴𝐺=5−245=0.2，故④正确；综上所述：正确的是①③④，故选：𝐵．根据翻折的性质证△𝐴𝐵𝐹≌△𝐷𝐴𝐸(𝐴𝑆𝐴)，得出𝐴𝐹=𝐷𝐸=3，𝐵𝐹=𝐴𝐸，即可判断①正确；根据𝐷𝐹=𝐴𝐷−𝐴𝐹=4−3=1，即可判断

②错误；由勾股定理得出𝐵𝐹=5，由𝑆△𝐴𝐵𝐹求出即可求得③正确；根据𝑆△𝐴𝐵𝐹=12𝐴𝐵⋅𝐴𝐹=12𝐵𝐹⋅𝐴𝐻，求出𝐴𝐻，即可判断④正确，进而得出答案．本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质．1

1.【答案】(1+2𝑥)(1−2𝑥)【解析】解：1−4𝑥2=(1+2𝑥)(1−2𝑥)．故答案为：(1+2𝑥)(1−2𝑥)．直接利用平方差公式分解因式得出答案．此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．12.【答案】𝑎2≥1【解析】解：用反证法证明“若|𝑎

|<1，则𝑎2<1”是真命题时，第一步应先假设：𝑎2≥1．故答案为：𝑎2≥1．直接利用反证法的步骤，即可得出答案．此题主要考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多

种情况，则必须一一否定．13.【答案】0.12【解析】解：第5组的频数=50−18−10−12−4=6，∴第五组的频率=650=0.12，故答案为：0.12．根据频率的定义解决问题即可．本题考查频数与频率，解题的关键是频率的

定义，属于中考常考题型．14.【答案】2.7【解析】解：在𝑅𝑡△𝐴𝐸𝐷中，∵∠𝐴𝐸𝐷=90°，𝐴𝐸=0.7米，𝐷𝐸=2.4米，∴𝐴𝐷2=0.72+2.42=6.25(米)．在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，

∵∠𝐴𝐵𝐶=90°，𝐵𝐶=1.5米，𝐴𝐶=𝐴𝐷，𝐴𝐵2+𝐵𝐶2=𝐴𝐶2，∴𝐴𝐵2+1.52=6.25，∴𝐴𝐵2=4．∵𝐴𝐵>0，∴𝐴𝐵=2米．∴𝐵𝐸=𝐴𝐸+𝐴𝐵=0.7+

2=2.7(米)．答：小巷的宽度𝐵𝐸为2.7米，故答案为：2.7．先根据勾股定理求出𝐴𝐷的长，同理可得出𝐴𝐵的长，进而可得出结论．本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用

的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．15.【答案】4或16【解析】解：如图1，设点𝑀、𝑁运动𝑥秒后，𝐴𝑁=𝐴𝑀，由运动知，𝐴𝑁=12−2𝑥，𝐴𝑀=𝑥，∴12−2𝑥=𝑥，解得：𝑥=4，∴点�

�、𝑁运动4秒后，△𝐴𝑀𝑁是等腰三角形；如图，假设△𝐴𝑀𝑁是等腰三角形，∴𝐴𝑁=𝐴𝑀，∴∠𝐴𝑀𝑁=∠𝐴𝑁𝑀，∴∠𝐴𝑀𝐶=∠𝐴𝑁𝐵，∵△𝐴𝐶𝐵是等边三角形，∴∠𝐶=∠𝐵，在△𝐴𝐶𝑀和△𝐴𝐵𝑁中，

{∠𝐶=∠𝐵∠𝐴𝑀𝐶=∠𝐴𝑁𝐵𝐴𝐶=𝐴𝐵∴△𝐴𝐶𝑀≌△𝐴𝐵𝑁(𝐴𝐴𝑆)，∴𝐶𝑀=𝐵𝑁，设当点𝑀、𝑁在𝐵𝐶边上运动时，𝑀、𝑁运动的时间𝑦秒时，△𝐴𝑀𝑁是等腰三角形，∴𝐶𝑀=

𝑦−12，𝑁𝐵=36−2𝑦，∵𝐶𝑀=𝑁𝐵，∴𝑦−12=36−2𝑦，解得：𝑦=16.故假设成立．∴点𝑀、𝑁运动时间为4秒或16秒时，△𝐴𝑀𝑁为等腰三角形．故答案为：4或16．分两种情况求解：如

图1，由𝐴𝑁=𝐴𝑀，可列方程求解；如图2，首先假设△𝐴𝑀𝑁是等腰三角形，可证出△𝐴𝐶𝑀≌△𝐴𝐵𝑁，可得𝐶𝑀=𝐵𝑁，设出运动时间，表示出𝐶𝑀，𝑁𝐵，𝑁𝑀的长，列出方程，可解出未知数的值．此题主要考查了等边三角形的性质及等腰三

角形的判定，关键是根据题意计算动点𝑀和𝑁的路程，理清线段之间的数量关系．16.【答案】解：(1)原式=√2−(√2−1)+3−(−5)=√2−√2+1+3+5=9；(2)原式=𝑎(𝑏2+2𝑏𝑐+𝑐2−1)=𝑎[(𝑏+𝑐)2−1

]=𝑎(𝑏+𝑐+1)(𝑏+𝑐−1)．【解析】(1)化简算术平方根，立方根，绝对值，然后再计算；(2)先提取公因式，然后利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解．本题考查实数的混合运算，因式分解，理解算术平

方根和立方根的概念，掌握完全平方公式(𝑎±𝑏)2=𝑎2±2𝑎𝑏+𝑏2和平方差公式(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)=𝑎2−𝑏2是解题关键．17.【答案】解：原式=[𝑥2+𝑦2−(𝑥2−2𝑥𝑦

+𝑦2)+2𝑥𝑦−2𝑦2]÷4𝑦=(𝑥2−𝑦2−𝑥2+2𝑥𝑦−𝑦2+2𝑥𝑦)÷4𝑦=(4𝑥𝑦−2𝑦2)÷4𝑦=𝑥−12𝑦把𝑦=2𝑥−10代入，∴原式=𝑥−12(2𝑥−10)=𝑥−𝑥+5=5．【解析】根据整式的加减运算法则进

行化简，然后将𝑦=2𝑥−10代入原式即可求出答案．本题考查整式的加减运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型．18.【答案】解：(1)𝑎，𝑏，𝑑(2)画图不唯一，如下图所示．所画△𝐴𝐵𝐶的面

积=12×5×1=52【解析】解：(1)∵𝑎=√5，𝑏=2√2，𝑐=√10，𝑑=√13，∴𝑎2+𝑏2=𝑑2，∴𝑎，𝑏，𝑑三条线段能构成直角三角形．故答案为：𝑎，𝑏，𝑑；(2)画图不唯一，如图所示．所画△𝐴𝐵�

�的面积=12×5×1=52．(1)利用勾股定理以及勾股定理的逆定理判断即可；(2)利用数形结合的思想画出图形即可．本题考查作图−应用与设计作图，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决

问题，属于中考常考题型．19.【答案】解：(1)0.25，54，120；(2)补全的条形统计图如图所示；(3)90°；(4)1820．【解析】(1)本次抽取的学生人数𝑐=24÷0.20=120(人)，𝑎=30÷120=0.25，𝑏=120×0.45=54，故

答案为：0.25，54，120；(2)由(1)知，𝑏=54，补全的条形统计图如图所示；(3)表示𝐴部分的扇形的圆心角的度数为360°×0.25=90°，故答案为：90°；(4)成绩等级为𝐴和𝐵的共有2600×(0.25+0.45)=1820(

人)，故答案为：1820．(1)根据合格的频数和频率，可以计算出本次调查的总人数，然后即可计算出𝑎、𝑏、𝑐的值；(2)根据(1)中𝑏的值，可以将条形统计图补充完整；(3)用360°乘以𝐴等级对应的频率即可；(4)根

据统计图中的数据，可以计算出测试成绩等级在良好以上(包括良好)的学生约有多少人．本题考查的是条形统计图、扇形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．20.【答案】解：(1)𝐴𝑀//𝐶𝑁(或𝑃𝑀//𝑄𝑁)，𝐵𝑀=𝐷𝑁(2)𝐴𝐵=𝐶𝐷；(3

)∵𝐴𝐵⊥𝑎，𝐶𝐷⊥𝑎，∴∠𝐴𝐵𝑀=∠𝐶𝐷𝑁=90°．∵𝐴𝑀//𝐶𝑁，∴∠𝐴𝑀𝐵=∠𝐶𝑁𝐷∵𝐵𝑀=𝐷𝑁，在△𝐴𝐵𝑀与△𝐶𝐷𝑁中，{∠𝐴𝐵𝑀=∠𝐶𝐷𝑁𝐵𝑀=𝐷𝑁∠𝐴𝑀𝐵=∠𝐶𝑁�

�，∴△𝐴𝐵𝑀≌△𝐶𝐷𝑁(𝐴𝑆𝐴)．∴𝐴𝐵=𝐶𝐷【解析】解：(1)已知：如图，𝐴𝐵⊥𝑎于点𝐵，𝐶𝐷⊥𝑎于点𝐷，𝐴𝑀//𝐶𝑁(或𝑃𝑀//𝑄𝑁)，𝐵𝑀=𝐷𝑁．故答

案为：𝐴𝑀//𝐶𝑁(或𝑃𝑀//𝑄𝑁)，𝐵𝑀=𝐷𝑁；(2)求证：𝐴𝐵=𝐶𝐷．(3)证明：∵𝐴𝐵⊥𝑎，𝐶𝐷⊥𝑎，∴∠𝐴𝐵𝑀=∠𝐶𝐷𝑁=90°．∵𝐴𝑀//

𝐶𝑁，∴∠𝐴𝑀𝐵=∠𝐶𝑁𝐷在△𝐴𝐵𝑀与△𝐶𝐷𝑁中，{∠𝐴𝐵𝑀=∠𝐶𝐷𝑁𝐵𝑀=𝐷𝑁∠𝐴𝑀𝐵=∠𝐶𝑁𝐷，∴△𝐴𝐵𝑀≌△𝐶𝐷𝑁(𝐴𝑆𝐴)．∴𝐴𝐵=𝐶𝐷根据垂直的定义得到∠𝐴𝐵𝑀=∠𝐶𝐷𝑁

=90°.根据平行线的性质得到∠𝐴𝑀𝐵=∠𝐶𝑁𝐷，根据全等三角形的性质即可得到结论．本题考查了全等三角形的应用．熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．21.【答案】解：连接𝐵𝐷，由题意知，直线𝑃𝑄是线段𝐴𝐵的垂

直平分线，∴𝐵𝐷=𝐴𝐷．∵∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐴𝐵=10，𝐴𝐶=8，∴𝐵𝐶=√𝐴𝐵2−𝐴𝐶2=√102−82=6．设𝐶𝐷=𝑥，则𝐵𝐷=𝐴𝐷=8−𝑥．在𝑅𝑡△𝐵𝐶𝐷中，𝐵𝐷2=𝐵𝐶2+𝐶𝐷2．即

(8−𝑥)2=62+𝑥2．解得𝑥=74．即𝐶𝐷=74．【解析】连接𝐵𝐷，利用勾股定理求出𝐵𝐶，设𝐶𝐷=𝑥，则𝐵𝐷=𝐴𝐷=8−𝑥.在𝑅𝑡△𝐵𝐶𝐷中，根据𝐵𝐷2=𝐵𝐶2+𝐶𝐷2.构建方程求解即可．本题考查作图−基本作

图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．22.【答案】解：(1)20(2)证明：∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐷为𝐵𝐶的中点，∴𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝐶的平分线．∴∠𝐶𝐴𝐹=∠𝐵𝐴𝐹．在△𝐴𝐵𝐹和△

𝐴𝐶𝐹中，{𝐴𝐵=𝐴𝐶∠𝐵𝐴𝐹=∠𝐶𝐴𝐹𝐴𝐹=𝐴𝐹∴△𝐴𝐵𝐹≌△𝐴𝐶𝐹(𝑆𝐴𝑆)．∴∠𝐴𝐵𝐹=∠𝐴𝐶𝐹．∵𝐴𝐸=𝐴𝐵=𝐴𝐶，∴∠𝐴

𝐸𝐶=∠𝐴𝐶𝐹．∴∠𝐴𝐸𝐶=∠𝐴𝐵𝐹；(3)2𝑎2【解析】(1)解：∵△𝐴𝐵𝐸是等腰直角三角形，∠𝐸𝐴𝐵=90°，∴𝐴𝐵=𝐴𝐸，∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，∴𝐴𝐶=𝐴𝐸，∴∠𝐴𝐶𝐸=∠𝐴𝐸𝐶，又∵∠𝐵𝐴𝐶=

50°，∠𝐸𝐴𝐵=90°，∴∠𝐶𝐴𝐸=50°+90°=140°，∴∠𝐴𝐸𝐶=(180°−140°)÷2=20°．故答案为：20；(2)证明：∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐷为𝐵𝐶的中点，∴𝐴𝐷是∠𝐵𝐴�

�的平分线．∴∠𝐶𝐴𝐹=∠𝐵𝐴𝐹．在△𝐴𝐵𝐹和△𝐴𝐶𝐹中，{𝐴𝐵=𝐴𝐶∠𝐵𝐴𝐹=∠𝐶𝐴𝐹𝐴𝐹=𝐴𝐹∴△𝐴𝐵𝐹≌△𝐴𝐶𝐹(𝑆𝐴𝑆)．∴∠𝐴𝐵𝐹=∠𝐴𝐶𝐹．∵�

�𝐸=𝐴𝐵=𝐴𝐶，∴∠𝐴𝐸𝐶=∠𝐴𝐶𝐹．∴∠𝐴𝐸𝐶=∠𝐴𝐵𝐹；(3)解：∵△𝐵𝐴𝐹≌△𝐶𝐴𝐹，∴𝐵𝐹=𝐶𝐹，∵∠𝐴𝐺𝐹=∠𝐴𝐸𝐶+∠𝐸𝐴𝐺，∠𝐴𝐺𝐹=∠𝐴𝐵𝐹+∠𝐵𝐹𝐺，∠𝐴𝐸𝐵=∠

𝐴𝐵𝐹，∴∠𝐵𝐹𝐺=∠𝐸𝐴𝐺=90°，∴𝐸𝐹2+𝐶𝐹2=𝐸𝐹2+𝐵𝐹2=𝐸𝐵2，∵△𝐴𝐵𝐸是等腰直角三角形，∠𝐸𝐴𝐶=90°，∴𝐴𝐵=𝐴𝐸，∴𝐸𝐵2=𝐴𝐵2+𝐴𝐸2=2𝐴𝐵2，∴𝐸𝐹2+𝐶𝐹2=2𝐴�

�2=2𝑎2．故答案为：2𝑎2．(1)由等腰直角三角形的性质得𝐴𝐵=𝐴𝐸，再证𝐴𝐶=𝐴𝐸，得∠𝐴𝐶𝐸=∠𝐴𝐸𝐶，然后由三角形内角和定理求解即可；(2)由等腰三角形的性质得出∠𝐶𝐴𝐹=∠𝐵𝐴𝐹，再由𝑆𝐴𝑆推出△𝐴𝐵𝐹≌△

𝐴𝐶𝐹，得出∠𝐴𝐶𝐹=∠𝐴𝐵𝐹，即可得出结论；(3)由全等三角形的性质得𝐵𝐹=𝐶𝐹，再证∠𝐵𝐹𝐺=∠𝐸𝐴𝐺=90°，然后由勾股定理得𝐸𝐹2+𝐵𝐹2=𝐸𝐹2+𝐶�

�2=𝐸𝐵2，𝐸𝐵2=𝐴𝐵2+𝐴𝐸2=2𝐴𝐵2，即可得出结论．本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明△

𝐵𝐴𝐹≌△𝐶𝐴𝐹是解题的关键，属于中考常考题型．23.【答案】(1)证明：如图1中，∵∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐸，即∠𝐵𝐴𝐷+∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐸+∠𝐶𝐴𝐷，∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐸，在△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐶𝐸中，{𝐴𝐵=𝐴𝐶∠𝐵𝐴

𝐷=∠𝐶𝐴𝐸𝐴𝐷=𝐴𝐸,∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸(𝑆𝐴𝑆)，∴𝐵𝐷=𝐶𝐸；(2)证明：∵∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐵𝐴𝐶，即∠𝐵𝐴𝐷+∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐶𝐴𝐸+∠𝐵𝐴𝐸，∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐸，在△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐶𝐸

中，{𝐴𝐵=𝐴𝐶∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐸𝐴𝐷=𝐴𝐸,∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸(𝑆𝐴𝑆)，∴∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐴𝐶𝐸，∵∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐵𝐴𝐶+∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐴𝐶𝐸=∠𝐵𝐶𝐸+∠𝐴𝐶�

�，∴∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐵𝐶𝐸；(3)如图3，过点𝐴作𝐴𝐻⊥𝐵𝐶于𝐻，∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶=90°，∴∠𝐴𝐵𝐶=45°，∴𝐵𝐻=𝐴𝐻=𝐻𝐶=12𝐵𝐶=3，同(1)的方法可得，△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸(𝑆𝐴

𝑆)，∴𝑆△𝐴𝐸𝐶=𝑆△𝐴𝐵𝐷，∴𝑆△𝐴𝐸𝐶+𝑆△𝐴𝐷𝐶=𝑆△𝐴𝐵𝐷+𝑆△𝐴𝐷𝐶，即𝑆四边形𝐴𝐷𝐶𝐸=𝑆△𝐴𝐵𝐶=12×6×3=9，∴𝑆△𝐷𝐶𝐸=𝑆四边形𝐴𝐷𝐶𝐸−𝑆△𝐴𝐷𝐸，当𝑆△𝐴𝐷𝐸

最小时，𝑆△𝐷𝐶𝐸最大，当𝐴𝐷⊥𝐵𝐶时，𝐴𝐷最小，最小值是3，∴𝑆△𝐴𝐷𝐸最小值是12×3×3=92，∴𝑆△𝐷𝐶𝐸最大=9−92=92．【解析】(1)证明△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸(𝑆𝐴𝑆)，可得结论；(2

)证明△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸(𝑆𝐴𝑆)，可得结论；(3)证明△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸(𝑆𝐴𝑆)，推出𝑆△𝐴𝐸𝐶=𝑆△𝐴𝐵𝐷，因为𝑆△𝐴𝐸𝐶+𝑆△𝐴𝐷𝐶=𝑆△𝐴𝐵𝐷

+𝑆△𝐴𝐷𝐶，𝑆四边形𝐴𝐷𝐶𝐸=𝑆△𝐴𝐵𝐶，推出𝑆△𝐷𝐶𝐸=𝑆四边形𝐴𝐷𝐶𝐸−𝑆△𝐴𝐷𝐸，求出△𝐴𝐷𝐸面积的最小值，可得结论．本题属于三角形综合题，考查的是全等三角形的

判定和性质、三角形的面积计算、垂线段最短、等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、等腰直角三角形的性质是解题的关键．