【文档说明】2021-2022学年广东省广州市海珠区七年级上期末数学试题及答案解析.docx，共(21)页，273.605 KB，由小喜鸽上传

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第1页，共21页2021-2022学年广东省广州市海珠区七年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.如果温度上升3℃记作+3℃，那么下

降8℃记作()A.−5℃B.11℃C.−8℃D.+8℃2.在−1、8、0、−2这四个数中，最小的数是()A.−1B.8C.0D.−23.某市地铁18号线定位为南北快线，实现了该市中心城区与某新区的快速轨道交通联系，18号线

日均客流量约为81400人，将数81400用科学记数法表示，可记为()A.0.814×105B.8.14×104C.814×102D.8.14×1034.下列运算正确的是()A.2𝑥3−𝑥3=1B.3𝑥𝑦−𝑥𝑦=2

𝑥𝑦C.−(𝑥−𝑦)=−𝑥−𝑦D.2𝑎+3𝑏=5𝑎𝑏5.下列方程中是一元一次方程的是()A.2𝑥=3𝑦B.7𝑥+5=6(𝑥−1)C.𝑥2+12(𝑥−1)=1D.1𝑥−2=𝑥6.如图的图形，是由旋转形成的．()A.第2页，

共21页B.C.D.7.解方程1−𝑥+36=𝑥2，去分母，得()A.1−𝑥−3=3𝑥B.6−𝑥−3=3𝑥C.6−𝑥+3=3𝑥D.1−𝑥+3=3𝑥8.某工厂用硬纸生产圆柱形茶叶筒．已知该工厂有44名工人，每

名工人每小时可以制作筒身50个或制作筒底120个．要求一个筒身配两个筒底，设应该分配𝑥名工人制作筒身，其它工人制作筒底，使每小时制作出的筒身与筒底刚好配套，则可列方程为()A.2×120(44−𝑥)=50𝑥B.

2×50(44−𝑥)=120𝑥C.120(44−𝑥)=2×50𝑥D.120(44−𝑥)=50𝑥9.若关于𝑥、𝑦的多项式3𝑥2𝑦−4𝑥𝑦+2𝑥+𝑘𝑥𝑦+1不含𝑥𝑦的一次项，则𝑘的值为()A.14B.−14C.4D.−410.如图，数轴上4个点表示的数分别

为𝑎、𝑏、𝑐、𝑑.若|𝑎−𝑑|=10，|𝑎−𝑏|=6，|𝑏−𝑑|=2|𝑏−𝑐|，则|𝑐−𝑑|=()A.1B.1.5C.15D.2二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.−14的相反数是______．第3页，共21页12.已知𝑥=3是关于𝑥的方程𝑎

𝑥+2𝑥−9=0的解，则𝑎的值为______．13.46°35′的余角等于______．14.已知线段𝐴𝐵=12，点𝐶在线段𝐴𝐵上，且𝐴𝐵=3𝐴𝐶，点𝐷为线段𝐵𝐶的中点，则𝐴𝐷的长为______．15.某小区要打造一

个长方形花圃，已知花圃的长为(𝑎+2𝑏)米，宽比长短𝑏米，则花圃的周长为______米(请用含𝑎、𝑏的代数式表示)．16.观察下面三行数：1，−4，9，−16，25，−36，…；−1，−6，7，−18，23，−38，…；

−2，8，−18，32，−50，72，…；那么取每行数的第10个数，则这三个数的和为______．三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题6.0分)计算：(1)12−(−

18)−5−15；(2)(−1)10×2+(−2)3÷4．18.(本小题6.0分)解方程：(1)2𝑥+3=−3𝑥−7；(2)2𝑥+13−5𝑥−16=1．19.(本小题6.0分)先化简，再求值：

(4𝑥2+5𝑥𝑦)+2(𝑦2+2𝑥𝑦)−(5𝑥2+2𝑦2)，其中𝑥=1，𝑦=−2．20.(本小题8.0分)如图所示，已知线段𝐴𝐵，点𝑂为𝐴𝐵中点，点𝑃是线段𝐴𝐵外一点．(1)按要求用圆规和直尺作图，并保留作图痕迹；①作射线𝐴𝑃，作直线�

�𝐵；②延长线段𝐴𝐵至点𝐶，使得𝐵𝐶=12𝐴𝐵．(2)在(1)的条件下，若线段𝐴𝐵=2𝑐𝑚，求线段𝑂𝐶的长度．第4页，共21页21.(本小题6.0分)某市为保障供水及道路安全，自来

水有限公司排查地下管线密集区，决定改造一段已使用多年面临老化的自来水管，这项翻新工程如果由甲工程队单独改造需要12天，由乙工程队单独改造需要24天．现要求甲、乙两个工程队一起合作完成这项翻新工程，但由于工作调动的原因，该项工程完工时，乙工程队中途共离开了3天．问

这项工程一共用了多少天？22.(本小题6.0分)某食品厂从生产的食品中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过的部分用正数表示，不足的部分用负数表示，记录如表：与标准质量的差值(克)−5−20136袋

数(袋)245513(1)若每袋标准质量为350克，则这批抽样检测的样品的总质量是多少克？(2)若该食品的包装袋上标有产品合格要求为“净重350±2克”，则这批样品的合格率为多少？23.(本小题10.0分)为了加

强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如表(注：水费按一个月结算一次)：请根据价目表的内容解答下列问题：价目表每月用水量(𝑚3)单价(元/𝑚3)不超出26𝑚

3的部分3超出26𝑚3不超出34𝑚3的部分4超出34𝑚3的部分7第5页，共21页(1)填空：若该户居民1月份用水20立方米，则应收水费______元；若该户2月份用水30立方米，则应收水费______元；(2)若该户居民3月份用水𝑎立方米(其中𝑎>34)，则应收水费多少

元？(结果用含𝑎的代数式表示)(3)若该户居民4月份的平均水价为3.8元/𝑚3，求该户4月份用水量是多少立方米？24.(本小题12.0分)对于有理数𝑎、𝑏定义一种新运算𝑎⊗𝑏={3𝑎−2𝑏(𝑎≥𝑏

)𝑎−23𝑏(𝑎<𝑏)，如5⊗3=3×5−2×3=9，1⊗3=1−23×3=−1；请按照这个定义完成下列计算：(1)计算①5⊗(−3)=______；②(−5)⊗(−3)=______；③若𝑥⊗32=−3，求𝑥的值；(2)若𝐴=−2𝑥

3+23𝑥2−𝑥+1，𝐵=−2𝑥3+𝑥2−𝑥+32，且𝐴⊗𝐵=−4，求3𝑥3+32𝑥+2的值；(3)若𝑥和𝑘均为正整数，且满足(𝑘3𝑥+𝑘)⊗(13𝑥+1)=43𝑥+12，求𝑘的值．25.(本小题12.0分)如图，∠𝐴𝑂𝐵=90°，∠𝐶𝑂𝐷=60

°．(1)若𝑂𝐶平分∠𝐴𝑂𝐷，求∠𝐵𝑂𝐶的度数；(2)若∠𝐵𝑂𝐶=114∠𝐴𝑂𝐷，求∠𝐴𝑂𝐷的度数；(3)若同一平面内三条射线𝑂𝑇、𝑂𝑀、𝑂𝑁有公共端点𝑂，且满足∠𝑀𝑂𝑇=12∠𝑁𝑂𝑇或者∠𝑁�

�𝑇=12∠𝑀𝑂𝑇，我们称𝑂𝑇是𝑂𝑀和𝑂𝑁的“和谐线”.若射线𝑂𝑃从射线𝑂𝐵的位置开始，绕点𝑂按逆时针方向以每秒12°的速度旋转，同时射线𝑂𝑄从射线𝑂𝐴的位置开始，

绕点𝑂按顺时针方向以每秒9°的速度旋转，射线𝑂𝑃旋转的时间为𝑡(单位：秒)，且0<𝑡<15，求当射线𝑂𝑃为两条射线𝑂𝐴和𝑂𝑄的“和谐线”时𝑡的值．第6页，共21页第7页，共21页答案和解析1.【答案】𝐶【解析】【分析】本题考查了

对正数和负数的理解，要熟练掌握“正”和“负”的相对性．解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【解答】解：因为温度上升3℃记作+3℃，那么下降8℃记作−8℃．故选：𝐶．2.【答案】

𝐷【解析】【分析】本题主要考查的是有理数大小比较，熟练掌握有理数大小比较的法则是解题的关键．依据有理数大小比较的法则进行比较即可求解，需注意两个负数比较，绝对值大的反而小．【解答】解：因为−2<−1<0<8，所以最小的数是−2．故选：𝐷．3.【答

案】𝐵【解析】【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为𝑎×10𝑛的形式，其中1≤|𝑎|<10，𝑛为整数，正确确定𝑎的值以及𝑛的值是解决问题的关键．科学记数法的表示形式为𝑎×10𝑛的形式，其中1≤|𝑎|<10，𝑛

为整数．确定𝑛的值时，要看把原数变成𝑎时，小数点移动了多少位，𝑛的绝对值与小数点移动的位数相同．【解答】第8页，共21页解：81400=8.14×104．故选：𝐵．4.【答案】𝐵【解析】【分析】本题考查整式的加减，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础

题型．根据整式的加减运算法则即可求出答案．【解答】解：𝐴、2𝑥3−𝑥3=𝑥3，故A不符合题意；B、3𝑥𝑦−𝑥𝑦=2𝑥𝑦，故B符合题意；C、−(𝑥−𝑦)=−𝑥+𝑦，故C不符合题意；D、2𝑎与3𝑏不是同类项，不能合并，故D不符合题意．故选：𝐵

．5.【答案】𝐵【解析】【分析】本题主要考查一元一次方程的概念，注意只含有一个未知数并且未知数的最高次数是1的整式方程是一元一次方程．根据一元一次方程的概念判断即可．【解答】解：𝐴、含有两个未知数，不是一元一次方程；B、符合定义，是一元一次方程；C、未知数最高次数是二

次，不是一元一次方程；D、分母含有未知数，不是整式方程．故选：𝐵．6.【答案】𝐴【解析】【分析】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握每一个几何体的特征是解题的关键．根据每一个几何体的特征判断即可．第9页，共2

1页【解答】解：𝐴.可以旋转形成圆台；B.可以旋转形成球；C.可以旋转形成圆柱；D.可以旋转形成圆锥；故选：𝐴．7.【答案】𝐵【解析】【分析】此题考查了解一元一次方程.方程两边乘以6，去分母得到结果，即可做出判断．【解答】解：方程两边同时乘以6得：6−(�

�+3)=3𝑥，即：6−𝑥−3=3𝑥．故选：𝐵．8.【答案】𝐶【解析】【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，写出相应的方程．根据题意可知：筒底的数量=筒身的数量×2，然后列出方程即可．【解答】解：设应该分配𝑥名工人制作筒身，则有(

44−𝑥)名工人制作筒底，由题意可得：120(44−𝑥)=2×50𝑥．故选：𝐶．9.【答案】𝐶【解析】【分析】本题考查了合并同类项法则及对多项式“项”的概念的理解，题目设计巧妙，有利于培养学生灵活运用知识的能力先合并同类项，令𝑥𝑦的系数为0即

可得出𝑘的值．【解答】第10页，共21页解：3𝑥2𝑦−4𝑥𝑦+2𝑥+𝑘𝑥𝑦+1=3𝑥2𝑦−4𝑥𝑦+𝑘𝑥𝑦+2𝑥+1=3𝑥2𝑦+(−4+𝑘)𝑥𝑦+2𝑥+1，因为多项式3𝑥2𝑦−4𝑥𝑦+2𝑥+𝑘𝑥𝑦+1不含𝑥𝑦的一次项

，所以−4+𝑘=0，解得𝑘=4．故选：𝐶．10.【答案】𝐷【解析】【分析】本题主要考查数轴，绝对值的化简，关键是要能恰当的设出𝑎，𝑏，𝑐，𝑑表示的数．根据|𝑎−𝑑|=10，|𝑎−𝑏|=6得出𝑏和𝑑之间的距离，从而求出𝑏和𝑐之间的距离，然后假设𝑎表示的数为0，分别求

出𝑏，𝑐，𝑑表示的数，即可得出答案．【解答】解：因为|𝑎−𝑑|=10，所以𝑎和𝑑之间的距离为10，假设𝑎表示的数为0，由数轴可知𝑑表示的数为10，因为|𝑎−𝑏|=6，所以𝑎和𝑏之间的距离为6，所以由数轴可知𝑏表示的数为6，所以|𝑏−𝑑|=4，因为|𝑏−

𝑑|=2|𝑏−𝑐|，所以|𝑏−𝑐|=2，所以由数轴可知𝑐表示的数为8，所以|𝑐−𝑑|=|8−10|=2，故选：𝐷．11.【答案】14【解析】第11页，共21页【分析】本题考查了相反数的定义，是基础题，

熟记概念是解题的关键．根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数来解答．【解答】解：−14的相反数是14．故答案为：14．12.【答案】1【解析】【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．根据方程的解

为𝑥=3，将𝑥=3代入方程𝑎𝑥+2𝑥−9=0即可求出𝑎的值．【解答】解：将𝑥=3代入方程𝑎𝑥+2𝑥−9=0得：3𝑎+2×3−9=0，解得：𝑎=1．故答案为：1．13.【答案】43°25′【解析】【分析】本题考查了余角，属于基础题，较简

单，主要记住互为余角的两个角的和为90°．和为90°的两个角互为余角，依此计算即可求解．【解答】解：46°35′的余角为90°−46°35′=43°25′．故答案为：43°25′．14.【答案】8【解析】【分析】本题考查的是两点间的距离的计算

，掌握线段中点的概念、灵活运用数形结合思想是解题的关键．根据题意求出𝐴𝐶，根据线段中点的性质解答即可．【解答】第12页，共21页解：如图：因为𝐴𝐵=12，𝐴𝐵=3𝐴𝐶，所以𝐴𝐶=4，因为𝐵𝐶=𝐴𝐵−𝐴𝐶=12−4=8，因为点𝐷是线段𝐵𝐶的中点，所以

𝐶𝐷=12𝐵𝐶=12×8=4，所以𝐴𝐷=𝐴𝐶+𝐶𝐷=4+4=8．故答案为：8．15.【答案】(4𝑎+6𝑏)【解析】【分析】本题考查整式的加减，列代数式，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型．根据题意列出代数式

，然后根据整式的加减运算法则即可求出答案．【解答】解：由题意可知：宽为𝑎+2𝑏−𝑏=𝑎+𝑏，所以周长为：2(𝑎+𝑏+𝑎+2𝑏)=2(2𝑎+3𝑏)=(4𝑎+6𝑏)米，故答案为：(4𝑎+6𝑏)．16.【答案】−2【解析】

【分析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出相应的数字之和．根据题目中的数字，得出这三行中每一行的第10个数字，再计算和即可．【解答】解：由题目中的数字可得，第13页，共21页第1行的数字是平方数，奇数个是

正数，偶数个是负数，故第10个数字是−100，第2行数字比第1行的数字小2，故第10个数字是−102，第3行的数字是第1行数字的−2倍，故第10个数字是200．所以这三个数的和为−100−102+200=−2，故答案为：−2．17.【答案】解：(1)12−(−18)−5−

15=12+18−5−15=30−20=10；(2)(−1)10×2+(−2)3÷4=1×2+(−8)÷4=2−2=0．【解析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算顺序和运算法则．(1)从左向右依次计算即可；(2

)先计算乘方，再计算乘除，最后计算减法即可．18.【答案】解：(1)移项得：2𝑥+3𝑥=−7−3，合并得：5𝑥=−10，解得：𝑥=−2；(2)去分母得：2(2𝑥+1)−(5𝑥−1)=6，去括

号得：4𝑥+2−5𝑥+1=6，移项得：4𝑥−5𝑥=6−2−1，合并得：−𝑥=3，解得：𝑥=−3．【解析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数系数化为1，求出解．(1)方程移项，合并同类项，把𝑥系数化为

1，即可求出解；(2)方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把𝑥系数化为1，即可求出解．第14页，共21页19.【答案】解：(4𝑥2+5𝑥𝑦)+2(𝑦2+2𝑥𝑦)−(5𝑥2+2𝑦2)=4𝑥2+5𝑥𝑦+2𝑦2+4𝑥𝑦−5𝑥2−2𝑦2=−𝑥

2+9𝑥𝑦，当𝑥=1，𝑦=−2时，原式=−1+9×1×(−2)=−19．【解析】此题考查了整式的加减−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式化为最简结果−𝑥2+9𝑥𝑦，把𝑥与𝑦的值代入−𝑥2+9𝑥𝑦计算即可求出值．20.【答案】解：(1)①如图，射线𝐴𝑃

，直线𝑃𝐵为所作；②如图，𝐵𝐶为所作；(2)因为点𝑂为𝐴𝐵中点，所以𝑂𝐵=12𝐴𝐵，因为𝐵𝐶=12𝐴𝐵，所以𝑂𝐶=𝑂𝐵+𝐵𝐶=12𝐴𝐵+12𝐴𝐵=𝐴𝐵=2𝑐𝑚．【解析】本题考查了尺规作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图

形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了直线、射线、线段．(1)根据几何语言画出对应的几何图形；(2)先点𝑂为𝐴𝐵中点得到𝑂𝐵=12𝐴𝐵，所以𝑂𝐶=𝐴𝐵=2𝑐𝑚．21.【答案】解：设这项工程一共用了𝑥天，则甲工程队改造了�

�天，乙工程队改造了(𝑥−3)天，依题意得：𝑥12+𝑥−324=1，解得：𝑥=9．答：这项工程一共用了9天．第15页，共21页【解析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设这项工程一共用了𝑥天，则甲工程队改造了𝑥天，乙工程队改造了(𝑥−3)

天，根据甲工程队完成的改造任务量+乙工程队完成的改造任务量=整个改造任务量，即可得出关于𝑥的一元一次方程，解之即可求出这项工程所用时间．22.【答案】解：(1)超出的质量为：−5×2+(−2)×4+0×5+1×5+3×1+6×3=−10−8+0+5+3+18=8(克)，总质量

为：350×20+8=7008(克)，答：这批抽样检测样品总质量是7008克．(2)因为绝对值小于或等于2的食品的袋数为：4+5+5=14(袋)，所以合格率为：1420×100%=70%，答：这批样品的合格率为70%．【解析】本题考查了正数与负数，有理数加减混合运算，读懂表格数据，根据题意准确列式

是解题的关键．(1)总质量=标准质量×抽取的袋数+超过(或不足的)质量，把相关数值代入计算即可；(2)找到所给数值中，绝对值小于或等于2的食品的袋数占总袋数的多少即可．23.【答案】解：(1)60；94；(2)依题意得：应收水费为3×26+4×(3

4−26)+7(𝑎−34)=(7𝑎−128)元．(3)设该户4月份用水量是𝑥立方米．当26<𝑥≤34时，3×26+4(𝑥−26)=3.8𝑥，解得：𝑥=52(不合题意，舍去)；当𝑥>34时，7𝑥−128=3.8𝑥，解得：𝑥=40．答：该户4月份用水量是40立方米．第

16页，共21页【解析】【分析】本题考查了一元一次方程的应用、有理数的混合运算以及列代数式，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，列式计算；(2)根据各数量之间的关系，用含𝑎的代数式表示出应收水费；(3)找准等量关系

，正确列出一元一次方程．(1)利用总价=单价×数量，结合价目表的内容，即可求出结论；(2)利用应收水费=3×26+4×(34−26)+7×超过34立方米的数量，即可用含𝑎的代数式表示出应收水费；(3)设该户4月份用水量是𝑥立

方米，分26<𝑥≤34及𝑥>34两种情况考虑，根据该户居民4月份的平均水价为3.8元/𝑚3，即可得出关于𝑥的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：(1)3×20=60(元)，3×26+4×(30−26)=3×26+4×4=78+16=94(元

)．故答案为：60；94；(2)见答案；(3)见答案．24.【答案】解：(1)①21；②−3；③已知等式利用题中的新定义得：当𝑥≥32时，化简得：3𝑥−3=−3，解得：𝑥=0，不符合题意，舍去；当𝑥<32时，化简得：𝑥−1

=−3，解得：𝑥=−2，则𝑥的值为−2；(2)因为𝐴=−2𝑥3+23𝑥2−𝑥+1，𝐵=−2𝑥3+𝑥2−𝑥+32，所以𝐴−𝐵=(−2𝑥3+23𝑥2−𝑥+1)−(−2𝑥3+𝑥2−𝑥+32)第17页，共21页=−2𝑥3+23𝑥2−

𝑥+1+2𝑥3−𝑥2+𝑥−32=−13𝑥2−12<0，即𝐴<𝐵，利用题中的新定义化简得：𝐴⊗𝐵=𝐴−23𝐵=−4，即(−2𝑥3+23𝑥2−𝑥+1)−23(−2𝑥3+𝑥2−𝑥+32)=−4，去括号得：−2𝑥3+2

3𝑥2−𝑥+1+43𝑥3−23𝑥2+23𝑥−1=−4，合并得：−23𝑥3−13𝑥=−4，即−13(2𝑥3+𝑥)=−4，整理得：2𝑥3+𝑥=12，则原式=32(2𝑥3+𝑥)+2=32×12+2=18+2=20；(3)因为𝑥与𝑘均为正整数，所以𝑘3𝑥+𝑘≥1

3𝑥+1，已知等式利用题中的新定义化简得：3(𝑘3𝑥+𝑘)−2(13𝑥+1)=43𝑥+12，去括号得：𝑘𝑥+3𝑘−23𝑥−2=43𝑥+12，移项合并得：(𝑥+3)𝑘=2𝑥+14，整理得：𝑘

=2𝑥+14𝑥+3，当𝑥=1时，𝑘=2+141+3=164=4，当𝑥=5时，𝑘=10+145+3=3，所以𝑥=1，𝑘=4或𝑥=5，𝑘=3．所以𝑘=4或𝑘=3．【解析】【分析】此题考查了解一元一次方程，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．(1)①原式利

用题中的新定义计算即可得到结果；②原式利用题中的新定义计算即可得到结果；第18页，共21页③已知等式利用题中的新定义计算，即可求出𝑥的值；(2)利用作差法判断出𝐴与𝐵的大小，把𝐴与𝐵代入已知等式，利用题中的新定义化简，计算求

出，原式变形后代入计算即可求出值；(3)已知等式利用题中的新定义化简，根据𝑥与𝑘均为正整数，确定出𝑘的值即可．【解答】解：(1)①根据题中的新定义得：原式=3×5−2×(−3)=15+6=21；故答案为：21；②根据题中的新定义得：原式=−5−23×(−3)=−5+

2=−3；故答案为：−3；③见答案；(2)见答案；(3)见答案．25.【答案】解：(1)𝑂𝐶平分∠𝐴𝑂𝐷，∠𝐶𝑂𝐷=60°所以∠𝐶𝑂𝐷=∠𝐴𝑂𝐶=12∠𝐴𝑂𝐷．因为∠𝐴𝑂

𝐵=90°，所以∠𝐵𝑂𝐶=∠𝐴𝑂𝐵−∠𝐴𝑂𝐶=90°−60°=30°(2)设∠𝐴𝑂𝐷=𝑥，则∠𝐵𝑂𝐶=114𝑥.因为∠𝐴𝑂𝐷=∠𝐴𝑂𝐵+∠𝐵𝑂𝐷，∠𝐵𝑂𝐷=∠𝐶𝑂𝐷−∠𝐵𝑂𝐶，所

以∠𝐴𝑂𝐷=∠𝐴𝑂𝐵+∠𝐶𝑂𝐷−∠𝐵𝑂𝐶，因为∠𝐴𝑂𝐵=90°，∠𝐶𝑂𝐷=60°，所以∠𝐴𝑂𝐷=150°−∠𝐵𝑂𝐶．所以𝑥=150−114𝑥.第19页，共21页解得：𝑥=140°

．所以∠𝐴𝑂𝐷的度数为140°．(3)当射线𝑂𝑃与射线𝑂𝑄未相遇之前，如图，由题意得：∠𝐴𝑂𝑄=9𝑡，∠𝐵𝑂𝑃=12𝑡．所以∠𝐴𝑂𝑃=90°−∠𝐵𝑂𝑃=90°−12𝑡，∠𝑄𝑂𝑃=90°−∠𝐴𝑂𝑄−∠𝐵𝑂𝑃=90°−21�

�．因为射线𝑂𝑃为两条射线𝑂𝐴和𝑂𝑄的“和谐线”，所以∠𝑄𝑂𝑃=12∠𝐴𝑂𝑃．所以90°−21𝑡=12(90°−12𝑡)．解得：𝑡=3．当射线𝑂𝑃与射线𝑂𝑄相遇后且均

在∠𝐴𝑂𝐵内部时，如图，由题意得：∠𝐴𝑂𝑄=9𝑡，∠𝐵𝑂𝑃=12𝑡．所以∠𝐴𝑂𝑃=90°−∠𝐵𝑂𝑃=90°−12𝑡，∠𝑄𝑂𝑃=∠𝐵𝑂𝑃−∠𝐵𝑂𝑄=∠𝐵𝑂𝑃−(90°−∠𝐴𝑂𝑄)=21𝑡−90°．因为射线𝑂𝑃为两

条射线𝑂𝐴和𝑂𝑄的“和谐线”，所以∠𝑄𝑂𝑃=12∠𝐴𝑂𝑃或∠𝐴𝑂𝑃=12∠𝑄𝑂𝑃．所以21𝑡−90°=12(90°−12𝑡)或90°−12𝑡=12(21𝑡−90°).解得：𝑡=5或𝑡=6．当射线

𝑂𝑃在∠𝐴𝑂𝐵的外部，射线𝑂𝑄在∠𝐴𝑂𝐵的内部时，如图，第20页，共21页由于∠𝐴𝑂𝑃≠12∠𝑄𝑂𝑃，所以此时射线𝑂𝑃不可能为两条射线𝑂𝐴和𝑂𝑄的“和谐线”．当射线𝑂𝑃与射

线𝑂𝑄均在∠𝐴𝑂𝐵的外部时，如图，由题意得：∠𝐴𝑂𝑄=9𝑡，∠𝐵𝑂𝑃=12𝑡．所以∠𝐴𝑂𝑃=12𝑡−90°，∠𝑄𝑂𝑃=360°−∠𝐴𝑂𝑃−∠𝐴𝑂𝑄=450°−21𝑡．因为射线𝑂𝑃为两条射线𝑂𝐴和𝑂𝑄的“和谐线”，所以

∠𝐴𝑂𝑃=12∠𝑄𝑂𝑃．所以12𝑡−90°=12(450°−21𝑡)．解得：𝑡=14．综上所述，在0<𝑡<15时，当射线𝑂𝑃为两条射线𝑂𝐴和𝑂𝑄的“和谐线”时𝑡的值为3或5或6或14．【解析】本题主要考

查了角的计算，角平分线的定义，分类讨论的思想方法的应用，本题是新定义型题目，理解并熟练应用新定义是解题的关键．(1)利用角平分线的定义解答即可；(2)设∠𝐴𝑂𝐷=𝑥，利用角的和差列出关于𝑥的方程，解方程即可求得结论；(

3)利用分类讨论的思想方法，根据题意画出图形，用含𝑡的代数式表示出∠𝐴𝑂𝑃和∠𝑄𝑂𝑃的度数，第21页，共21页依据“和谐线”的定义列出方程，解方程即可求得结论．