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2021-2022学年广东省广州市华南师大附中高一（上）期末数学试卷-xz-1．若集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|x＞0}，则A∩B＝（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，+∞）C．（0，3）D．（2，+∞）【来源】2021-2022学年广东省广州市华南师大附中高一（上

）期末数学试卷【知识点】27014【难度】容易【分析】解：∵A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|x＞0}，∴A∩B＝（0，3）．故选：C．【答案】C【考点】交集及其运算．【点评】本题考查了集合的描述法和区间的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．-xz-

2．“𝑥=𝜋2”是“sinx＝1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【来源】2021-2022学年广东省广州市华南师大附中高一（上）期末数学试卷【知识点】27266【难度】一般【分析

】解：当x=𝜋2时，满足sinx＝1，即充分性成立，但sinx＝1，则x=𝜋2+2kπ，k∈Z，即必要性不成立，故“x=𝜋2”是“sinx＝1”的充分不必要条件，故选：A．【答案】A【考点】充分条件、必要条件、充要条件．【点评】本题主要考查充分条件

和必要条件的判断，是基础题．-xz-3．已知角α的终边经过点P（﹣1，2），则tanα的值是（）A．2B．﹣2C．12D．−12【来源】2021-2022学年广东省广州市华南师大附中高一（上）期末数学试卷【知识点】27159【难度】一般【分析】解：由α的终边经过点P（﹣1，2），可知tan

α=𝑦𝑥=−2，故选：B．【答案】B【考点】任意角的三角函数的定义．【点评】本题考查任意角三角函数的定义，掌握任意角三角函数的定义是解题的关键．-xz-4．函数f（x）＝xsinx的图象大致为（）

A．B．C．D．【来源】2021-2022学年广东省广州市华南师大附中高一（上）期末数学试卷【知识点】27169【难度】一般【分析】解：f（﹣x）＝﹣xsin（﹣x）＝xsinx＝f（x），则函数f（x）

是偶函数，图象关于y轴对称，排除C，D当0＜x＜𝜋2时，函数f（x）为增函数，排除A，故选：B．【答案】B【考点】函数的图象与图象的变换．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数的奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．难度中等．-xz-5．以下

四组数中大小比较正确的是（）A．log3.1π＜logπ3.1B．π﹣0.2＜π﹣0.1C．0.50.3＜0.40.3D．0.40.3＜0.10.7【来源】2021-2022学年广东省广州市华南师大附中高一（上）期末数学试卷【知识点】27246,27051【难度】一

般【分析】解：对于选项A：∵log3.1π＞log3.13.1＝1，logπ3.1＜logππ＝1，∴log3.1π＞logπ3.1，故选项A错误，对于选项B：∵函数y＝πx在R上单调递增，且﹣0.2＜﹣0.1，∴π﹣0.2＜π﹣0.1，故选项B

正确，对于选项C：∵函数y＝x0.3在（0，+∞）上单调递增，且0.5＞0.4，∴0.50.3＞0.40.3，故选项C错误，对于选项D：由指数函数y＝0.4x和幂函数y＝x0.7的单调性可知，0.40.3＞0.40.7＞0.10.7，故选项D错误，故选：B．【答案】B【考点】对

数值大小的比较．【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数、指数函数和幂函数的性质的合理运用．-xz-6．某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据：x1.02.04.08.

0y0.010.992.023现欲从理论上对这些数据进行分析并预测，则下列模拟函数合适的是（）A．y＝log2xB．y＝2xC．y＝x2+2x﹣3D．y＝2x﹣3【来源】2021-2022学年广东省广州市华南师大附中高一（上）期末数学试

卷【知识点】27045【难度】一般【分析】解：由表中数据可得，y随x的增大而增大，且增大的幅度越来越小，而函数y＝2x，y＝x2+2x﹣3在（0，+∞）的增大幅度越来越大，函数y＝2x﹣3呈线性增大，只

有函数y＝log2x与已知数据的增大趋势接近．故选：A．【答案】A【考点】根据实际问题选择函数类型．【点评】本题主要考查函数的实际应用，属于基础题．-xz-7．若1≤a≤3，则1𝑎+14−𝑎的最小值为（）A．4B．3C．2D．1【来源】2021-2022学年广东省广州市华

南师大附中高一（上）期末数学试卷【知识点】27254【难度】一般【分析】解：1𝑎+14−𝑎=4𝑎(4−𝑎)=4−𝑎2+4𝑎，令y＝﹣a2+4a＝﹣（a﹣2）2+4，1≤a≤3，∴ymax＝4，ymi

n＝3，∴y∈[3，4]，∴1𝑎+14−𝑎的最小值为44=1，故选：D．【答案】D【考点】基本不等式及其应用．【点评】本题考查了二次函数求最值，属于基础题．-xz-8．设函数𝑓(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜑)−1(𝜔＞0，0≤𝜑≤𝜋2)的最小正周期为4π，且f（x）

在[0，5π]内恰有3个零点，则φ的取值范围是（）A．[0，𝜋3]∪{5𝜋12}B．[0，𝜋4]∪[𝜋3，𝜋2]C．[0，𝜋6]∪{5𝜋12}D．[0，𝜋6]∪[𝜋3，𝜋2]【来源】2021-2022学年广东省广州市华南师大附中高一（上）期末数学试卷【

知识点】27176【难度】一般【分析】解：∵函数𝑓(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜑)−1(𝜔＞0，0≤𝜑≤𝜋2)的最小正周期为2𝜋𝜔=4π，∴ω=12，∵f（x）在[0，5π]内恰有3个零点，即sin（𝑥2+φ）=12在[0，5π]内恰有3个解．又12x+φ∈[φ，

5𝜋2+φ]，5𝜋2+φ的最大值为3π，则φ≤𝜋6且2π+𝜋6≤5𝜋2+φ＜2π+5𝜋6①，或者𝜋6＜φ≤𝜋2且2π+5𝜋6≤5𝜋2+φ≤3π②．解①可得0＜φ≤𝜋6，解②可得𝜋3≤φ≤𝜋2，故

选：D．【答案】D【考点】三角函数的周期性．【点评】本题主要考查由周期求出ω，正弦函数的图象和性质，属于中档题．-xz--mxz-9．已知x＜y，则下列不等式正确的是（）A．1𝑥＞1𝑦B．𝑥13＜𝑦13C

．2x＜2yD．ln（x2+1）＜ln（y2+1）【来源】2021-2022学年广东省广州市华南师大附中高一（上）期末数学试卷【知识点】27253【难度】一般【分析】解：对于A，令x＝﹣1，y＝1，满足x＜y，但1

𝑥＜1𝑦，故A错误，对于B，𝑦=𝑓(𝑡)=√𝑡3在R上单调递增，∵x＜y，∴𝑥13＜𝑦13，故B正确，对于C，y＝f（t）＝2t在R上单调递增，∵x＜y，∴2x＜2y，故C正确，对于D

，令x＝﹣3，y＝3，满足x＜y，但ln（x2+1）＝ln（y2+1），故D错误．故选：BC．【答案】BC【考点】不等式的基本性质．【点评】本题主要考查不等式的性质，掌握函数的单调性，以及特殊值法是解本题的关键，属于基础题．-mxz-10．下列结论正确的是（）A．

若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数为同一个函数B．函数𝑦=𝑥√𝑥−1定义域为[1，+∞）C．若函数𝑦=𝑙𝑜𝑔2(𝑥2+𝑥+𝑎)的值域为R，则a的取值范围为(−∞，14]D．函数y＝f（x）定义域为[﹣1，2]，则y＝f（x）+f（﹣x）定义域为[﹣1，1]【来源】20

21-2022学年广东省广州市华南师大附中高一（上）期末数学试卷【知识点】27023【难度】一般【分析】解：对于A，两个函数的定义域与值域相同时，这两个函数为不一定是同一个函数，如f（x）＝|x|，x∈R，与g（x）＝x2，x∈

R，所以选项A错误；对于B，函数𝑦=𝑥√𝑥−1定义域为（1，+∞），分母不能为0，选项B错误；对于C，函数𝑦=𝑙𝑜𝑔2(𝑥2+𝑥+𝑎)的值域为R时，Δ＝12﹣4a≥0，解得a≤14，所以a的取值范围是(−∞，14]，选项C正

确；对于D，因为函数y＝f（x）定义域为[﹣1，2]，令{−1≤𝑥≤2−1≤−𝑥≤2，解得﹣1≤x≤1，所以函数y＝f（x）+f（﹣x）的定义域为[﹣1，1]，选项D正确．故选：CD．【答案】CD【考点】判断两个函数是否为同一函数；函数的

定义域及其求法．【点评】本题考查了函数的定义域、值域的应用问题，也考查了判断两个函数为同一函数的应用问题，是基础题．-mxz-11．设函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω，φ是常数，ω＞0，0＜φ＜�

�2），若f（x）在区间[−𝜋24，5𝜋24]上具有单调性，且f（−𝜋24）＝﹣f（5𝜋24）＝﹣f（11𝜋24），则下列说法正确的是（）A．f（x）的周期为πB．f（x）的单调递减区间为[−𝜋6+𝑘𝜋，𝜋3+𝑘

𝜋](𝑘∈𝑍)C．f（x）的对称轴为x=𝜋12+𝑘𝜋2（k∈z）D．f（x）的图象可由g（x）＝sinωx的图象向左平移5𝜋12个单位得到【来源】2021-2022学年广东省广州市华南师大附中高一（上）期末数学试卷【知识点】27169【

难度】一般【分析】解：函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω，φ是常数，ω＞0，0＜φ＜𝜋2），若f（x）在区间[−𝜋24，5𝜋24]上具有单调性，则12⋅2𝜋𝜔≥5𝜋24+𝜋24，∴ω≤4．∵f（−𝜋

24）＝﹣f（5𝜋24）＝﹣f（11𝜋24），则f（x）的图象关于点（𝜋12，0）对称，∴f（x）的图象关于直线x=𝜋3对称，∴ω×𝜋12+φ＝kπ+𝜋2，k∈Z①，且ω×𝜋3+φ＝nπ，k、n∈Z．两式相减，可得ω

＝4（n﹣k）﹣2，故ω＝2或ω＝6（舍去）．再由①可得φ=𝜋3，f（x）＝cos（2x+𝜋3）．综上，f（x）＝cos（2x+𝜋3）．故它的周期为2𝜋2=π，A正确；令2kπ≤2x+𝜋3≤2kπ+π，求得kπ

−𝜋6≤x≤kπ+𝜋3，可得函数的减区间为[−𝜋6+𝑘𝜋，𝜋3+𝑘𝜋](𝑘∈𝑍)，故B正确．令2x+𝜋3=kπ，求得x=𝑘𝜋2−𝜋6，故f（x）的对称轴为x=𝑘𝜋2−𝜋6，k∈Z，故C错误；由g（x）＝sin2x的图象向左平移5𝜋12个单位得

到，y＝sin（2x+5𝜋6）＝cos（2x+𝜋3）的图象，故D正确，故选：ABD．【答案】ABD【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律

，余弦函数的图象和性质，属于中档题．-mxz-12．设函数f（x）的定义域为R．若存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为“倍约束函数”．下列函数是“倍约束函数”的有（）A．f（x）＝2x

B．f（x）＝x2+1C．f（x）＝sinx+cosxD．f（x）是定义在R上的奇函数，且对∀x1，x2∈R均有|f（x1）﹣f（x2）|≤2|x1﹣x2|【来源】2021-2022学年广东省广州市华南师大附中

高一（上）期末数学试卷【知识点】27026【难度】一般【分析】解：对于A，函数f（x）＝2x，存在实数M＝2，使得|f（x）|≤2|x|恒成立，故A正确；对于B，函数f（x）＝x2+1，若要使|x2+1|≤M|x|恒成

立，则当x≠0时，|𝑥2+1||𝑥|=|1𝑥+𝑥|≤𝑀恒成立，不存在这样的实数M，故B错误；对于C，f（x）＝sinx+cosx，由|f（0）|＞M⋅|0|恒成立，可得f（x）＝sinx+cosx不是“倍约束函数”，故C错误；对于D，由函数f（x）是定义

在R上的奇函数，得f（0）＝0，当x1＝x，x2＝0时，可得|f（x）|≤2|x|成立，所以该函数是“倍约束函数”，故D正确．故选：AD．【答案】AD【考点】函数恒成立问题．【点评】本题考查了函数解析式的求解和函数恒成立问题，考查了转化思想，属中档题．-mxz

--tk-13．已知函数𝑓(𝑥)={𝑠𝑖𝑛𝑥，𝑥＞0𝑐𝑜𝑠𝑥，𝑥≤0，则f（f（π））＝．【来源】2021-2022学年广东省广州市华南师大附中高一（上）期末数学试卷【知识点】27028【难度】一般【分析】解：根据题意，函数𝑓(𝑥)={𝑠𝑖𝑛𝑥，𝑥＞0𝑐�

�𝑠𝑥，𝑥≤0，则f（π）＝sinπ＝0，则f（f（π））＝f（0）＝cos0＝1，故答案为：1．【答案】1【考点】分段函数的应用．【点评】本题考查分段函数的性质，涉及函数值的计算，属于基础题．-tk-1

4．命题“∀x＞0，x2+1≥2x”的否定是．【来源】2021-2022学年广东省广州市华南师大附中高一（上）期末数学试卷【知识点】27273【难度】容易【分析】解：根据题意，命题“∀x＞0，x2+1≥2x”是全称命题，故答案为：∃x0＞0，𝑥02+1＜2𝑥0

．【答案】∃x0＞0，𝑥02+1＜2𝑥0【考点】命题的否定．【点评】本题考查命题的否定，注意全称命题和特称命题的关系，属于基础题．-tk-15．已知扇形的周长是2022cm，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是．【来源】2021-2022学年广东省广州市华南师大附中高一（上）期末数学试

卷【知识点】27158【难度】一般【分析】解：设扇形的弧长为l，半径为r，则l+2r＝2022，所以S=12l•r=12⋅（2022﹣2r）•r＝﹣r（r﹣1011），所以当r=10112，1＝1011时，扇形面积最大，此时|α|=𝑙𝑟=2

．故答案为：2．【答案】2【考点】扇形面积公式．【点评】本题考查了扇形的面积与弧长公式、一元二次函数的最值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．-tk-16．对∀x∈R，不等式mx2+4x+m﹣3＞0恒成立，则m

的取值范围是；若mx2+4x+m﹣3＞0在（﹣1，1）上有解，则m的取值范围是．【来源】2021-2022学年广东省广州市华南师大附中高一（上）期末数学试卷【知识点】27253【难度】较难【分析】解：关于x的不等式函数mx2+4x+m﹣3＞0对于任意实数x恒成立，则{𝑚＞0𝛥=42−4

𝑚(𝑚−3)＜0，解得m的取值范围是（4，+∞）；若mx2+4x+m﹣3＞0在（﹣1，1）上有解，则𝑚＞3−4𝑥𝑥2+1在（﹣1，1）上有解，易知当−1＜𝑥≤34时，3−4𝑥𝑥2+1≥0，当34＜𝑥＜1时，3−4

𝑥𝑥2+1＜0，此时记𝑡=𝑥−34，则0＜𝑡＜14，𝑔(𝑡)=−4𝑡(𝑡+34)2+1=−4𝑡+2516𝑡+32，在(0，14)上单调递减，故𝑔(𝑡)＞−12，综上，可知3−4𝑥𝑥2+1＞−12，故m的取值范围是

(−12，+∞)．故答案为：(4，+∞)；(−12，+∞)【答案】(4，+∞)；(−12，+∞)【考点】函数恒成立问题．【点评】本题考查了不等式恒成立问题和有解问题，考查了转化思想，属中档题．-tk--jd-17．已知集合A＝{0，a+

2}，B＝{0，1，a2}．（1）若a＝3，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的值．【来源】2021-2022学年广东省广州市华南师大附中高一（上）期末数学试卷【知识点】27015,2726

6【难度】一般【分析】解：（1）若a＝3，则A＝{0，5}，B＝{0，1，9}，所以A∪B＝{0，1，5，9}．（2）因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以A⫋B，①当a+2＝1时，即a＝﹣1时，不满足互异性，不符合题意；②当a+2＝a2时，即a＝﹣1或a＝2时，由①可知，a＝﹣

1时，不符合题意，当a＝2时，集合B＝{0，1，4}，满足，故可知a＝2符合题意．所以a＝2．【答案】（1）A∪B＝{0，1，5，9}；（2）a＝2【考点】并集及其运算；充分条件、必要条件、充要条件．【点评】本题主要考查了集合的并集运算及

集合包含关系的应用，体现了转化思想的应用．-jd-18．已知α，β为锐角，𝑐𝑜𝑠𝛼=17，𝑐𝑜𝑠(𝛼+𝛽)=1114．（1）求𝑐𝑜𝑠(𝛼+𝜋2)𝑐𝑜𝑠(𝛼−𝜋)𝑠𝑖𝑛(𝛼−3𝜋2)的值；（2）求co

sβ的值．【来源】2021-2022学年广东省广州市华南师大附中高一（上）期末数学试卷【知识点】27180,27164【难度】一般【分析】解：（1）因为α为锐角，所以sinα＞0，𝑠𝑖𝑛𝛼=√1−𝑐𝑜𝑠2𝛼=√1−(17)2=4√37，则𝑐𝑜𝑠(

𝛼+𝜋2)𝑐𝑜𝑠(𝛼−𝜋)𝑠𝑖𝑛(𝛼−3𝜋2)=−𝑠𝑖𝑛𝛼⋅(−𝑐𝑜𝑠𝛼)𝑐𝑜𝑠𝛼=𝑠𝑖𝑛𝛼=4√37；（2）因为α，β为锐角，所以0＜α+β＜

π，sin（α+β）＞0，所以sin（α+β）=√1−𝑐𝑜𝑠2(𝛼+𝛽)=√1−(1114)2=5√314，所以cosβ＝cos（α+β﹣α）＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）si

nα=1114×17+5√314×4√37=7198．【答案】见分析【考点】两角和与差的三角函数；运用诱导公式化简求值．【点评】本题考查了两角和与差的三角函数，涉及到诱导公式的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．-jd-19．已知函数f（x）＝2cosx（sinx+cosx）﹣1．（1）

求函数y＝f（x）的周期及单调递增区间；（2）求函数y＝f（x）在区间[0，𝜋2]上的值域．【来源】2021-2022学年广东省广州市华南师大附中高一（上）期末数学试卷【知识点】27188【难度】一般【分析】解：𝑓(𝑥)=

2𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥+2𝑐𝑜𝑠2𝑥−1=𝑐𝑜𝑠2𝑥+𝑠𝑖𝑛2𝑥=√2𝑠𝑖𝑛(2𝑥+𝜋4)，（1）当2𝑘𝜋−𝜋2≤2𝑥+𝜋4≤2𝑘𝜋+𝜋2，即𝑘𝜋−3𝜋8≤𝑥≤𝑘𝜋+𝜋8，k∈Z时，函数y＝f（x）单调递增，故函数y

＝f（x）的单调递增区间为[𝑘𝜋−3𝜋8，𝑘𝜋+𝜋8](𝑘∈𝑍)；（2）∵0≤𝑥≤𝜋2，∴𝜋4≤2𝑥+𝜋4≤5𝜋4，∴−√22≤𝑠𝑖𝑛(2𝑥+𝜋4)≤1，∴−1≤𝑓(𝑥)≤√2，即函数y＝f（x）的值

域为[−1，√2]．【答案】见分析【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性．【点评】本题考查了三角函数的单调性以及值域的求解问题，考查了学生的运算能力，属于基础题．-jd-20．已知函数f（x）＝x2+bx+

c（b，c∈R），且f（x）≤0的解集为[﹣1，2]．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设g（x）＝2f（x）+3x﹣1，若对于任意的x1，x2∈[﹣2，1]都有|g（x1）﹣g（x2）|≤M，求M的最小值．【来源】2021-20

22学年广东省广州市华南师大附中高一（上）期末数学试卷【知识点】27172,27035【难度】较难【分析】解：（1）因为f（x）≤0的解集为[﹣1，2]，所以x2+bx+c＝0的根为﹣1，2，所以由韦达定理可得﹣b＝1，c＝﹣2，即b＝﹣1，c＝﹣2，所以f（x）＝x2﹣x﹣2

；（2）因为x∈[﹣2，1]时f（x）+3x﹣1＝x2+2x﹣3，根据二次函数的图像性质，有f（x）+3x﹣1＝x2+2x﹣3∈[﹣4，0]，则有𝑔(𝑥)=2𝑓(𝑥)+3𝑥−1=2𝑥2+2𝑥

−3，所以𝑔(𝑥)∈[116，1]，因为对于任意的x1，x2∈[﹣2，1]都有|g（x1）﹣g（x2）|≤M，即求|g（x1）﹣g（x2）|max≤M，转化为g（x）max﹣g（x）min≤M，而g（x）max＝g（1）＝1，𝑔(𝑥)𝑚𝑖𝑛=𝑔

(−1)=116，所以此时可得𝑀≥1516，所以M的最小值为1516．【答案】见分析【考点】函数的最值及其几何意义；二次函数的性质与图象．【点评】本题考查了韦达定理、函数的最值及转化思想，难点在于第（

2）问中将原问题转化为g（x）max﹣g（x）min≤M，属于中档题．-jd-21．如图，ABCD是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS是一半径为90米的底面为扇形小山（P为𝑇𝑆̂上的点），其余部分为平地．今有开发商想在平地上建一个边落在BC及CD上的长方形停车场PQ

CR．求长方形停车场PQCR面积的最大值及最小值．【来源】2021-2022学年广东省广州市华南师大附中高一（上）期末数学试卷【知识点】27170,27045【难度】较难【分析】解：设∠PAB＝θ，θ∈[0，𝜋2]，则SPQCR＝f（θ）＝（100﹣90cosθ）（100﹣90sinθ）＝

8100sinθcosθ﹣9000（sinθ+cosθ）+10000．令sinθ+cosθ＝t，则t=√2sin（θ+𝜋4）∈[1，√2]．∴SPQCR=81002t2﹣9000t+10000−81002，此二次函数的图象开口向上，对称轴为t=109，故当t=109时，SPQCD

最小值为950（m2），当t=√2时，SPQCD最大值为14050﹣9000√2（m2）．【答案】见分析【考点】正弦函数的定义域和值域；根据实际问题选择函数类型．【点评】本题主要考查正弦函数的定义域和值域，二次函数的性质的应用，属于基础题．-jd

-22．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π），f（x）图象上相邻的最高点与最低点的横坐标相差𝜋2；_______；（1）①f（x）的一条对称轴𝑥=−𝜋3且𝑓(𝜋6)＞𝑓(1)；②f（x）的一个对称中心(5𝜋1

2，0)且在[𝜋6，2𝜋3]上单调递减；③f（x）向左平移𝜋6个单位得到图象关于y轴对称且f（0）＞0．从以上三个条件中任选一个补充在上面空白横线中，然后确定函数的解析式；（2）在（1）的情况下，令ℎ(𝑥)=12𝑓(𝑥)

−𝑐𝑜𝑠2𝑥，𝑔(𝑥)=ℎ[ℎ(𝑥)]．若存在𝑥∈[𝜋12，𝜋3]使得g2（x）+（2﹣a）g（x）+3﹣a≤0成立，求实数a的取值范围．【来源】2021-2022学年广东省广州市华南师大附中高一（上）期末数学试卷【知识

点】27169,27026【难度】困难【分析】解：由题意可知，函数f（x）的最小正周期为𝑇=2×𝜋2=𝜋，所以𝜔=2𝜋𝑇=2，（1）若选①：因为函数f（x）的一条对称轴𝑥=−𝜋3，则2×(−𝜋3)+𝜑=𝜋2+𝑘𝜋，𝑘∈𝑍，解得𝜑=7𝜋6+𝑘�

�，𝑘∈𝑍，又因为|φ|＜π，所以𝜑=−5𝜋6，𝜋6，若𝜑=−5𝜋6，则f（x）=2𝑠𝑖𝑛(2𝑥−5𝜋6)，所以𝑓(𝜋6)=2𝑠𝑖𝑛(−𝜋2)=−2＜𝑓(1)，不符合题意；若𝜑=𝜋6，则𝑓

(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛(2𝑥+𝜋6)，所以𝑓(𝜋6)=2𝑠𝑖𝑛𝜋2=2＞𝑓(1)，符合题意．综上所述，𝑓(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛(2𝑥+𝜋6)；若选②：因为函数f（x）的f（x）的一个对称中心(5𝜋12

，0)，则2×5𝜋12+𝜑=𝑘𝜋，𝑘∈𝑍，解得φ=−5𝜋6+𝑘𝜋，𝑘∈𝑍，因为|φ|＜π，所以𝜑=−5𝜋6，𝜋6，若𝜑=−5𝜋6，则f（x）=2𝑠𝑖𝑛(2𝑥−5𝜋6)，当𝑥∈[𝜋6，2𝜋3]时，

2𝑥−5𝜋6∈[−𝜋2，𝜋2]，此时f（x）在区间[𝜋6，2𝜋3]上单调递增，不符合题意；若𝜑=𝜋6，则𝑓(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛(2𝑥+𝜋6)，当𝑥∈[𝜋6，2𝜋3]时，2𝑥+𝜋6∈[𝜋2，3𝜋2]，此时f（x）在区间[𝜋6，2𝜋3]上单调递减，符合题

意．综上所述，𝑓(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛(2𝑥+𝜋6)；若选③：将函数f（x）向左平移𝜋6个单位得到图象关于y轴对称，所得函数为𝑦=2𝑠𝑖𝑛[2(𝑥+𝜋6)+𝜑]=2𝑠𝑖𝑛(2𝑥+𝜋3+𝜑)，由于所得函数图象关于y轴对称，所以𝜋3+

𝜑=𝜋2+𝑘𝜋，𝑘∈𝑍，解得𝜑=𝜋6+𝑘𝜋，𝑘∈𝑍，因为|φ|＜π，所以𝜑=−5𝜋6，𝜋6，若𝜑=−5𝜋6，则f（x）=2𝑠𝑖𝑛(2𝑥−5𝜋6)，所以𝑓(0)=2𝑠𝑖𝑛(−5𝜋6)=−1

，不符合题意；若𝜑=𝜋6，则𝑓(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛(2𝑥+𝜋6)，所以𝑓(0)=2𝑠𝑖𝑛𝜋6=1，符合题意．综上所述，𝑓(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛(2𝑥+𝜋6)；（2）由（1）可知，𝑓(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛(2𝑥+�

�6)，则ℎ(𝑥)=12𝑓(𝑥)−𝑐𝑜𝑠2𝑥=𝑠𝑖𝑛(2𝑥+𝜋6)−𝑐𝑜𝑠2𝑥=√32𝑠𝑖𝑛2𝑥+12𝑐𝑜𝑠2𝑥−𝑐𝑜𝑠2𝑥=√32𝑠𝑖𝑛2�

�−12𝑐𝑜𝑠2𝑥=𝑠𝑖𝑛(2𝑥−𝜋6)，当𝑥∈[𝜋12，𝜋3]时，0≤2𝑥−𝜋6≤𝜋2，则0≤h（x）≤1，所以−𝜋6≤2ℎ(𝑥)−𝜋6≤2−𝜋6，故𝑔(𝑥)=ℎ[ℎ(𝑥)]=𝑠𝑖𝑛[2ℎ(𝑥

)−𝜋6]∈[−12，𝑠𝑖𝑛(2−𝜋6)]，则g（x）+1∈[12，1+𝑠𝑖𝑛(2−𝜋6)]，因为𝜋2＜2＜2𝜋3，所以𝜋3＜2−𝜋6＜𝜋2，则√32＜𝑠𝑖𝑛(2−𝜋6)＜1，由g2（x）+（2﹣a

）g（x）+3﹣a≤0恒成立，可得g2（x）+2g（x）+3≤a[g（x）+1]恒成立，即𝑎≥𝑔2(𝑥)+2𝑔(𝑥)+3𝑔(𝑥)+1=[𝑔(𝑥)+1]2+2𝑔(𝑥)+1=𝑔(𝑥)+1+2𝑔(𝑥

)+1恒成立，由基本不等式可得，𝑔(𝑥)+1+2𝑔(𝑥)+1≥2√[𝑔(𝑥)+1]⋅2𝑔(𝑥)+1=2√2，当且仅当𝑔(𝑥)+1=√2∈[12，1+𝑠𝑖𝑛(2−𝜋6)]时等号成立，故𝑎≥2√2，所以实数a的取值范围为[2√2，+∞)．【答案】见分析【考

点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【点评】本题考查了三角函数的综合应用，三角函数解析式的求解，三角函数的周期性、单调性、对称性的理解与应用，不等式恒成立问题

以及基本不等式求解最值的应用，考查了逻辑推理能力、转化化归能力与化简运算能力，属于中档题．-jd-