【文档说明】2021-2022学年湖南省长沙一中高二上第二次段考数学试卷12月份解析版.docx，共(20)页，135.368 KB，由小喜鸽上传

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2021-2022学年湖南省长沙一中高二（上）第二次段考数学试卷（12月份）-xz-1．已知{an}，{bn}是两个等差数列，其中a1＝3，b1＝﹣3，且a20﹣b20＝6，那么a10﹣b10的值为（）A．

﹣6B．6C．0D．10【来源】2021-2022学年湖南省长沙一中高二（上）第二次段考数学试卷（12月份）【知识点】27231【难度】容易【分析】解：设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，∵a1＝3，b1＝﹣3，且a20﹣b20＝6，∴（a1+19d1）﹣（b1+19d2

）＝6，∴d1﹣d2＝0，∴a10﹣b10＝3+9d1﹣（﹣3+9d2）＝6．故选：B．【答案】B【考点】等差数列的通项公式；等差数列的性质．【点评】本题考查等差数列性质及通项公式，考查运算能力，属于基础题．-xz-2．物体运动时位移s与时间t的

函数关系是s＝﹣2t2+8t，此物体在某一时刻的速度为0，则相应的时刻为（）A．t＝0B．t＝1C．t＝2D．t＝4【来源】2021-2022学年湖南省长沙一中高二（上）第二次段考数学试卷（12月份）【知识点】27318【难度

】容易【分析】解：根据题意，物体运动时位移s与时间t的函数关系是s＝﹣2t2+8t，则有s′＝﹣4t+8，若此物体在某一时刻的速度为0，则有﹣4t+8＝0，解可得t＝2；故选：C．【答案】C【考点】导数及其几何意义．【点评】本题考查导数的意义，注意物体运动时位移s与时间t的函数的导数即物体运动时

速度．-xz-3．如图，双曲线C：𝑥29−𝑦216=1的左焦点为F1，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则|P2F1|﹣|P1F1|的值是（）A．3B．4C．6D．8【来源】2021-2022学年湖南省长沙一中高二（上）第二次段考数学试卷（12月份）【知识点】27287【难度

】一般【分析】解：如图所示，设双曲线的右焦点为F2，连接P2F2，因为双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，根据双曲线的对称性，可得|P1F1|＝|P2F2|，所以|P2F1|﹣|P1F1|＝|P2F1|﹣|P2F2

|＝2a＝6，故选：C．【答案】C【考点】双曲线的性质．【点评】本题考查了双曲线的定义，双曲线的对称性，属于基础题．-xz-4．函数𝑓(𝑥)=𝑙𝑛𝑥𝑥2的单调减区间是（）A．[e2，+∞）B．[√𝑒，+∞)C．（0，e2]

D．(0，√𝑒]【来源】2021-2022学年湖南省长沙一中高二（上）第二次段考数学试卷（12月份）【知识点】27323【难度】一般【分析】解：∵𝑓(𝑥)=𝑙𝑛𝑥𝑥2（x＞0），∴f′（x）=1𝑥⋅𝑥2−2𝑥𝑙𝑛𝑥𝑥4=1−2𝑙𝑛𝑥𝑥3（x＞0），当x∈[√�

�，+∞）时，f′（x）≤0，f（x）单调递减，∴函数𝑓(𝑥)=𝑙𝑛𝑥𝑥2的单调减区间是[√𝑒，+∞），故选：B．【答案】B【考点】利用导数研究函数的单调性．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，熟练掌握导函数的符号与函数单调性的关系是关键，考查运算能力，属于中

档题．-xz-5．设f（x）是定义在R上恒不为零的函数，对任意的实数x，y∈R，都有f（x）•f（y）＝f（x+y），若𝑎1=12，an＝f（n），（n∈N*），则数列{an}的前n项和Sn的最小值是（）A．34B．2C．12D．1【来源】2

021-2022学年湖南省长沙一中高二（上）第二次段考数学试卷（12月份）【知识点】27239,27244【难度】一般【分析】解析：f（2）＝f2（1），f（3）＝f（1）f（2）＝f3（1），f（4）＝f

（1）f（3）＝f4（1），a1＝f（1）=12，∴f（n）＝（12）n，∴Sn=12(1−12𝑛)1−12=1−12𝑛∈[12，1）．故选：C．【答案】C【考点】数列的函数特性；数列的求和．【点评】本题主要考查了等比数列的求和问

题，以及抽象函数的应用，属于中档题．-xz-6．若点P是曲线y＝x2﹣lnx上任一点，则点P到直线y＝x﹣1的最小距离是（）A．√2B．1C．√22D．√3【来源】2021-2022学年湖南省长沙一中高二

（上）第二次段考数学试卷（12月份）【知识点】27319,27099【难度】一般【分析】解：∵点P是曲线y＝x2﹣lnx上的任意一点，求点P到直线y＝x﹣1的最小距离，∴y′＝2x−1𝑥（x＞0），令y′＝2x−1𝑥=1，解得x＝1或x=−12（舍去），

∴x＝1，当x＝1，y＝1，点p（1，1），此时点p到直线y＝x﹣1的最小距离dmin=|1−1−1|√2=√22．故选：C．【答案】C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【点评】此题主要考查导数研究曲线上某点的切线方程以及点到直线的距离

公式，利用了导数与斜率的关系，这是高考常考的知识点，此题是一道基础题；-xz-7．已知F为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，A（x1，y1）、B（x2，y2）是抛物线上的不同两点，则下列条件中与“A、F、B三点共线”等价的是（）A

．𝑦1𝑦2=−𝑝2B．𝑥1𝑥2=𝑝24C．1|𝐹𝐴|+1|𝐹𝐵|=1𝑝D．𝑥1𝑥2+𝑦1𝑦2=−𝑝2【来源】2021-2022学年湖南省长沙一中高二（上）第二次段考数学试卷（1

2月份）【知识点】27296【难度】较难【分析】解：当直线AB垂直于x轴时，𝑥1=𝑥2=𝑝2，取y1＝p，y2＝﹣p，选项C和选项D均不成立；设直线AB的方程为x＝ky+t，代入抛物线方程，消去x，得

：y2﹣2pky﹣2pt＝0，由韦达定理得y1+y2＝2pk，y1y2＝﹣2pt，对于A，y1y2＝﹣2pt＝﹣p2，解得t=𝑝2，符合；对于B，x1x2=𝑦12𝑦224𝑝2=𝑝24，解得t＝±𝑝2，不符合．故选：A

．【答案】A【考点】抛物线的性质．【点评】本题考查命题真假的判断，考查抛物线性质、直线与抛物线位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．-xz-8．已知函数f（x）＝aex﹣x2（a∈R）有三个（不同的）零点，则实数a的取值范围是（）A．(0，4𝑒2)B．[1�

�，4𝑒2]C．[4𝑒2，2𝑒2)D．[4𝑒3，2𝑒2)【来源】2021-2022学年湖南省长沙一中高二（上）第二次段考数学试卷（12月份）【知识点】27326,27057【难度】较难【分析】解：函数f（x）＝

aex﹣x2（a∈R）有三个（不同的）零点⇔关于x的方程aex﹣x2＝0有三个不同的解⇔关于x的方程a=𝑥2𝑒𝑥有三个不同的解⇔直线y＝a与函数f（x）=𝑥2𝑒𝑥图象有三个交点．f′（x）=(𝑥2)′𝑒𝑥−(𝑒𝑥)′𝑥2(𝑒𝑥)2=𝑥(2−𝑥)𝑒𝑥＞

0，得x∈（0，2），∴函数f（x）的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（﹣∞，0），（2，+∞），又f（x）=𝑥2𝑒𝑥≥0，可画出函数f（x）=𝑥2𝑒𝑥图象如下：∵f（0）＝0，f（2）=4

𝑒2，∴若直线y＝a与函数f（x）=𝑥2𝑒𝑥图象有三个交点，则a∈（0，4𝑒2），故选：A．【答案】A【考点】函数的零点与方程根的关系．【点评】本题考查函数零点及导数应用，考查数学运算能力，属于中档题．-xz-9．已知集合M＝{α|f（α）＝0}，N＝{β|g（β）＝0}，若

存在α∈M，β∈N，使得|α﹣β|＜n，则称函数f（x）与g（x）互为“n度零点函数”，若f（x）＝22﹣x﹣1与g（x）＝x2﹣aex互为“1度零点函数”，则实数a的取值范围为（）A．(0，4𝑒2)B．(1𝑒，4𝑒2

]C．[4𝑒2，2𝑒)D．[4𝑒3，2𝑒2)【来源】2021-2022学年湖南省长沙一中高二（上）第二次段考数学试卷（12月份）【知识点】27057,27323【难度】困难【分析】解：由f（x）＝

22﹣x﹣1＝0，解得x＝2，由g（x）＝x2﹣aex＝0，解得x2＝aex，设其解为x0，∵f（x）＝22﹣x﹣1与g（x）＝x2﹣aex互为“1度零点函数“，∴|x0﹣2|＜1，解得1＜x0＜3，∵𝑥02=a𝑒𝑥0，∴a=𝑥02

𝑒𝑥0，设h（x）=𝑥2𝑒𝑥，则h′（x）=2𝑥−𝑥2𝑒𝑥，x∈（1，3），当1＜x＜2时，h′（x）＞0，h（x）是增函数，当2＜x＜3时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，∴h（x）max＝h（2）=4𝑒2，h（1）=1𝑒，h（3

）=9𝑒3，∴实数a的取值范围为（1𝑒，4𝑒2]．故选：B．【答案】B【考点】函数的零点与方程根的关系．【点评】本题考查实数取值范围的求法，考查函数性质、构造法、导数性质等基础知识，考查运算求解能

力，考查函数与方程思想，是中档题．-xz--mxz-10．已知数列{an}满足𝑎1=−12，𝑎𝑛+1=11−𝑎𝑛，则下列各数不是{an}的项的有（）A．﹣2B．23C．32D．3【来源】2021-2022学年湖南省长沙一中高二（上）第二次段考数学试卷（12月份）【知识

点】27225【难度】容易【分析】解：因为数列{an}满足𝑎1=−12，𝑎𝑛+1=11−𝑎𝑛，∴a2=11−(−12)=23；a3=11−23=3；a4=11−3=−12；∴数列{an}是周期为3的数

列，且前3项为−12，23，3；故选：AC．【答案】AC【考点】数列递推式．【点评】本题主要考查数列递推关系式的应用，解题的关键在于求出数列的规律．-mxz-11．设椭圆C：𝑥24+𝑦23=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中

正确的是（）A．|PF1|的取值范围是[1，3]B．存在点P，使PF1⊥PF2C．曲线𝑥22+𝑚|𝑦|=1（m∈R）与椭圆C都关于原点对称D．曲线𝑥24+|𝑦|3=1与椭圆C均位于直线x＝±2和𝑦=±√3所围

成的矩形内【来源】2021-2022学年湖南省长沙一中高二（上）第二次段考数学试卷（12月份）【知识点】27281【难度】一般【分析】解：对于选项A：由椭圆的几何性质可知a﹣c≤|PF1|≤a+c，∵a＝2，c＝1，∴1≤|PF1|≤3，即|PF1|的取值范围是[1，3]，故

选项A正确，对于选项B：设P（x，y），∵PF1⊥PF2，∴点P在以|F1F2|为直径的圆上，圆的方程为x2+y2＝1，联立方程{𝑥2+𝑦2=1𝑥24+𝑦23=1，消去y得：x2＝﹣8，无解，

∴不存在点P，使PF1⊥PF2，故选项B错误，对于选项C：由椭圆的几何性质可知椭圆C关于原点对称，曲线𝑥22+𝑚|𝑦|=1（m∈R），将（﹣x，﹣y）代入得𝑥22+𝑚|𝑦|=1，故曲线关于原点对称，故选项C正确，对于选项D：椭圆C的边界为x＝±2，y=±√

3，曲线𝑥24+|𝑦|3=1，即|y|＝3（1−𝑥24），即y＝3|1−𝑥24|，∴y≤3，故曲线𝑥24+|𝑦|3=1不全位于直线x＝±2和𝑦=±√3所围成的矩形内，故选项D错误，故选：AC．

【答案】AC【考点】椭圆的性质．【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单几何性质，同时考查了数学转化思想，是中档题．-mxz-12．已知函数f（x）的导函数为f′（x），若f（x）＜xf′（x）＜2

f（x）﹣x对x∈（0，+∞）恒成立，则下列不等式中，一定成立的是（）A．πf（1）＜f（π）B．πf（1）＞f（π）C．𝑓(1)＜𝑓(2)4+12D．𝑓(2)4+12＜𝑓(1)【来源】2021-202

2学年湖南省长沙一中高二（上）第二次段考数学试卷（12月份）【知识点】27323【难度】较难【分析】解：设g（x）=𝑓(𝑥)−𝑥𝑥2，h（x）=𝑓(𝑥)𝑥，x∈（0，+∞），则g′（x）=[𝑓′

(𝑥)−1]𝑥2−2𝑥[𝑓(𝑥)−𝑥]𝑥4=𝑥𝑓′(𝑥)−2𝑓(𝑥)+𝑥𝑥3，h′（x）=𝑥𝑓′(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑥2，因为f（x）＜xf'（x）＜2f（x）﹣x对x∈（0，+∞）恒成立，所以g'（x）＜0，h'（x）＞0，所以g（x）在（0，+∞）上单调

递减，h（x）在（0，+∞）上单调递增，则g（1）＞g（2），h（1）＜h（π），即𝑓(1)−112＞𝑓(2)−222，𝑓(1)1＜𝑓(𝜋)𝜋，即𝑓(2)4+12＜f（1），πf（1）＜f（π），故选：AD．【答案】

AD【考点】利用导数研究函数的最值．【点评】本题考查导数与不等式的综合应用，考查构造函数的方法的灵活应用与推理论证能力．-mxz-13．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝6，nan+1＝λ（n+1）an，n∈N*

，Sn是数列{𝑎𝑛𝑛}的前n项和，则下列结论正确的有（）A．λ＝2B．数列{𝑎𝑛𝑛}是等差数列C．数列{𝑎𝑛3𝑛}是等差数列D．𝑆𝑛=12(3𝑛−1)【来源】2021-2022学年湖南省长沙一中高二（上）第二次段考数学试卷（12月份）【知识

点】27225,27229,27239【难度】一般【分析】解：∵数列{an}满足a1＝1，a2＝6，nan+1＝λ（n+1）an，∴取n＝1可得：a2＝2λa1⇒6＝2λ×1⇒λ＝3，A错，∴nan+1＝3（n+1）an⇒𝑎

𝑛+1𝑛+1=3𝑎𝑛𝑛，又𝑎11=1，∴数列{𝑎𝑛𝑛}是首项为1，公比为3的等比数列，Sn=1×(1−3𝑛)1−3=12（3n﹣1），B错，D对，∴𝑎𝑛𝑛=1×3n﹣1＝3n﹣1，∴𝑎𝑛3𝑛=𝑛3，故数列{𝑎𝑛3𝑛}是公差为13的等差数列，C对，故选：CD

．【答案】CD【考点】数列递推式．【点评】本题主要考查数列通项公式的求解，同时考查等比数列的通项公式和等差数列的性质和定义的运用，考查推理能力，属于中档题．-mxz-14．已知数列{an}的满足a1＝1，a2＝6，nan+1＝λ（n+1）an，n∈N*，Sn是数列{an}的前n项和，则

下列结论正确的有（）A．λ＝2B．数列{𝑎𝑛𝑛}是等差数列C．数列{𝑎𝑛3𝑛}是等差数列D．𝑆𝑛=(2𝑛−1)3𝑛+14【来源】2021-2022学年湖南省长沙一中高二（上）第二次段考数学试卷（12月份）【知识点】27225

,27229,27243【难度】较难【分析】解：∵数列{an}满足a1＝1，a2＝6，nan+1＝λ（n+1）an，∴取n＝1可得：a2＝2λa1⇒6＝2λ×1⇒λ＝3，A错，∴nan+1＝3（n+1）an⇒𝑎𝑛+1𝑛+1=3𝑎𝑛𝑛，又𝑎11

=1，∴数列{𝑎𝑛𝑛}是首项为1，公比为3的等比数列，B错，∴𝑎𝑛𝑛=1×3n﹣1＝3n﹣1⇒an＝n•3n﹣1，∴Sn＝1×1+2×30+3×31+.....+n•3n﹣1，①∴3Sn＝1×3+2×31+3×32

+.....+n•3n，②∴①﹣②得：﹣2Sn＝1+3+32+.....+3n﹣1﹣n•3n＝1+3(1−3𝑛−1)1−3−n•3n＝1+3𝑛−32−n•3n，∴Sn=−12（1+3𝑛−32−n•3n）=(2𝑛−1)⋅3𝑛+14，D对，∴𝑎𝑛3𝑛=𝑛3，故数列{

𝑎𝑛3𝑛}是公差为13的等差数列，C对，故选：CD．【答案】CD【考点】数列递推式．【点评】本题主要考查数列通项公式的求解，同时考查等比数列的通项公式和等差数列的性质和定义的运用，考查推理能力，属于中档题．-mxz--tk-15

．已知函数f（x）+f′（1）ex＝ex2+2x，则f′（x）＝．【来源】2021-2022学年湖南省长沙一中高二（上）第二次段考数学试卷（12月份）【知识点】27321【难度】容易【分析】解：∵f（x）+

f′（1）ex＝ex2+2x，∴f′（x）+f′（1）ex＝2ex+2，∴f′（1）+f′（1）e＝2e+2，∴f′（1）＝2，∴f′（x）＝2ex﹣2ex+2，故答案为：2ex﹣2ex+2．【答案】2ex﹣2ex+2【考点】导数的运算．【点评】本题主要考查导数的基本运算，比较基础．-tk-16．

“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，以此得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于√212．若第三个单音的频率f，则第七个单音的频率为．【来源

】2021-2022学年湖南省长沙一中高二（上）第二次段考数学试卷（12月份）【知识点】27045【难度】一般【分析】解：∵第三个单音的频率f且第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于√212，∴第七个单音的

频率为(√212)7−3⋅𝑓=√23𝑓．故答案为：√23𝑓．【答案】√23𝑓【考点】根据实际问题选择函数类型．【点评】本题主要考查函数的实际应用，掌握指数函数的运算公式是解本题的关键，属于基础题．-tk-17．设函数f（x）＝cos（√3x+φ）（0＜φ＜π），若f（x）+f

′（x）是偶函数，则φ＝．【来源】2021-2022学年湖南省长沙一中高二（上）第二次段考数学试卷（12月份）【知识点】27173,27321【难度】一般【分析】解：∵f（x）＝cos（√3x+φ）（0＜φ＜π），∴f′（x）=−√3sin（√3x+φ），则f（x）+f′（x）＝c

os（√3x+φ）−√3sin（√3x+φ）＝2cos（√3x+φ+𝜋3），若f（x）+f′（x）是偶函数，则φ+𝜋3=kπ，k∈Z，即φ=−𝜋3+kπ，k∈Z，∵0＜φ＜π，∴当k＝1时，φ=2𝜋3，故答案为：2𝜋3【答案】2𝜋3【考点】余弦函数的对称性；导数的运算．【点评】本题主

要考查三角函数的图象和性质，利用导数公司，结合辅助角公式是解决本题的关键．-tk-18．设A，B分别是椭圆C：𝑥24+𝑦2=1的上、下两个顶点，P为椭圆C上任意一点（不与点A，B重合），直线PB，PA分别交x轴于M，N两点，若椭圆C在P点的切线交x轴于Q点，则||MQ|﹣|NQ||＝．【来

源】2021-2022学年湖南省长沙一中高二（上）第二次段考数学试卷（12月份）【知识点】27279【难度】一般【分析】解：取点P（√3，12），则直线PA：y=−√36x+1，则N（2√3，0）；直线PB：y=√32x﹣1，则

M（2√33，0），椭圆C在P点的切线：√34x+12y＝1，则Q（4√33，0），∴||MQ|﹣|NQ||=2√33−2√33=0故答案为：0．【答案】0【考点】椭圆的性质．【点评】本题考查椭圆方程的运用，考查学生的计算

能力，属于基础题．-tk--jd-19．已知公差不为零的等差数列{an}，满足a1+a3+a5＝12，且a1，a5，a17成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn=𝑎𝑛2+1𝑎𝑛2−1，数列{bn}的前n项和为Sn，求证：Sn﹣n＜32．【来源】2021-

2022学年湖南省长沙一中高二（上）第二次段考数学试卷（12月份）【知识点】27238,27231,27243【难度】一般【分析】（Ⅰ）解：∵a1+a3+a5＝12，∴3a3＝12，∴a3＝4．…（2分）∵a1，a5，a17成等比数列，∴𝑎52=

𝑎1𝑎17，∴（4+2d）2＝（4﹣2d）（4+14d），∵d≠0，解得d＝1，…（4分）∴an＝a3+（n﹣3）d＝4+（n﹣3）＝n+1；∴数列{an}的通项公式为𝑎𝑛=𝑛+1，𝑛∈𝑁∗．…（Ⅱ）证明：∵𝑏𝑛=𝑎𝑛2+1𝑎𝑛2−1=(

𝑛+1)2+1(𝑛+1)2−1=1+2(𝑛+1)2−1=1+2𝑛(𝑛+2)，…（7分）∴𝑆𝑛=(1+21×3)+(1+22×4)+⋯+(1+2𝑛(𝑛+2))=𝑛+22(1−13+12−14+⋯+1𝑛+1−1𝑛+2)=𝑛+1+

12−1𝑛+1−1𝑛+2=𝑛+32−1𝑛+1−1𝑛+2，…（11分）∴Sn﹣n=32−1𝑛+1−1𝑛+2＜32．…【答案】见分析【考点】数列与不等式的综合；等差数列的性质．【点评】本题考查数列的通项公式

的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项法的合理运用．-jd-20．已知函数f（x）＝ax2+bx﹣lnx（a＞0，b∈R）．（1）设a＝1，b＝﹣1，求f（x）的单调区间；（2）若x＝1是函数的极值点．证明：2b+lna＜0．【来源】

2021-2022学年湖南省长沙一中高二（上）第二次段考数学试卷（12月份）【知识点】27323,27324【难度】较难【分析】（1）解：当a＝1，b＝﹣1时，f（x）＝x2﹣x﹣lnx，x＞0，f′（x）＝2x﹣1−1𝑥=(2𝑥+1)(𝑥

−1)𝑥，当x＞1时，f′（x）＞0，函数单调递增，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数单调递减，故函数f（x）的单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，+∞）；（2）证明：f′（x）＝2ax+b−1𝑥，x＞0，因为x＝1是函数的极值点．所以f′（1）＝2a

+b﹣1＝0，即b＝1﹣2a，要证2b+lna＜0，只需证2﹣4a+lna＜0，令g（x）＝2﹣4x+lnx（x＞0），则g′（x）＝﹣4+1𝑥=1−4𝑥𝑥，令g′（x）＝0，得x=14，当0＜x＜14时，g

′（x）＞0，g（x）单调递增，当x＞14时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以g（x）≤g（14）＝1+ln14=1﹣ln4＜0，所以g（a）＜0，即2﹣4a+lna＜0，所以2b+lna＜0．【答案】见分

析【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．-jd-21．如图所示的几何体是由棱台ABC﹣A1B1C1和棱锥D﹣AA1C1C拼接而成的组合体，其底

面四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，BB1⊥平面ABCD，BB1＝B1C1＝1．（1）求证：平面AB1C⊥平面BB1D；（2）求二面角A1BD﹣C1的余弦值．【来源】2021-2022学年湖南省长沙一中高二（上）第二次段考数学试卷

（12月份）【知识点】27087,27090【难度】一般【分析】（1）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，因为BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以BB1⊥AC，又BD∩BB1＝B，BD、BB1⊂平面BB

1D，所以AC⊥平面BB1D，因为AC⊂平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面BB1D．（2）解：设AC与BD交于点O，取AB的中点M，连接OM，A1M，则OM=12AD＝1，A1M∥BB1，A1M＝BB1＝1，因为BB1⊥平面ABCD，所以A1M⊥平面ABCD，所以A1M⊥O

M，所以A1O=√𝐴1𝑀2+𝑂𝑀2=√1+1=√2，因为A1B=√𝐴1𝐵12+𝐵𝐵12=√2=A1O，所以△A1BO为等腰三角形，取OB的中点N，连接A1N，C1N，则A1N⊥OB，由对称性知，△A1BD≌△C1BD，所以C1N⊥OB，所以∠

A1NC1即为二面角A1﹣BD﹣C1的平面角，在△A1NC1中，C1N＝A1N=√𝐴1𝐵2−𝐵𝑁2=√(√2)2−(12)2=√72，A1C1=√3B1C1=√3，由余弦定理知，cos∠A1NC1=𝐴1𝑁2+𝐶1𝑁2−𝐴1𝐶122𝐴1𝑁⋅𝐶1𝑁=(√7

2)2×2−(√3)22×(√72)2=17，故二面角A1﹣BD﹣C1的余弦值为17．【答案】见分析【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直．【点评】本题考查二面角的求法，空间中线与面的垂直关系，理解二面角的定义，熟练掌握线面垂直，面面垂直的判定定

理或性质定理是解题的关键，考查空间立体感、推理论证能力和运算能力，属于中档题．-jd-22．贺同学入读某大学金融专业，过完年刚好得到红包10000元，她决定以此作为启动资金投资股票，每月月底获得的收益是该月月初投入资金的20%，并从中拿

出500元作为自己的生活费，余款作为资金全部投入下个月的炒股，如此继续．设第n个月月底的股票市值为an．（1）求证：数列{an﹣2500}为等比数列；（2）贺同学一年（共12个月）在股市约赚了多少元钱？（1.211≈7.43，1.212≈8.92）【来源】2021-2022学年湖南省

长沙一中高二（上）第二次段考数学试卷（12月份）【知识点】27235,27245【难度】容易【分析】（1）证明：由题意得，第一个月股票市值a1＝10000（1+20%）﹣500＝11500，an+1＝1.2an﹣5

00，则an+1﹣2500＝1.2（an﹣2500），a1﹣2500＝9000，所以数列{an﹣2500}是以1.2为公比，以9000为首项的等比数列；（2）解：由（1）得，an﹣2500＝9000×1.2n﹣1，所以a12＝25

00+9000×1.211≈69370，故贺同学一年（共12个月）在股市约赚了69370+500×12﹣10000＝65370（元）．【答案】见分析【考点】等比数列的性质；根据实际问题选择函数类型．【点评】本题

主要考查了等比数列的判断及通项公式在实际问题中的应用，属于基础题．-jd-23．已知椭圆C：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1（a＞b＞0）经过点M（1，√22），其离心率为√22，设直线l：y＝kx+m与椭圆C相交于A、B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l与圆𝑥2+�

�2=23相切，求∠AOB的大小（O为坐标原点）．【来源】2021-2022学年湖南省长沙一中高二（上）第二次段考数学试卷（12月份）【知识点】27280,27284,27214【难度】一般【分析】解

：（1）由题意可得={1𝑎2+12𝑏2=1𝑐𝑎=√22𝑎2=𝑏2+𝑐2，解得a2＝2，b2＝1，故椭圆方程为𝑥22+y2＝1；（2）∵直线l与圆𝑥2+𝑦2=23相切，∴|𝑚|√1+𝑘2=√2√3，∴3m2＝2（1+k2），设A（x1，y1），B（x2，y

2），联立方程组可得{𝑥2+2𝑦2=2𝑦=𝑘𝑥+𝑚，消y可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，∴x1+x2=−4𝑘𝑚1+2𝑘2，x1x2=2𝑚2−21+2𝑘2，∴y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝k2x1x2+km（x1+x

2）+m2=𝑚2−2𝑘21+2𝑘2，∴x1x2+y1y2=2𝑚2−21+2𝑘2+𝑚2−2𝑘21+2𝑘2=3𝑚2−2(1+𝑘2)1+2𝑘2=0，∴𝑂𝐴→•𝑂𝐵→=x1x2+y1y2＝0，∴OA⊥OB，∴∠AOB＝9

0°．【答案】见分析【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的标准方程．【点评】本题考查了椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系，直线和圆的位置关系，属于中档题．-jd-24．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：𝑥2𝑎2+𝑦2�

�2=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别是F1，F2，右顶点、上顶点分别为A，B，原点O到直线AB的距离等于ab．（1）若椭圆C的离心率等于√63，求椭圆C的方程；（2）若过点（0，1）的直线l与椭圆有且只有一个公共点P，且P在第二象限

，直线PF2交y轴于点Q．试判断以PQ为直径的圆与点F1的位置关系，并说明理由．【来源】2021-2022学年湖南省长沙一中高二（上）第二次段考数学试卷（12月份）【知识点】27280,27284,27214【难度】较难【分析】解：（1）由题意得点A（a，0

），B（0，b），直线AB的方程为𝑥𝑎+𝑦𝑏=1，即ax+by﹣ab＝0由题设，得|𝑎𝑏|√𝑎2+𝑏2=𝑎𝑏，化简，得a2+b2＝1①，由𝑒=𝑐𝑎=√63，即为𝑎2−𝑏2𝑎

2=23，即a2＝3b2②由①②，解得{𝑎2=34𝑏2=14，可得椭圆C的方程为4𝑥23+4𝑦2=1；（2）点F1在以PQ为直径的圆上．由题设，直线l与椭圆相切且l的斜率存在，设直线l的方程为：y＝kx+1，由{𝑥2𝑎2

+𝑦2𝑏2=1𝑦=𝑘𝑥+1，得（b2+a2k2）x2+2ka2x+a2﹣a2b2＝0，（*）则Δ＝（2ka2）2﹣4（b2+a2k2）（a2﹣a2b2）＝0，化简，得1﹣b2﹣a2k2＝0，所以𝑘2=1−𝑏2𝑎2=1，由点P在第二象限，可得k

＝1，把k＝1代入方程（*），得x2+2a2x+a4＝0，解得x＝﹣a2，从而y＝b2，所以P（﹣a2，b2）．从而直线PF2的方程为：𝑦−𝑏2=𝑏2−𝑎2−𝑐(𝑥+𝑎2)，令x＝0，得�

�=𝑏2𝑐𝑎2+𝑐，所以点𝑄(0，𝑏2𝑐𝑎2+𝑐)．从而𝐹1𝑃→=(−𝑎2+𝑐，𝑏2)，𝐹1𝑄→=(𝑐，𝑏2𝑐𝑎2+𝑐)，从而𝐹1𝑃→⋅𝐹1𝑄→=𝑐(−𝑎2+𝑐)+𝑏4𝑐𝑎2+𝑐=𝑐(−𝑎4+𝑐2+𝑏4)𝑎2

+𝑐=𝑐(−𝑎4+𝑏4+𝑐2)𝑎2+𝑐=𝑐[(𝑏2−𝑎2)(𝑏2+𝑎2)+𝑐2]𝑎2+𝑐=0，又a2+b2＝1，a2＝b2+c2，∴𝐹1𝑃→⋅𝐹1𝑄→=0．所以点F1在以PQ为直径的圆上．【答案】见分析【考点】椭圆的性

质．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式和点到直线的距离公式，考查点与圆的位置关系的判断，注意运用直线方程和椭圆方程联立，由判别式为0，以及向量数量积的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题．-jd-25．已知函数g（x）＝（x﹣2a）lnx，（a∈

R）．（1）求函数g（x）在点（e，e）处的切线方程；（2）若对任意x∈[1，+∞），不等式2xg（x）+x2﹣a＞0恒成立，求实数a的取值范围．【来源】2021-2022学年湖南省长沙一中高二（上）第二次段考

数学试卷（12月份）【知识点】27319,27325,27329【难度】较难【分析】解：（1）g（x）＝（x﹣2a）lnx，（x＞0），g′（x）＝lnx+1−2𝑎𝑥，g（e）＝e﹣2a，g′（e）＝2−2𝑎𝑒，故函数g（x）在点（e，e）处的切线方程是：y

﹣（e﹣2a）＝（2−2𝑎𝑒）（x﹣e），即y＝（2−2𝑎𝑒）x﹣e；（2）若对任意x∈[1，+∞），不等式2xg（x）+x2﹣a＞0恒成立，则（2x2﹣4ax）lnx+x2﹣a＞0，令p（x）＝（2x2﹣4a

x）lnx+x2﹣a，x∈[1，+∞），则p（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，故p（1）＝1﹣a＞0，故a＜1，又p′（x）＝（4x﹣4a）lnx+（2x﹣4a）+2x＝4（x﹣a）（lnx+1）（x≥1），显然当a＜1时，

p′（x）＞0，函数p（x）在[1，+∞）单调递增，故p（x）min＝p（1）＝1﹣a＞0，故a＜1，综上，a的取值范围是（﹣∞，1）．【答案】见分析【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，函数

恒成立问题，考查导数的应用，是中档题．-jd-26．已知函数g（x）＝（x﹣2a）lnx，（a∈R）．（1）已知𝑙𝑖𝑚𝑥→0𝑥𝑙𝑛𝑥=0，𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞𝑥𝑙𝑛𝑥=+∞，求函数g（x）极值点

的个数；（2）若对任意x∈[1，+∞），不等式2xg（x）+x2﹣a＞0恒成立，求实数a的取值范围．【来源】2021-2022学年湖南省长沙一中高二（上）第二次段考数学试卷（12月份）【知识点】27324,27329,

27328【难度】困难【分析】解：（1）g（x）＝lnx+(𝑥−2𝑎)𝑥=𝑥𝑙𝑛𝑥+𝑥−2𝑎𝑥，令h（x）＝xlnx+x﹣2a，则h′（x）＝lnx+2，当0＜x＜1𝑒2时，h′（x）＜0，当x＞1𝑒2时，h′（x）＞0，所以函数h（x）在（0，1𝑒2）上单调

递减，在（1𝑒2，+∞）上单调递增，又h（1𝑒2）=−1𝑒2−2a，𝑙𝑖𝑚𝑥→0（xlnx+x﹣2a）＝﹣2a，由h（x）min＝h（1𝑒2）=−1𝑒2−2a＜0，得a＞−12𝑒2，所以当−12𝑒2＜x＜0时，由𝑙𝑖𝑚𝑥→0（xlnx+x﹣

2a）＝﹣2a＞0，函数h（x）＝xlnx+x﹣2a有两个变号零点，函数g（x）有两个极值点，当a≥0时，函数h（x）＝xlnx+x﹣2a有一个变号零点，函数g（x）有一个极值点，当a≤−12𝑒2时，函数h（x）＝xlnx+x﹣2a

没有变号零点，函数g（x）没有极值点，（2）不等式2xg（x）+x2﹣a＞0等价于（2x2﹣4ax）lnx+x2﹣a＞0，令p（x）＝（2x2﹣4ax）lnx+x2﹣a，x∈[1，+∞），则p（x）＝（2x

2﹣4ax）lnx+x2﹣a＞0，在[1，+∞）上恒成立，所以必须有p（1）＝1﹣a＞0，所以a＜1，又p′（x）＝（4x﹣4a）lnx++（2x﹣4a）+2x＝4（x﹣a）（lnx+1）（x≥1），显然当a＜1时，p（x）＞0，则函数p（x）在[1，+∞）上单调递增，所以p（x

）min＝p（1）＝1﹣a＞0，所以a＜1，综上所述，a的取值范围为（﹣∞，1）．【答案】见分析【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的极值．【点评】本题考查用导数研究函数极值点个数问题，不等式恒成立问题，属难

题．-jd-