【文档说明】七年级下册数学提高讲义第12讲《生活中的轴对称》学案.docx，共(13)页，1.422 MB，由小喜鸽上传

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第12讲生活中的轴对称温故知新三角形全等的条件（二）（1）三角形全等条件3：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“边边角”或“AAS”。符号语言：如图：D在AB上，E在AC上，DC=EB,∠C

=∠B．求证：△ACD≌△ABE证明：在△ACD和△ABE中∴△ACD≌△ABE（AAS）．（2）三角形全等条件4：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”。符号语言：在△ABC与△DEF中，ABDEBEBCEF，∴△ABC≌△DEF（SAS）．

（3）直角三角形全等条件：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。符号语言：在Rt△ABC与Rt△DEF中，∠ABC=∠DEF=90°，ABDEBCEFACDF或∴Rt△ABC

≌Rt△DEF（HL）．智慧乐园中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术。观察下列剪纸，你觉得它们有什么特征？与同伴进行交流知识要点一。轴对称（一）轴对称的定义（1）轴对称：如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称

，这条直线叫做这两个图形的对称轴。（2）轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。（3）轴对称与轴对称图形的区别：①成轴对称是对于两个图形而言的，

指的是两个图形形状和位置关系，而轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形。（二）轴对称的性质（1）对应点、线段、角的概念：我们把对称轴折叠后能够重合的点叫做对应点，重合的线段叫做对应线段，重合的角叫做对应角。（2）轴对称的性质：在轴对称图形或两个成

轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。（3）画已知图形的轴对称图形：画轴对称图形，首先应该确定对称轴，然后找出对称点。连接这些对称点就可以得到原图形的轴对称图形。（4）轴对称-最短路线问题：在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上

有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．典例分析例1、下列图形中不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．例2、如图，是小华画的正方形风筝图案

，他以图中的对角线AB为对称轴，在对角线的下方再画一个三角形，使得新的风筝图案成为轴对称图形，若下列有一图形为此对称图形，则此图为（）A．B．C．D．例3、如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四

个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多反射），那么该球最后将落入的球袋是（）A．1号袋B．2号袋C．3号袋D．4号袋例4、把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，重叠部分为△EBD，下列说法错误的是

（）A．AB=CDB．∠BAE=∠DCEC．EB=EDD．∠ABE一定等于30°例5、如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，∠B=50°，∠A=26°，将△ABC沿DE折叠，点A的对应点

是点A′，则∠AEA′的度数是（）A．145°B．152°C．158°D．160°例6、已知直线l的同侧有A，B两点（图1），要在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．小明同学的做法如图2：①作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B

交l于点P，则PA+PB=A′P+PB=A′B，由“两点之间，线段最短”可知，点P即为所求的点．请问小明同学的做法是否正确？说明理由．举一反三1、下列各图中，为轴对称图形的是（）A．B．C．D．2、如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，

AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A．6B．8C．10D．123、如图，∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点．若

GH的长为10cm，求△PAB的周长为（）A．5cmB．10cmC．20cmD．15cm4、如图，△ABC中，∠A=60°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处．如果∠A′EC=70°，那么∠A′DE的度数为

．5、如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，求证：BF=DF；6、如图，直线l同侧有A、B两点，请利用直尺和圆规在直线l上求作一点P，使AP+BP值最小．（不学霸说：（1）对称轴是一条直线，不是线段，也不是射线；（2）轴对称图形的对称轴可以有一条，也可以有多条

。写作法，保留作图痕迹）知识要点二简单的轴对称图形（一）等腰三角形定义：三角形中有两边相等的三角形叫做等腰三角形。特征：（1）等腰三角形是轴对称图形。（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（也称“等腰三角

形的三线合一”），“三线”所在的直线就是等腰三角形的对称轴。（3）等腰三角形的两腰相等、两底角相等。判定方法：（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形，这两个角所对的边也相等，简称“等角对等边”（二）等边三角形定义：三边都相

等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。特征：（1）等边三角形是轴对称图形。（2）等边三角形的三条边相等，三个内角都相等且都为60°判别方法：（1）三边都相等的三角形是等边三角形.（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。（三）线段的轴对称性（1）线段

是轴对称图形，垂直且平分线段的直线就是它的对称轴。（2）线段的垂直平分线定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也称中垂线。如上图，直线l⊥AB，且AC=BC，则直线l叫做线段AB的垂直平分线。（3）线段垂直平分线的性质：线

段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。如上图，则AP=BP.（4）尺规作线段的垂直平分线：（四）角的轴对称性（1）角是轴对称图形，角平分线所在的直线就是角的对称轴。（2）角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相

等。如图，OP是∠AOB的角平分线，PD⊥OA、PE⊥OB，则DP=EP.（3）尺规作已知角的角平分线：如右上图典例分析例1、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数

为（）A．15°B．17.5°C．20°D．22.5°例2、如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（）A．50°B．51°C．51.5°D．52.5°例3、等边三角形ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点

P，则∠APE的度数是（）A．45°B．55°C．60°D．75°例4、如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（）A．65°B．60°C．55°D．45°

例5、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15

，则△ABD的面积是（）A．15B．30C．45D．60例6、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=22.5°，斜边AB的垂直平分线交AC于点D，点F在AC上，点E在BC的延长线上，CE=CF，连接BF，DE．线段DE和BF在数量和位置上有什么关系？说明理由．

举一反三1、如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF=∠DFE；（2）AE=AF；（3）AD平分∠EDF；（4）EF垂直平分AD．其中正确的有（）A．

1个B．2个C．3个D．4个2、已知：如图，在△ABC中，D为BC的中点，AD⊥BC，E为AD上一点，∠ABC=60°，∠ECD=40°，则∠ABE=（）A．10°B．15°C．20°D．25°3、如图，在△ABC中，AC的垂

直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为（）A．13B．15C．17D．194、如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（）A．8B．6C．4D．25、如图，已

知BD平分∠ABC，AB=AD，DE⊥AB，垂足为E．（1）求证：AD∥BC；（2）①若DE=6cm，求点D到BC的距离；②当∠ABD=35°，∠DAC=2∠ABD时，求∠BAC的度数．课堂闯关初出茅庐1、如图，直线l1∥l2，以直线l1上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线l1、l

2于点B、C，连接AC、BC．若∠ABC=67°，则∠1=（）A．23°B．46°C．67°D．78°学霸说：（1）利用中垂线的性质带来线段的相等，结合等腰三角形的性质，进行等量代换，解决线段相等问题（2）要善

于利用已知条件，得到等腰三角形或等边三角形，从而进一步利用它们的性质解题。（3）平行线的定义可以作为判定两直线平行的依据2、∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、O

N于A、B点，若∠MON=35°，则∠GOH=（）A．60°B．70°C．80°D．90°3、如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD=AC，∠A=

50°，则∠ACB的度数为（）A．90°B．95°C．100°D．105°4、如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：（1）AM⊥DM；（2）M为BC的中点．优学学

霸1、如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为2、如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M

，连接BD交CE于N，连接MN．（1）求证：AE=BD；（2）求证：MN∥AB．考场直播1、【2016•深圳校级期末】如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，BE与CD交于点O，且BO=CO，求证：（1）∠ABE=∠ACD；（2）DO=EO．2、【2014•深圳校级期

末】（1）如图1，已知以△ABC的边AB、AC分别向外作等腰直角△ABD与等腰直角△ACE，∠BAD=∠CAE=90°，连接BE和CD相交于点O，AB交CD于点F，AC交BE于点G，求证：BE=DC，且BE⊥DC．请补充完整证明“BE=DC，且BE⊥DC”的推理过程；证明：∵△ABD和△AC

E都是等腰直角三角形（已知）∴AB=AD，AE=AC（等腰直角三角形定义）又∵∠BAD=∠CAE=90°（已知）∴∠BAD+∠BAC=（等式性质）即：∴△ABE≌△ADC（）∴BE=DC（全等三角形的对应边相等）∠ABE=∠ADC（全等三角形的对应角相等）又∵∠BFO=∠DFA（）

∠ADF+∠DFA=90°（直角三角形的两个锐角互余）∴∠ABE+∠BFO=90°（等量代换）∴即BE⊥DC（2）探究：若以△ABC的边AB、AC分别向外作等边△ABD与等边△ACE，连接BE和CD相交于点O，AB交CD于点F，AC交BE于G，如图2，则BE与DC还相等吗？若相等，

请证明，若不相等，说明理由；并请求出∠BOD的度数？自我挑战1、如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO=．2、如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交

边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为．3、如图，C、E和B、D、F分别在∠GAH的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF，若∠A=18°，则∠GEF的度数为（）A．75°B．80°C．85°D．90°4、△APB与△CDP是两

个全等的等边三角形，且PA⊥PD，有下列四个结论：①∠PBC=15°②AD∥BC；③直线PC与AB垂直．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个5、如图所示，△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，过点D作BC的平行线交AC于点E，交∠ACB的外角平分线于

点F．求证：（1）△DCF是直角三角形；（2）DE=EF套路揭密：（1）等腰三角形或等边三角形可以给我们带来角、线段的相等，这些条件是判定全等三角形重要的条件，综合利用这些性质，可以给我们带来丰富的解题思路。6、如图，在等边△ABC中，AB=9cm，点P从点C出发沿CB边向点B

点以2cm/s的速度移动，点Q点从B点出发沿BA边向A点以5cm/s速度移动．P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒钟．（1）你能用t表示BP和BQ的长度吗？请你表示出来．（2）请问几秒钟后，△PBQ为等边三角形？（3）若P、Q两点分别从C、B两点同时出发，并且都按顺时针方向沿

△ABC三边运动，请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？