【文档说明】国家开放大学工程数学综合练习题参考答案.pdf，共(28)页，1.444 MB，由小喜鸽上传

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国家开放大学《工程数学》综合练习题参考答案一、单项选择题1.设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（D）．A.B.C.D.2.下列命题正确的是（C）．A．个维向量组成的向量组一定线性相关；B．向量组是线性相关的充分必要条件是以为系数的齐次线性方程组有解

C．向量组,,0的秩至多是D．设是矩阵，且，则的行向量线性相关3.设线性方程组的两个解为，（）则下列向量中（D）一定是的解．A.B.C.D.4.设，则随机变量（B）。A.B.BA,n111)(BABABABABAABn22111)(

ABABnns,,,21s,,,2102211sskkk,,21ssAnmnmABAX21,XX21XXBAX21XX21XX212XX122XX)10,50(~2NX)1,0(~N10050

X1050X本套练习题包括题型：一、单项选择题（40）二、填空题（35）三、计算题（28）四、证明题（6）C.D.5.对正态总体的假设检验问题中，检验解决的问题是（A）．A.已知方差，检验均值B.未知方差，

检验均值C.已知均值，检验方差D.未知均值，检验方差6.设为矩阵，为矩阵，当为（B）矩阵时，乘积有意义．A.B.C.D.7.向量组的极大线性无关组是（A）．A．B．C．D.8.若线性方程组的增广矩阵为，则当＝（D）时线性方程组有无穷多解．A．1B．4C．2D．9.掷两颗均

匀的骰子，事件“点数之和为4”的概率是（C）.50100X5010X),(2NUA43B25CBCA244223541234000100120123

,,,,,,,,,,,234,,24,34,32,41221A12A.B.C.D.10.在对单正态总体的假设检验问题中，检验法解决的问题是（B）．A.已知方差，检验均值B.未知方差，检验均值C.已知均值，检

验方差D.未知均值，检验方差11.设都是方阵，则下列命题中正确的是（A）．A.B.若，则或C.若，且，则D.12.若齐次线性方程组只有零解，则非其次线性方程组解的情况是（C）．A．有唯一解B．有无穷多解C．可能无解D.有非零解13.设是两个随机事件，则下列等式中不准确的是（

B）.A．B．C．D．361181121111N(,)2T,,ABCn2()()AIAIAIABOAOBOABACAOBC22()()ABABAB0AXAXb,AB()()()()PABPAPBPAB()()()PAB

PAPB()1()PAPA()()()PABPABPB14.袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两次都取到红球的概率是（D）.A.B.C.D.15.对于单个正态总体，未知时，关于均值的假设检验应采用（D）．A.检验法B.检验法C.

检验法D.检验法16.设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（D）．A.B.C.D.17.下列命题正确的是（）．A．个维向量组成的向量组一定线性相关；B．向量组是线性相关的充分必要条件是以为系数的齐次线性方程组有解C．向量组,,0的秩至多是D．设是矩阵，且，则的行向量

线性相关18.设线性方程组的两个解为，（）则下列向量中（）一定是的解．A.3103206259252(,)XN:2FU2tBA,n111)(BABABABABAABn22111)(ABABnns,,,21s,,,2102211

sskkk,,21ssAnmnmABAX21,XX21XXBAX21XXB.C.D.19.设，则随机变量（）。A.B.C.D.20.对正态总体的假设检验问题中，检验解决的问题是（）．A.已知

方差，检验均值B.未知方差，检验均值C.已知均值，检验方差D.未知均值，检验方差21.下列命题中不正确的是（D）．A．A与有相同的特征多项式B．若是A的特征值，则的非零解向量必是A对应于的特征向量C．若=0是A的一个特征

值，则必有非零解D．A的特征向量的线性组合仍为A的特征向量22.设A，B都是阶矩阵，则下列等式中正确的是(C)．A．B．C．D．23.设是两个随机事件，下列命题中不正确的是(B)．A.B.21XX212XX122XX)10,50(~2NX)1,0(~N10050X1050X501

00X5010X),(2NUAOXAI）（OAXnBAABBAAB111ABAB111BABAAB,)()()()(ABPBPAPBAP)()()(BPAPABPC.D.24.设袋中有6只

红球，4只白球，从其中不放回地任取两次，每次取1只，则两次都取到红球的概率是（A）．A.B.C.D.25.对于单个正态总体总体，已知时，关于均值的假设检验应采用（B）．A．t检验法B．U检验法C．χ检验法

D．F检验法26.设为阶矩阵，则下列等式成立的是（A）．A．B．C．D．27.方程组相容的充分必要条件是(B)，其中，．A．)(1)(APAP)()()(BPABPBAP3125953103),(~2NX22BA,nBAABBABA111)(BABA111

)(BAAB331232121axxaxxaxx0ia)3,2,1(i0321aaaB．C．D．28.设矩阵的特征值为0，2，则3A的特征值为(D)．A．0，2B．2，6C．0，0D．0，629.若事件与互斥，则下列等式

中正确的是（A）．A．B．C．D．30.设是来自正态总体的样本，则检验假设采用统计量U=（C）．A．B．C．D．31.A，B都是阶矩阵（，则下列命题正确的是(D)．A．AB=BAB．若AB=O，则或0321aaa0321aaa0321aaa1111A

ABPABPAPB()()()PBPA()()1PAPAB()()PABPAPB()()()nxxx,,,21)1,5(N5:0H55x5/15xnx/1515xn)1nOAOBC．D．32.向量组的秩是（C）．

A．B．C．D．33.设矩阵A的特征多项式，则A的特征值为(D)．A．B．C．D．，，34.若随机变量X与Y相互独立，则方差=（B）．A．B．C．D．35.已知总体，未知，检验总体期望采用（A）．A．t检验法B．U检验法C．χ检验法D

．F检验法2222)(BABABABAAB321,333,022,0011234300020001AI123112233)32(YXD)(9)

(4YDXD)(9)(4YDXD)(3)(2YDXD)(3)(2YDXD),(~2NX2236.方程组相容的充分必要条件是(B)，其中，．A．B．C．D．37.设都是n阶方阵，则下列等式中正确的是(C)．A．B．C．D．38.下列命题中不正确的是（A）．A．A与有

相同的特征值B．A与有相同的特征多项式C．若A可逆，则零不是A的特征值D．A与有相同的特征值39.若事件与互斥，则下列等式中正确的是（D）．A．B．C．D．40.设随机变量，则下列等式中不正确的是（A）．A．B．331

232121axxaxxaxx0ia1,2,3i0321aaa0321aaa0321aaa0321aaaBA,BABA1111ABABABABAA1AAA

AB1)()(BPAPPABPAPB()()()PAPAB()()PABPAPB()()()X(21)2()EXEX(21)4()DXDXC．D．二、填空题1.设均为n阶可逆矩阵，逆矩阵分别为，则B(A-1)´C-1．2.线性方程组有解的充分必要条件是r(

A)=r([A|b])．3.若，则0.3．4.设随机变量的概率密度函数为，则1/8．5.设是来自正态总体的一个样本，则．6.设均为3阶矩阵，且，则-8．7.当=0时，矩阵的秩最小．8.设是三个事件，那么发生，但至少有一个不发生的事件表示为.9.设随机变量，则15．10.设是

来自正态总体的一个样本，，则．11.设均为3阶矩阵，且，则12．22()()(())DXEXEX()()DXDXABC,,ABC111,,()CAB11AXb5.0)(,8.0)(BAPAP)(ABPX其它0103)(2xxxf)21(X

Pnxxx,,,21N(,)2~11niixnBA,3BA12AB42045114321ABC,,ACB,)(CBA)15.0,100(~BX)

(XEnxxx,,,21N(,)2niixnx11)(xDn2BA,3,2AB12AB12.设为阶方阵，若存在数和非零维向量，使得矩阵，则称为相应于特征值的特征向量.13.若，则3元齐次方程组的一个基础解析系中含有2个解向量.14.若，则0.1．15.设随机变量，

若，则7．16.若3阶方阵，则2．17.设为n阶方阵，若存在数和非零n维向量，使得，则称数为的特征值，为相应于特征值的特征向量．18.设，那么3元齐次线性方程组AX=O的一个基础解系中含有2个解向量．19.设随机变量，则0.3．2

0.设为随机变量，已知，那么18．21.设，则的根是1，-1，2，-2．22.设4元线性方程组AX=B有解且r（A）=1，那么AX=B的相应齐次方程组的基础解系含有3个解向量．23.设互不相容，且，则0．24.设随机变量X~B（n，p），则E（X）=np．25.若样本来自总体，且，则．26.设

三阶矩阵的行列式，则=2．27.线性方程组中的一般解的自由元的个数是2，其中A是矩阵，则方程组增广矩阵=3．AnnXAXXXA()1rA0AX()0.9,()0.3,()0.5PABPABPAB()PAB

X()3EX(21)EX423010201AAAXAXXAXA1)(Ar5.02.0101~aXaX2)(XD)23(XD22112112214Axx0

AAB,PA()0PBA()nxxx,,,21)1,0(~NXniixnx11~x)1,0(nNA21A1ABAX54)(BAr28.若事件A，B满足，则P（A-B）=．29.设随机变量，则0.9．30.设是未知参数的一个估计，且满足，则称为的

无偏估计．31.若三阶方阵，则=0．32.设为n阶方阵，若存在数和非零n维向量，使得，则称数为的特征值．33.已知，则当事件,相互独立时，0.08．34.设随机变量，则0.1．35.不含未知参数的样本函数称为统计量．三、计算题1．已知，其中，求．解：利用

初等行变换得BA)()(BPAP3.03.04.0210~XEX()ˆ)ˆ(Eˆ632210001A2AIAXAXXA()0.2,()0.4PAPBAB()PAB1234~0.10.30.5Xaa

BAX108532,1085753321BAX1055200132100013211001085010753001321

121100255010364021121100013210001321121100255010146001即由矩阵乘法和转置运算得2.求线性方程组的全部解．解：将

方程组的增广矩阵化为阶梯形方程组的一般解为（其中为自由未知量）令=0，得到方程的一个特解.方程组相应的齐方程的一般解为（其中为自由未知量）令=1，得到方程的一个基础解系1212551461A

12823151381085321212551461BAX22842123422721343214321432

14321xxxxxxxxxxxxxxxx0462003210010101113122842123412127211131

0000002200010101113106600022000101011131xxxxxx14243415x4x4)0001(0X4342415xxxxxxx4x4)1115(1

X于是，方程组的全部解为（其中为任意常数）3.设，试求⑴；⑵．（已知）解：⑴⑵4.某一批零件重量，随机抽取4个测得重量（单位：千克）为14.7,15.1,14.8,15.2可否认为这批零件的平均重量为15千克(已知)？解：零假设．由于已知，故选取样本函数经计算得，已知，故接受零假设

，即可以认为这批零件的平均重量为15千克.5.解矩阵方程，其中．解：利用初等行变换得10kXXXk)4,3(~NX)95(XP)7(XP,8413.0)1(9987.0)3(,9772.0)2(

)3231()23923235()95(XPXPXP1574.08413.09987.0)1()3()23723()7(XPXP)223(1)223(XPXP0228.09772.01)2(1)04.0,(~NX(

.)00596.1975.0uH015:2UxnN~(,)0195.14x5.042.01595.14nxu0975196..975.096.15.0unxBA

X01020231,3114012AB即由矩阵乘法和转置运算得6.为何值时，下列方程组有解，有解时求出其全部解.解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形方程组的一般解为（其中为自由未知量）令=0，得到方程

的一个特解不计最后一列，令=1，得到方程的一个基础解系于是，方程组的全部解为（其中为任意常数）01010014000123101001010014000105101214000101010000

15121004010101000015121401100512A14012092100312051212153XAB

1231231233122234xxxxxxxxx11311131113112120123012323401220001

13235423xxxx3x3x0(430)X3x1(521)X10kXXXk7.设，试求⑴；⑵．（已知）解：⑴⑵8.据资料分析，某厂生产的砖的

抗断强度服从正态分布，今从该厂最近生产的一批砖中随机抽取9块，测得抗断强度（单位：）的平均值为31.18.假设标准差没有改变，在0.05的显著水平下，文这批砖的抗断强度是否合格？（）解：零假设；．由于标准

差没有改变，故已知选取样本函数由已知，，于是得在0.05的显著水平下，，因此拒绝零假设，即这批砖的抗断强度不合格.9.已知，其中，求．参考答案：~(2,25)XN(1217)PX(3)PX,8413.0)1(99

87.0)3(,9772.0)2(12221722(1217)()(23)5555XXPXPP(3)(2)0.99870.99720.02152322(3)()(1)555XXPXPP(1)0.841

3X(32.5,1.21)N2kgcm0.9751.96u0:32.5H1:32.5H21.2100~(0,1)xUNn31.81x0032.5,1.1,9n0

031.1832.53.61.19xUn3.61.96xnBAXX350211,301111010BAX10.为何值时，线性方程组有解，并求出一

般解．参考答案：11.设，试求⑴；⑵．（已知）参考答案：kkxxxxxxxxxxxx432143214321114724212)4,3(~NX)95(XP)7(XP,8413.0)1(9987.0)3(,9

772.0)2(12.随机抽取某班28名同学的数学考试成绩，得平均分为分，样本标准差分，若全年级的数学成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，试问在显著水平下，能否认为该班的数学成绩为85分？参考答案：13.设矩阵，，求．参考答案：解：利用初等行变换可得80x8s05.0

012411210A321024345BBA1120830001210010411100012010411001210因此，=14.为何值时，下列方程组有解？有解时求出其全部解．参考答案

：解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形由阶梯阵可知：当即时，方程组有解．此时，由最后一个行简化阶梯阵得方程组的一般解为：，（其中为自由元）．令，得方程组的一个特解．不计最后一列，令x3=1，得到相应的齐次线性方程组的一个基础解系X1=于是，方程组的通解为：，(其中k是任意常数)．1

5.设，试求：(1)；(2)．（已知）21123100124010112001123200001210011201

211231241121ABA13210243452112312411265415141398732132132

14322213xxxxxxxxx1000321045012210321013114322121131101

132453231xxxx3x03x0340X12510kXXX)4,3(~NX)95(XP)7(XP,8413.0)1(9987.0)3(,9772.0)2(参考答案：解：（1）（2）16.设

某种零件长度X服从正态分布，今从中任取100个零件抽检，测得平均长度为84.5cm，试求此零件长度总体均值的置信度为0.95的置信区间．参考答案：解：由于已知，故选取样本函数零件长度总体均值的置信度为0.95的置信区间由已知，，，于是可得，，因此，零件长度总体均值的置

信度为0.95的置信区间：．7.设矩阵，求．参考答案：解：由矩阵乘法和转置运算得)3231()23923235()95(XPXPXP1574.08413.09987.0)1()3()23723()7(

XPXP)223(1)223(XPXP0228.09772.01)2(1)25.2,(N(.).u09751962UxnN~(,)01]16,16[975.0975.0uxux100,5.1,5.84

nx96.1975.0u206.841005.196.15.84975.0nux794.841005.196.15.84975.0nux]794.845,206.84[100111101A

1()AA利用初等行变换得即18.求下列线性方程组的通解．参考答案：解:利用初等行变换，将方程组的增广矩阵化成行简化阶梯形矩阵，即方程组的一般解为：，其中，是自由未知量．令，得方程组的一个特解．方程组的导出组的一般解为：，其中，是自由未知量．10011111

1111010132101011122AA111100132010122001111100021110011101

1002010011120111011002010111010011121002010100110011121201(

)011112AA123412341234245353652548151115xxxxxxxxxxxx24535365254815111524535120100055512010005

55005551201000111000001243421xxxxx2x4x042xx0(0010)X，，，124342xxxxx2x4x令，，得导出组的

解向量；令，，得导出组的解向量．所以方程组的通解为：，其中，是任意实数.19.设随机变量X~N（3，4）．求：（1）P（1<X<7）；（2）使P（X<a）=0.9成立的常数a．(已知，，)．参考答案：解：（1）P（1<X<7）====0.9773+0.8413–

1=0.8186（2）因为P（X<a）===0.9所以，a=3+=5.5620.从正态总体N（，4）中抽取容量为625的样本，计算样本均值得=2.5，求的置信度为99%的置信区间.(已知)参考答案：解：已知，n=

625，且~因为=2.5，，，所以置信度为99%的的置信区间为：.12x04x1(2100)X，，，02x14x2(1011)X，，，22110XkXkXX12(0010)(2100)(1011)

kk，，，，，，，，，1k2k8413.0)0.1(9.0)28.1(9773.0)0.2()23723231(XP)2231(XP)1()2()2

323(aXP)23(a28.123a28.12x576.2995.0u2nxu)1,0(Nx01.0995.021576.221u206.06252576.221

nu]706.2,294.2[],[2121nuxnux21.设矩阵，解矩阵方程．参考答案：解：因为，得所以．22.设齐次线性方程组，为何值时方程组有非零解？在有非零解时，求出通解

．参考答案：解：因为A=时，，所以方程组有非零解．方程组的一般解为：，其中为自由元．令=1得X1=，则方程组的基础解系为{X1}．通解为k1X1，其中k1为任意常数．23.设随机变量．（1）求；（2）若，

653312,112411210BABAX1207300012100104111001120104110012101231002470102350011231000

012100112011232472351ABAX112324723513729161813635132083035202332132

1321xxxxxxxxx83352231610110231500110101505即当3)(Ar3231xxxx3x3x)1,1,1()1,4(~NX)24(XP9332.0)

(kXP求k的值．（已知）．参考答案：解：（1）＝1－=1－＝1－（）=2（1－）＝0.0454．（2）＝1－＝1－即k－4=-1.5，k＝2.5．24.从正态总体N（，9）中抽取容量为64的样本，计算样本均值得=21，求的置信度为95%的置信区间．(

已知)参考答案：解：已知，n=64，且~因为=21，，且所以，置信度为95%的的置信区间为：25.设矩阵，，，求．参考答案：解：利用初等行变换可得9332.0)5.1(,8413.0)1(,9775.0)2()24(XP)24(XP)

242(XP)2()2()2()44()(kXPkXP)44(kXP)5.1(9332.0)4(k)5.1()5.1(1)4(kx96.1975.0u3nxu)1,0(Nx96.121

u735.064396.121nu]735.21,265.20[],[2121nuxnux122110135A121104BAXBX因此，于是由矩阵乘

法可得．26.求线性方程组的通解．参考答案：解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形方程组的一般解为，(其中x3是自由元)令x3=0，得到方程组的一个特解X0=；10131001121000122110053101001100122

1112100235010225021112100011210001221112100235010245001

1122352451A1152614011211122352451BAX123123123123245234

38213496xxxxxxxxxxxx14770281414014770542169141328341325421

000000002110120100000000211054212123231xxxx)0,2,1(不计最后一列，x3=1，得到相应的齐次线性方程组的一个基础解系X1=于

是，方程组的通解为：，(其中k是任意常数)．27.设，试求:(1)；(2)．（已知）参考答案：解：⑴⑵28.某厂生产日光灯管．根据历史资料,灯管的使用寿命X服从正态总体．在最近生产的灯管中随机抽取49件进行测试，平均使用寿命为1520

小时．假设标准差没有改变，在0.05的显著性水平下，判断最近生产的灯管质量是否有显著变化．(已知)参考答案：解：零假设；．由于标准差没有改变，故已知，选取样本函数由已知，，，，于是得在0.05的显著性水平下，，因此拒绝

零假设，即最近生产的灯管质量出现显著变化．四、证明题)1,1,2(10kXXX~(2,25)XN(1217)PX(3)PX,8413.0)1(9987.0)3(,9773.0)2()3522(

)5217525212()1712(XPXPXP0215.09772.09987.0)2()3()152()52352()3(XPXPXP8413.0)1(2(1600,70)N96.1975.0u1600:0H1600:1

H2270UxnN~(,)011520x1600070049n849701600152000nxU96.1800nx0H1.设,为随机事件，试证：．证明：由事

件的关系可知而，故由概率的性质可知即2.设阶方阵满足：，试证可逆．证明：由可得因此，方阵可逆，其逆为3.设A,B是n阶对称矩阵，试证：A+B也是对称矩阵．证明：因为，由矩阵的运算性质可得所以A+B也是对称矩阵．4.设n阶矩阵A满足，

则A为可逆矩阵．证明：因为，即．所以，A为可逆矩阵．5.设,为随机事件，试证：证明：由事件的关系可知而，故由概率的性质可知6.设都是n阶矩阵，且A为对称矩阵，试证也是对称矩阵．证明：由矩阵转置的运算性质可得AB)()()(ABPAPBAP)()(BAABBAABBBAAUA

))((ABBAPAPABPAB()()())()()(ABPAPBAPnA23AAIOAI23AAIO()(2)AIAIIAI(2)AIBBAA,BABABA)(0))((

IAIA0))((2IAIAIAIA2ABPAPABPAB()()()AAUABBABABABAB()()()ABABPAPABPAB()()()BA,BABBABBABAB

B)()(又A为对称矩阵，故，从而因此，也是对称矩阵．AAABBABB)(ABB