【文档说明】2021-2022学年广东省茂名市高州市高一上期末数学试卷解析版.docx，共(14)页，41.735 KB，由小喜鸽上传

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2021-2022学年广东省茂名市高州市高一（上）期末数学试卷-xz-1．若集合A＝{﹣1，2}，B＝{x|x2﹣2x＝0}，则集合A∪B＝（）A．{﹣1，2}B．{0，1，2}C．{0，2}D．{﹣1，0，2}【来源】202

1-2022学年广东省茂名市高州市高一（上）期末数学试卷【知识点】27015【难度】一般【分析】解：∵A＝{﹣1，2}，B＝{0，2}，∴A∪B＝{﹣1，0，2}．故选：D．【答案】D【考点】并集及其运算．【点评】本题考查

了集合的描述法和列举法的定义，并集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．-xz-2．函数f（x）＝ln（x2﹣x﹣2）的定义域为（）A．（0，1）B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，

﹣2]∪[1，+∞）【来源】2021-2022学年广东省茂名市高州市高一（上）期末数学试卷【知识点】27023【难度】一般【分析】解：要使函数有意义，则x2﹣x﹣2＞0，得（x+1）（x﹣2）＞0，所以x＞2或x＜﹣1，即函数的

定义域为（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），故选：C．【答案】C【考点】函数的定义域及其求法．【点评】本题主要考查函数定义域的求解，根据对数函数成立的条件建立不等式是解决本题的关键，是基础题．-xz-3．命题p：任意圆的内接四

边形是矩形，则￢p为（）A．每一个圆的内接四边形是矩形B．有的圆的内接四边形不是矩形C．所有圆的内接四边形不是矩形D．存在一个圆的内接四边形是矩形【来源】2021-2022学年广东省茂名市高州市高一（上）期末数学试卷【知识点

】27273【难度】容易【分析】解：由全称命题的否定为特称命题，命题p：任意圆的内接四边形是矩形的否定为：有的圆的内接四边形不是矩形．故选：B．【答案】B【考点】命题的否定．【点评】本题考查命题的否定，注意全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，考查转化思想，

属于基础题．-xz-4．𝑠𝑖𝑛110°𝑐𝑜𝑠250°𝑐𝑜𝑠225°−𝑠𝑖𝑛2155°的值为（）A．−12B．12C．√32D．−√32【来源】2021-2022学年广东省茂名市高州市高一（上）期末数学

试卷【知识点】27187【难度】一般【分析】解：原式=𝑠𝑖𝑛(180°−70°)𝑐𝑜𝑠(180°+70°)𝑐𝑜𝑠225°−𝑠𝑖𝑛225°=𝑠𝑖𝑛70°(−𝑐𝑜𝑠70°)𝑐𝑜𝑠50°=−12•𝑠𝑖𝑛140°𝑐𝑜𝑠50°=−12•𝑠𝑖𝑛(90

°+50°)𝑐𝑜𝑠50°=−12•𝑐𝑜𝑠50°𝑐𝑜𝑠50°=−12．故选：A．【答案】A【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．【点评】本题考查三角函数的化简求值，熟练掌握诱导公式，二倍角公式

是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．-xz-5．将函数y＝2cos（2x−𝜋3）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移𝜋3个单位，所得函数图象的一条对称轴是（）A．x

=𝜋3B．x=𝜋6C．x=2𝜋3D．x＝π【来源】2021-2022学年广东省茂名市高州市高一（上）期末数学试卷【知识点】27169【难度】一般【分析】解：将函数y＝2cos（2x−𝜋3）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得函数y＝2cos（x−𝜋3）的图象；再向左平

移𝜋3个单位，可得函数y＝2cosx的图象，故所得函数图象的对称轴为x＝kπ，k∈Z，故选：D．【答案】D【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【点评】本题主要考查函数y＝Acos（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象和性质，属于中档题．-xz-6．若函数f（

x）＝ax2+（a+2b）x﹣2a+3是定义在（2a﹣2，0）∪（0，﹣3a）上的偶函数，则f（𝑎2+𝑏25）＝（）A．1B．3C．5D．7【来源】2021-2022学年广东省茂名市高州市高一（上）期末数学试卷【知识点】27033【难度】一般【分析】

解：函数f（x）＝ax2+（a+2b）x﹣2a+3是定义在（2a﹣2，0）∪（0，﹣3a）上的偶函数，可得2a﹣2+（﹣3a）＝0，解得a＝﹣2，又a+2b＝0，解得b＝1，则f（x）＝﹣2x2+7，f（𝑎

2+𝑏25）＝f（1）＝﹣2+7＝5，故选：C．【答案】C【考点】函数奇偶性的性质与判断．【点评】本题考查函数的奇偶性的定义和运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．-xz-7．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴

的非负半轴重合，若它的终边经过点P（2，﹣4），则tan（2α−𝜋4）＝（）A．−125B．512C．−17D．17【来源】2021-2022学年广东省茂名市高州市高一（上）期末数学试卷【知识点】27179【难度】一般【分析】解：因为α的终边经过点P（2，﹣4），∴tanα=−42=−2，∴

tan2α=2𝑡𝑎𝑛𝛼1−𝑡𝑎𝑛2𝛼=−41−(−2)2=43，∴tan（2α−𝜋4）=𝑡𝑎𝑛2𝛼−𝑡𝑎𝑛𝜋41+𝑡𝑎𝑛2𝛼𝑡𝑎𝑛𝜋4=43−11+43×1=1373=17．故选：D．【答案】D【考点】两角和与差的三角函

数；任意角的三角函数的定义．【点评】本题考查正切函数的定义，以及两和与差的正切公式，二倍角的正切公式，属基础题．-xz-8．若实数a，b满足lg2b﹣lga＝lg（2b﹣a），则b的最小值为（）A．1B．2+√2C．2

D．4【来源】2021-2022学年广东省茂名市高州市高一（上）期末数学试卷【知识点】27048【难度】一般【分析】解：由对数式lg2b﹣lga＝lg（2b﹣a）有意义可得a＞0，b＞0，由对数的运算性质可得lg2𝑏𝑎=lg（2b﹣a），∴2𝑏𝑎=2b﹣a，∴2b＝2ab﹣a2，即2b=

𝑎2𝑎−1，又∵b＞0，∴a＞1，∴2b=𝑎2𝑎−1=[(𝑎−1)+1]2𝑎−1=(𝑎−1)2+2(𝑎−1)+1𝑎−1=（a﹣1）+1𝑎−1+2≥2+2√(𝑎−1)⋅1𝑎−1=2+2＝4，当且仅当a﹣1=1𝑎−1即a＝2时，等号成立

，∴b≥2，即b的最小值为2，故选：C．【答案】C【考点】对数的运算性质．【点评】本题主要考查了对数的运算性质，考查了利用基本不等式求最值，是中档题．-xz--mxz-9．下列表达式中，正确的是（）A．cos𝜋12cos𝜋6−sin𝜋12sin𝜋6=√22B．√3

sinx+cosx＝2sin（x+𝜋6）C．1−𝑡𝑎𝑛15°1+𝑡𝑎𝑛15°=√3D．cos4𝜋8−sin4𝜋8=12【来源】2021-2022学年广东省茂名市高州市高一（上）期末数学试卷【知识点】27188【难度】一般【分析】解：选项A，cos𝜋12cos𝜋6−sin𝜋1

2sin𝜋6=cos（𝜋12+𝜋6）＝cos𝜋4=√22，即A正确；选项B，√3sinx+cosx＝2（√32sinx+12cosx）＝2（sinxcos𝜋6+cosxsin𝜋6）＝2sin（x+𝜋6），即B正确；选项C，1−𝑡𝑎�

�15°1+𝑡𝑎𝑛15°=𝑡𝑎𝑛45°−𝑡𝑎𝑛15°1+𝑡𝑎𝑛45°𝑡𝑎𝑛15°=tan（45°﹣15°）＝tan30°=√33，即C错误；选项D，cos4𝜋8−sin4𝜋8=（cos2𝜋8−sin2𝜋8）（cos2𝜋8+sin2𝜋8）＝cos2𝜋8−s

in2𝜋8=cos（2×𝜋8）=√22，即D错误．故选：AB．【答案】AB【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；两角和与差的三角函数；二倍角的三角函数．【点评】本题考查三角函数的化简，熟练掌握两角和差公式，辅助角公式，二倍角公式是解题的关键

，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．-mxz-10．对于函数f（x）＝﹣（13）x+x13，若存在实数a，b，使得a＜b时，有f（a）f（b）＜0，那么下列选项一定正确的是（）A．f（x）在（a，b）内有两个以上零点B．a

＞0C．f（x）在（a，b）内有且只有一个零点D．f（x）为R上的单调函数【来源】2021-2022学年广东省茂名市高州市高一（上）期末数学试卷【知识点】27058【难度】一般【分析】解：函数f（x）＝﹣（13

）x+x13是增函数，若存在实数a，b，使得a＜b时，有f（a）f（b）＜0，则f（x）在（a，b）内有且只有一个零点，故选：CD．【答案】CD【考点】函数零点的判定定理．【点评】本题考查了函数的单调

性问题，考查零点存在性定理，是基础题．-mxz-11．我们用[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）＝[x]称为取整函数，下面与取整函数有关的结论正确的是（）A．[x]≤x＜[x]+1B．[x]+[﹣x]＝0C．若[log2x]＝1，则

x的取值范围是[2，4）D．若1≤x≤2，则[x[x]]的取值集合是{1，2，3，4}【来源】2021-2022学年广东省茂名市高州市高一（上）期末数学试卷【知识点】27027【难度】一般【分析】解：当x不是整数时，[x]＜x＜[x]+1

，当x是整数时，[x]＝x，[x]≤x＜[x]+1成立，故A正确；∵[0.1]＝0，[﹣0.1]＝﹣1，∴[0.1]+[﹣0.1]＝﹣1，故B错误；∵[log2x]＝1，∴1≤log2x＜2，故2≤x＜4，故C正确；当1≤x＜2时，[x]＝1，x[x]＝x，[x[x]]＝1，当x＝2时，x[x]

＝4，[x[x]]＝4，故[x[x]]的取值集合是{1，4}，故D错误；故选：AC．【答案】AC【考点】函数的值．【点评】本题考查了取整函数的应用及分类讨论的思想应用，属于中档题．-mxz-12．已知函数f（x）＝loga（1﹣x）+loga（3+x）（a＞0且

a≠1）在定义域内存在最大值，且最大值为2，g（x）=𝑚⋅2𝑥−12𝑥，若对任意x1∈[﹣1，12]，存在x2∈[﹣1，1]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值可以是（）A．﹣1B．0C．log27D．3【来源】20

21-2022学年广东省茂名市高州市高一（上）期末数学试卷【知识点】27325【难度】一般【分析】解：f（x）定义域为(−3，1)，𝑓(𝑥)=𝑙𝑜𝑔𝑎(1−𝑥)+𝑙𝑜𝑔𝑎(3+𝑥)=𝑙𝑜𝑔𝑎(−𝑥2−2𝑥+3)=𝑙

𝑜𝑔𝑎[−(𝑥+1)2+4]，由题意知x＝﹣1时，f（x）＝2，即loga4＝2，∴a＝2．此时𝑓(𝑥)=𝑙𝑜𝑔2[−(𝑥+1)2+4]，∴𝑥∈[−1，12]时，f（x）∈[log27﹣2，2]．∵𝑔(𝑥)=𝑚−12𝑥，∴x∈[﹣

1，1]时，g（x）min＝m﹣2，由log27﹣2⩾m﹣2得m⩽log27．对照四个选项，可以选：ABC．故选：ABC．【答案】ABC【考点】函数的最值及其几何意义．【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查学生的运算能力，属于中档题．-mxz--tk-13．计

算sin390°＝．【来源】2021-2022学年广东省茂名市高州市高一（上）期末数学试卷【知识点】27164【难度】一般【分析】解：sin390°＝sin（360°+30°）＝sin30°=12，故答案为12．【答案】12【考点】运用诱导公式化简求值．【点评】本题主要考

查诱导公式的应用，属于基础题．-tk-14．已知tanα=−12，α∈（𝜋2，π），则sinα﹣2cosα＝．【来源】2021-2022学年广东省茂名市高州市高一（上）期末数学试卷【知识点】27163【难度】一般【分析】解：因为tanα=𝑠

𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼=−12，又sin2α+cos2α＝1，解得sinα=√55，cosα=−2√55，所以sinα﹣2cosα=√55−2×（−2√55）=√5．故答案为：√5．【答案】√5【考点】同角三角函数间的基本关系．【点评】本题主要考

查了同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．-tk-15．若函数f（x）={𝑔(𝑥)，𝑥＜0(13)𝑥，𝑥＞0是奇函数，则g（﹣3）＝．【来源】2021-2022学年广东省茂名市高州市高一（上）期末数学试

卷【知识点】27028【难度】一般【分析】解：因为f（x）是奇函数，所以g（﹣3）＝f（﹣3）＝﹣f（3）=−(13)3=−127．故答案为：−127．【答案】−127【考点】分段函数的应用．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，奇偶性的应用，是基础题．-tk-16．夏季

为旅游旺季，青岛某酒店工作人员为了适时为游客准备食物，调整投入，减少浪费，他们统计了每个月的游客人数，发现每年各个月份的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，游客人数基本相同；②游客人数在2

月份最少，在8月份最多，相差约200人；③2月份的游客约为60人，随后逐月递增直到8月份达到最多．则用一个正弦型三角函数描述一年中游客人数与月份之间的关系为；需准备不少于210人的食物的月份数为．【来源】2

021-2022学年广东省茂名市高州市高一（上）期末数学试卷【知识点】27061【难度】较难【分析】解：设该函数为f（x）＝Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，0＜|φ|＜π），根据条件①，函数f（x）的周期为

12，根据条件②，f（2）最小，f（8）最大，且f（8）﹣f（2）＝200，故函数的振幅为100，根据条件③，f（x）在[2，8]上单调递增，且f（2）＝60，所以f（8）＝260，2𝜋𝜔=12，解得𝜔=𝜋6，且{−𝐴+𝐵=60𝐴+𝐵=260，解得A＝100，B＝160，当x＝

2时，f（x）最小，当x＝8时，f（x）最大，𝑠𝑖𝑛(2×𝜋6+𝜑)=−1，且𝑠𝑖𝑛(8×𝜋6+𝜑)=1，∵0＜|φ|＜π，∴φ=−5𝜋6，∴游客人数与月份之间的关系式为f（x）=100𝑠𝑖𝑛(𝜋6𝑥−5𝜋6)

+160（1≤x≤12，x∈N*），由条件可知，f（x）=100𝑠𝑖𝑛(𝜋6𝑥−5𝜋6)+160≥210，化简得𝑠𝑖𝑛(𝜋6𝑥−5𝜋6)≥12，可得2𝑘𝜋+𝜋6≤𝜋6𝑥−5𝜋

6≤2𝑘𝜋+5𝜋6，𝑘∈𝑍，解得12k+6≤x≤12k+10，k∈Z，∵x∈N*，且1≤x≤12，∴x＝6，7，8，9，10，故需准备不少于210人的食物的月份数为5．故答案为：f（x）=100𝑠𝑖𝑛(𝜋6𝑥−5𝜋6)+160（1≤x≤12，x∈N*）；

5．【答案】见分析【考点】根据实际问题选择函数类型．【点评】本题主要考查三角函数的实际应用，考查转化能力，属于中档题．-tk--jd-17．解关于x的不等式：6x2+ax﹣a2＜0．【来源】2021-2022学年广东省茂名市

高州市高一（上）期末数学试卷【知识点】27248【难度】较难【分析】解：原不等式化为；（2x+a）（3x﹣a）＜0当a＞0时，∵−𝑎2＜𝑎3，∴−𝑎2＜𝑥＜𝑎3当a＜0时，∵𝑎3＜−𝑎2，∴𝑎3＜𝑥＜−𝑎2当a＝0时，无解．综上所述，当a＞0时，原不等

式的解集为{x|−𝑎2＜𝑥＜𝑎3}当a＝0时，原不等式的解集为∅当a＜0时，原不等式的解集为（x|𝑎3＜𝑥＜−𝑎2}【答案】见分析【考点】一元二次不等式及其应用．【点评】本题考查了含参数的不等式的解法，做题时应按参数的范围讨

论．-jd-18．已知幂函数f（x）＝（m﹣1）2xm2﹣4m+2在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）＝2x﹣k．（1）求m的值；（2）当x∈[1，2）时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，设p：x∈A，q：x∈B，若p是q成立的必要条

件，求实数k的取值范围．【来源】2021-2022学年广东省茂名市高州市高一（上）期末数学试卷【知识点】27056,27266【难度】较难【分析】解：（1）由幂函数的定义，得（m﹣1）2＝1，解得m＝0或m＝2，

当m＝2时，f（x）＝x﹣2在（0，+∞）上单调递减，与题设矛盾，舍去，当m＝0时，f（x）＝x2在（0，+∞）上单调递增，符合题意，综上，可知m＝0．（2）由（1），得f（x）＝x2，当x∈[1，2）时，f（x）∈[1，4），即A＝[1，4），当x∈

[1，2）时，g（x）∈[2﹣k，4﹣k），即B＝[2﹣k，4﹣k），由p是q成立的必要条件，则B⊆A，显然B≠∅，则{2−𝑘≥14−𝑘≤4，解得0≤k≤1，所以实数k的取值范围为[0，1]．【答案】见分析【考点】幂函数的性质；充分条件、必要条件、充要条件．【点评】本题考查了幂函数的定义，函

数的单调性，考查集合的包含关系以及转化思想，是中档题．-jd-19．已知f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，f（﹣1）＝2，当x∈[﹣2，0]时的解析式为f（x）=𝑎4𝑥+𝑏2𝑥（a，b∈R）．（1）写出f（x）在[0，2]上的解析式；（2）求f（x

）在[0，2]上的最值．【来源】2021-2022学年广东省茂名市高州市高一（上）期末数学试卷【知识点】27034【难度】较难【分析】解：（1）因为f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，所以f（0）＝0，即a+b＝0，由f（﹣1）＝2，得4a+2b＝2，得a＝

1，b＝﹣1，则当x∈[﹣2，0]时的解析式为f（x）=14𝑥−12𝑥．设x∈[0，2]，则﹣x∈[﹣2，0]，∴f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣（14−𝑥−12−𝑥）＝2x﹣4x，即当x∈[0，2]时，f（x）＝2x﹣4x．（2）f（x）＝2x﹣4x＝﹣（2x−12）2+14，

其中2x∈[1，4]，∴当2x＝1，即x＝0时，f（x）的最大值为0，当2x＝4，即x＝2时，f（x）的最小值为﹣12．【答案】见分析【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的性质与判断．【点评】本题考查函数的奇偶性的运用：求函数的解析式，考查函数的最值的求

法，属于中档题．-jd-20．已知a，b，c均为正数，且a+b+c＝3，证明：a2+b2+c2+1𝑎𝑏+1𝑏𝑐+1𝑎𝑐≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．【来源】2021-2022学年广东省茂名市高州市高一（上）期末数学试卷【知识点】27400【

难度】较难【分析】证明：因为a，b，c均为正数，所以a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ac，所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac①，故a2+b2+c2+1𝑎𝑏+1𝑏𝑐+1𝑎𝑐≥𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑎𝑐

+1𝑎𝑏+1𝑏𝑐+1𝑎𝑐，而ab+bc+ac+1𝑎𝑏+1𝑏𝑐+1𝑎𝑐≥2√𝑎𝑏⋅1𝑎𝑏+2√𝑏𝑐⋅1𝑏𝑐+2√𝑎𝑐⋅1𝑎𝑐=6②，所以原不等式成立．当且仅当①式和②式等号成立，即当且仅当

a＝b＝c，ab＝bc＝ac＝1，故当且仅当a＝b＝c＝1时，原不等式等号成立．【答案】见分析【考点】不等式的证明．【点评】本题主要考查不等式的证明，掌握基本不等式的公式是解本题的关键，属于基础题．-

jd-21．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，−𝜋2＜φ＜𝜋2）同时满足下列四个条件中的三个：①当x=−𝜋4时，函数值为0；②f（x）的最大值为√2；③f（x）的图象可由y＝2si

nxcosx的图象平移得到；④函数的最小正周期为2π．（1）请选出这三个条件并求出函数的解析式；（2）对于给定函数g（x）＝sin2x﹣（a+2）f（x），求该函数的最小值g（a）．【来源】2021-202

2学年广东省茂名市高州市高一（上）期末数学试卷【知识点】27169【难度】较难【分析】解：（1）由条件③可知y＝2sinxcosx＝sin2x，函数的周期T＝π，最大值为1与②④矛盾，故③不符合题意．选择①②④

三个条件．由②得A=√2，由④中T=2𝜋𝜔=2π，知ω＝1，则f（x）=√2sin（x+φ），由①知f（−𝜋4）=√2sin（−𝜋4+φ）＝0，解得φ=𝜋4+kπ，k∈Z，又−𝜋2＜φ＜𝜋2，则φ=𝜋4．所求函数表达式为f（x）=√2sin（x+𝜋4），（2）由g（x）＝

sin2x﹣（a+2）•√2sin（x+𝜋4）＝2sinxcosx﹣（a+2）（sinx+cosx），令t＝sinx+cosx=√2sin（x+𝜋4），t∈[−√2，√2]，那么2sinxcosx＝t2﹣1，

令F（t）＝t2﹣（a+2）t﹣1，t∈[−√2，√2]，其对称轴为t=𝑎2+1．当𝑎2+1≤−√2时，即a≤﹣2√2−2时，F（t）在[−√2，√2]上单调递增，则F（t）min＝F（−√2）=√2（a+1）+1；当−√2＜𝑎2+1

＜√2时，即﹣2√2−2＜a＜2√2−2时，F（t）在[−√2，𝑎2+1]上单调递减，在[𝑎2+1，√2]上单调递增，则F（t）min＝F（𝑎2+1）=−14a2﹣a﹣2；当𝑎2+1≥√2时，即a≥2√2−2时

，F（t）在[−√2，√2]上单调递减．则F（t）min＝F（√2）＝1−√2（a+2），综上所述可得g（a）={√2(𝑎+2)+1(𝑎≤−2√2−2)−14𝑎2−𝑎−2(−2√2−2＜𝑎＜2√2−2)1−√2(�

�+2)(𝑎≥2√2−2)．【答案】见分析【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【点评】本题考查求函数的解析式，以及分类讨论求函数的最小值，属中档题．-jd-22．已知函数f（x）的图象在定义域（0，

+∞）上连续不断．若存在常数T＞0，使得对于任意的x＞0，f（Tx）＝f（x）+T恒成立，称函数f（x）满足性质P（T）．（Ⅰ）若f（x）满足性质P（2），且f（1）＝0，求f（4）+f（14）的值；（Ⅱ）若f

（x）＝log1.2x，试说明至少存在两个不等的正数T1，T2，同时使得函数f（x）满足性质P（T1）和P（T2）．（参考数据：1.24＝2.0736）（Ⅲ）若函数f（x）满足性质P（T），求证：函数f（x）存在零点．【来源】2021-2022学年广东省茂名市高州市

高一（上）期末数学试卷【知识点】27061【难度】困难【分析】解：（Ⅰ）因为满足性质P（2），所以对于任意的，f（2x）＝f（x）+2恒成立．又因为f（1）＝0，所以，f（2）＝f（1）+2＝2，f（4）＝f（2）

+2＝4，由𝑓(1)=𝑓(12)+2可得𝑓(12)=𝑓(1)−2=−2，由𝑓(12)=𝑓(14)+2可得𝑓(14)=𝑓(12)−2=−4，所以，𝑓(4)+𝑓(14)=0；（Ⅱ）若正数T满足log1.2（Tx）＝l

og1.2x+T，等价于log1.2T＝T，记g（x）＝x﹣log1.2x，显然g（1）＞0，g（2）＝2﹣log1.22＝log1.21.44﹣log1.22＜0，因为1.24＞2，所以1.216＞16，16＞log1.2

16，即g（16）＞0，因为g（x）的图象连续不断，所以存在T1∈（1，2），T2∈（2，16），使得g（T1）＝g（T2）＝0，因此，至少存在两个不等的正数T1，T2，使得函数同时满足性质P（T1）和P（T2）；（Ⅲ）证明：①若f（1）

＝0，则1即为的零点；②若f（1）＝M＜0，则f（T）＝f（1）+T，f（T2）＝f（T）+T＝f（1）+2T，可得f（Tk）＝f（Tk﹣1）+T＝f（1）+kT，k∈N•，取𝑘=[−𝑀𝑇]+1＞−𝑀𝑇即可使得f（Tk）＝M+kT＞0，所以，f（x）存在零点；③若f（1）＝M＞0，则

由𝑓(1)=𝑓(1𝑇)+𝑇，可得𝑓(1𝑇)=𝑓(1)−𝑇，由𝑓(1𝑇)=𝑓(1𝑇2)+𝑇，可得𝑓(1𝑇2)=𝑓(1𝑇)−𝑇=𝑓(1)−2𝑇，由𝑓(1𝑇𝑘−1)=𝑓(1𝑇𝑘)+𝑇，可得𝑓(1𝑇𝑘)=𝑓(1𝑇𝑘−

1)−𝑇=𝑓(1)−𝑘𝑇，𝑘∈𝑁⋅，取𝑘=[𝑀𝑇]+1＞𝑀𝑇即可使得𝑓(1𝑇𝑘)=𝑀−𝑘𝑇＜0，所以，f（x）存在零点．综上，f（x）存在零点．【答案】见分析【考点】函数与方程的综合运用．【点评】本题考查函数与方程的综合运用，考查逻辑

推理及运算求解能力，属于中档题．-jd-