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2021-2022学年湖南省邵阳市邵东一中高二（上）期中数学试卷-xz-1．过点M（﹣2，m）、N（m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为（）A．1B．4C．1或3D．1或4【来源】2021-2022学年湖南省邵阳市邵东一中高二（上）期中数学试卷【知识点

】27093【难度】容易【分析】解：过点M（﹣2，m）、N（m，4）的直线的斜率等于1，所以k=𝑦2−𝑦1𝑥2−𝑥1=4−𝑚𝑚+2=1解得m＝1故选：A．【答案】A【考点】直线的斜率．【点评】本题考查直线的斜率

的求法，是基础题．-xz-2．“2＜m＜6”是“方程𝑥2𝑚−2+𝑦26−𝑚=1为椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【来源】2021-2022学年湖南省邵阳市邵东一中高二（上）期中数学试卷【知识点】2709

3,27093【难度】容易【分析】解：若方程𝑥2𝑚−2+𝑦26−𝑚=1为椭圆方程，则{𝑚−2＞06−𝑚＞0𝑚−2≠6−𝑚，解得：2＜m＜6，且m≠4，故“2＜m＜6”是“方程𝑥2𝑚−2+𝑦26−𝑚=1为椭圆方程”的必要不充分条件，故选：B．【答案】B【考

点】椭圆的性质；充分条件、必要条件、充要条件．【点评】本题考查了充分必要条件，考查椭圆的定义，是一道基础题．-xz-3．抛物线y＝﹣8x2的焦点坐标是（）A．（0，﹣2）B．（﹣2，0）C．（0，−132）D．（−132，0）【来源】2021-2022学年湖南省邵阳市邵东一中高二（上）

期中数学试卷【知识点】27295【难度】容易【分析】解：抛物线y＝﹣8x2的标准方程为：x2=−18y，所以抛物线的焦点坐标（0，−132）．故选：C．【答案】C【考点】抛物线的性质．【点评】本题考查抛物线的简单性质的

应用，是基本知识的考查．-xz-4．已知空间四边形OABC，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC的中点，设𝑂𝐴→=𝑎→，𝑂𝐵→=𝑏→，𝑂𝐶→=𝑐→，则𝑀𝑁→=（）A．12𝑎→+1

2𝑏→−23𝑐→B．−23𝑎→+12𝑏→+12𝑐→C．12𝑎→−23𝑏→+12𝑐→D．23𝑎→+23𝑏→−12𝑐→【来源】2021-2022学年湖南省邵阳市邵东一中高二（上）期中数学试卷【知

识点】27305【难度】容易【分析】解：∵点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC的中点，𝑀𝑁→=𝑀𝐴→+𝐴𝐵→+𝐵𝑁→=13𝑂𝐴→+(𝑂𝐵→−𝑂𝐴→)+12𝐵𝐶→=13𝑂𝐴→+(𝑂𝐵→−𝑂𝐴→)+12

(𝑂𝐶→−𝑂𝐵→)=−23𝑂𝐴→+12𝑂𝐵→+12𝑂𝐶→，∵𝑂𝐴→=𝑎→，𝑂𝐵→=𝑏→，𝑂𝐶→=𝑐→，∴𝑀𝑁→=−23𝑎→+12𝑏→+12𝑐→，故选：B．【答案】B【考点】空间向量及其线

性运算．【点评】本题考查的知识点是向量加法的三角形法则，向量减法的三角形法则，难度中档．-xz-5．圆C1：x2+y2﹣2ay＝0和C2：（x﹣1）2+y2＝4圆相交，则实数a的取值范围是（）A．[−34，34]B．（﹣∞，−34）C．（﹣∞，﹣

1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，−34）∪（34，+∞）【来源】2021-2022学年湖南省邵阳市邵东一中高二（上）期中数学试卷【知识点】27305【难度】容易【分析】解：根据题意，圆C1：x2+y2﹣2ay＝0，即x2+（y﹣a）2＝a2，

其圆心为（0，a），半径r＝|a|，圆C2：（x﹣1）2+y2＝4，其圆心为（1，0），半径R＝2，若两个圆相交，则有||a|﹣2|＜√𝑎2+1＜|a|+2，解可得：|a|＞34，则a＜−34或a＞34，即a的取值范围为（﹣∞，−34）

∪（34，+∞），故选：D．【答案】D【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【点评】本题考查圆与圆相交的性质，涉及圆的一般方程和标准方程，属于基础题．-xz-6．正四面体P﹣ABC中，点M是BC的中点，则异面直线PM与AB所成角的余弦值为

（）A．√33B．√36C．√336D．√63【来源】2021-2022学年湖南省邵阳市邵东一中高二（上）期中数学试卷【知识点】27076,27191【难度】容易【分析】解：取AC中点N，连接PN，NM．设AB＝2

．在△ABC中，N，M分别为AD，BD中点，所以NM∥AB，所以直线PM与AB所成角为直线PM与NM所成角．在△PNM中，PM＝PN=√3，MN=12AB＝1，由余弦定理得cos∠PMN=(√3)2+12−(√3)22×1×√3=√36．故选：B

．【答案】B【考点】异面直线及其所成的角．【点评】本题考查异面直线所成角，属于基础题．-xz-7．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（）A．13

B．12C．23D．34【来源】2021-2022学年湖南省邵阳市邵东一中高二（上）期中数学试卷【知识点】27277,27281,27282【难度】容易【分析】解：设椭圆的方程为：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1，直线l经过椭圆的一个顶点

和一个焦点，则直线方程为：𝑥𝑐+𝑦𝑏=1，椭圆中心到l的距离为其短轴长的14，可得：1√1𝑐2+1𝑏2=𝑏2，4＝b2（1𝑐2+1𝑏2），∴𝑏2𝑐2=3，𝑎2−𝑐2𝑐2=3，∴e=𝑐𝑎=12．故选：B．【

答案】B【考点】椭圆的性质．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查点到直线的距离公式，椭圆的离心率的求法，考查计算能力．-xz-8．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱上到直线A1B与CC1的距离相等的点有3个，记这3个点分别为E，F，G，则直线AC1与平面EFG所

成角的正弦值为（）A．√2613B．2√2613C．2√7839D．4√7839【来源】2021-2022学年湖南省邵阳市邵东一中高二（上）期中数学试卷【知识点】27311【难度】一般【分析】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱上到直线A1B

与CC1的距离相等的点分别为：因为A1D1⊥面ABB1A1，所以A1D1的长为D1到A1B的距离，显然C1D1的长是D1到CC1的距离，由正方体性质知它们相等，所以D1到直线A1B与CC1的距离相等，显然BC中点到直线A1B与CC1的距离相等，设F为B1C1上的点，设B1F＝x

，正方体棱长为2，则F到CC1的距离为2﹣x，过B1作B1M⊥B1A于M，则𝐹𝑀2=𝐵1𝑀2+𝐵1𝐹2=x2+2，由FM＝FC1，所以x2+2＝2﹣x，解得x=12，所以F为B1C1上的四等分点且靠近B1，所以正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱上到直线A1B与CC

1的距离相等的点分别为D1，BC中点，B1C1的四等分点（靠近B1），假设D1与G重合，BC的中点为E，B1C1的四等分点（靠近B1）为F，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝2，则E（1，2，0），F（32，2，2），G（0，0，2），A（

2，0，0），C1（0，2，2），∴𝐸𝐹→=（12，0，2），𝐺𝐹→=（32，2，0），𝐴𝐶1→=（﹣2，2，2），设平面EFG的法向量𝑛→=（x，y，z），则{𝑛→⋅𝐸𝐹→=0𝑛→⋅𝐺𝐹→=0，

即{12𝑥+2𝑧=032𝑥+2𝑦=0，取x＝4，得𝑛→=（4，﹣3，﹣1）．设直线AC1与平面EFG所成角为θ，则直线AC1与平面EFG所成角的正弦值为sinθ＝|cos＜𝑛→，𝐴𝐶1→＞|=

4√7839．故选：D．【答案】D【考点】直线与平面所成的角．【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．-xz--mxz-9．下列说法正确的是（）A．直线y＝ax﹣3a+2（

a∈R）必过定点（3，2）B．直线y＝3x﹣2在y轴上的截距为﹣2C．直线√3𝑥+𝑦+1=0的倾斜角为60°D．过点（﹣1，2）且垂直于直线x﹣2y+3＝0的直线方程为2x+y＝0【来源】2021-2022

学年湖南省邵阳市邵东一中高二（上）期中数学试卷【知识点】27092,27101,27094【难度】容易【分析】解：对于A，直线y＝a（x﹣3）+2（a∈R）必过定点（3，2），故正确；对于B，直线y＝3x﹣2在y轴上的截距为﹣2，故正确；对于C，直线√3x+y+1＝0的斜率为−√3，其倾斜角为1

20°，故错误；对于D，过点（﹣1，2）且垂直于直线x﹣2y+3＝0的直线方程为：y﹣2＝﹣2[x﹣（﹣1）]，即2x+y＝0，故正确．故选：ABD．【答案】ABD【考点】恒过定点的直线．【点评】本题考查了直线方程，直

线的倾斜角、截距，属于基础题．-mxz-10．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0．则以下几个命题正确的有（）A．直线l恒过定点（3，1）B．圆C被y

轴截得的弦长为4√6C．直线l与圆C恒相交D．直线l被圆C截得最短弦长时，直线l的方程为2x﹣y﹣5＝0【来源】2021-2022学年湖南省邵阳市邵东一中高二（上）期中数学试卷【知识点】27110,27111【难度】一般【分析】解：对于A，将l的方程整理为（x+y﹣4）+m（

2x+y﹣7）＝0，由x+y﹣4＝0，且2x+y﹣7＝0，解得x＝3，y＝1，则无论m为何值，直线l过定点D（3，1）．故A正确；对于B，令x＝0，则（y﹣2）2＝24，解得：y＝2±2√6，故圆C被y轴截得的弦长为4√6；故B正确；对于C，因为（3﹣1）2+（1﹣2）2＝5＜25，则点D在圆C的

内部，直线l与圆C相交．故C正确对于D，圆心C（1，2），半径为5，|CD|=√5，当截得的弦长最小时，l⊥CD，由于kCD=−12，则l的斜率为2，此时直线的方程为：y﹣1＝2（x﹣3），即2x﹣y﹣5＝0，故D正确；故选：ABCD．【答案】ABCD【考点】直线与圆

的位置关系．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了直线与圆的位置关系，难度中档．-mxz-11．正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，下列结论正确的有（）A．AD与BC所成的角为30°B．AC与BD所成的角为90°C．BC与面ACD所成角的正弦值为√33D．平面AB

C与平面BCD的夹角的正切值是√2【来源】2021-2022学年湖南省邵阳市邵东一中高二（上）期中数学试卷【知识点】27310,27311,27312【难度】一般【分析】解：取BD的中点O，连接OA，OC，以O为原点，OC，OD，OA所在

直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设OC＝1，则A（0，0，1），B（0，﹣1，0），C（1，0，0），D（0，1，0），对于选项A，𝐴𝐷→=（0，1，﹣1），𝐵𝐶→=（1，1，0），∴cos＜𝐴𝐷→，𝐵𝐶→＞=

𝐴𝐷→⋅𝐵𝐶→|𝐴𝐷→|⋅|𝐵𝐶→|=1√2×√2=12，∴AD与BC所成的角为60°，即选项A错误；对于选项B，𝐴𝐶→=（1，0，﹣1），𝐵𝐷→=（0，2，0），∴𝐴𝐶→•𝐵𝐷→=0，即AC⊥BD，∴选项B正确；对于

选项C，设面ACD的法向量为𝑡→=（x，y，z），则{𝑡→⋅𝐴𝐶→=0𝑡→⋅𝐴𝐷→=0，即{𝑥−𝑧=0𝑦−𝑧=0，令z＝1，则x＝y＝1，∴𝑡→=（1，1，1），设BC与面ACD所成角为θ，则sinθ＝|cos＜𝐵𝐶

→，𝑡→＞|＝|𝐵𝐶→⋅𝑡→|𝐵𝐶→|⋅|𝑡→||＝|1+1√2×√3|=√63，即选项C错误；对于选项D，设平面ABC的法向量为𝑛→=（x'，y'，z'），则{𝑛→⋅𝐵𝐶→=0𝑛→⋅𝐴𝐶→=

0，即{𝑥′+𝑦′=0𝑥′−𝑧′=0，令x'＝1，则y'＝﹣1，z'＝1，∴𝑛→=（1，﹣1，1），∵OA⊥平面BCD，∴平面BCD的一个法向量为𝑚→=（0，0，1），∴cos＜𝑚→，𝑛→＞=𝑚→⋅𝑛→|𝑚→|⋅|𝑛→|=1√3×1=√3

3，∴tan＜𝑚→，𝑛→＞=√2，∴平面ABC与平面BCD的夹角的正切值为√2，即选项D正确．故选：BD．【答案】BD【考点】直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．【点评】本题考查空间中异面

直线夹角、线面角和二面角的求法，熟练掌握利用空间向量处理空间角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．-mxz-12．已知圆C：x2+y2＝2与双曲线𝑇：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎＞0，𝑏＞0)的四

个交点的连线构成的四边形的面积为4，若A为圆C与双曲线T在第一象限内的交点，F为双曲线T的右焦点，且𝑂𝐴→⋅𝑂𝐹→=√216（O为坐标原点），则下列说法正确的是（）A．双曲线T的渐近线方程为𝑦=±√32𝑥B．双曲线T右支上的动点P到𝑄(5√216，2)，𝐹两点的距离之和的最小

值为4C．圆C在点A处的切线被双曲线T截得的弦长等于14√2D．若以双曲线T上的两点M，N为直径的圆过点O，则|𝑂𝑀|2+|𝑂𝑁|2|𝑂𝑀|2⋅|𝑂𝑁|2=1【来源】2021-2022学年湖南省邵阳市邵东一中高二（上）期中数学试卷【知识点】27289,27

297【难度】较难【分析】解：由圆与双曲线的对称性可知，圆与双曲线的交点的连线构成的四边形为矩形．设A（m，n），则4mn＝4，且m2+n2＝2，解得m＝n＝1，所以A（1，1），∴1𝑎2−1𝑏2=1①；设F（c，0），由𝑂𝐴→⋅𝑂𝐹→=√216，得c=

√216，∴c2＝a2+b2=712②，联立①②式，解得b=√33，a=12．A项：双曲线T的渐近线方程为y=±𝑏𝑎𝑥=±√3312𝑥=±2√33𝑥，故A项错误；B项：设双曲线T的左焦点为F1，F1（

−√216，0），连接PF1，QF1，由双曲线的定义可得||−||=1，所以|PQ|+|PF|＝|PQ|+|PF1|﹣1≥|QF1|﹣1=√(5√216+√216)2+22−1=4，当且仅当Q，P，F1三点共线时取等号，故B项正确；C项：圆C在点A出

的切线方程为x+y＝2，由{𝑥+𝑦=24𝑥2−3𝑦2=1，解得x＝1或x＝﹣13，所以该切线与双曲线的交点为A（1，1）与E（﹣13，15），所以|AE|=√[1−(−13)]2+(1−15)2=

14√2，故C项正确；D项：由题意知OM⊥ON，且直线OM，ON的斜率均不为0，设直线OM的方程为y＝kx，则直线ON的方程为y=−1𝑘𝑥，设M（x1，y1），N（x2，y2），由{𝑦=𝑘𝑥4𝑥2−3𝑦2=1，得{𝑥12=14−3𝑘2𝑦12=𝑘24−3𝑘2，∴|O

M|2=14−3𝑘2+𝑘24−3𝑘2=1+𝑘24−3𝑘2，同理|ON|2=𝑘2+14𝑘2−3，即|𝑂𝑀|2+|𝑂𝑁|2|𝑂𝑀|2⋅|𝑂𝑁|2=1|𝑂𝑀|2+1|𝑂𝑁|

2=4−3𝑘2𝑘2+1+4𝑘2−3𝑘2+1=1，故D项正确；故选：BCD．【答案】BCD【考点】双曲线的性质．【点评】本题是双曲线的综合性题目，主要考查学生的思维能力和运算求解能力，有一定难度．-mx

z--tk-13．点（1，1）到直线l：3x+4y+3＝0的距离为．【来源】2021-2022学年湖南省邵阳市邵东一中高二（上）期中数学试卷【知识点】27099【难度】容易【分析】解：根据点到直线的距离公式，可得（1，1）到直线l：3x+4y+3＝0的距离d=|3×1+4×1+3|√32+42=1

05=2．故答案为：2．【答案】2【考点】点到直线的距离公式．【点评】本题着重考查了点到直线的距离公式，即点（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离为|𝐴𝑥0+𝐵𝑦0+𝐶|√𝐴2+𝐵2，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．-tk-14．已知

空间直角坐标系中，点A（﹣1，1，2），B（﹣3，0，4），若|𝑐→|＝6，𝑐→∥𝐴𝐵→，则𝑐→=．【来源】2021-2022学年湖南省邵阳市邵东一中高二（上）期中数学试卷【知识点】27116,273

06【难度】容易【分析】解：由题知𝐴𝐵→=(−2，−1，2)，且|𝐴𝐵→|=3，所以𝑐→=2𝐴𝐵→=(−4，−2，4)或𝑐→=−2𝐴𝐵→=(4，2，−4)．故答案为：（﹣4，﹣2，4）或（4，2，﹣4）．【答案】（﹣4，﹣

2，4）或（4，2，﹣4）【考点】共线向量与共面向量；向量的数量积判断向量的共线与垂直．【点评】本题考查向量的共线定理，属于基础题．-tk-15．已知AB为圆O：x2+y2＝1的直径，点P为椭圆𝑥24+𝑦23=1上一动点，则𝑃𝐴→•𝑃𝐵→的最小值

为．【来源】2021-2022学年湖南省邵阳市邵东一中高二（上）期中数学试卷【知识点】27284,27114【难度】一般【分析】解：依据对称性，不妨设直径AB在x轴上，P（2cosx，√3sinx），A（﹣1，0），B（1，0）．从而𝑃𝐴→•𝑃𝐵→=（2cosx﹣1

）（2cosx+1）+3sin2x＝2+cos2x≥2．故答案为：2．方法二：𝑃𝐴→•𝑃𝐵→=(𝑃𝐴→+𝑃𝐵→)2−(𝑃𝐴→−𝑃𝐵→)24=4𝑃𝑂→2−44=𝑃𝑂→2﹣1＝|

PO|2﹣1，而|PO|min=√3，则答案为2．故答案为：2．【答案】2【考点】圆与圆锥曲线的综合．【点评】本题考查直线与圆的位置关系椭圆方程的综合应用．考查转化思想以及计算能力．-tk-16．已知F1，F2是椭圆C：

𝑥2𝑎2+𝑦2=1(𝑎＞1)的两个焦点，且椭圆上存在一点P，使得∠𝐹1𝑃𝐹2=2𝜋3，若点M，N分别是圆D：x2+（y﹣3）2＝3和椭圆C上的动点，则当椭圆C的离心率取得最小值时，|MN|+|NF2|的最大值是．【来源】2021-2022学年湖南省

邵阳市邵东一中高二（上）期中数学试卷【知识点】27281【难度】一般【分析】解：如图，当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角∠F1PF2渐渐增大，当且仅当P点位于短轴端点P0处时，张角∠F1PF2达到最大值．由椭圆上存在一点P，使得∠𝐹1𝑃𝐹

2=2𝜋3，可得△P0F1F2中，∠F1P0F2≥2𝜋3，可得Rt△P0OF2中，∠OP0F2≥𝜋3，sin∠OP0F2≥sin𝜋3=√32，即𝑐𝑎≥√32，椭圆离心率e的最小值为√32，由b＝1，a2﹣c2＝1，𝑐𝑎=√32，解得a＝2，c=√3，圆D：x2+（y﹣3）2＝3的

圆心D（0，3），半径r=√3，|NF1|+|NF2|＝2a＝4，|MN|+|NF2|＝4+|MN|﹣|NF1|，而|MN|﹣|NF1|的最大值，可求|DN|﹣|NF1|的最大值，当D，F1，N共线时，|MN|﹣|NF1|取得最大值4+√3+|DF1|＝4+√3+2√3=4+3√3，故答

案为：4+3√3．【答案】4+3√3【考点】椭圆的性质．【点评】本题考查椭圆的定义和性质，以及圆的性质、三点共线取得最值的性质，考查数形结合思想和运算能力、推理能力，属于中档题．-tk--jd-17．已知圆C：（x﹣1）2+y2＝9内有一点P（2，2），过点

P作直线l交圆C于A、B两点．（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；（2）当弦AB的长为4√2时，写出直线l的方程．【来源】2021-2022学年湖南省邵阳市邵东一中高二（上）期中数学试卷【知识点】27110,27099【难度】一般【分析】解：（1）由圆的标准方程可得圆心坐标为（1，0），

直线的斜率𝑘=2−02−1=2，故直线的方程为y﹣0＝2（x﹣1），整理得2x﹣y﹣2＝0．（2）由于圆的半径为3，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y﹣2＝k（x﹣2），整理得kx﹣y+（2﹣2k）＝0，圆心到直线l的距离为𝑑=√32−(2√2)2=1=|𝑘−0+2−2�

�|√𝑘2+1，解得𝑘=34，代入整理得3x﹣4y+2＝0．当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，经检验符合题意．∴直线l的方程为3x﹣4y+2＝0，或x＝2．【答案】见分析【考点】直线与圆的位置关系；直线的一般式方程与直线的性

质．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，利用点斜式求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．-jd-18．已知△ABC的内A、B、C所对的边分别是a、b、c，若（a﹣c）sinA+csinC＝bsinB．（

1）求角B的值；（2）求△ABC的面积取得最大值√3时，边b的长．【来源】2021-2022学年湖南省邵阳市邵东一中高二（上）期中数学试卷【知识点】27191,27192,27254【难度】一般【分析】解：（1）由正弦定理（a﹣c）sinA+csinC＝bsinB可化为（a

﹣c）a+c2＝b2，即a2+c2﹣b2＝ac，由余弦定理可得𝑐𝑜𝑠𝐵=𝑎2+𝑐2−𝑏22𝑎𝑐=𝑎𝑐2𝑎𝑐=12，因为B∈（0，π），所以𝐵=𝜋3；（2）因为𝑐𝑜𝑠𝐵=12，

即b2＝a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac＝ac，当且仅当a＝c时取等号，所以𝑆=12𝑎𝑐𝑠𝑖𝑛𝐵=12×√32𝑎𝑐=√34𝑎𝑐≤√34𝑏2，当且仅当a＝c时，S取最大值为√34𝑏2，即有√34𝑏

2=√3，解得b＝2．【答案】见分析【考点】正弦定理；余弦定理．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式及三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．-jd-19．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD满足AD∥BC，且AB＝

AD＝AA1＝2，BD＝DC＝2√2．（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADD1A1；（Ⅱ）求直线AB与平面B1CD1所成角的正弦值．【来源】2021-2022学年湖南省邵阳市邵东一中高二（上）期中数学试卷【知识点】27084,27311【难度】一般【分析】解：（Ⅰ）证明：∵在四棱柱ABCD﹣A

1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD满足AD∥BC，且AB＝AD＝AA1＝2，BD＝DC＝2√2．∴AB⊥AA1，AB2+AD2＝BD2，∴AB⊥AD，∵AA1∩AD＝A，∴AB⊥平面ADD1A

1．（Ⅱ）解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B（2，0，0），B1（2，0，2），C（2，4，0），D1（0，2，2），𝐴𝐵→=（2，0，0），𝐶

𝐵1→=（0，﹣4，2），𝐶𝐷1→=（﹣2，﹣2，2），设平面B1CD1的法向量为𝑛→=（x，y，z），则{𝑛→⋅𝐶𝐵1→=−4𝑦+2𝑧=0𝑛→⋅𝐶𝐷1→=−2𝑥−2𝑦+2𝑧=0，取y＝1，得𝑛→=（1，1，2），设直线AB与平面B1

CD1所成角为θ，则直线AB与平面B1CD1所成角的正弦值为：sinθ=|𝐴𝐵→⋅𝑛→||𝐴𝐵→|⋅|𝑛→|=22√6=√66．【答案】见分析【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直．【点评】本题考查线面垂直的

证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．-jd-20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，平面PAD⊥平面ABCD，BC∥

AD，PA⊥PD，AB⊥AD，∠PDA＝60°，E为侧棱PD的中点，且AB＝BC＝2，AD＝4．（1）求证：CE∥平面PAB；（2）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【来源】2021-2022学年湖南省邵阳市邵东一中高二（上）期中数学试卷【知识点】27312,27080【难度

】一般【分析】证明：（1）取AD中点O，连结OC，OE，∵E为侧棱PD的中点，∴OE∥PA，∵BC＝2，AD＝4，BC∥AD，∴四边形ABCD为平行四边形，∴OC∥AB，∵OC∩OE＝O，∴平面OCE∥平面PAB，∵CE⊂平面OCE，∴CE∥平面PA

B．解：（2）过点P作PF⊥AD于F，∵平在PAD⊥平面ABCD，∴PF⊥平面ABCD，∵PA⊥PD，∠PDA＝60°，AD＝4，∴PD＝2，PF=√3，FD＝1，取AD的中点O，如图所示，以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz，则P（0，1，√3），C（2，0，0），B（2，﹣2，0），D（

0，2，0），A（0，﹣2，0），∴𝑃𝐷→=（0，1，−√3），𝑃𝐵→=（2，﹣3，−√3），𝐵𝐶→=（0，2，0），𝑃𝐴→=（0，3，√3），设𝑛→=（x，y，z）是平面PBC的法向量，则{𝑃𝐵→⋅𝑛→=2𝑥−3𝑦−√3𝑧=0𝐵𝐶→⋅𝑛→=2𝑦=0，取z＝

2，得𝑛→=（√3，0，2），设𝑚→=（a，b，c）是平面PAB的法向量，则{𝑃𝐴→⋅𝑚→=3𝑏+√3𝑐=0𝑃𝐵→⋅𝑚→=2𝑎−3𝑏−√3𝑐=0，取b＝1，得𝑚→=（0，1，−

√3），∴cos＜𝑛→，𝑚→＞=𝑛→⋅𝑚→|𝑛→|⋅|𝑚→|=−2√32√7=−√217，由图知二面角A﹣PB﹣C为钝角，∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为−√217．【答案】见分析【考点】二面角的平面角及求

法；直线与平面平行．【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．-jd-21．在平面直角坐标系中，动点A（x，y）到F1（﹣1，0）与F2（1，0）的距

离之和为4．（1）求动点A的轨迹方程M；（2）若斜率为12的直线l与轨迹M交于C，D两点，𝑃(1，32)为轨迹M上不同与C，D的一点，记直线PC的斜率为k1，直线PD的斜率为k2，试问k1+k2是否为定值，若是，求出该值，若不是，说明理由．【来源】2021-2022学年湖南省

邵阳市邵东一中高二（上）期中数学试卷【知识点】27276,27280,27284【难度】较难【分析】解：（1）由题知|AF1|+|AF2|＝4，|F1F2|＝2，则|AF1|+|AF2|＞|F1F2|，由椭圆的定义知点A轨迹M是椭圆，其中a＝2，c＝1，因

为b2＝a2﹣c2＝3，所以，轨迹M的方程为𝑥24+𝑦23=1；（2）设直线l的方程为y=12x+t，C（x1，y1），D（x2，y2），联立直线l的方程与椭圆方程，消去y可得3x2+4（12x+t）2＝12，化简得x2+tx+t2﹣3＝0，当Δ＞0时，即t2﹣4（t2

﹣3）＞0，也即|t|＜2时，直线l与椭圆有两交点，由韦达定理得x1+x2＝﹣t，x1x2＝t2﹣3，所以k1=𝑦1−32𝑥1−1=12𝑥1+𝑡−32𝑥1−1，k2=𝑦2−32𝑥2−1=12𝑥2+𝑡−32𝑥2−1，则k1+k2=12𝑥1

+𝑡−32𝑥1−1+12𝑥2+𝑡−32𝑥2−1=𝑥1𝑥2+(𝑡−2)(𝑥1+𝑥2)+3−2𝑡(𝑥1−1)(𝑥2−1)=𝑡2−3+(𝑡−2)(−𝑡)+3−2𝑡(𝑥1−1)(𝑥2−1)=0，所以k1+k2为定值

．【答案】见分析【考点】直线与椭圆的综合；轨迹方程．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高．-jd-22．已知动圆P过点F2（2，0），并且与圆𝐹1：(𝑥+2)

2+𝑦2=4相外切，设动圆的圆心P的轨迹为C．（1）求曲线C的方程；（2）过动点P作直线与曲线3x2﹣y2＝0交于A、B两点，当P为AB的中点时，求|OA|•|OB|的值；（3）过点F2的直线l1与曲线C交于E、F两点，设直线𝑙：𝑥=12，点D（﹣1

，0），直线ED交l于点M，求证：直线FM经过定点，并求出该定点的坐标．【来源】2021-2022学年湖南省邵阳市邵东一中高二（上）期中数学试卷【知识点】27286,27288,27297【难度】较难【分析】解：（1）设P（x，y），动圆的半径为r，圆𝐹1：(𝑥+2)2+𝑦2=4

的圆心F2（﹣2，0），半径为2，由题意可得|PF1|＝r+2，|PF2|＝r，即有|PF1|﹣|PF2|＝2+r﹣r＝2＜|F1F2|，可得P的轨迹为以F1，F2为焦点的双曲线的右支，可得a＝1，c＝2，b=√3，即曲线C的方程为𝑥2−𝑦23=1（x

≥1）；（2）证明：设P（x0，y0），即有x02−𝑦023=1，曲线3x2﹣y2＝0即为y=√3x和y=−√3x，设A（m，√3m），B（n，−√3n），由P为AB的中点，可得m+n＝2x0，√3m−√3n＝2y0，解得m＝x0+√33y0，n＝x0−√33

y0，则|OA|•|OB|＝2|m|•2|n|＝4|mn|＝4|（x0+√33y0）（x0−√33y0）|＝4|x02−13y02|＝4为定值．|OA|•|OB|＝4；（3）①当斜率不存在时，l1：x＝2可知E（2，3），F（2，

﹣3），∵D（﹣1，0），所以直线ED：𝑦=32−(−1)(𝑥+1)，即𝑦=𝑥+1，M（12，32），所以直线FM：𝑦+3=−3−322−12(𝑥−2)即y＝﹣3（x﹣1）所以直线恒过（1，0）；②当斜率存在时，l1：y＝k（x

﹣2），联立双曲线方程，消去y，可得（3﹣k2）x2+4k2x﹣4k3﹣3＝0，设E（x1，y1），F（x2，y2）根据韦达定理可得{𝑥1+𝑥2=−4𝑘23−𝑘2𝑥1⋅𝑥2=−4𝑘2−33−𝑘2，则直线ED的方程为𝑦=𝑦1𝑥1+1(𝑥+1

)，当x=12时，y=32×𝑦1𝑥1+1，M（12，3𝑦12(𝑥1+1)）设点N（1，0），若FM过定点N，则两直线斜率相等．即kFN＝kMN，𝑦2𝑥2−1=3𝑦12(𝑥1+1)−12=−3𝑦1

𝑥1+1，4×−4𝑘2−33−𝑘2−5×−4𝑘23−𝑘2+4=0，所以FM恒过定点N（1，0），∴综上所述，直线FM恒过定点（1，0）．【答案】见分析【考点】直线与圆锥曲线的综合；轨迹方程．【点评】本题考查双曲线的基本性质

，注意取值范围的讨论．直线与双曲线的位置关系，韦达定理的运算，体现了方程运算的数学思想，属于压轴题．-jd-